7.2.2复数的乘、除运算导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2　复数的乘、除运算

【课标要求】　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3. 会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题．

【导学】

学习目标一　复数的乘法运算

　师问：(1) 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？

(2)类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？

生答：

 

 

例1 计算下列各题：

(1)；

(2)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；

(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结：(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．

(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．

　

 

跟踪训练1　(1)若＝(3＋i)(2－i)，则z＝(　　)

A．5＋i    B．7＋i

C．5－i    D．7－i

(2)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是实数，则实数a＝(　　)

A．－1    B．0

C．1    D．2

学习目标二　复数的除法运算

　师问：类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？

生答：

 

 

例2 计算：

(1)；

(2).

 

 

 

 

 

 

 

两个复数代数形式除法运算的一般步骤

跟踪训练2　(1)若复数z满足z(1＋i)＝4－3i，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

(2)(多选)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　)

A．z的虚部是1

B．在复平面内对应点落在第二象限

C．z(1－i)＝5－3i

D．z

学习目标三　复数范围内的解方程问题

　师问：对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)，在实数范围内，当Δ＝b2－4ac<0时，方程无解，那么在复数范围内还是无解吗？

生答：

 

 

 

 

例3 已知z＝2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．

 

 

 

 

 

总结：与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解. 根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．

跟踪训练3　已知1＋2i是关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根，则m＝(　　)

A．2    B．3

C．4    D．5