精品解析：重庆市育才中学教学共体2025-2026学年八年级上学期第一次自主作业检测数学试题

重庆育才中学教共体初2027届初二（上）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. 3.14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、是无理数，符合题意，选项正确； B、2是整数，属于有理数，不符合题意，选项错误； C、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，属于有理数，不符合题意，选项错误； 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点M（2，－1）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特点及M的坐标，即可判定． 【详解】解：，， 点M在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键． 3. 如图，直线与相交于点O，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等的性质是解题的关键．根据对顶角相等得出，结合已知即可求出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， 故选：B． 4. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程，逐一分析各选项，即可作答． 【详解】A. 化简后为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的条件； B. 含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的条件； C. 中y出现在分母，属于分式方程，不符合二元一次方程的条件； D. 中为二次项，导致未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程的条件； 故选：B 5. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：．∵， ∴，故该选项不符合题意； ．∵， ∴，故该选项错误，符合题意； ．∵， ∴ ，故该选项不符合题意； ．∵， ∴ ，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然第③块中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等． 故选：B． 7. 如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均不对 D. 甲、乙均对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的分类，等腰三角形的定义． 根据等边三角形或等腰直角三角形是特殊的等腰三角形作答即可． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形或等腰直角三角形， ∴只有甲说法正确， 故选：A． 8. 若方程组的解中，则k等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用后整理可得：，代入求解即可． 【详解】解：， 可得：， ∴同除以5可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，垂线段最短的含义， 先求解，如图，过作于，再求解，结合垂线段最短可得答案． 详解】解：如图，过作于， ∵，，为中点， ∴， ∴， ∴， 当重合时，最小，最小值为； 故选C 10. 有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②正确． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若三角形的两边长分别为和，且第三边的边长为偶数，则第三边长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边，即第三边， ∵第三边的边长为偶数， ∴第三边长为， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 12. 比较大小：______3．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，实数与数轴． 由正方形的面积，结合已知可得，根据点和点的位置关系，即可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积是， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，点在数轴上，且在点的右侧， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 14. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， ∴， 故答案为． 15. 如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．若，则的长为________；在此条件下，点M为边上一点，连接，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线于点F，若，则的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键：证明，得到，线段的和差关系求出的长，即为的长，作于点，证明，得到，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 16. 各个数位上的数字均为正整数的四位自然数，若其千位数字与个位数字的和大于百位数字与十位数字的和，且千位数字与个位数字的差的绝对值小于百位数字与十位数字的差的绝对值，即，则称N为“育才知行数”，并规定．已知四位自然数是“育才知行数”，则的最大值为________；若“育才知行数”（，q，且p，q，r均为整数），且满足，则满足条件的B的最大值与最小值之差为________． 【答案】 ①. 23 ②. 3570 【解析】 【分析】第一空根据题目已知条件列出四位自然数N的满足条件，即，再根据不等式组的解集列举符合题目要求的数后可得出结果；第二空需将“育才知行数”B的满足条件表示出，即，并且满足，将表示为，此时B需同时满足三个条件，即，再通过列举的形式表示B的最大值与最小值，最终求出结果． 【详解】解：∵是“育才知行数”， ∴，即， ①要使最大，则b应尽可能大． 当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， 不满足． ∴的最大值为23． ∵是“育才知行数”， ∴， 又∵，且满足， ∴，即， ∴ 此时B需同时满足， 显然，则或9， 验证当时，不满足题意， ∴， 当，，时，B的最大值为7712， 当，，时，B的最小值为4142， ∴B的最大值与最小值之差为． 故答案为：23，3570． 【点睛】本题考查了不等式组的应用及整数的性质，属新定义问题，难度较大，逻辑推理能力强，根据题目的要求列出对应的关系并计算是解此题的关键． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的整数解． 【答案】整数解为，． 【解析】 【分析】分别解出每个不等式的解集，找到公共解集，从解集中选择整数解．本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：0，1． 18. 如图，在中，于点D． （1）尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中 ∵且 ① ， 在中 ∵ ， ， ， ② ， 又∵平分 ∴ ∵ ③ ， ∴ ④ ． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。 （1）以点为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于两点，，以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）先由三角形的内角和定理可求得，，进而得到，再由角平分线定理可得，最后根据， 即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：在中， ∵且， ， 在中， ∵， ， ， ， ， 又∵平分， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：，，，． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，平面直角坐标系中，点，，，将先向上平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度得到． （1）若点是内一点，则平移前的对应点P的坐标为 ； （2）在图中画出平移后的图形 （3）连接，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，割补法求面积，掌握平移的性质是解题关键． （1）由题意可知，先向左平移7个单位长度，向下平移5个单位长度，得到，再根据平移的性质写出对应点坐标即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，先向左平移7个单位长度，向下平移5个单位长度，得到， 若点是内一点， 则平移前的对应点P的坐标为， 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，即为所求作； 小问3详解】 解：四边形的面积 ． 20. 为引导社区居民积极参与志愿服务，弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，某社区开展了“志愿同行，温暖社区”主题活动．为了解活动开展后居民的志愿服务参与情况，社区随机抽取了m名居民的每月志愿服务时长（单位：小时），进行整理、描述和分析（服务时长用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），其中时长不低于6小时为优秀，下面给出部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： （1） ； ； ； （2）请你补全条形统计图； （3）该社区共有3600名居民，根据以上调查结果，估计该社区居民志愿服务时长为“优秀”的居民大约有多少人． 【答案】（1）80；35；108 （2）见解析 （3）1620人 【解析】 【分析】本题主要考查条形图，扇形统计图，用样本估计总体，熟练掌握条形图和扇形统计图的特点，是解决问题的关键． （1）根据A组所占百分比和人数，求出抽取居民的总人数；利用B组人数求出其所占的百分比，即可得出a的值；利用条形图得到C组所占百分比，利用乘以C组所占百分比，即可得到C组所对应的扇形圆心角的度数； （2）先求出D组的居民人数，即可补全条形图； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：抽取的居民总数，（人）； B组所占的百分比为：， ∴； 扇形图中C组所对应扇形的圆心角度数为，， ∴； 【小问2详解】 解：D组的人数为：（人），补全条形统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该社区居民志愿服务时长为“优秀”的居民共有1620人． 21. 已知的算术平方根是2，的立方根等于本身，且的小数部分为c． （1）求出a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根的定义，立方根的性质，无理数的估算，进行求解即可； （2）先代值计算，再根据平方根定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∵， ∴的整数部分为3， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：，，， ∴， ∴的平方根为． 22. 如图，在中，的角平分线交于点H，与的外角平分线相交于点D，连接并延长交直线于E，点F、G分别是射线、上的点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，邻补角，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件和平角，得到，从而得出，即可证明平行； （2）由题意可得，由（1）可知，，进而得到，再结合角平分线的定义，得到，，再利用邻补角和三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：平分, ， ，， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， 平分， ， ， ． 23. 中秋节即将来临，某商超计划引进“传统莲蓉”和“冰皮芒果”两种月饼礼盒，若购进2盒“传统莲蓉”礼盒和3盒“冰皮芒果”礼盒共需980元，购进3盒“传统莲蓉”礼盒和2盒“冰皮芒果”礼盒共需1020元． （1）求每盒“传统莲蓉”礼盒和“冰皮芒果”礼盒的进价各是多少元？ （2）该商超计划用不超过4000元的资金购进两种礼盒共20盒，同时根据市场调研，“冰皮芒果”礼盒的进货数量应不超过“传统莲蓉”礼盒进货数量的2倍，若每盒“传统莲蓉”礼盒售价300元，每盒“冰皮芒果”礼盒售价270元（进价保持（1）中所求不变），且所有礼盒均能全部售出，请设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）“传统莲蓉”进价元，“冰皮芒果” 元； （2）进7盒“传统莲蓉”，13盒“冰皮芒果”， 最大利润元． 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设传统莲蓉月饼礼盒进价元，冰皮芒果月饼礼盒元，根据题意列出方程组即可； （2）设进传统莲蓉月饼礼盒盒，利润为元，用代数式表示出利润并求出其最大值． 【详解】解：（1）设传统莲蓉月饼礼盒进价元，冰皮芒果月饼礼盒元， 则有：， ①②，得：， ， 解得：， 代入①，可得：， ∴方程组的解为：， 答：“传统莲蓉”进价元，“冰皮芒果” 元； （2）设进传统莲蓉月饼礼盒盒，利润为元， 则利润为：， 且， 解得：， ∵为整数，， ∴时，元，此时， 即进7盒“传统莲蓉”，13盒“冰皮芒果”． 答：进7盒“传统莲蓉”，13盒“冰皮芒果”时利润最大，最大利润为元． 24. 在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，如图1，将线段平移后得到线段，其中点A对应点，点B对应点． （1） ； ； （2）如图2，直线l过点且与x轴平行，连接，线段BD交直线l于点，点P是直线l上的动点，连接、，若，求出点P的坐标； （3）点E是直线右侧x轴上方的一点且不在直线上，连接，与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1），； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性及二次根式的非负性解答即可； （2）先求出直线的解析式，得到点M的坐标，求出，设，根据求出p的值，由此得到点P的坐标； （3）分两种情况：①当点E在两直线之间时，过点E作，根据平行线的性质及三角形内角和解答；②当点E在右侧时，根据角平分线的定义及三角形内角和解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 由平移得， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， ∴， ∴， ∴， 设， ， 解得或， ∴或； 【小问3详解】 解：如图，当点E在两直线之间时，过点E作， 由平移得， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 即； 当点E在右侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 即； 综上，或． 【点睛】此题考查绝对值及二次根式的非负性，求一次函数的解析式，平行线的判定和性质，三角形内角和，角平分线的定义，熟练掌握各知识点并运用分类讨论解答是解题的关键． 25. 在中，，点D为外部一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接，满足． （1）如图1，当，，时，连接、，求的度数；（用含α的代数式表示） （2）如图2，当时，连接、，点F为线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，当，，时，M为直线上一动点，N为直线上一动点，当周长取得最小值时，直接写出四边形的面积．（参考公式：在中，，则） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先证明为等边三角形，得出，再证明和全等得到，最后通过三角形内角和定理求得的度数； （2）作出对应的辅助线，延长至点G，使，连接，并延长至H，使，连接、、，先证明和全等得到且，再根据，可知，为线段的中垂线得到和为等腰直角三角形，然后再证明和全等得到，最后再通过证明和全等得到，进而可推导出和之间的关系； （3）根据轴对称的性质分别作点A关于直线和的对称点，连接两个对称点后的周长最小值即为两个对称点连接的长度；连接，，过点M分别作，的垂线，分别交，于点G，H后根据已知条件求出对应的度数得到线段之间的等量关系，设的长度为a，最终列出关于a的式子等于；根据，最终求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【小问2详解】 证明：延长至点G，使，连接，并延长至H，使，连接、、， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴且， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由，可知，为线段的中垂线， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【小问3详解】 解：如图，作点A关于直线的对称点，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接交于点Q，连接，点M，N分别是与，的交点，此时的周长最小值即为线段的长度． 连接，，过点M分别作，的垂线，分别交，于点G，H， ∵，， ∴为等腰三角形， ∴， 又∵，， ∴， 由对称性的特征易证：，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形， 则， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，则， ∵，， ∴， 则与均为等腰直角三角形， ∴，则为等腰直角三角形， 在中，，， ∵，， ∴，， 在中，，则， 在中，， ∵， ∴， 则，即， 解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形，三角形全等的判定与性质，勾股定理的性质，根据对称的性质作对称点求动点最值问题，综合性强，难度大，空间想象、逻辑推理及复杂计算能力要求高，熟练掌握三角形相关的判定及定理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2027届初二（上）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A B. 2 C. 3.14 D. 2. 在平面直角坐标系中，点M（2，－1）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，直线与相交于点O，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均不对 D. 甲、乙均对 8. 若方程组的解中，则k等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 9. 如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 6 10. 有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（ ） A 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若三角形的两边长分别为和，且第三边的边长为偶数，则第三边长为________． 12. 比较大小：______3．（选填“>”“<”或“=”） 13. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为________． 14. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是________． 15. 如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．若，则长为________；在此条件下，点M为边上一点，连接，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线于点F，若，则的长为________． 16. 各个数位上数字均为正整数的四位自然数，若其千位数字与个位数字的和大于百位数字与十位数字的和，且千位数字与个位数字的差的绝对值小于百位数字与十位数字的差的绝对值，即，则称N为“育才知行数”，并规定．已知四位自然数是“育才知行数”，则的最大值为________；若“育才知行数”（，q，且p，q，r均为整数），且满足，则满足条件的B的最大值与最小值之差为________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的整数解． 18. 如图，在中，于点D． （1）尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中 ∵且 ① ， 在中 ∵ ， ， ， ② ， 又∵平分 ∴ ∵ ③ ， ∴ ④ ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，将先向上平移5个单位长度，再向右平移7个单位长度得到． （1）若点是内一点，则平移前的对应点P的坐标为 ； （2）在图中画出平移后的图形 （3）连接，求四边形的面积． 20. 为引导社区居民积极参与志愿服务，弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，某社区开展了“志愿同行，温暖社区”主题活动．为了解活动开展后居民的志愿服务参与情况，社区随机抽取了m名居民的每月志愿服务时长（单位：小时），进行整理、描述和分析（服务时长用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），其中时长不低于6小时为优秀，下面给出部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： （1） ； ； ； （2）请你补全条形统计图； （3）该社区共有3600名居民，根据以上调查结果，估计该社区居民志愿服务时长为“优秀”的居民大约有多少人． 21. 已知的算术平方根是2，的立方根等于本身，且的小数部分为c． （1）求出a，b，c的值； （2）求的平方根． 22. 如图，在中，的角平分线交于点H，与的外角平分线相交于点D，连接并延长交直线于E，点F、G分别是射线、上的点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 中秋节即将来临，某商超计划引进“传统莲蓉”和“冰皮芒果”两种月饼礼盒，若购进2盒“传统莲蓉”礼盒和3盒“冰皮芒果”礼盒共需980元，购进3盒“传统莲蓉”礼盒和2盒“冰皮芒果”礼盒共需1020元． （1）求每盒“传统莲蓉”礼盒和“冰皮芒果”礼盒进价各是多少元？ （2）该商超计划用不超过4000元的资金购进两种礼盒共20盒，同时根据市场调研，“冰皮芒果”礼盒的进货数量应不超过“传统莲蓉”礼盒进货数量的2倍，若每盒“传统莲蓉”礼盒售价300元，每盒“冰皮芒果”礼盒售价270元（进价保持（1）中所求不变），且所有礼盒均能全部售出，请设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 24. 在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，如图1，将线段平移后得到线段，其中点A对应点，点B对应点． （1） ； ； （2）如图2，直线l过点且与x轴平行，连接，线段BD交直线l于点，点P是直线l上的动点，连接、，若，求出点P的坐标； （3）点E是直线右侧x轴上方的一点且不在直线上，连接，与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系． 25. 在中，，点D为外部一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接，满足． （1）如图1，当，，时，连接、，求的度数；（用含α的代数式表示） （2）如图2，当时，连接、，点F为线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，当，，时，M为直线上一动点，N为直线上一动点，当周长取得最小值时，直接写出四边形的面积．（参考公式：在中，，则） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $