专题02 整式的乘除（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 整式的乘除 题型1 利用幂的运算判断选项是否正确（常考题） 题型14整式的乘除综合“杨辉三角”（压轴题） 题型2 利用幂的逆运算求代数式的值 题型15 整式的乘除综合“规律探究问题” 题型3 已知代数式的值求参数或代数式的值 题型16 判断是否能用乘法公式进行运算 题型4幂的运算综合计算题 题型17 平方差公式与几何图形 题型5 幂的运算中新定义类题型 题型18 平方差公式中简便运算 题型6 幂的运算中简便运算（常考题） 题型19 完全平方差与几何图形 题型7 幂的运算中比较大小（重点题） 题型20 求完全平方公式的字母系数（常考题） 题型8 用代数式表示式子的值 题型21 乘法公式变形的相关计算 题型9 整式的乘除混合运算（重点题） 题型22 乘法公式综合应用（压轴题） 题型10 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型23 判断是否为因式分解 题型11 整式的乘除之化简求值（必考题） 题型24 因式分解综合计算 题型12 整式的乘除之无关题型 题型25 整式的乘除综合运算 题型13 多项式乘以多项式与图形面积 题型26 整式的乘除之实际应用（常考题） 题型一 利用幂的运算判断选项是否正确（共4小题） 1．(24-25八上·河南南阳·期中)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法与除法，幂的乘方及积的乘方，掌握这些运算法则是解题的关键；依据上述幂的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算不正确，不符合题意； C、，计算不正确，不符合题意； D、，计算不正确，不符合题意； 故选：A． 2．(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 3．(23-24八上·江西九江外国语学校·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘（除）， 根据是否是同类项解答A，再根据积的乘方解答B，然后根据同底数幂相除法则解答C，最后根据同底数幂相乘法则解答D即可. 【详解】解：因为不是同类项，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确. 故选：C. 4．(24-25八上·重庆实验外国语学校·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的混合运算，合并同类项，掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项的法则计算，比较计算结果再作出判定． 【详解】A． ，该选项错误，不符合题意； B． ，该选项错误，不符合题意； C． ，该选项正确，符合题意； D． ，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型二 利用幂的逆运算求代数式的值（共4小题） 1．(24-25八上·江苏常州天宁区田家炳中学·期中)已知，，则的值为 ． 【答案】4.5 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算将化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4.5． 2．(24-25八上·江苏苏州中学园区校·期中)若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方展开，然后整体代入计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．(24-25八上·安徽宿州砀山县·期中)已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可得出结果； （2）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，再把（1）中的结论代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ， ； （2）解： ． 题型三 已知代数式的值求参数或代数式的值（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江大庆庆新中学·期中)已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方逆用，同底数幂相乘，解一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点．先逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则进行计算，转化为关于待求字母的一元一次方程求解，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 2．(24-25八上·山东青岛即墨区青岛长江学校·期中)若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，由已知可得，再利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法运算可把代数式转化为，进而把已知代入计算即可求解，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 逆用积的乘方法则计算得出，于是得出，即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 4．(24-25八上·江苏扬州江都区第三中学·期中)将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，，再代入即可； （）把原式化为为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解； 【详解】（1）解：，， ； （2）， ，即， 解得：． 题型四 幂的运算综合计算题（共4小题） 1．(24-25八上·北京朝阳外国语学校·期中)计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是关键． ①利用同底数幂的乘法法则计算即可； ②同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方计算后，再合并同类项即可． 【详解】解：① ② 2．(24-25八上·山东德州宁津县育新中学等校八年级·期中)计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．(23-24八上·广东东莞石碣中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方分别运算，再合并即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，是解答本题的关键． 根据积的乘方，同底数幂的乘、除法，合并同类项法则，求解即可． 【详解】解： ． 题型五 幂的运算中新定义类题型（共4小题） 1．(24-25八上·江苏淮安淮安经济技术开发区开明中学·期中)定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)写出的值为 ； (2)若，求的值． 【答案】(1)64 (2)6 【分析】本题主要考查了新定义，幂的乘方计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据题意结合幂的乘方计算法则可得，再由新定义即可得到． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴，即， ∴． 2．(24-25八上·江苏泰州靖江外国语学校·期中)我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则_________； ②若，则_________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴． 3．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 【答案】(1)3 (2)1296 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 4．(24-25八上·江苏江阴璜塘中学·期中)探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义； （1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得：. 题型六 幂的运算中简便运算（共3小题） 1．(24-25八上·四川宜宾叙州区万菁初级中学·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将原式化为，再逆用积的乘方计算即可； 【详解】解：原式 ． 2．(24-25八上·甘肃天水第五中学·期中)计算： ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：25． 3．(24-25八上·江西宜春实验中学·期中)计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查积的乘方的逆用．逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2． 4．(24-25八上·四川达州渠县临巴中学·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型七 幂的运算中比较大小（共3小题） 1．(24-25八上·山东东营胜利第六中学·期中)已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 2．(24-25八上·江苏泰州海陵区六校·期中)比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 3．(24-25八上·江苏宿迁泗阳县·期中)【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 题型八 用代数式表示式子的值（共4小题） 1．(24-25八上·山东德州宁津县第四实验中学·期中)计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目要求计算m个3相加与n个4相乘的和，需分别转化为乘法和乘方形式后相加．本题考查乘法的意义，乘方的意义，熟练掌握乘法的意义和乘方的意义是解题的关键． 【详解】m个3相加，即3重复加m次，可表示为乘法：．n个4相乘，即4重复乘n次，可表示为乘方：. 将两部分相加，总结果为：． 故选：D． 2．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法．根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 3．(24-25八上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)已知，那么之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把进行整理，可以得到相应的关系，即可得解； 【详解】解：，， ， ， ， ， 则， 故选：C． 4．(24-25八上·陕西西安长安区·期中)已知，那么之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据幂的乘方计算法则得到，再由题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九 整式的乘除混合运算（共4小题） 1．(24-25八上·宁夏银川第三十八中学·期中)计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算． （1）先计算单项式的乘方运算，再计算多项式乘单项式． （2）先计算多项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．(24-25八上·江苏/南京新城中学四校·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）根据幂的乘方和积的乘方可以解答本题； （2）根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．(24-25八上·江苏盐城东台第五教育联盟期中·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算，解决本题的关键是根据运算法则计算即可． 首先根据关于幂的运算法则进行计算，得到：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 根据关于幂的运算法则把各部分分别计算出来，得到：原式，再根据合并同类项法则合并同类项即可； 根据单项式乘以多项式的法则计算即可； 根据平方差公式和完全平方公式计算出来，再根据合并同类项的法则合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．(24-25八上·河南洛阳新安县·期中)计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2））先算乘方，再算除法，最后算乘法即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型十 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共3小题） 1．(24-25八上·河北邯郸临漳县·期中)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式的法则运算，再利用多项式相等即可求出的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 2．(24-25八上·安徽合肥肥西县名校联考·期中)若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算等号的左边，再根据等式的性质确定、，然后再求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ， ，， ． 故答案为：8． 3．(24-25八上·湖南岳阳六校联考·期中)如果多项式可因式分解为，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘多项式、以及因式分解的定义，先把通过多项式乘多项式法则进行展开，再合并得出，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意： ， ∵多项式可因式分解为， ∴， ∴， 故答案为：2． 题型十一 整式的乘除之化简求值（共3小题） 1．(24-25八上·湖南常德鼎城区·期中)先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先运用整式的运算法则化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 2．(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)先化简，再求值∶，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 3．先化简，再求值，其中 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先进行完全平方公式和多项式乘多项式的运算，再合并同类项计算括号内，再进行多项式除以单项式的运算，然后代入值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 题型十二 整式的乘除之无关题型（共4小题） 1．(24-25八上·陕西汉中实验中学·期中)若多项式与多项式的乘积中不含一次项和项，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．多项式与多项式相乘积中含项和项的系数为0，求出m、m的值，再计算的值． 【详解】解： ； ∵乘积中不含项和项， ∴，且， ∴，， ∴． ∴的值为2． 2．(24-25七上·广东江门实验中学（初中部）·期中)若关于的多项式，不含项，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了合并同类项，多项式不含某一项求字母系数等知识．合并同类项后根据不含项得到，再求代数式的值即可． 【详解】解： ∵关于的多项式，不含项， ∴， 解得， ∴． 3．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 4．(24-25八上·四川成都龙泉驿区师一中学校·期中)已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 题型十三 多项式乘以多项式与图形面积（共4小题） 1．(24-25八上·江苏泰州兴化·期中)如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，连接，若阴影部分的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察图形可知：阴影部分的面积=正方形的面积-的面积-的面积-正方形的面积，然后根据题意，列出等式求出答案即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是注意利用数形结合的思想理解阴影部分的面积=正方形的面积-的面积-的面积-正方形的面积． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴当a，b的值发生变化时，代数式的值不变的是：， 故选：C． 2．(24-25八上·安徽合肥新站高新技术产业开发区·期中)如图所示，把图1、图2中阴影部分面积分别记作，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式的运算，整式的减法，掌握知识点是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的运算法则，进行计算，再逐项分析，即可解答． 【详解】解：， ∴， ， 无法直接判定的大小， 故A错误． 当时，，则； 故B错误． 当时，，则； 故C正确． 当时，，，则 ， 故D错误． 故选C． 3．(24-25八上·浙江宁波鄞州区·期中)在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面积为图2中阴影部分面积为，据此分别求出两个阴影部分面积，作差即可得到答案． 【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为 图2中阴影部分面积为 ， ∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为， 故选：D． 4．(23-24八上·山东青岛莱西·期中)我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∵， ∴， 又∵ ∴ 故选为：B． 题型十四 整式的乘除综合“杨辉三角”（共4小题） 1．(24-25八上·四川乐山中区·期中)“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2023． 故结论④正确； 故选D． 2．(24-25八上·浙江杭州文澜中学·期中)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 3．(24-25八上·河南平顶山四十一中教育集团·期中)阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 项；写出的第三项的系数是 ； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 ． 【答案】(1)六， (2)① ；② 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． 通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是，，，，，，，从而得到答案； 通过观察可知，，从而得出答案； 写出的展开项，从而算得的系数； 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是，，，，展开式有六项， 系数分别是，，，，，展开式有七项，系数分别是，，，，，，， 故答案为：六，； （2）①由（1）发现 故答案为：； ，理由如下： 展开后共项，第一项是：， 第二项是：， 第三项是：， 第四项是：， 故答案为：． 4．(24-25八上·江苏徐州贾汪区·期中)材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和 1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________； (2)利用展开式规律计算：________； (3)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，……，记，，，，，则________；_________（用n表示）；________． 【答案】(1)6，32 (2) (3)36，， 【分析】本题主要考查了探索规律，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为，令中，，由展开式得，从而即可得解； （）总结规律得，，从而代入求解即可； （）总结规律得，再由，，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 故答案为：，， （2）解：依题意，多项式展开式共有项，各项系数和为； 令中，，由展开式得 故答案为：； （3）解：， ， ， … ∴； ∴， 故答案为：，，； 题型十五 整式的乘除综合“规律探究问题”（共4小题） 1．(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；为正整数 (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查代数式规律问题，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）根据题干中的等式总结规律即可； （2）将原式乘以后利用规律计算即可； （3）将方程左边乘以后利用规律计算即可． 【详解】（1）由已知等式可得，为正整数， 故答案为：； （2）由（1）可得，为正整数， 原式； （3）， ， ， ． 2．(24-25八上·广东深圳福田区外国语学校·期中)阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ② ③ …… [特例]________； [归纳]由此可得：________． [应用] （1）________； （2）计算：． 【答案】[特例]；[归纳]；[应用]（1）；（2） 【分析】本题考查整式乘法的规律探索问题. [特例]根据[观察]作答即可； [归纳]根据[观察]作答即可； [应用]（1）根据[归纳]的规律作答即可； （2）根据[归纳]的规律作答即可. 【详解】[特例]解：由[观察]可知：； 故答案为：； [归纳]解：由[观察]可知：； 故答案为：； [应用]（1）解：∵ ∴ 即 ∴ 故答案为：； （2）解：原式 ∵ ∴ 即， ∴ 即. 3．(24-25八上·浙江金华永康初中联盟·期中)观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据已知等式写成第5个等式即可； （）根据已知等式写出猜想即可； （3）根据规律进行解答即可； （4）根据（2）的结论求出，进而即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式，根据已知等式找到规律是解题的关键 【详解】（1）解：第5个等式为： 故答案为： （2）猜想 故答案为： （3）当，时， 即 ∴ 即当，时，的值为． （4）∵， ∴ 4．(24-25八上·广东顺德区容桂街道·期中)观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现规律：十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数的乘积作为积的后两位． (1)请根据上述规律计算：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)，见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：5621；9016． （2）解：用代数式表示规律：； 理由如下： ， ． 题型十六 判断是否能用乘法公式进行运算（共3小题） 1．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故不能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，故不能用平方差公式进行计算，不符合题意； C、，能用平方差公式进行计算，符合题意； D、，故不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·江苏苏州中学伟长班·期中)下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握其表现形式是解题的关键．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【详解】解：A、符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，不符合题意； B、不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合题意； C、符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，不符合题意； D、符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，不符合题意； 故选：B． 3．(24-25八上·浙江台州温岭团队六校·期中)下列运算不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式。平方差公式适用于形如的结构，即两数和与两数差的乘积。需判断各选项是否符合该结构。 【详解】解：A、，符合平方差公式，故本选项不符合题意； B、，符合平方差公式，故本选项不符合题意； C、，不符合平方差公式，故本选项符合题意； D、，符合平方差公式，故本选项不符合题意； 故选：C 题型十七 平方差公式与几何图形（共4小题） 1．(24-25八上·浙江温州龙港·期中)如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的推导方法是解答本题的关键． 用代数式分别表示图甲和图乙的面积，再根据两个图的面积相等的关系可得结论． 【详解】解：图甲的面积可以看作一个长方形， ∴面积为， 图乙可以看作两个正方形的面积差， 即， 两个图的面积相等， ， 故选：D． 2．(24-25八上·河北邯郸临漳县·期中)我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式， 根据第一个阴影部分的面积等于，第二个阴影部分的面积等于，再根据面积相等可得答案． 【详解】解：根据题意可得． 故选：B． 3．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)图1中阴影部分的面积为__________________ (2)将图1阴影部分沿虚线剪下拼成如图2的一个长方形，这个长方形的长是________，宽是_________，则图2阴影部分的面积是____________________ (3)比较（1）（2）结果，你能验证公式______________________________ (4)用该公式计算： 【答案】(1) (2)；； (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积； （2）长方形的面积等于长乘以宽； （3）根据阴影部分的面积相等得到公式； （4）连续使用平方差公式，化简即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：； （2）解：阴影部分的宽为，长为，面积为， 故答案为：；；； （3）解：根据阴影部分面积相等得， 故答案为：； （4）解： ． 4．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期中)乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的面积是_________（用a，b表示，并写成多项式乘法的形式）， (3)比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________ （用等式表达）． (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3) (4)①；② 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，代数式表示式，整式的混合运算，利用数形结合求解是解题关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）利用等面积法建立等式就可得出公式； （4）①把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算， ②把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）解：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是； 故答案为：； （3）解：； 故答案为：； （4）解：① ； ② ． 题型十八 平方差公式中简便运算（共3小题） 1．(24-25八上·山东东营胜利第一初级中学·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式简化计算，利用平方差公式对每一个括号分解因式，然后约分即可得出结果． 【详解】解： ． 故答案为： 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，将原式变形为，再利用平方差公式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．(24-25八上·山东淄博周村区第一中学（五四制）·期中)如何化简？如果直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“”便可连续应用平方差公式，使问题迎刃而解． 解：原式 根据以上材料试求， 利用所得公式计算：． 【答案】；4 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 结合平方差公式的特征对原式恒等变形，原式乘以，再根据平方差公式运算即可； 利用前面计算结果整体代入计算即可； 【详解】解： ． ． 题型十九 完全平方差与几何图形（共4小题） 1．(24-25八上·河南周口郸城县·期中)如图，利用图中的面积关系可以验证的等式关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查完全平方公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证 整体观察这个图形，用两种方法表示阴影部分的面积即可得出结果 【详解】解：根据面积得：， 故选B 2．(24-25八上·河北保定安国·期中)有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则： （1）正方形A，B的面积之和为 ； （2）小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个． 【答案】 13 7 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运算、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设正方形、的边长分别为， ，表示出图1、2的面积，求出即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】解：（1）设正方形、的边长分别为， ， 由题意可得：，， ∴，， ∴正方形A，B的面积之和为， 故答案为：； （2）由题意可得：， ∴需要以a，b为边的长方形个， 故答案为：． 3．(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，且，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）；（2）①1或25；②225 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，利用面积得到代数恒等式是求解本题的关键． （1）根据面积关系写恒等式； （2）①利用乘方运算求解即可；②设，，则，，由 求解即可． 【详解】解：（1）图2中阴影部分是边长为的正方形，面积为， 又大正方形的面积为，里面小正方形甲的面积为， ∴阴影部分面积还可表示为， 故可得到一个等式：； （2）①∵，， ∴，， ∵， ∴， 当时，，则； 当时，，则， ∴的值为1或25； ②设，， 则，， ∴ ， 即． 4．(24-25八上·四川达州渠县琅琊中学·期中)如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图②），图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 如图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1： ，方法2： ，可得到的等量关系式是 ； (2)若，，求的值． 【答案】(1)；； (2)37 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，以及阴影部分面积为边长为的小正方形面积求解即可；根据两种方法得到的面积相等列出等式； （2）根据（1）中所得结论，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：方法一，阴影部分的面积可表示为大正方形的面积减去4个长方形的面积，即； 方法二，阴影部分的边长为，所以面积可表示为； 所以可得到的等量关系式． 故答案为：；；． （2）解：当，时， 根据（1）可得， ． 题型二十 求完全平方公式的字母系数（共4小题） 1．(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)若可以配成一个完全平方公式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵可以配成一个完全平方公式， ∴， 当时，则； 当时，则； 即的值为， 故答案为： 2．(24-25八上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 【分析】由于多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么此单项式可能是二次项、可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，分4种情况讨论即可． 【详解】解：∵多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方， ∴此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项， ，故此单项式是； ，故此单项式是； ，故此单项式是； 故此单项式是． 故答案是，，，． 3．(24-25八上·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)若多项式是一个完全平方式，则常数的值是 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的计算，根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解∶∵ 是一个完全平方式， ∴， ∴或， 故答案为∶5或． 4．(24-25八上·江西九江外国语学校·期中)若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】21或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的形式整理，再根据对应系数相等解答即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得或. 故答案为：21或. 题型二十一 乘法公式变形的相关计算（共5小题） 1．设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，利用换元思想进行代数式求值是解题的关键． 写出a、b、c的关系式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴， 解得：． 故选：D． 2．(24-25八上·安徽六安金安区轻工中学·期中)已知，则 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．设，，得到，，再利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八上·安徽宿州砀山县·期中)如果，，那么 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，先关根据求出，然后利用完全平方公式把分解成，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， ． 故答案为： 37 ． 4．(24-25八上·江苏泰州海陵区六校·期中)已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．先把两边进行平方，再根据，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期中)已知实数a，b满足，，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键． 根据完全平方公式展开，两式相加即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， 两式相加得：， ， 故答案为：10． 题型二十二 乘法公式综合应用（共4小题） 1．(24-25八上·四川内江第一中学·期中)阅读下列材料： 若满足，求的值． 解：设， 则，， ∴． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟悉掌握完全平方公式公式和换元法是解题的关键． （1）利用换元法和完全平方公式运算即可； （2）利用换元法和完全平方公式运算即可； （3）利用面积公式列出式子，再利用换元法和完全平方公式运算求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∴； （2）解：设，，则， ∴， ∴， ∴； （3）∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∴所以阴影部分的面积为． 2．(24-25八上·甘肃兰州第十一中学·期中)利用完全平方公式，可以解决很多数学问题 例如∶若，求的值． 解∶因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题∶ (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)40 (2)6 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形计算求解； （2）利用完全平方公式的变形计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 3．(24-25八上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求、的值； (3)当为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ (4)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，式有最小值，最小值为1； (4) 【分析】本题主要考查配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． （1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案； （4）设，，则，再开勇完全平方公式变形可得答案 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1； （4）设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积 4．(24-25八上·广东江门广德实验学校·期中)阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴． ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的第三边c的最大值． 【答案】(1)36 (2)11 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性； （1）先配方，然后由非负数性质求得结果； （2）先配方，然后由非负数性质求得a、，进而由三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴． ∴， 即的值是18． （2）解： ∴，． ∴，． ∵， ∴． 又∵三边长a，b，c都是正整数， ∴的第三边c的最大值11． 题型二十三 判断是否为因式分解（共4小题） 1．(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，这类问题的关键在于是否正确应用因式分解的定义来判断．根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八下·四川成都七中育才学校·期中)下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．根据因式分解的定义，需将多项式转化为几个整式的乘积形式，逐一分析选项，判断是否符合条件即可． 【详解】A、右边出现分式，分解结果非整式乘积，不是因式分解，不符合题意； B、左边为完全平方式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，不符合题意； C、右边为平方与常数的和，仍是多项式形式，未转化为乘积，不是因式分解，不符合题意； D、左边为平方差，右边分解为，是整式的乘积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 3．(24-25八下·四川成都锦江区师一学校·期中)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的积的形式． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义； B. ，右边的 不是整式，因此不符合要求； C. ，右边是乘积与常数的差，未完全转化为积的形式； D. ，左边是多项式，右边是整式 的平方，符合因式分解的定义； 故选：D 4．(24-25八上·广东佛山南海区·期中)下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：、，左边为多项式，右边是与的乘积，属于因式分解，不符合题意； 、，右边为与的和，未完全转化为积的形式，不属于因式分解，符合题意； 、，左边是完全平方式，分解为的平方，属于因式分解，不符合题意； 、，利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 题型二十四 因式分解综合计算（共4小题） 1．(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先提公因式，再应用平方差公式即可． （2）先应用完全平方公式，再应用平方差公式即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2） ， ． 2．(24-25八上·四川眉山东坡区思蒙镇初级中学·期中)把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解；掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3．(23-24八上·黑龙江绥化海伦第三中学·期中)分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了提取公因式法及完全平方公式、平方差公式进行分解因式，正确找出公因式是解题关键． （1）运用平方差公式进行因式分解即可； （2）提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）运用平方差公式进行因式分解，再提公因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．(24-25八上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）首先利用平方差公式分解，然后提公因式2即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型二十五 整式的乘除综合运算（共3小题） 1．(24-25八上·山东济南历城区·期中)【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设1，，则， ∵， ∴． 我们把解决上述问题的这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化运算的目的，体现了转化的数学思想．用换元法解决问题： (1)若满足，求的值； 【类比应用】 (2)若满足，则的值是_______； 【迁移应用】 通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，这种解决数学问题的思想方法叫数形结合，利用这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．例如，图1可以得到． 结合上述阅读材料，解决下列问题： (3)两块完全相同的直角三角板()如图2所示放置，其中，，在同一直线上．连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了换元法的应用，涉及到完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）仿照示例，得到，，即可得到的值，得到结果； （2）把原式变形为，仿照示例，得到，，即可求得的值，从而得到结果； （3）由题意，得到，，仿照示例求得的值，即可得到结果． 【详解】解：（1）设，， 则， ， ； （2）， ， 设，， 则， ， ， ， ， 故答案为：； （3）设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， 由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ，即一块直角三角板的面积为． 2．(24-25八下·山东济宁任城区·期中)阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 【答案】（1）1，4；   （2）当时，代数式最大值为59；     （3）当时，面积S有最面积为200平方米； 【分析】本题主要考查了新定义题型，配方法等知识点，根据题目已有的模式按照此模式，得到答案，解决此题的关键是正确的配方． （1）根据一元一次方程的解法得到x的值，在根据一个数或者式子的平方为非负数得到整个代数式的最大值即可； （2）由题意先把代数式配成含完全平方形式的结果，得到答案即可； （3）根据题意列出关于S的等式，再根据前面的步骤得到S的最大值即可解决问题； 【详解】（1）当时，， ∵ ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴当时，代数式最大值为59； 故答案为：当时，代数式最大值为59； （3）由题意得： ∴当时，面积S有最大面积为200平方米. 3．(24-25八上·江西九江都昌县·期中)配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 题型二十六 整式的乘除之实际应用（共4小题） 1．(24-25八上·甘肃兰州某校·期中)某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米； (2)29000元 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积即为绿化面积列代数式即可； （2）将代入（1）中代数式求得绿化面积，再乘以每平方米成本即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积 平方米； （2）解：当时， （平方米）， ∴（元）， ∴完成绿化共需要29000元． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图，一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化总面积：(用含有的式子表示，结果化为最简) (2)若，写出此时的绿化总面积：_______平方米； (3)在（2）的条件下，若有甲乙两个绿化队完成此项任务，已知甲队每天可绿化60平方米，乙队每天可绿化30平方米，若要求乙队工作时间不超过甲队时间的2倍，则甲队至少工作几天？ 【答案】(1)绿化总面积为 (2)360 (3)甲队至少工作3天 【分析】本题考查多项式乘以多项式，完全平方公式，代数式求值，一元一次不等式的应用，正确列式和不等式是解题的关键． （1）利用长方形的面积减去正方形的面积求解即可； （2）代入a、b的值计算即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：绿化总面积为． （2）当时，， 故答案是：360； （3）解：设甲队工作x天， ， ， 答：甲队至少工作3天． 3．(24-25八上·陕西汉中勉县·期中)如图，某社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型的绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． (1)用含x，y的式子表示“工”字型区域的面积并化简； (2)若，，预计种植草坪每平方米的费用为60元，求修建绿化带所需要的费用． 【答案】(1) (2)4680元 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2），代入求出面积，再计算费用即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时，原式， 费用为（元）． 答：修建绿化带所需要的费用为4680元． 4．(24-25八上·广西来宾象州县·期中)如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像. (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积，如果绿化费用为每平方米元，求绿化总费用. 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查的是阴影部分面积的表示和多项式的乘法，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． （1）观察图形可知长方形的面积中间正方形的面积，长方形与中间正方形的边长均已知，结合长方形积正方形的面积公式，分别表示出它们的面积，进一步可表示出阴影部分的面积； （2）根据阴影部分的面积化简结果，然后代入数据，，即可得到阴影部分面积，即可计算绿化总费用． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ； （2）解：当，时， 原式（平方米） 绿化总费用为（元） 答：绿化总费用为元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除 题型1 利用幂的运算判断选项是否正确（常考题） 题型14整式的乘除综合“杨辉三角”（压轴题） 题型2 利用幂的逆运算求代数式的值 题型15 整式的乘除综合“规律探究问题” 题型3 已知代数式的值求参数或代数式的值 题型16 判断是否能用乘法公式进行运算 题型4幂的运算综合计算题 题型17 平方差公式与几何图形 题型5 幂的运算中新定义类题型 题型18 平方差公式中简便运算 题型6 幂的运算中简便运算（常考题） 题型19 完全平方差与几何图形 题型7 幂的运算中比较大小（重点题） 题型20 求完全平方公式的字母系数（常考题） 题型8 用代数式表示式子的值 题型21 乘法公式变形的相关计算 题型9 整式的乘除混合运算（重点题） 题型22 乘法公式综合应用（压轴题） 题型10 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型23 判断是否为因式分解 题型11 整式的乘除之化简求值（必考题） 题型24 因式分解综合计算 题型12 整式的乘除之无关题型 题型25 整式的乘除综合运算 题型13 多项式乘以多项式与图形面积 题型26 整式的乘除之实际应用（常考题） 题型一 利用幂的运算判断选项是否正确（共4小题） 1．(24-25八上·河南南阳·期中)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·江西九江外国语学校·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·重庆实验外国语学校·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用幂的逆运算求代数式的值（共4小题） 1．(24-25八上·江苏常州天宁区田家炳中学·期中)已知，，则的值为 ． 2．(24-25八上·江苏苏州中学园区校·期中)若，，则的值为 ． 3．(24-25八上·安徽宿州砀山县·期中)已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 4．(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型三 已知代数式的值求参数或代数式的值（共4小题） 1．(24-25八上·黑龙江大庆庆新中学·期中)已知，则的值为 ． 2．(24-25八上·山东青岛即墨区青岛长江学校·期中)若，则的值是 ． 3．(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)已知，求的值． 4．(24-25八上·江苏扬州江都区第三中学·期中)将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 题型四 幂的运算综合计算题（共4小题） 1．(24-25八上·北京朝阳外国语学校·期中)计算： ①； ②． 2．(24-25八上·山东德州宁津县育新中学等校八年级·期中)计算： (1)； (2)； 3．(23-24八上·广东东莞石碣中学·期中)计算：． 4．计算：． 题型五 幂的运算中新定义类题型（共4小题） 1．(24-25八上·江苏淮安淮安经济技术开发区开明中学·期中)定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)写出的值为 ； (2)若，求的值． 2．(24-25八上·江苏泰州靖江外国语学校·期中)我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则_________； ②若，则_________； (2)若，求的值． 3．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 4．(24-25八上·江苏江阴璜塘中学·期中)探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 题型六 幂的运算中简便运算（共3小题） 1．(24-25八上·四川宜宾叙州区万菁初级中学·期中)计算： ． 2．(24-25八上·甘肃天水第五中学·期中)计算： ． 3．(24-25八上·江西宜春实验中学·期中)计算： ． 4．(24-25八上·四川达州渠县临巴中学·期中)计算： ． 题型七 幂的运算中比较大小（共3小题） 1．(24-25八上·山东东营胜利第六中学·期中)已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·江苏泰州海陵区六校·期中)比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 3．(24-25八上·江苏宿迁泗阳县·期中)【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 题型八 用代数式表示式子的值（共4小题） 1．(24-25八上·山东德州宁津县第四实验中学·期中)计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)已知，那么之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·陕西西安长安区·期中)已知，那么之间满足的等量关系是 ． 题型九 整式的乘除混合运算（共4小题） 1．(24-25八上·宁夏银川第三十八中学·期中)计算 (1) (2) 2．(24-25八上·江苏/南京新城中学四校·期中)计算： (1)； (2)． 3．(24-25八上·江苏盐城东台第五教育联盟期中·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 4．(24-25八上·河南洛阳新安县·期中)计算： (1)； (2)； (3)． 题型十 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共3小题） 1．(24-25八上·河北邯郸临漳县·期中)若，则的值为 ． 2．(24-25八上·安徽合肥肥西县名校联考·期中)若，则 ． 3．(24-25八上·湖南岳阳六校联考·期中)如果多项式可因式分解为，那么 ． 题型十一 整式的乘除之化简求值（共3小题） 1．(24-25八上·湖南常德鼎城区·期中)先化简再求值：，其中，． 2．(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)先化简，再求值∶，其中，． 3．先化简，再求值，其中 题型十二 整式的乘除之无关题型（共4小题） 1．(24-25八上·陕西汉中实验中学·期中)若多项式与多项式的乘积中不含一次项和项，求的值． 2．(24-25七上·广东江门实验中学（初中部）·期中)若关于的多项式，不含项，求的值． 3．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 4．(24-25八上·四川成都龙泉驿区师一中学校·期中)已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 题型十三 多项式乘以多项式与图形面积（共4小题） 1．(24-25八上·江苏泰州兴化·期中)如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，连接，若阴影部分的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·安徽合肥新站高新技术产业开发区·期中)如图所示，把图1、图2中阴影部分面积分别记作，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 3．(24-25八上·浙江宁波鄞州区·期中)在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 4．(23-24八上·山东青岛莱西·期中)我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 题型十四 整式的乘除综合“杨辉三角”（共4小题） 1．(24-25八上·四川乐山中区·期中)“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．(24-25八上·浙江杭州文澜中学·期中)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 3．(24-25八上·河南平顶山四十一中教育集团·期中)阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 项；写出的第三项的系数是 ； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 ． 4．(24-25八上·江苏徐州贾汪区·期中)材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和 1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________； (2)利用展开式规律计算：________； (3)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，……，记，，，，，则________；_________（用n表示）；________． 题型十五 整式的乘除综合“规律探究问题”（共4小题） 1．(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；为正整数 (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求的值． 2．(24-25八上·广东深圳福田区外国语学校·期中)阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ② ③ …… [特例]________； [归纳]由此可得：________． [应用] （1）________； （2）计算：． 3．(24-25八上·浙江金华永康初中联盟·期中)观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 4．(24-25八上·广东顺德区容桂街道·期中)观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现规律：十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数的乘积作为积的后两位． (1)请根据上述规律计算：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 题型十六 判断是否能用乘法公式进行运算（共3小题） 1．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·江苏苏州中学伟长班·期中)下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·浙江台州温岭团队六校·期中)下列运算不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 题型十七 平方差公式与几何图形（共4小题） 1．(24-25八上·浙江温州龙港·期中)如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·河北邯郸临漳县·期中)我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（   ） A． B． C． D． 3．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)图1中阴影部分的面积为__________________ (2)将图1阴影部分沿虚线剪下拼成如图2的一个长方形，这个长方形的长是________，宽是_________，则图2阴影部分的面积是____________________ (3)比较（1）（2）结果，你能验证公式______________________________ (4)用该公式计算： 4．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期中)乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的面积是_________（用a，b表示，并写成多项式乘法的形式）， (3)比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________ （用等式表达）． (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 题型十八 平方差公式中简便运算（共3小题） 1．(24-25八上·山东东营胜利第一初级中学·期中)计算： ． 2．计算： ． 3．(24-25八上·山东淄博周村区第一中学（五四制）·期中)如何化简？如果直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“”便可连续应用平方差公式，使问题迎刃而解． 解：原式 根据以上材料试求， 利用所得公式计算：． 题型十九 完全平方差与几何图形（共4小题） 1．(24-25八上·河南周口郸城县·期中)如图，利用图中的面积关系可以验证的等式关系为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·河北保定安国·期中)有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则： （1）正方形A，B的面积之和为 ； （2）小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个． 3．(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，且，求的值； ②已知，求的值． 4．(24-25八上·四川达州渠县琅琊中学·期中)如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图②），图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 如图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1： ，方法2： ，可得到的等量关系式是 ； (2)若，，求的值． 题型二十 求完全平方公式的字母系数（共4小题） 1．(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)若可以配成一个完全平方公式，则m的值为 ． 2．(24-25八上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 3．(24-25八上·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)若多项式是一个完全平方式，则常数的值是 ． 4．(24-25八上·江西九江外国语学校·期中)若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 题型二十一 乘法公式变形的相关计算（共5小题） 1．设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 2．(24-25八上·安徽六安金安区轻工中学·期中)已知，则 3．(24-25八上·安徽宿州砀山县·期中)如果，，那么 ． 4．(24-25八上·江苏泰州海陵区六校·期中)已知，，则的值为 ． 5．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期中)已知实数a，b满足，，则的值为 ． 题型二十二 乘法公式综合应用（共4小题） 1．(24-25八上·四川内江第一中学·期中)阅读下列材料： 若满足，求的值． 解：设， 则，， ∴． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 2．(24-25八上·甘肃兰州第十一中学·期中)利用完全平方公式，可以解决很多数学问题 例如∶若，求的值． 解∶因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题∶ (1)若，求的值； (2)若，求的值． 3．(24-25八上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求、的值； (3)当为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ (4)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 4．(24-25八上·广东江门广德实验学校·期中)阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴． ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的第三边c的最大值． 题型二十三 判断是否为因式分解（共4小题） 1．(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·四川成都七中育才学校·期中)下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·四川成都锦江区师一学校·期中)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·广东佛山南海区·期中)下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二十四 因式分解综合计算（共4小题） 1．(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)将下列各式因式分解： (1)； (2)． 2．(24-25八上·四川眉山东坡区思蒙镇初级中学·期中)把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 3．(23-24八上·黑龙江绥化海伦第三中学·期中)分解因式： (1) (2) (3) 4．(24-25八上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)因式分解： (1)． (2)． 题型二十五 整式的乘除综合运算（共3小题） 1．(24-25八上·山东济南历城区·期中)【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设1，，则， ∵， ∴． 我们把解决上述问题的这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化运算的目的，体现了转化的数学思想．用换元法解决问题： (1)若满足，求的值； 【类比应用】 (2)若满足，则的值是_______； 【迁移应用】 通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，这种解决数学问题的思想方法叫数形结合，利用这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．例如，图1可以得到． 结合上述阅读材料，解决下列问题： (3)两块完全相同的直角三角板()如图2所示放置，其中，，在同一直线上．连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 2．(24-25八下·山东济宁任城区·期中)阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 3．(24-25八上·江西九江都昌县·期中)配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 题型二十六 整式的乘除之实际应用（共4小题） 1．(24-25八上·甘肃兰州某校·期中)某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图，一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化总面积：(用含有的式子表示，结果化为最简) (2)若，写出此时的绿化总面积：_______平方米； (3)在（2）的条件下，若有甲乙两个绿化队完成此项任务，已知甲队每天可绿化60平方米，乙队每天可绿化30平方米，若要求乙队工作时间不超过甲队时间的2倍，则甲队至少工作几天？ 3．(24-25八上·陕西汉中勉县·期中)如图，某社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型的绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． (1)用含x，y的式子表示“工”字型区域的面积并化简； (2)若，，预计种植草坪每平方米的费用为60元，求修建绿化带所需要的费用． 4．(24-25八上·广西来宾象州县·期中)如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像. (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积，如果绿化费用为每平方米元，求绿化总费用. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $