15.3第2课时　角平分线性质定理的逆定理课件2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

15.3　角的平分线 第2课时　角平分线性质定理的逆定理 第15章　轴对称图形与等腰三角形 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求. O 角平分线的性质 思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想. A O B P C D E 1 证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知) ∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义) 又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知) ∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义) 如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD. A O B P C D E ∵在 △ PCO 和 △ PDO中， ∠COP =∠DOP ， ( 已证 ) ∠PCO =∠PDO，( 已证 ) OP = OP， (公共边) ∴△PCO≌△PDO. (AAS) ∴ PC = PD 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少. 要点归纳 判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 典例精析 变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_____； (2) 求 △APB 的面积. A B C P D 4 温馨提示：存在一条垂线段 —— 构造应用 故 AB · PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 逆 命 题 思考：这个结论正确吗？ 角平分线的判定 2 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， (全等三角形的对应角相等). OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL). ∴ ∠DOP =∠EOP 角平分线判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 方法归纳 例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B O N M A B P 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 3 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是 △ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 证明结论： (2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC. 由 (1) 得， PD = PF (已证). 又∵ PD⊥AB，PF⊥AB， ∴ AP 平分∠BAC (角平分线上的点到角两边的距离相等). 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4， (1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和. M E N A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用 12 解：连接 OC， (2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D S△ABC = S△AOB＋S△BOC＋S△AOC， 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 1.应用角平分线的判定与性质： 判定角平分线 距离问题 条件 要点归纳 角平分线的性质及判定 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 重要结论 三角形的角平分线相交于内部一点 1. 小明学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的直尺就可以作出一个角的平分线.如图，用一把直尺压住射线OB，用另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是（　A　） A. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 A （第1题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，∠D＝∠B＝90°，且CD＝CB，则点C在 　∠BAD　的平分线上，点A在 　∠BCD　的平分线上. （第2题） ∠BAD　 ∠BCD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，BD为∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，且PM＝PN. 求证：AD＝CD. （第3题） 解：∵ PM⊥AD，PN⊥CD，PM＝PN，∴ DP平分∠ADC，即∠ADP＝∠CDP. ∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中， ∵ ∴ △ABD≌△CBD. ∴ AD＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，绕某条湖有三条公路经过A，B，C三个村庄.现要新建一个加油站P，使其到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有（　） A. 4处 B. 3处 C. 2处 D. 1处 （第4题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB，OC. 若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　B　） A. 30° B. 60° C. 45° D. 70° （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，AQ＝PQ，PR＝PS. 有下列结论：① AS＝AR；② QP∥AR；③ △BRP≌△QSP. 其中，一定正确的是 　①②　（填序号）. （第6题） ① ②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，现修建一个车站P，使车站P到两个村庄的距离相等，且到OA，OB两条公路的距离也相等.请确定车站P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. 解：如图，点P即为所求作. （第7题答案） （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $