2.1.3 等式与不等式的性质（3） 不等式的性质课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的性质，通过复习一元二次方程知识引入，结合温度范围、三角形三边关系等生活实例构建不等关系认知，类比等式性质引导学生猜想不等式性质，以作差比较法为基础衔接两个实数大小关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界提炼不等关系，通过反例验证（如乘法性质中负数系数反例）和作差推理（例2、例3证明）培养数学思维，典型例题（同向可加性、倒数性质应用）强化数学语言表达。学生能系统掌握性质及证明方法，教师可借助清晰脉络与分层练习提升教学效率。

2.1.3 等式与不等式的性质（3） 不等式的性质 1 复习回顾 一元二次方程的解集及根与系数的关系 韦达定理 韦达定理 若一元二次方程的两根为、 ，则 恒等式 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的解集 韦达定理运用 2 知识框架 3 等式与不等式 等式与不等式的性质 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 不等式的性质 不等式的求解 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一元二次不等式的求解 分式不等式的额求解 含绝对值不等式的 求解 基本不等式的运用 平均值不等式及其运用 三角不等式 思考 你能用不等式表示下列问题中的不等关系吗？ （1）今天的天气预报说：明天的最低温度为25°C，最高温度为31 °C ； （2）三角形ABC两边之和大于第三边； （3）是一个非负实数. 设明天某一时刻的温度为t°C，25≤t≤31 AB+AC>BC,AB+BC>AC,AC+BC>AB ≥0 4 两个实数的大小关系 如何确定两个实数的大小关系？ 对于两个实数， 如果是正数，就称大于，记为; 0 如果是负数，就称小于，记为; 0 如果是零，就称等于，记为; 0 5 两个实数的大小关系 如何确定两个实数的大小关系？ 判断两个实数的充要条件是： 0 0 0 研究一切不等式的基础 对于 三者必居其一 6 不等号与不等式 通常，符号（读作大于等于）表示； (1)不等号：大于号＞,小于号＜,大于等于号≥，小于等于号≤都称为不等号。 符号（读作小于等于）表示。 (2)不等式：用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式。 7 不等式的基本性质 （2）加法性质 如果，那么. （3）乘法性质 如果，那么. （1）传递性 如果， ，那么. 请回顾等式的性质有哪些？ 类比等式的传递性和加法性质，请猜想不等式中类似的基本性质 设均为实数， 8 变形 ＞0 ＞0 不等式的基本性质 分析：判断两个实数大小的充要条件 要证 要证0 要证0 作差 证明 因为a＞b，所以a-b＞0. 同理，由b＞c，有b-c＞0. 由于两个正数的和是正数，于是0，即a＞c. （1）传递性 设均为实数，如果， ，那么. 9 不等式的基本性质 （1）传递性 设均为实数，如果， ，那么. （2）加法性质 设均为实数，如果，那么. 分析：判断两个实数大小的充要条件 要证 要证0 要证0 作差 变形 证明 因为，所以. 于是0 , 即. 10 不等式的基本性质 （1）传递性 设均为实数，如果， ，那么. （2）加法性质 设均为实数，如果，那么. 类比等式的乘法性质，请猜想不等式中类似的基本性质 设均为实数，如果，那么. 不正确。举反例，设满足，但不满足. 11 不等式的基本性质 （1）传递性 设均为实数，如果， ，那么. （2）加法性质 设均为实数，如果，那么. （3）乘法性质 设均为实数， 如果，且，那么; 如果，且，那么. 证明 显然， . 因为，所以. 当 , 当. 等式与不等式的性质有哪些相同点和不同点？ 12 例1 证明：如果，那么；反之亦然. 课堂练习 证明：若，利用不等式的加法性质， 在不等式的两边同加-b，即得 反过来，仍利用不等式的加法性质， 在不等式的两边同加b，即得 “”是“”的充要条件 移项常用于化简不等式 13 同向可加性 例2 已知，. 求证：. 课堂练习 分析：要证 证明：因为，所以 于是 即 我们能归纳一下例1、例2中的证明方法吗？ 不等式的性质 作差比较法 步骤：作差、变形、判断符号 14 例3 已知。求证： 课堂练习 证明：方法一 做差比较法 因为， ， 所以。 于是 方法 因为，所以, 又 ， 利用不等式的同向可加性，所以 15 课堂练习 判断命题“较大的数的倒数一定比较小的数的倒数小”是否为真命题，请说明理由. 假命题 举反例 例4 （1）已知求证：. 证明：（1）因为所以 （不等式的乘法性质） 即，在的两边同时乘得即 16 课堂练习 例4 （2）已知求证：. 证明：（2）因为所以 （不等式的乘法性质） 即，在的两边同时乘得即 17 课堂练习 例5 已知.求证：. 证明：因为有（例4倒数相关结论） 又，得（不等式的乘法性质） 因而。（不等式的传递性） 18 《双基》 课堂练习 19 课堂小结 不等式的性质 基础 判断两个实数的充要条件 基本性质：传递性、加法性质、乘法性质 0 0 0 常用性质：同向可加性、倒数等 20 课后作业 基础练习 能力拓展（选做） 21 $