14.1　全等三角形及其性质课件2025-2026学年沪科版八年级数学上册

第14章　全等三角形 14.1　全等三角形及其性质 （1） （2） 我发现它们可以完全重合 做一做：如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？ 全等图形 1 全等形定义： 能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形性质： 如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等 . 要点归纳 将两张纸重叠，可以剪出两个形状、大小相同的三角形. 操作： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. 全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点. 点 A 和点 D ，点 B 和点 E ，点 C 和点 F . 全等三角形的对应元素 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角. 其中点A 和 ，点B和 ，点C和_ 是对应顶点. AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边. ∠A 和 ，∠B 和 ， ∠C 和 是对应角. B C A 点 D 点 E 点 F DE EF DF ∠D ∠E ∠F E F D △ABC≌△FDE A　 B C E D F 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 全等的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. 例1 如图，△ABC≌△CED， ∠B 和∠ DEC 是对应角，BC 与ED 是对应边，说出另两组对应角和对应边. A B C E D 解： ∠A 和∠DCE 是对应角，∠ACB 和∠D 是对应角； AC 和 CD 是对应边， AB 和 CE 是对应边. 典例精析 寻找对应元素的规律 1. 有公共边的，公共边一般是对应边； 2. 有公共角的，公共角一般是对应角； 3. 有对顶角的，对顶角一般是对应角； 4. 两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； 5. 两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 8 A D F C E B 1 2 A B D C 1 4 2 3 E A B C F 1 2 3 4 找一找下列全等图形的对应元素： A B C D F 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到： 全等三角形的性质 2 ∵△ABC≌△FDE ∴A B = F D，A C = F E，B C = D E ∠A =∠F，∠B =∠D，∠C =∠E A　 B C E D F 全等三角形的性质的几何语言 (全等三角形对应边相等) (全等三角形对应角相等) 例2 如图，已知△ABC≌△DCB，AB = 3，DB = 4，∠A = 60°. (1) 写出△ABC 和△DCB 的对应边和对应角； (2) 求 AC，DC 的长及∠D 的度数. 解：(1) 对应边：AB 与 DC，AC 与 DB， BC 与 CB； ∴ AC = DB = 4，DC = AB = 3，∠D =∠A = 60°. (2) ∵ △ABC≌△DCB， 对应角：∠A 与∠D，∠ABC 与∠DCB，∠ACB 与∠DBC. 例3 如图，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm. （1）试写出两三角形的对应边、对应角； 解：对应边有 EF 和 NM，FG 和 MH，EG 和 NH； 对应角有∠E 和∠N，∠F 和∠M，∠EGF 和∠NHM. （2）求线段 NM 及 HG 的长度； （3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出 一个正确的结论并说明理由. 解：∵ △EFG≌△NMH， ∴ NM = EF = 2.1 cm， EG = NH = 3.3 cm. ∴ HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2 (cm). 解：结论：EF∥NM (答案不唯一). 理由：∵ △EFG≌△NMH， ∴∠E =∠N. ∴ EF∥NM. 想一想：你还能得出 其他结论吗？ 全等 三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 基本性质 对应边相等 对应角相等 对应元素确定方法 对应边 对应角 长对长，短对短，中对中 公共边一般是对应边 大角对大角，小角对小角 公共角一般是对应角 对顶角一般是对应角 1. 下列图形中，被分割成两个全等形的是 （　B　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝65°，∠D＝20°，则∠BED的度数为（　A　）A. 75° B. 85° C. 60° D. 55° （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，△ABC≌△DEC，点A，E，C在同一条直线上，AE＝2，BC＝3，则CD的长为（　B　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 （第3题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝8，BC＝3，∠C＝65°，∠D＝20°.求： （第4题） （1） AE的长. 解：（1） ∵ △ABC≌△DEB，∴ BC＝EB＝3.∴ AE＝AB－EB＝8－3＝5. （2） ∠AED的度数. （2） ∵ △ABC≌△DEB，∴ ∠A＝∠D＝20°，∠DBE＝∠C＝65°.∴ ∠AED＝∠DBE＋∠D＝65°＋20°＝85°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中，一定成立的是（　B　） A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CDE C. AB＝AE D. ∠B＝∠E （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，△AOB≌△DOC，若△AOB的周长为10，且BC＝4，则△DBC的周长为（　C　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝10cm，CF＝4cm，则BC＝ 　7　cm. （第7题） 8. 方程思想有两个三角形全等，若一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3a－2b，a＋2b，则a＋b＝ 　5或4　. 7　 5 或4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，△ABD≌△ACE，点B，D，E，C在同一条直线上. （第9题） （1） ∠BAE与∠CAD有何关系？请说明理由. 解：（1） ∠BAE＝∠CAD. 理由：∵ △ABD≌△ACE，∴ ∠BAD＝∠CAE. ∵ ∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，∴ ∠BAE＝∠CAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） BE与CD相等吗？请说明理由. （2） BE＝CD. 理由：∵ △ABD≌△ACE，∴ BD＝CE. ∵ BE＝BD＋DE，CD＝CE＋DE，∴ BE＝CD. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. ★如图，点A，B，C在同一条直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm. （第10题） （1） 求DE的长. 解：（1） ∵ △ABD≌△EBC，∴ BD＝BC＝3cm，AB＝EB＝2cm.∴ DE＝BD－EB＝1cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 判断AC与BD之间的位置关系，并说明理由. （2） AC⊥BD. 理由：∵ △ABD≌△EBC，∴ ∠ABD＝∠EBC. 又∵ 点A，B，C在同一条直线上，∴ ∠ABD＋∠EBC＝180°. ∴ ∠EBC＝90°.∴ AC⊥BD. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3） 判断直线AD与直线CE之间的位置关系，并说明理由. （3） 直线AD与直线CE垂直.理由：延长CE交AD于点F. ∵ △ABD≌△EBC，∴ ∠D＝∠C. ∵ 易得∠A＋∠D＝90°，∴ ∠A＋∠C＝90°.∴ ∠AFC＝90°.∴ 直线AD与直线CE垂直. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $