2.1.2 等式与不等式的性质（2）韦达定理课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2.1.2 等式与不等式的性质（2） 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1 等式的 性质 传递性、 加法性质、 乘法性质 ①关于𝑥的形如（或可化为形如）𝑎𝑥=𝑏的方程 ②求二元一次方程组的解集 复习回顾 2 知识框架 3 等式与不等式 等式与不等式的性质 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 不等式的性质 不等式的求解 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一元二次不等式的求解 分式不等式的额求解 含绝对值不等式的 求解 基本不等式的运用 平均值不等式及其运用 三角不等式 写出下列一元二次方程的解集： 思考 ；； 如果一元二次方程有两个根相等，那么这两个根叫做重根。 在集合中，重根在列举法表示解集时只能出现一次。 { } {} ∅ 4 1.关于的一元二次方程的解集 思考 分类讨论，根据 当＞0时，方程有两个不相等的根， 解集为{, } 当=0时，方程有重根，解集为{} 当＜0时，方程没有实数解，解集为∅ 5 1.关于的一元二次方程的解集 思考 已知关于的一元二次方程的系数， 就可以确定该方程的解集 已知a=1,b=-2,c=1 ，得，解集为{1} 已知a=1,b=1,c=6 ，可知该方程没有实数解，解集为∅ 已知a=1,b=-2,c=-1，得= ，解集为{ } 6 1.关于的一元二次方程的解集 思考 已知关于的一元二次方程的系数， 就可以确定该方程的解集 [问题2] 已知关于的一元二次方程的解集，能否确定该方程的系数呢？ 反例：1.和2，这两个一元二次方程的解集都是{1}，但是它们对应幂次项系数都不相等 2.∅ 7 1.关于的一元二次方程的解集 思考 [问题3]已知一元二次方程能否确定该方程的系数？ 反例：已知 可写成 等 已知 已知 8 1.关于的一元二次方程的解集 思考 [问题3]已知一元二次方程能否确定该方程的系数？ 已知关于𝑥的一元二次方程的两根为、 探索 猜测 依据？ 9 1.关于的一元二次方程的解集 思考 [问题3]已知一元二次方程能否确定该方程的系数？ 已知关于𝑥的一元二次方程的两根为、 发现 根与系数的关系 韦达定理 若一元二次方程的两根为、 ，则 10 韦达定理 韦达定理 若一元二次方程的两根为、 ，则 弗朗索瓦·韦达（François Viète，1540—1603）是一位法国数学家，在欧洲被尊称为“代数学之父”。他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。 证明韦达定理之前，我们先学个基础知识 11 等式恒成立 例1：关于的方程解集为R 对于任意实数x，等式恒成立 例2：求证：，，是等式恒成立的充要条件. 证明： 充分性 若，，，则等式自然恒成立 必要性 由于等式恒成立，分别令并代入上式。 得，由此，得 赋值法处理恒等式是数学中的一般思想 12 等式恒成立 例2：求证：，，是等式 恒成立的充要条件. 对应幂次项系数相等 13 韦达定理 韦达定理 若一元二次方程的两根为、 ，则 证明： 因为一元二次方程的两根为𝑥1、 𝑥2， 所以二次三项式可因式分解为 由于，从而得到等式 恒成立 由例2可知，该等式两边对应项系数相等，因此 补充：还可以用求根公式验证韦达定理 14 例3 已知方程的两个根为𝑥1、𝑥2，求下列各式的值： (1）；（2）；（3） 课堂练习 分析：将代数式用已知方程的两根之和或两根之积来表示 解 由韦达定理，得𝑥1+𝑥2=-1，𝑥1𝑥2=-3 （1） 𝑥1𝑥2(𝑥1+𝑥2)=-3×(-1)=3 （2） 15 例3 已知方程的两个根为𝑥1、𝑥2，求下列各式的值： (1）；（2）；（3） 课堂练习 分析：将代数式用已知方程的两根之和或两根之积来表示 解 由韦达定理，得𝑥1+𝑥2=-1，𝑥1𝑥2=-3 （3）方法进行降次 𝑥1+𝑥2 =-10 16 例3 已知方程的两个根为𝑥1、𝑥2，求下列各式的值： (1）；（2）；（3） 课堂练习 分析：将代数式用已知方程的两根之和或两根之积来表示 解 由韦达定理，得𝑥1+𝑥2=-1，𝑥1𝑥2=-3 （3）方法公式 =-10 17 例3 已知方程的两个根为𝑥1、𝑥2，求下列各式的值： (1）；（2）；（3） 课堂练习 小结：已知一元二次方程，会求用根表示的简单二元对称多项式的值。 18 例4 已知一元二次方程的两个实根分别为𝑥1、𝑥2 ，求作二次项系数是1，且分别以下列数值为根的一元二次方程： (1)-𝑥1，-𝑥2 (2) 课堂练习 解 由韦达定理，得𝑥1+𝑥2=-3，𝑥1𝑥2=-3 (1)由题意，所求作的一元二次方程为 即，亦即=0 因此，所求作的一元二次方程为 19 例4 已知一元二次方程的两个实根分别为𝑥1、𝑥2 ，求作二次项系数是1，且分别以下列数值为根的一元二次方程： (1)-𝑥1，-𝑥2 (2) 课堂练习 解 由韦达定理，得𝑥1+𝑥2=-3，𝑥1𝑥2=-3 (2)由题意，所求作的一元二次方程为 即， 因此，所求作的一元二次方程为 20 例4 已知一元二次方程的两个实根分别为𝑥1、𝑥2 ，求作二次项系数是1，且分别以下列数值为根的一元二次方程： (1)-𝑥1，-𝑥2 (2) 课堂练习 小结：已知根，会构造相应的一元二次方程。 21 《双基》 课堂练习 22 课堂小结 一元二次方程的解集及根与系数的关系 韦达定理 韦达定理 若一元二次方程的两根为、 ，则 恒等式 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的解集 韦达定理运用 23 课后作业 基础练习 能力拓展（选做） 24 $