7.2.2复数的乘、除运算导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2　复数的乘、除运算 【课标要求】　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3. 会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题． 【导学】 学习目标一　复数的乘法运算 　师问：(1) 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ (2)类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？ 生答： 例1 计算下列各题： (1)； (2)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 总结：(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简． (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等． 　 跟踪训练1　(1)若＝(3＋i)(2－i)，则z＝(　　) A．5＋i B．7＋i C．5－i D．7－i (2)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是实数，则实数a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 学习目标二　复数的除法运算 　师问：类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 生答： 例2 计算： (1)； (2). 两个复数代数形式除法运算的一般步骤 跟踪训练2　(1)若复数z满足z(1＋i)＝4－3i，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(多选)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部是1 B．在复平面内对应点落在第二象限 C．z(1－i)＝5－3i D．z 学习目标三　复数范围内的解方程问题 　师问：对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)，在实数范围内，当Δ＝b2－4ac<0时，方程无解，那么在复数范围内还是无解吗？ 生答： 例3 已知z＝2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 总结：与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解. 根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用． 跟踪训练3　已知1＋2i是关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【导练】 1．(2－i)(1＋i)＝(　　) A．3＋i B．1－2i C．3－i D．3 2．若复数z＝，则＝(　　) A．－i B．i C．－i D．i 3．设z1＝3＋2i，z2＝1＋mi(其中i为虚数单位)，若z1z2为纯虚数，则实数m＝(　　) A． B．－ C．－ D． 4．在复平面内，复数对应的点位于第______象限． 【导思】 (多选)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A．若|z·(2＋i)|＝，则z·＝2 B．若|z|＝1，则的最大值为3 C．方程z2－5|z|＋6＝0在复数集中有6个解 D．若a＝0，b＝1，则z＋z2＋z3＋…＋z2 010＝1 7．2.2　复数的乘、除运算 导　学 学习目标一　生答：(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)①交换律：z1z2＝z2z1；②结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 例1　解析：(1)＝2－2＝－5. (2)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋i2＋4i＝5＋4i. (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝9－12i＋33i－44i2＋2i＝53＋23i. 跟踪训练1　解析：(1)因为＝(3＋i)(2－i)＝7－i，所以z＝7＋i.故选B. (2)(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i－ai2＝1＋a＋(a－1)i，它是实数，则a－1＝0，解得a＝1.故选C. 答案：(1)B　(2)C 学习目标二　生答：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果， 即i(c＋di≠0)． 例2　解析：(1)＝－i. (2)方法一　原式＝+＝i6＋＝－1＋i. 方法二　原式＝＝i6＋＝－1＋i. 跟踪训练2　解析：(1)因为z(1＋i)＝4－3i，所以z＝i， 所以复数z在复平面内所对应的点为，位于第四象限．故选D. (2)由题意得z＝＝4＋i，对于A：z的虚部是1，故A正确；对于B：＝4－i，在复平面内对应点为(4，－1)落在第四象限，故B错误；对于C：z(1－i)＝(4＋i)(1－i)＝4－4i＋i＋1＝5－3i，故C正确；对于D：z＝(4＋i)(4－i)＝42－i2＝17，故D错误．故选AC. 答案：(1)D　(2)AC 学习目标三　生答：在复数范围内有解，解为 x1＝. 例3　解析：因为z＝2＋i是方程x2＋px＋q＝0的一个根， 所以(2＋i)2＋p(2＋i)＋q＝0， 即3＋q＋2p＋(p＋4)i＝0， 所以解得 所以方程为x2－4x＋5＝0， 因为x1＋x2＝4， 所以方程的另一个根是x＝2－i. 跟踪训练3　解析：因为1＋2i是关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根，所以(1＋2i)2－2(1＋2i)＋m＝0，整理得m－5＝0即m＝5.故选D. 答案：D 导　练 1．解析：由题意可得(2－i)(1＋i)＝2＋i－i2＝3＋i.故选A. 答案：A 2．解析：由z＝i，得i.故选C. 答案：C 3．解析：z1z2＝(3＋2i)(1＋mi)＝3＋3mi＋2i－2m＝3－2m＋(3m＋2)i，因为z1z2为纯虚数，所以有⇒m＝.故选D. 答案：D 4．解析：因为i， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 答案：四 导　思 解析：对于A，由z＝a＋bi(a，b∈R)， 可得z(2＋i)＝(a＋bi)(2＋i)＝2a＋2bi＋ai－b＝(2a－b)＋(2b＋a)i， |z(2＋i)|＝，化简得a2＋b2＝2， 所以z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝2，故A正确； 对于B，由＝1＋＝3，故B正确； 对于C，由方程z2－5|z|＋6＝0，可得a2－b2＋2abi－6＝0，所以 当a＝0时，可得－b2－5＋6＝0，解得b＝±1， 当b＝0时，可得a2－5＋6＝0，解得a＝±2或a＝±3， 所以方程z2－5|z|＋6＝0有6个解，故C正确； 对于D，由a＝0，b＝1，可得z＝i，所以z＋z2＋z3＋…＋z2 010＝i＋i2＋i3＋…＋i2 010＝＝－1＋i，故D错误．故选ABC. 答案：ABC 学科网（北京）股份有限公司 $