专题08 绝对值中的化简求值问题探究【单元重难点题型讲练】2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

专题08 绝对值中的化简求值问题探究 【压轴题常考题型梳理】 【题型01】 已知范围化简绝对值 【题型02】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【题型03】 解绝对值方程 【题型04】 利用绝对值的非负性求最值 【题型05】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【题型06】 用分类讨论思想化简绝对值的除法 【题型07】 利用绝对值的几何意义化简求值 【题型01】 已知范围化简绝对值 【例1】（2024-2025七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 【变式1-1】（2024-2025七年级上·全国·期末）已知，，化简应为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的性质和已知条件，去掉绝对值即可得出答案． 【解答】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（2023-2024七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查绝对值的性质，当时，；当时，，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．由，根据绝对值的性质可得，然后然后合并同类项即可求解． 【解答】解：， ，， ． 故答案为：4 【变式1-3】（2023-2024七年级上·重庆渝北·期末）已知，化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的有关计算，整式的加减等知识，先根据已知条件，判断和的正负，再根据绝对值的性质进行化简即可，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【解答】解：， ，， ， 故答案为：． 【题型02】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【例2】（2023-2024七年级上·广东佛山·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)由图可得：______（用“”“”“”填空）； (2)由图可得：______0，______0，______0（用“”“”“”填空）； (3)结合（2）化简：． 【答案】(1) (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值和整式的加减计算： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）根据数轴可得，据此判断式子符号即可； （3）根据（2）所求，先去绝对值，再去括号，最后合并同类项即可． 【解答】（1）解：由数轴上点的位置可知， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 故答案为：；；； （3）解：∵， ∴ 【变式2-1】（2024-2025七年级上·重庆渝北·期中）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查看有理数与数轴，根据数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【解答】解：由数轴可得，，， ∴，，， 故正确，②错误； ∵， ∴， 即，故④正确； 综上，正确的个数有个， 故选：． 【变式2-2】（2024-2025七年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，已知有理数，，在数轴上位置如图所示，化简式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值，有理数的加减法法则及整式的加减运算，根据数轴可得，，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 【变式2-3】（2023-2024七年级上·云南保山·期末）已知三个有理数在数轴上的位置如图所示． (1)______0，______0；（填“>”或“<”） (2)如果互为相反数，则______； (3)化简： 【答案】(1)； (2) (3)． 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减． （1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解． 【解答】（1）解：由数轴可知，，，则 ，， 故答案为：，； （2）解：∵、互为相反数， ∴． 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，，， ． 【题型03】 解绝对值方程 【例3】（2024-2025七年级上·贵州遵义·期末）规定：，如，下列结论中正确的是 （   ） A．若则的值为8或2 B．若则 C．若取得最小值时，则的取值范围为 D．若则 【答案】B 【分析】本题考查绝对值方程，代数式求值；根据绝对值的性质计算可得x的值，可对A选项进行判断；根据绝对值的性质去绝对值计算可对B选项进行判断；根据绝对值的几何意义可对C选项进行判断；利用绝对值的非负数性质可求出x，y的值，可对D选项进行判断；综上即可得答案． 【解答】解：A、若，则， ∴或，故本选项错误； B、， 当时，，故本选项正确； C、， ∵当时，由最小值， ∴取得最小值时，y的取值范围是，故本选项错误； D、若，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故本选项错误． 故选：B 【变式3-1】（2023-2024七年级·河南周口·期中）方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，得到或，分别解一元一次方程，即可求解， 本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程． 【解答】解：∵， ∴或， 解得：或， 故选：C． 【变式3-2】（2024-2025七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【答案】(1)3 (2)，3或 (3)3 (4)或3 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可； （2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （3）由点在线段上，可得，计算求解即可； （4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【解答】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得：或， 故答案为：或3； （3）解：∵点在线段上， ， 故答案为：3． （4）解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3， 故答案为：或3． 【变式3-3】（2023-2024七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【答案】探究：、1、或；应用：或；拓展：． 【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【解答】探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 【题型04】 利用绝对值的非负性求最值 【例4】（2024-2025七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 【变式4-1】（2023-2024七年级·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 【解答】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C． 【变式4-2】（2024-2025七年级上·江苏扬州·期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示在数轴上，数到，，的距离之和，则可知当时，取得最小值为，则问题随之得解. 【解答】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a， 结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2； 即当时，取得最小值，为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为． 故选：． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，理解表示在数轴上数到，，的距离之和，是解答本题的关键． 【变式4-3】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3 (2)1，2 【分析】本题考查绝对值； （1）有绝对值的非负性可以得出，代入即可求出答案． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【解答】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是， 故答案为：1，． 【题型05】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【例5】（2023-2024七年级上·广东东莞·期末）若，. (1)分别直接写出和的值； (2)如果，求的值. 【答案】(1)， (2)或1 【分析】本题考查绝对值，代数式求值： （1）根据绝对值的定义直接求解； （2）根据确定和的值，代入计算． 【解答】（1）解：，， ，； （2）解：，，， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值为或1． 【变式5-1】（2024-2025七年级上·北京·期中）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝ ． 【答案】-4 【分析】利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c=0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可． 【解答】解：∵abc＞0，a+b+c=0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m=-1-2+3=0； 当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m=1-2-3=-4， ∴x+y=0+（-4）=-4． 故答案为：-4． 【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【解答】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 【变式5-3】（2024-2025七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【分析】（1）根据，，，得解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【解答】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 【题型06】 用分类讨论思想化简绝对值的除法 【例6】（2024-2025七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 【变式6-1】（2024-2025七年级上·四川南充·期中）下列结论：①若，则；②若，则，③若，则，④若，则；⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或．其中，错误的结论是 （填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【解答】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：或或或， 当时，原式； 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：②③④． 【变式6-2】（2023-2024七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【解答】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点评】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 【变式6-3】（2023-2024七年级上·江苏扬州·期末）特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)，0，2 (3) 【分析】本题考查了根据绝对值的含义化简分式： （1）将数值代入进去即可求得结果； （2）根据关系式分三种情况即可求得结果； （3）根据一般化研究可得到结果； 正确计算是解题的关键． 【解答】（1）解：当时，， 当时，， 若，则当时，，当时，， ∴若，则， 故答案为：1，，； （2）解：∵，， ∴，，， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 综上的值为，0，2； （3）解：由（1）可得若，则当时，，当时，， ∵，，，……，，这2024个数中有个正数， ∴有个负数， ∴， 故答案为：． 【题型07】 利用绝对值的几何意义化简求值 【例7】（2024-2025七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【解答】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 【变式7-1】（2024-2025七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)有最小值，最小值为4 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）将改写成规定形式：，再根据绝对值的几何意义求解； （2）将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴，分类讨论求解； （3）的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴分析求解即可． 【解答】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下： 就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现： 当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4， 所以有最小值，最小值为4． 【变式7-2】（2023-2024七年级上·云南昆明·期末）“距离”再探究． 【概念理解】 “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上，点A，B表示的数分别是x，2，则A，B两点之间的距离可以表示为 ． A．    B．   C．    D． (2)【数学思考】数轴上，点C，D，E表示的数分别是2，4，10．点P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … … ① ② 9 10 … ①处应填 ．②处应填 ．当 时，取最小值． (3)【实际应用】在一条笔直的道路l上依次建有A，B，C，D四个停车场，其中B停车场靠近风景区，现准备在道路l上修建一个充电站P，请为充电站P选择一个合理的建造地点，并简要说明理由． 【答案】(1)D (2)（Ⅰ）2（Ⅱ）9；8；4 (3)点P在点B停车场最合适．理由：由奇中点偶中段可知，点P在线段BC上任何一点都可以使点P到四点距离之和最短，又由于点B停车场靠近风景区，所以点P在点B停车场最合适． 【分析】本题考查数轴上两点的距离，化简绝对值，整式的加减，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答． （1）由已知直接可得答案； （2）（Ⅰ）是表示x的点P到表示2和4的点的距离之和，分类讨论根据绝对值的性质即可得答案； （Ⅱ）将，分别代入即可求得空1和空2；分类讨论根据绝对值的性质即可得空3答案； （3）利用（2）的结论即奇中点偶中段解决即可． 【解答】（1）由A，B两点之间的距离表示为． 故选：D． （2）（Ⅰ）是表示x的点P到表示2和4的点的距离之和， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当时，的最小为2； 故答案为：2． （Ⅱ）当时，； 当时，； 表示数轴上有理数x所对应的点P到2、4和10所对应的点的距离和， 当时，原式； 当时，原式， ∴ 当时，原式， ∴； 当时，原式， ∴； ∴当时，有最小值． 故答案为：9；8；4． （3）点P在点B停车场最合适． 理由：由奇中点偶中段可知，点P在线段上任何一点都可以使点P到四点距离之和最短，又由于点B停车场靠近风景区，所以点P在点B停车场最合适． 【变式7-3】（2023-2024七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【解答】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 绝对值中的化简求值问题探究 【压轴题常考题型梳理】 【题型01】 已知范围化简绝对值 【题型02】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【题型03】 解绝对值方程 【题型04】 利用绝对值的非负性求最值 【题型05】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【题型06】 用分类讨论思想化简绝对值的除法 【题型07】 利用绝对值的几何意义化简求值 【题型01】 已知范围化简绝对值 【例1】（2024-2025七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-1】（2024-2025七年级上·全国·期末）已知，，化简应为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023-2024七年级上·广东梅州·期中）若，则 ． 【变式1-3】（2023-2024七年级上·重庆渝北·期末）已知，化简的结果是 【题型02】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【例2】（2023-2024七年级上·广东佛山·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)由图可得：______（用“”“”“”填空）； (2)由图可得：______0，______0，______0（用“”“”“”填空）； (3)结合（2）化简：． 【变式2-1】（2024-2025七年级上·重庆渝北·期中）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】（2024-2025七年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，已知有理数，，在数轴上位置如图所示，化简式子的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023-2024七年级上·云南保山·期末）已知三个有理数在数轴上的位置如图所示． (1)______0，______0；（填“>”或“<”） (2)如果互为相反数，则______； (3)化简： 【题型03】 解绝对值方程 【例3】（2024-2025七年级上·贵州遵义·期末）规定：，如，下列结论中正确的是 （   ） A．若则的值为8或2 B．若则 C．若取得最小值时，则的取值范围为 D．若则 【变式3-1】（2023-2024七年级·河南周口·期中）方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】（2024-2025七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【变式3-3】（2023-2024七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【题型04】 利用绝对值的非负性求最值 【例4】（2024-2025七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023-2024七年级·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式4-2】（2024-2025七年级上·江苏扬州·期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024-2025七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 【题型05】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【例5】（2023-2024七年级上·广东东莞·期末）若，. (1)分别直接写出和的值； (2)如果，求的值. 【变式5-1】（2024-2025七年级上·北京·期中）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝ ． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【变式5-3】（2024-2025七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【题型06】 用分类讨论思想化简绝对值的除法 【例6】（2024-2025七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．6 D．24 【变式6-1】（2024-2025七年级上·四川南充·期中）下列结论：①若，则；②若，则，③若，则，④若，则；⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或．其中，错误的结论是 （填写序号） 【变式6-2】（2023-2024七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【变式6-3】（2023-2024七年级上·江苏扬州·期末）特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 【题型07】 利用绝对值的几何意义化简求值 【例7】（2024-2025七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【变式7-1】（2024-2025七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式7-2】（2023-2024七年级上·云南昆明·期末）“距离”再探究． 【概念理解】 “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上，点A，B表示的数分别是x，2，则A，B两点之间的距离可以表示为 ． A．    B．   C．    D． (2)【数学思考】数轴上，点C，D，E表示的数分别是2，4，10．点P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … … ① ② 9 10 … ①处应填 ．②处应填 ．当 时，取最小值． (3)【实际应用】在一条笔直的道路l上依次建有A，B，C，D四个停车场，其中B停车场靠近风景区，现准备在道路l上修建一个充电站P，请为充电站P选择一个合理的建造地点，并简要说明理由． 【变式7-3】（2023-2024七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 学科网（北京）股份有限公司 $