15.3第1课时　角的平分线的画法与性质定理课件2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

15.3　角的平分线 第1课时　角的平分线的画法与性质定理 第15章　轴对称图形与等腰三角形 尺规作角平分线 问题 怎样得到一个角的角平分线？ 方法一 用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线. 方法二 通过折纸可以得到一个角的角平分线，如图，在半透明纸上任画 ∠AOB，折叠使射线 OA，OB 重合，得到的射线 OP 就是 ∠AOB 的平分线. A O B O B(A) A O B P P (1) (2) (3) 1 作法：(1) 以点 O 为圆心， 适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. A B M N C O 尺规作∠AOB 的平分线. 方法三 证明：在△OMP 和△ONP 中， OM = ON， MP = NP， OP = OP， ∴ △OMP≌△ONP(SSS). ∴∠MOP =∠NOP，即 OP 平分∠AOB. 想一想：为什么 OP 是角平分线呢？ 已知：OM = ON，MP = NP. 求证：OP 平分∠AOB. B A N M P O 问题引导 如何过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？ 由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线. 过一点作已知直线的垂线 2 ①在直线 l 上点 P 的两旁分别截 取线段 PA， PB，使 PA = PB； (1) 当点 P 在直线 l 上. ②分别以 A，B 为圆心以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C； ③过点 C， P 作直线 CP， 则直线 CP 为所求作的直线. · P A B C l 这一步的目的是什么？ (2) 当点 P 在直线 l 外. ① 以点 P 为圆心， 以大于点 P 到直线 l 的距离的线段长为半径画弧， 交直线 l 于点 A，B； ② 分别以 A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C； ③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线. · P A B C l 第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？ 例 利用直尺和圆规作一个等于 45° 的角. 作法： 1. 作直线 AB； 2. 过点 A 作直线 AB 的垂线 AC； 3. 作∠CAB 的平分线 AD. ∠DAB 就是所要求作的角. D A B C 角平分线的尺规作图 ①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件 ②求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件 ③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程 1.如图，∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任意一点，则下列说法正确的是（　A　） A. PQ≥5 B. PQ＞5 C. PQ≤5 D. PQ＜5 （第1题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E. 若△ABD的面积为5，则DE的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，A是∠MON的边OM上的一点，AE∥ON. （1） 尺规作图：作∠MON的平分线OB，交AE于点B（不写作法，保留作图痕迹）. 解：（1） 如图，OB即为所求作. （第3题答案） （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若∠MAE＝48°，求∠OBE的度数. （2） ∵ AE∥ON，∴ ∠MON＝∠MAE＝48°.∵ OB平分∠MON，∴ ∠NOB＝ ∠MON＝24°.∵ AB∥ON，∴ ∠OBE＝180°－∠NOB＝180°－24°＝156°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E. F是OM上的一点（不与点C重合），连接DF，EF. 求证：∠DFO＝∠EFO. （第4题） 解：∵ OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，∴ ∠FOD＝∠FOE，CD＝CE，∠CDO＝∠CEO＝90°.在Rt△CDO和Rt△CEO中，∵ ∴ Rt△CDO≌Rt△CEO. ∴ OD＝OE. 在△DFO和△EFO中，∵ ∴ △DFO≌△EFO. ∴ ∠DFO＝∠EFO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 用尺规作图作△ABC的边BC上的高AD，下列作法正确的是（　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交x轴、y轴于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P（a，b），则a，b之间的数量关系为（　A　） A. a＋b＝0 B. a＋b＞0 C. a－b＝0 D. a－b＞0 （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，AB∥CD，∠BAC，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于点E，且OE＝3cm，则直线AB与CD之间的距离为 　6　cm. （第7题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.如图，△ABC的面积是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的周长为 　14　. （第8题） 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，D是∠EAF的平分线上的一点.若∠ACD＋∠ABD＝180°，求证：CD＝BD. （第9题答案） 解：如图，过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于点M，交AF于点N，则∠CMD＝∠BND＝90°.∵ AD是∠EAF的平分线，∴ DM＝DN. ∵ ∠ACD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠MCD＝180°，　 ∴ ∠MCD＝∠NBD. 在△CDM和△BDN中，∵ ∴ △CDM≌△BDN. ∴ CD＝BD. （第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G. （1） 求证：EF＝EG. 解：（1） 过点E作EM⊥AC于点M. ∵ ∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，EF⊥AB，EG⊥CD，∴ EF＝EM，EM＝EG. ∴ EF＝EG. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 猜想AC，AF，CG之间的数量关系，并说明理由. （2） AC＝AF＋CG. 　理由：由（1）知，EF＝EM＝EG. 在Rt△AEF和Rt△AEM中，∵ ∴ Rt△AEF≌Rt△AEM. ∴ AF＝AM. 同理，Rt△CEG≌Rt△CEM，CG＝CM. ∵ AC＝AM＋CM，∴ AC＝AF＋CG. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $