14.1 全等三角形及其性质&14.2 三角形全等的判定-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

第14章 全等三角形 14.1全等三角形及其性质 要点梳理 1,能够完全重合的两个图形叫作全等形；能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 2.全等三角形中互相重合的顶点叫作对应项点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角 3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 已课内基础闯关 知识点③ 全等三角形的性质 知识点①全等形的概念 3.图中的两个三角形全等，则∠1等于( 1.智能机器人的发展促进了生产生活的快速 45 迭代.下列机器人公司的品牌图标是由全等 25 形构成的是 ( ) 第3题图 A.25° B.45° C.110° D.120° 4.如图，若△AOD≌△BOC, 且OD=5,OA=2,则AC D 的长为 D 变式题下列四个图形中，有两个是全等 A.2 B.3 第4题图 形，它们是 C.5 D.2.5 巴课外拓展提高 易错点未找准对应元素 ① ② ④ 变式题图 5.边长都为整数的△ABC和△DEF全 A.①和② B.①和③ 等，AB与DE是对应边，AB=2,BC= C.②和④ D.③和④ 4.若△DEF的周长为奇数，则DF的长 为 知识点② 全等三角形的对应边、对应角 6.如下图，点B,C,D在同一条直线上，∠B= 2.(教材变式)如下图，已知△ABE≌△ACF, ∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=7,BC= △BOF≌△COE,指出这两对全等三角形中 24,CE=25.求： 所有的对应边和对应角. (1)△ABC的周长. (2)△ACE的面积. 454 八年级数学HK版 14.2三角形全等的判定 第1课时 两边及其夹角分别相等的两个三角形 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS” ©课内基础闯关 (2)请你写出正确的证明过程. 知识点① 直接用“SAS”判定三角形全等 1.（2025一2026合肥肥东期中）如图，已知 ∠ABC=∠DCB,且点A,D在直线BC的 两侧，要根据“SAS”证明△ABC≌△DCB, 则还需要添加的条件是 ( A.AB=DC B.∠BAC=∠CDB C.AC=DB D.∠ACB=∠DBC 知识点② 运用“SAS”解决问题 4.情境应用在生物实验课上，老师C…7D 布置了“测量锥形瓶内部底面内 径”的任务.小亮同学想到了以下 第1题图 第2题图 这个方案：如图，用螺丝钉将两根 2.(2025一2026安庆期中)如图，已知AD=BC, 小棒AD,BC的中点O固定，利 还需添加一个条件： ,即可 用全等三角形的判定及性质，测 第4题图 根据“SAS"”直接证明△ABC≌△BAD, 得C,D之间的距离为8cm,则可知道内径 3.纠错题如下图，BA=BE,AC=DE,且AB AB的长度为 cm. ∥ED,∠A=∠ABE,∠C=∠D.求证： 5.如右图，A,B两点分别位 ∠ABE=∠CBD.下面是小亮的解答过程： 于一个池塘的两端，小明 通过构造△ABC与 △BCD来测量A,B间的 距离，其中AC=CD, BA=BE ∠ACB=∠BCD,那么量出的DB的长度就 证明：在△ABC和△EBD中，∠C=∠D, 第一步 是AB的长度.请你判断小明的方法是否正 AC=ED, 确，并给出理由. ∴·△ABC≌△EBD(SAS),第二步 .∠ABC=∠EBD,第三步 ∠ABE=∠CBD.第四步 (1)小亮的证明过程是从第 步开 始出现错误的。 上册第14章 55△ 已课外拓展提高 6.如图，已知BC=DC,添加下列一个条件后， 能用“SAS”判定△ABC≌△ADC的是 A.AB=AD B.∠BAC=∠DAC C.∠B=∠D D.∠BCA=∠DCA CD 第6题图 第7题图 色综合能力提升 7.如图，AB=12cm,∠A=∠B=60°，AC= 10.转化思想如图，在△ABC中，AB=AC,P BD=9cm,点P在线段AB上以2cm/s的 是平面上的任意一点，将AP绕点A顺时 速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 针旋转得到AQ,使∠QAP=∠BAC,连接 BD上以xcm/s的速度由点B向点D运 BQ,CP. 动，它们运动的时间为ts.当△ACP与 (1)如图①，若点P在△ABC的内部，则 △BPQ全等时，x的值是 ( BQ与CP相等吗？请给出证明. A.2 B.3或1.5 (2)如图②，若点P在△ABC的外部，则 C.2或1.5 D.3或2 BQ与CP相等吗？请给出证明， 8.安徽中考特色·双空题如图，D,E是 △ABC外两点，连接AD,AE,有AB= AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=a.连接 CD,BE,交于点F. 图① 图② 第8题图 (1)当a=40°时，∠DFE的度数为 (2)用含a的式子表示∠DFE的度数为 9.（教材变式)如右图，在 △ABC中，D为BC边上 的一点，AD=AC,以线段 B AD为边作△ADE,使得AE=AB,∠BAE =∠CAD.求证：DE=CB. 56 八年级数学HK版 第2课时 两角及其夹边分别相等的两个三角形 要闾梳理 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA” 色课内基础闯关 证明：，BD⊥AE,∠BAC=90°， 知识点① 直接用“ASA”判定三角形全等 .∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， .( 1.如图，下列三角形中全等的是 在△ABD和△CAE中， 2 cm 45° 75 =90°， 75 3 cm 759 3 cm 2 cm 75/3cm 4591 BD=AE, ④ 9 第1题图 ∴.△ABD≌△CAE( A.①和② B.②和③ (2)若CE=3,BD=9,求DE的长. C.③和④ D.①和④ 2.(2025一2026阜阳检测)如图，点B,F,C,E 在同一直线上，AC=DF,∠1=∠2.如果根 据“ASA”判断△ABC≌△DEF,那么需要 补充的条件是 512 第2题图 知识点②运用“ASA”解决问题 A.AB=DE B.∠A=∠D 5.(教材变式)如图，某同学把一块三角形的玻 C.BF=CE D.∠B=∠E 璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去 3.(2025一2026宿州期中)如图，在△ABC和 配一块完全一样的玻璃，那么最好的办法是 △DEF中，∠A=∠D,AB=DE.要利用 ( “ASA”证明△ABC≌△DEF,还需要添加 A.带①去 B.带②去 的条件是 C.带③去 D.带①和②去 第3题图 第5题图 第6题图 4.过程补充题如下图，在△ABC中，∠BAC 6.如图，要测量水池的宽度AB,可从点A出发 =90°，BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E, 在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从 BD=AE. 点C处观测，在BA的延长线上测得一点D, (1)补全下列证明过程， 使∠ACD=∠ACB.这时量得AD=160m, 求证：△ABD≌△CAE. 则水池宽AB的长度是 m 上册第14章 已课外拓展提高 (1)请写出图中的全等三角形，并证明. 7.(2025一2026巢湖期中)如图，测量水池两侧 (2)若BF平分∠ABC,∠D=105°，求 A,B两点间的距离的方案，步骤如下：①先 ∠AFB的度数. 确定直线AB,过点B作AB⊥BF于点B; ②在BF上取C,D两点，使得△；③过点D 作DE⊥BF于点D;④※于点M;⑤测量☆ 的长度，即AB的长.下列说法不正确的是 A.△代表BC=DC B.※代表连接AM C.☆代表MD D.该方案运用的判定方法 是ASA 第7题图 易错点 找错对应边或对应角 8.如下图，∠BAC=∠CAD,∠ACB= ∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的 色综合能力提升 公共边，所以就可以判定△ABC≌ 10.如下图，在△ABC中，BD=CD,CD⊥AB △ACD.你认为这种说法正确吗？如果 于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点 正确，请写出证明过程；如果不正确，请 E,与CD相交于点F.求证： 说明理由. (1)BF=CA. 1 (2)CE=2BF. 9.如下图，已知AB=AC,AB∥CD,E为AC 上一点，连接BE并延长交AD于点F,且 ∠ABE=∠CAD. 58 八年级数学HK版 第3课时 三边分别相等的两个三角形 要闾梳理 三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS” 已课内基础闯关 5.情境应用开封风筝是河南开封地区传统民 知识点① 直接用“SSS”判定三角形全等 间工艺品.开封风筝历史悠久、种类繁多、做 工精细、独具特色.图①是小华制作的风筝， 1.图中是全等三角形的是 图②是风筝骨架的示意图，其中AB=AC, BD=CD.小华发现AD平分∠BAC,你觉 得他的发现正确吗？请说明理由 第1题图 A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁 2.（2025一2026毫州蒙城期中）如图，在 图② △ABC和△DCB中，AC,BD相交于点E, AB=DC.若利用“SSS”来判定△ABC≌ △DCB,则需添加的条件是 () A.AE-DE B.CE=CD C.BE=CE D.AC=DB 第2题图 第3题图 3.(教材变式)如图，在△ABC中，AB=AC D,E两点在BC上，且有AD=AE,BD= CE.若∠BAD=30°，∠DAE=50°，则 知识点③ 三角形稳定性 ∠BAC的度数为 6.(2025一2026铜陵期中)下列生活实物中，没 知识点②运用“SSS”解决问题 有应用到三角形的稳定性的是 () 4.(教材变式)我国传统工艺中，油纸伞（如图 ①)的制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识， 图②是撑开的油纸伞的截面示意图.已知 AE=AF,GE=GF,则△AEG≌ ,其依据是 图① 图② 第4题图 上册第14章 59△ 已课外拓展提高 综合能力提升 7.如图，射线AB交CD于点O,AC=AD,BC 11.如右图，在△ABC中，D =BD,则图中全等三角形的对数是( 是CB延长线上一点，E A.1 B.2 C.3 D.4 是线段AB上一点，连 接DE,且AC=DE, BC=BE,AB=BD (1)求证：AB⊥BC. 第7题图 第8题图 (2)BF平分∠ABC交AC于点F,G是线段 8.如图，已知△ABC的三边都不相等，DE= FB延长线上一点，连接DG,H是线段DG BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角 上一点，连接AH交BD于点K,连接KG.若 形，使所作三角形与△ABC全等.这样的三 KB平分∠AKG,求证：AK=DG+KG. 角形最多可以画出 个 易错点忽视隐藏条件一公共边 9.如图，CA=CB,AD=BD, C M,N分别是CA,CB的中 点.若△ADM的面积为3， 则图中阴影部分的面积为 第9题图 10.(2025一2026滁州检测)如下图，C为BE 上一点，AB=AC,BE=CD (1)请补充一个条件： ,并 用“SSS”证明△ABE≌△ACD, (2)在(1)的条件下，若 ∠BAC=40°，求∠DAE 0 的度数 (3)在(1)的条件下，求证：∠DCE=∠BAC 金60 八年级数学HK版 第4课时其他判定两个三角形全等的条件 要闾梳理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为“角角边”或“AAS” 色课内基础闯关 知识点①直接用“AAS”判定三角形全等 1.(2025一2026淮南期中)如图，AC与BD交 于点O.若AB=DC,要用“AAS”证明 △AOB≌△DOC,还需添加的一个条件可以 是 ( ) A.OA=OD B.OB=OC C.∠A=∠D D.∠AOB=∠DOC 知识点③ 利用“SSA”或“AAA”不能判定三 第1题图 第2题图 角形全等 2.(教材变式)如图，D是AB延长线上一点， 4.如图，点B,F,C,E共线，∠B=∠E,BF= DF交AC于点E,AE=CE,FC∥AB.若 EC.添加一个条件，不能判定△ABC≌ AB=3,CF=5,则BD的长是 △DEF的是 () 知识点②运用“AAS”解决问题 A.AB=DE B.∠A=∠D 3.情境应用小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋 C.AC=DF D.AC∥FD 千.如下图，小丽坐在秋千的起始位置A处， OA与地面MN垂直，OA的延长线交MN 于点F.她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B 处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她. 已知点B距地面的高度BM=DF=1m,点 第4题图 第5题图 B,C到OA的水平距离BD,CE分别为 1.4m和1.8m,∠BOC=90°，点C距地面 易错点错误运用“SSA”判定两个三角形 的高度CN=EF,求此时CN的长. 全等 5.如图，已知∠1=∠2，则不能使△ABD ≌△ACD的条件是 ( A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA 上册第14章 61△ 巴课外拓展提高 综合能力提升 6.如图，在△ABC中，∠ACB 10.项目式学习某数学兴趣小组同学就“测量 =90°，CA=CB,CD是 河两岸A,B两点之间的距离”这一课题， ∠ACB内部的射线且 经过思考讨论，设计了如下方案. ∠BCD<45°，过点A作 课题 测量河两岸A,B两，点之间的距离 AE⊥CD于点E,过点B 第6题图 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 作BF⊥CD于点F.给出下面三个结论： A ①∠EAB=∠FBA;②AB=CF;③EF= 测量方案 AE一BF.其中正确的有 ( 示意图 A.①②B.①③ C.②③ D.①②③ E 7.已知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC= D CD.若点E,B,D到直线l的距离分别为6,3， ①在点B所在河岸同侧的平地上取 4,则图中实线所围成的图形的面积是( 点C和点D,使点A,B,C在同一直 ) A.50 B.62 C.65 D.68 线上，且CD=BC 测量步骤②测得∠C=100°，∠ADC=65. E ③在CD的延长线上取点E,使得 ∠E=15°. ④测得DE的长为15m 第7题图 第8题图 (1)A,B两点之间的距离是 m. 8.如图，点A在DE上，AC=EC.若AB=3, (2)请你说明方案正确的理由. BC=4,∠1=∠2=∠3，则DE的长度为 9.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长 AC至点E,过点E作EF⊥AC,使EF= BC,连接BF交CE于点D. (1)求证：CD=ED. (2)若G是边AC上一点，满足AG=2CD, 连接FG,求证：∠FGE=∠BAC 462 八年级数学HK版 第5课时两个直角三角形全等的判定 要闾梳理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL” 已课内基础闯关 知识点③ 直角三角形全等的综合判定 知识点①直接用“HL”判定三角形全等 3.应用意识(2025一2026合肥瑶海区检测)综 L.如图，BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F.若 合实践课上，老师发给每人一张印有 BE=CF,则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由 Rt△ABC的卡片，如图①，然后要求同学们 是 画一个与Rt△ABC全等的三角形.嘉淇同 A.AAS B.HL C.SAS D.ASA 学先画出了∠MB'N=90°，后续的作图步骤 如图②所示，则能判定Rt△A'B'C'≌ Rt△ABC的依据是 ( 第1题图 变式题图 B B'C'M 第一步 第二步 第三步 图① 变式题(2025一2026滁州定远期中)如 图② 第3题图 图，DC⊥AE,垂足为C,且AC=CD.若 A.SAS B.SSS C.HL D.AAS 要用“HL”证明△ABC≌△DEC,则需添 4.如下图，△ABC中，P为AB上一点，Q为 加的条件是 BC延长线上一点，且PA=CQ.过点P作 知识点②运用“HL”解决问题 PM⊥AC于点M,过点Q作QN⊥AC交 2.情境应用如右图，有 AC的延长线于点N,且PM=QN,连接 两架长度相同的滑梯 PQ交AC边于点D.求证： BC,EF,左边滑梯的 (1)△APM≌△CQN. 高度AC与右边滑梯 B (2)DM=2AC. 水平方向的长度DF相等.若∠CBA=32°， 求∠FED和∠EFD的度数， 上册第14章 3△ 已课外拓展提高 (2)若AB=6,CF=2,求AC的长. 5.下列判定直角三角形全等的方法中，不正确 的是 ) A.两组直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两组锐角相等 色综合能力提升 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点A在线段 10.如下图，四边形ABCD中，∠B=90°，连接 MN上，连接MB,NC并延长交于点P, 对角线AC,且AC=AD.点E在边BC ∠BAM=∠ACN=90°，AN=BM.若∠P 上，连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为 =60°，则∠BAC的度数为 F,且AB=AF. A.30° B.45 C.50 D.60° (1)求证：①∠DAC=∠FAB; MA D ②DF=CE+EF. (2)若AB=BC,∠CDE=20°，求∠CAF P B C Q 的度数. D 第6题图 第7题图 7.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线 MN上，点B,C在直线PQ上，点E在AB 上，AD+BC=7,AD=BE,DE=EC,则 AB的长为 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC 为边作△ACD,满足AD=AC,E为BC上 一点，连接AE,DE,DE交AC于点M.若 AC⊥DE,AB=AM,∠ACB D =22°. (1)∠ADE= M (2)∠BAE= 第8题图 9.如右图，DE⊥AB,交 AB的延长线于点E, DF⊥AC于点F,BD= CD,∠DBE=∠C,连接AD (1)求证：△ADE≌△ADF. 4 八年级数学HK版 第6课时全等三角形的判定与性质的综合 要闾梳理 要证一条边等于另一条边，首先要运用三角形全等的判定方法证明含有那两条边的两个三角形全等，然后 根据全等三角形的性质可得对应边相等（证角的方法同理），有时还需要作辅助线帮助解题，常用的作辅助 线的方法有倍长中线法、截长补短法等 已课内基础闯关 知识点② 文字叙述形式的命题 知识点① 全等三角形的判定与性质的综合 3.(2025一2026六安期中)）小晓在进行三角形 运用 全等的探究时提出命题：①“两边及其中一 1.如图，在四边形ABCD D 边上的中线对应相等的两个三角形全等”； 中，AB=AD,AB⊥AD, ②“两角及其中一角的平分线对应相等的两 AC⊥DC,过点B作BE 个三角形全等” ⊥CA,垂足为E.若CD (1)以上命题是真命题的有 2,CE=4,则BE的长是 (填序号). 第1题图 (2)请选择一个真命题及与之匹配的图形， 2.(2025一2026合肥瑶海区期中)如下图，在 补充完整已知、求证，然后证明， △ABC中，D是BC延长线上一点，满足 CD=AB,过点C作CE∥AB且CE=BC, 连接DE并延长，分别交AC,AB于点 图① 图② F,G. 我选择的命题是 (填序号). (1)求证：△ABC≌△DCE. 已知：如图 (填序号)，△ABC与 (2)若∠B=50°，∠D= △A'B'C'中， 22°，求∠DFC的度数. 求证： 上册第14章 65△ 巴课外拓展提高 已综合能力提升 -0 4.安徽中考特色·双空题如 6.应用意识【问题情境】(1)利用角平分线构 图，在△ABC中，AD为中 造全等三角形是常用的方法.如图①，OP平 线，过点B作BE⊥AD,交 分∠MON,A为OM上一点，过点A作AC AD的延长线于点E,过点C B ⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B.求 E 作CF⊥AD于点F.在DA 第4题图 证：△AOC2△BOC. 的延长线上取一点G,连接GC,使∠G 【类比解答】(2)如图②，在△ABC中，∠B+ =∠BAD ∠BAC=130°，CD平分∠ACB,AE⊥CD (1)若BE=2,则CF的长为 于点E,延长AE交BC于点F,则∠AFC (2)△aE= 的度数为 SAAGC 【实际应用】(3)图③是一块肥沃的三角形土 5.小明发现了一种画角的平分线的方法.如下 地，其中边AB与灌渠相邻，李伯伯想在这块 图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM 地中划出一块直角三角形土地进行水稻试 =ON,OD=OE,DN和EM相交于点C. 验，故进行如下操作：①用量角器取∠ABC的 小明过点O,C画射线OC,就得到OC是 平分线BD;②过点A作AD⊥BD于点D. ∠AOB的平分线.这一结论是否正确？请 已知BC=15,AB=10,△ABC的面积为30. 说明理由. 求△ABD的面积. 图② 图③ 46 八年级数学HK版6.解：(1)①20°50° ②证明：：BD平分∠ABC, 1 ∠CBD=2∠ABC, EF∥BC, ∠FED=∠CBD=∠ABC,∠AFE=∠C ,FG平分∠AFE, ∠EG=号∠AFE-∠ACB, ∴.∠FGD=∠EFG+∠FED -∠ACB+∠ABC 1 -7180-∠A =90-3∠A. (2)点E在线段BD的延长线上的图 形如图所示. ∠FGD-∠A 【解析】(1)①：BD平分∠ABC,∠ABC=40°， ∠CBD=7∠ABC=20 :EF∥BC,∠C=60°， ∴.∠FED=∠CBD=20°，∠AFE=∠C=60 ,FG平分∠AFE, ∠EFG=∠AFE=30 ∴.∠FGD=∠EFG+∠FED=30°+20°=50°. (2)BD平分∠ABC,∠CBD= 2∠ABC. EF∥BC, ∴∠PED=∠CBD=专∠AC,∠BEFC=∠ACB. .∠AFE=180°-∠EFC=180°-∠ACB, FH平分∠AFE, ∠EFH=名∠AFE=90-∠ACB ∴.∠FGD=∠EFH-∠FED =90-3∠ACB-3∠ABC -90-7180-∠A 7.C8.D9.有两个锐角的三角形是直角三角形假 10.解：(1)证明：：CD平分∠BCA,.∠BCD=∠ACD :CD∥EF,AC∥DE,∴.∠BCD=∠BEF,∠DEF= ∠CDE,∠ACD=∠CDE, ∠BEF=∠DEF,即EF平分∠BED. (2)示例：如果EF平分∠BED,AC∥DE,CD∥EF, 那么CD平分∠BCA. 证明：，EF平分∠BED,∴.∠BEF=∠DEF. 18 八年级数学HK版 CD∥EF,AC∥DE, .∠BCD=∠BEF,∠DEF=∠CDE,∠ACD= ∠CDE,∴.∠BCD=∠ACD,即CD平分∠BCA. 11.B12.D13.C14.A 15.C【解析】解不等式2x-5≤0，得x≤2.5， .不等式2x-5≤0的正整数解为1,2， 依题意，得该等腰三角形的两边为1,2 又1十1=2不满足三角形两边之和大于第三边， ∴1不能是等腰三角形的腰，只能是底边， ∴该等腰三角形的三边长分别为2,2,1， .等腰三角形的周长为2十2十1=5. 16.-31(第2空答案不唯一) 第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.B变式题D 2.解：△ABE和△ACF的对应角是∠ABE与∠ACF、 ∠AEB与∠AFC、∠A与∠A:对应边是AE与AF、 BE与CF、AB与AC. △BOF和△COE的对应角是∠BOF与∠COE、 ∠FBO与∠ECO、∠BFO与∠CEO:对应边是BF与 CE、FO与EO、BO与CO. 3.C4.B 5.3或4或5【解析】AB=2,BC=4,∴.2<AC<6. :△DEF的周长为奇数，△ABC和△DEF全等， △ABC的周长为奇数，.AC的长为奇数，AC的 长是3或5.，△ABC和△DEF全等，AB与DE是对 应边，∴.DE=AB=2.当DF=AC时，DF=3或5.当 DF=BC时，DF=4.综上所述，DF的长为3或4 或5. 6.解：(1)，△ABC≌△CDE,CE=25,∴.AC=CE=25. AB=7,BC=24,∴△ABC的周长=AB+BC+AC =7+24+25=56. (2)∠B=90°，.∠ACB+∠BAC=90 :△ABC≌△CDE,∴.∠CAB=∠ECD, .∠ACB+∠ECD=90°，∴.∠ACE=90°. :AC=CE=25.△ACE的面积=2×25×25 、625 2 14.2三角形全等的判定 第1课时两边及其夹角分别相等的两个三角形 1.A2.∠ABC=∠BAD 3.解：(1)一 (2)证明：：AB∥DE,.∠E=∠ABE.,∠A= ∠ABE,∴.∠A=∠E. (BA=BE, 在△ABC与△EBD中，∠A=∠E, AC=ED, .△ABC≌△EBD(SAS),.∠ABC=∠EBD .∠ABE=∠CBD. 4.8【解析】.O为AD,BC的中点，∴.OD=OA,OC= OD=OA, OB.在△COD和△BOA中，∠COD=∠BOA, OC=OB, ∴.△COD≌△BOA(SAS),.AB=CD=8cm. 5.解：正确.理由如下： (AC=DC. 在△ABC与△DBC中，∠ACB=∠DCB, BC=BC, .△ABC≌△DBC(SAS),.AB=DB. 故小明的方法正确 6.D 7.D【解析】根据题意，得AP=2tcm,BQ=txcm,PB =(12-2t)cm.:∠A=∠B=60°，.当AP=BP,AC =BQ时，△APC≌△BPQ(SAS),即21=12-2t,9= tx,解得t=3,x=3;当AP=BQ,AC=BP时， △APC≌△BQP(SAS),即2t=tx,9=12-2t,解得x =2,t=1.5.综上所述，x的值为3或2. 8.(1)140°(2)180°-a【解析】如图，D 设AC,BE相交于点O. ,∠BAD=∠CAE=a,∴∠DAC= B ∠BAE.'AD=AB,AC=AE,.∴.△ADC≌△ABE (SAS),∴.∠ACD=∠E.,∠DFE=∠ACD+ ∠FOC,∠FOC=∠AOE,∴.∠DFE=∠AOE+∠E. ,∠AOE+∠E=180°-∠CAE,∠DFE=180°- ∠CAE=180°-a.当a=40°时，∠DFE=180°-40° =140°. 9.证明：·∠BAE=∠CAD, ∴.∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD, 即∠DAE=∠CAB. (AD=AC, 在△ADE和△ACB中，∠DAE=∠CAB, AE=AB. ∴.△ADE≌△ACB(SAS),.DE=CB. 10.解：(1)BQ=CP.证明：∠QAP=∠BAC, ∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,∴.∠QAB= ∠PAC.由旋转的性质，得AQ=AP.在△AQB和 (AQ=AP, △APC中，∠QAB=∠PAC,∴.△AQB≌△APC AB=AC, (SAS),.'.BQ=CP. (2)BQ=CP.证明：∠QAP=∠BAC,.∠QAP+ ∠BAP=∠BAC+∠BAP,∴.∠QAB=∠PAC.由 旋转的性质，得AQ=AP.在△AQB和△APC中， AQ=AP, ∠QAB=∠PAC,∴.△AQB≌△APC(SAS),..BQ AB=AC, =CP. 第2课时两角及其夹边分别相等的两个三角形 1.A2.B3.∠B=∠E 4.解：(1)∠1=∠2同角的余角相等∠ADB= ∠CEA∠1=∠2ASA (2)由(1)，得△ABD≌△CAE, ..BD=AE=9,AD=CE=3, .DE=AE-AD=9-3=6,DE的长为6. 5.C6.160 7.B【解析】①先确定直线AB,过点B作AB⊥BF于 点B;②在BF上取C,D两点，使得BC=DC,故A选 项说法正确，不符合题意； ③过点D作DE⊥BF于点D: ④作射线AM交DE于点M,故B选项说法错误，符合 题意； ⑤测量DM的长度，即AB的长，故C选项说法正确， 不符合题意. BF⊥AB,DE⊥BF,.∠ABC=∠MDC=90°. BC=DC,∠ACB=∠MCD, .△ABC≌△MDC(ASA),.AB=MD, ∴.该方案运用的判定方法是ASA,故D选项说法正 确，不符合题意. 8.解：不正确. 理由：：在△ABC与△ACD中， ∠BAC=∠CAD,∠ACB=∠D=90°，AC=AC, 但相等的两边不是相等角的夹边，即AC与AC不是 △ABC和△ACD的对应边. 在△ABC中，∠BAC与∠ACB的夹边是AC,在 △ACD中，∠CAD与∠D的夹边是AD, 而AC≠AD, ,∴，根据全等三角形的判定定理，条件不成立，不能判定 △ABC≌△ACD. 9.解：(1)△ABE≌△CAD.证明如下： ,AB∥CD,.∠BAE=∠ACD. I∠ABE=∠CAD, 在△ABE和△CAD中，AB=CA, ∠BAE=∠ACD, ∴.△ABE≌△CAD(ASA). (2)△ABE≌△CAD,∠AEB=∠D=105°， ∴.∠EBC+∠ECB=105. :BF平分∠ABC,∠ABF=∠FBC=号∠ABC ,AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, .∴.∠AEB=∠ACB+∠FBC=3∠ABE=105°， .∠ABE=35°，∠ACB=70°. ,∠CAD=∠ABE=∠CBE,∠AEF=∠BEC, .∴.∠AFB=∠ACB=70°. 10.证明：(1)CD⊥AB,BE⊥AC, ∴.∠BDF=∠CDA=∠AEB=90°， ∴.∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°， ∴.∠DBF=∠DCA. ∠DBF=∠DCA, 在△BDF和△CDA中，BD=CD, ∠BDF=∠CDA, ∴.△BDF≌△CDA(ASA),.BF=CA. (2)BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E, ∴.∠ABE=∠CBE,∠AEB=∠CEB=90°. 上册详解详析 19 ∠ABE=∠CBE, 在△ABE和△CBE中，BE=BE, ∠AEB=∠CEB, △ABE≌△CBE(ASA),.AE=CE=2CA. 1 :BF=CACE=B即. 第3课时三边分别相等的两个三角形 1.B2.D3.110°4.△AFG SSS 5.解：小华的发现正确. AB=AC, 理由：在△ADB和△ADC中，BD=CD, AD=AD, ,.△ADB≌△ADC(SSS), ∴.∠BAD=∠CAD,.AD平分∠BAC 6.A7.C8.4 9.6【解析】如图所示，连接CD.,M,N 分别是CA,CB的中点，∴.SAcM= S△AnN=2S△ACcD=3,S△CDN=S△BmN= 2S△DS△Aem=6.'AC=BC,AD 1 =BD,CD=CD,∴.△ACD≌△BCD(SSS),∴.SAD 1 =SAND=6..SACDN=2S△n=3.SmB=SACDM十 SACDN=6. 10.解：(1)AE=AD (AE-AD. 证明：在△ABE和△ACD中，AB=AC, BE=CD, ,'.△ABE≌△ACD(SSS) (2),△ABE≌△ACD,∴.∠BAE=∠CAD ,∠BAE=∠BAC+∠CAE,∠CAD=∠DAE+ ∠CAE,∴.∠DAE=∠BAC=40. (3)证明：，△ABE≌△ACD,.∠B=∠ACD '∠BAC+∠B+∠ACB=∠DCE+∠ACD+ ∠ACB=180°，.∠DCE=∠BAC. (AC=DE, 11.证明：(1)在△ACB和△DEB中，BC=BE, AB=DB. ,.△ACB≌△DEB(SSS),∴.∠ABC=∠DBE. ,D是CB延长线上一点， ·∠ABC=∠DBE=18O =90°，即AB⊥BC. 2 (2)如图，作BM平分∠ABD交 AK于点M. ,BM平分∠ABD,BF平分 ∠ABC,∠ABC=∠DBE=90° KB平分∠AKG, ∴.∠ABM=∠MBD=∠ABF= ∠CBF=∠KBG=45°，∠MKB=∠GKB. 在△BMK和△BGK中， 20 八年级数学HK版 ∠MBK=∠GBK, BK=BK, ∠MKB=∠GKB, ∴.△BMK≌△BGK(ASA), .BM=BG.MK=GK. (AB=DB, 在△ABM和△DBG中，∠ABM=∠DBG, BM=BG. ∴.△ABM≌△DBG(SAS),∴.AM=DG .AK=AM+MK...AK=DG+KG. 第4课时其他判定两个三角形全等的条件 1.C2.2 3.解：由题意可知，∠CEO=∠ODB=90°，OB=OC,BD =1.4m,CE=1.8m. :∠BOC=90°， ∴.∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°， .∠COE=∠OBD. ∠CEO=∠ODB, 在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD, OC=BO. .△COE≌△OBD(AAS), .'.CE=OD=1.8 m,OE=BD=1.4 m, .DE=OD-OE=1.8-1.4=0.4(m), .CN=EF=DE+DF=0.4+1=1.4(m). 故CN的长为1.4m. 4.C 5.B【解析】A.添加AB=AC可利用“SAS”判定 △ABD≌△ACD,故此选项不符合题意；B.添加BD =CD不能判定△ABD≌△ACD,故此选项符合题意； C.添加∠B=∠C可利用“AAS”判定△ABD≌ △ACD,故此选项不符合题意；D.添加∠BDA= ∠CDA可利用“ASA”判定△ABD≌△ACD,故此选 项不符合题意. 6.B【解析】，AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F, .AE∥BF,∠AEC=∠CFB=90°，.∠EAB= ∠FBA,故结论①正确.，∠ACB=90°， ∴.∠CAE=∠BCF=90°-∠ACF.在△CAE和 I∠CAE=∠BCF, △BCF中，∠AEC=∠CFB, AC=CB. .△CAE≌△BCF(AAS),∴.AE=CF,CE=BF, ∴.EF=CF一CE=AE一BF,故结论③正确. :AB>BC,BC>CF,AB>CF,故结论②错误. 综上所述，正确的结论有①③. 7.A【解析】如图，过点E,B,D分 别向直线！作垂线，垂足分别为 F,G,H,则EF=6,BG=3,DH =4. EA⊥AB,.∠EAF+∠BAG=90° EF⊥AF,BG⊥AG, ∴.∠FEA+∠EAF=90°，∠EFA=∠BGA=90°， ∴.∠BAG=∠FEA. I∠EFA=∠AGB, 在△EFA与△AGB中，{∠FEA=∠GAB, EA=AB. .∴.△EFA≌△AGB(AAS), ∴.AF=BG=3,EF=AG=6. 同理可证△BGC≌△CHD, ∴.GC=HD=4,BG=CH=3, ∴图中实线所围成的图形的面积=S形EFD一2S△AE 5A0D7×4+6)X3+6+4+3)-2X7 3-2×2×4X3=50. 8.3【解析】，∠1=∠2，∠AFD=∠BFC,∴.∠ =∠D. :∠2=∠3，∠2+∠ACD=∠3+∠ACD, 即∠ACB=∠ECD. |∠B=∠D, 在△ACB和△ECD中，∠ACB=∠ECD, AC=EC. ∴.△ACB≌△ECD(AAS), ..AB=ED..AB=3,..DE=3. 9.证明：(1)，EF⊥AC,∠ACB=90°， .∠DCB=∠E=90°. ∠E=∠DCB, 在△FDE和△BDC中，∠FDE=∠BDC, EF=CB, .△FDE≌△BDC(AAS),.CD=ED (2).CD=ED...CE=2CD. AG=2CD,.'.AG=CE, ∴.AG+GC=CE+GC,即AC=GE. 又'∠ACB=∠E,CB=EF, .△ACB≌△GEF(SAS),∴.∠FGE=∠BAC. 10.解：(1)15 (2)理由：.∠C=100°，∠ADC=65°， .∠A=180°-∠C-∠ADC=15°. ∠E=15°，∠A=∠E. ∠A=∠E, 在△DCA和△BCE中，∠C=∠C, CD=CB, ∴.△DCA≌△BCE(AAS),∴.AC=EC. ,BC=CD,∴.AC-BC=CE-CD,即AB=DE, ∴.测得DE的长就是A,B两点之间的距离，即15m 第5课时两个直角三角形全等的判定 1.B 变式题AB=DE【解析】，DC⊥AE,垂足为C, ·∠ACB=∠DCE=90°， 在R△ABC和R△DEC中，AC=DC, AB=DE, ∴.Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). 2.解：在R△ABC和R△DEF中，AC=DF, (BC=EF, .Rt△ABC≌Rt△DEF(HL), ∠CBA=∠FED. :∠CBA=32°，∠FED=32, .∠EFD=90°-∠FED=58. 3.C 4.证明：(1)在R△APM与R△CQN中，PM=QN, PA=QC. .∴.Rt△APM≌Rt△CQN(HL). (2)由(1)可知，△APM≌△CQN, ∴.AM=CN,PM=QN. :PM⊥AC,QN⊥AC,.∠PMD=∠QND=90°. ∠PMD=∠QND=90°， 在△PDM与△QDN中，{∠PDM=∠QDN, PM=QN, .△PDM≌△QDN(AAS),∴.DM=DN, .AC=AM+DM+CD=CN+CD+DM=DN+ DM=2DM, .DM-TAC. 5.D 6.D【解析】：∠BAM=∠ACN=90°，∴.在Rt△ABM 0 K AGAN中，.R△A8 R△CAN(Hl∴∠M=∠N=2180°-∠P)=号 ×(180°-60)=60°，∠CAN=90°-∠N=90°-60 =30°，.∠BAC=180°-∠BAM-∠CAN=180°- 90°-30°=60°. 7.7 8.(1)22°(2)34°【解析】(1)：AC⊥DE,∠ABC= 90°，.∠ABC=∠AMD=90. :AD=AC,AB=AM,.Rt△ADM≌Rt△ACB (HL),∴.∠ADE=∠ACB=22. (2).∠ACB=22°，.∠BAC=90°-∠ACB=68°. 同(I)可证明Rt△ABE≌Rt△AME, ∴∠BAE=CAE=g∠BAC=3 9.解：(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠E=∠DFC=90°. 又BD=CD,∠DBE=∠C .△DBE≌△DCF(AAS),∴DE=DF 在R△ADE和R△ADF中，DE=DF, (AD=AD, ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). (2)'△DBE≌△DCF,△ADE≌△ADF, ∴.BE=CF=2,AE=AF. AB=6,..AF=AE=AB+BE=8. ,.AC=AF+CF=8+2=10. 10.解：(1)证明：①：∠B=90°，AF⊥DE, ∴.∠AFD=∠ABC=90°. 在R△ADF和R△ACB中，AF=AB, (AD=AC, .Rt△ADF≌Rt△ACB(HL), .∠DAF=∠CAB, 上册详解详析 21△ .∠DAF+∠FAC=∠CAB+∠FAC, 即∠DAC=∠FAB. ②如图，连接AE .∠B=90°，AF⊥DE, .∠AFE=∠B=90°」 在Rt△AFE和Rt△ABE中， (AE=AE, AF=AB. .Rt△AFE≌△Rt△ABE(HL),.EF=EB 由①可知，Rt△ADF≌Rt△ACB ..DF=CB=CE+BE=CE+EF. (2),AB=BC,∠B=90°， .∠BAC=∠BCA=45°. 由①可知，Rt△ADF≌Rt△ACB, .∠DAF=∠CAB=45°， .∠ADF=90°-45°=45°. ,∠CDE=20°，∴.∠CDA=20°+45°=65. 又AC=AD,∴.∠DCA=∠CDA=65°， .∠DAC=180°-65°-65°=50°， ∴∠CAF=∠DAC-∠DAF=50°-45°=5. 第6课时全等三角形的判定与性质的综合 1.6【解析】：AB⊥AD,AC⊥DC,BE⊥CA,∴.∠ACD =∠BEA=∠DAB=90°，.∠D+∠DAC=90°， ∠DAC+∠EAB=90°，.∠D=∠EAB.:AD= BA,∴.△ADC≌△BAE(AAS),.AC=BE,DC= AE=2..'CE=4,.BE=AC=AE+CE=2+4=6. 2.解：(1)证明：CE∥AB,.∠B=∠DCE. BC=CE, 在△ABC和△DCE中，∠B=∠DCE, BA=CD, .△ABC≌△DCE(SAS). (2):△ABC≌△DCE,∠B=50°，∠D=22°， .∠A=∠D=22°，∠AGF=∠B+∠D=50°+22°= 72°，∠DFC=∠AFG=180°-∠A-∠AGD=86. 3.解：(1)①② (2)(答案不唯一)①①AB=A'B',BC=B'C', AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AD= A'D'△ABC≌△A'B'C 证明：，AD,A'D分别是△ABC和△A'B'C的中线， -BC.B'p-Bc 1 BC=B'C,∴BD=B'D' (AB=A'B', 在△ABD和△AB'D'中，BD=B'D', AD=A'D', .△ABD≌△A'B'D'(SSS),∠ABC=∠A'B'C' (AB=A'B', 在△ABC和△A'B'C'中，∠ABC=∠A'B'C', BC=B'C', △ABC≌△A'B'C(SAS). 4.1)2(2)2 【解析】(1).AD是△ABC的中线， 22 八年级数学HK版 .BD=CD. BE⊥AD,CF⊥AD, ∴∠E=∠CFD=∠CFG=90° ∠E=∠CFD, 在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF, BD=CD, ∴.△BED≌△CFD(AAS),∴.BE=CF=2. ∠CFG=∠E, (2)在△GCF和△ABE中，∠G=∠BAE CF=BE. ∴△GCF≌△ABE(AAS),.GF=AE, ..GF-AF=AE-AF,..AG=FE. :△BED≌△CFD.-DE=DF=FE=AG. 1 DE·BE=×AGCF=s 1 .S△BDE= 5.解：正确.理由如下： OE=OD, 在△MOE和△NOD中，3∠MOE=∠NOD, OM=ON, '.△MOE≌△NOD(SAS), .∠OME=∠OND. .'OM=ON,OD=OE,∴.DM=EN」 I∠DCM=∠ECN, 在△MDC和△NEC中，∠CMD=∠CNE, DM=EN, .△MDC≌△NEC(AAS),∴.DC=EC. (DO-EO. 在△DOC和△EOC中，CO=CO, DC=EC, ∴.△DOC≌△EOC(SSS),∴.∠DOC=∠EOC, .OC是∠AOB的平分线. 6.解：(1)证明：OP平分∠MON, ∴.∠AOC=∠BOC :AC⊥OP,∴.∠ACO=∠BCO=90. 又.OC=OC,∴.△AOC≌△BOC(ASA) (2)65 (3)如图所示，延长AD交BC于点E 同(1)可得，△ABD≌△EBD, ∴.AB=EB=10,AD=ED .BC=15, ∴.EC=BC-BE=15-10=5, ,CE51.S△AcE=1 小BE=10-2SAE= 1 :△ABC的面积为30， .SAACE十S△AE=30, 5e=0X号-20 .AD=DE, ∴△ABD的面积=号Sa=10,