7.2.2复数的乘、除运算导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2 课时2 复数的乘、除运算 【学习目标】 1.掌握复数代数形式的乘法与除法运算,并会简单应用.(数学抽象) 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律,掌握虚数单位“i”的幂值的周期性,并能应用周期性进行化简与计算.(数学运算、逻辑推理) 3.掌握共轭复数的运算性质,并能运用其解决实系数一元二次方程在复数范围内的解集问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.复数的加、减运算类似于多项式的加、减运算,复数相乘是否类似于多项式相乘? 2.复数的乘法法则是什么? 3.复数a+bi(a,b∈R)的共轭复数如何表示?这两个复数之积是实数还是虚数? 4.复数的除法是乘法的逆运算吗? 5.(1) i2= ;i3= ;i4= .  (2)in的值会按周期出现吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,再加减. ( ) (2)两个共轭复数的和与积都是实数. ( ) (3)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0. ( ) 2.复数(1+i)2(2+3i)的值为( ). A.6-4i B.-6-4i C.6+4i D.-6+4i 3.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.1+i+i2+i3+…+i2 025= .  【合作探究】 　复数的乘法运算法则 问题1:“计算(1-2i)(3+4i)”需要知道哪几个问题? 问题2:你能计算(1-2i)(3+4i)吗?是如何计算的? 问题3:复数的乘法与多项式的乘法有何不同? 问题4:|z|2=z2,正确吗? 1.复数乘法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 计算下列各题: (1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. 【方法总结】(1)两个复数代数形式的乘法运算步骤 ①按多项式的乘法展开; ②将i2换成-1; ③进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a±bi)2=a2-b2±2abi(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=( ). A.2-13i B.13+2i C.13-13i D.-13-2i 　复数的除法运算法则 类比根式除法的分母有理化,比如=,探究复数的除法法则. 问题1:类比上述根式运算,你能写出复数的除法法则吗? 问题2:复数除法的实质是分母实数化,即把分子和分母同乘一个什么样的数? 复数除法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0,且a,b,c,d∈R), 则==+i. (1)实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母有理化相类似. (2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开. 知识拓展:虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方,i有如下性质: i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n=1(n∈N*). 特别提醒:①上述公式说明i的幂具有周期性,且最小正周期是4. ②n可推广到整数集. ③4k(k∈Z)是i的周期. ④与i有关的几个结论: (1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i. (1)已知z=,则z在复平面内对应的点的坐标为( ). A.-,1 B.,1 C.,-1 D.1, (2)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知z=,则z-=( ). A.-i B.i C.0 D.1 【方法总结】(1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①将除式写为分式; ②将分子、分母同乘分母的共轭复数; ③将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i. (1)设复数z满足=i,则|z|=( ). A.1 B. C. D.2 (2)计算:①;②. 　复数运算的综合问题 问题1:若z=,则z是什么数?这个性质有什么作用? 问题2:若z≠0且z+=0,则z是什么数?这个性质有什么作用? 问题3:三个实数|z|,||,z·具有怎样的关系? 问题4:在复数范围内,如何求方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0,Δ<0)的根? 1.i的乘方具有周期性 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. 2.(1±i)2=±2i,=i,=-i. 3.复数的模与共轭复数的关系:z·=|z|2=||2. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式: (1)当Δ≥0时,x=; (2)当Δ<0时,x=. (改编)已知x=1+i是方程x2+bx-ci6=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断x=1-i是不是此方程的根. 【方法总结】(1)当题目中含比较复杂的复数运算时,可先按复数的四则运算法则进行运算,注意复数的周期性的应用;(2)当涉及实系数一元二次方程根的问题时,注意虚根会成对出现. 已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求实数p,q的值. 【随堂检测】 1.(2023年新高考全国Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.复数=( ). A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.在复平面内,复数z=(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知3i-2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值. 参考答案 课时2　复数的乘、除运算 自主预习·悟新知 预学忆思 1.是. 2.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 3.复数a+bi的共轭复数可表示为a-bi,因为(a+bi)·(a-bi)=a2+b2,所以两个共轭复数之积为实数. 4.是. 5.(1)-1;-i;1. (2)会按周期出现,且最小正周期是4. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)× 2.D　【解析】(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故选D. 3.B　【解析】+(1+i)2=i++1-3+2i=-++2i,对应点的坐标为-,+2,该点位于第二象限. 4.1+i　【解析】因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i-1-i+1=0, 所以1+i+i2+i3+…+i2 025=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+i2 025=1+i506×4+1=1+i. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:(1)实数与纯虚数如何相乘;(2)纯虚数与纯虚数如何相乘;(3)复数的四则运算法则. 问题2:能,类比多项式乘多项式. 问题3:复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并. 问题4:不正确.例如,|i|2=1,而i2=-1. 新知运用 例1　【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i =53+23i. 巩固训练　D　【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i. 探究2　情境设置 问题1:能,==+i(c+di≠0,且a,b,c,d∈R). 问题2:进行复数的除法运算时,分子、分母同乘分母的共轭复数. 新知运用 例2　(1)B　(2)A　【解析】(1)由题意得z====+i, 所以z在复平面内对应的点的坐标为,1. 故选B. (2)因为z====-i,所以z-=-i.故选A. 巩固训练　(1)A　【解析】(1)由=i,得1+z=i(1-z)=i-zi, 则z====i, 故|z|=1. (2)①===1-i. ②===-1-3i. 探究3　情境设置 问题1:z=⇔z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数. 问题2:若z≠0且z+=0,则z为纯虚数,利用这个性质,可证明一个复数为纯虚数. 问题3:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi, 所以|z|=,||==, z·=(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2, 所以|z|2=||2=z·. 问题4:该方程可化为x2+x+=0,配方得x+2=-==, 所以x=-±i=-±i. 新知运用 例3　【解析】(1)方程x2+bx-ci6=0,即x2+bx+c=0, 因为1+i是方程x2+bx+c=0的一个根, 所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0, 所以解得 (2)由(1)知方程可化为x2-2x+2=0, 把x=1-i代入方程,则x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0, 显然方程成立,所以x=1-i也是此方程的根. 巩固训练　【解析】由根与系数的关系可得 即 因为p,q均为实数,所以 解得从而有 随堂检测·精评价 1.A　【解析】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i, 所以所求复数对应点的坐标为(6,8),该点位于第一象限. 故选A. 2.A　【解析】===1+i. 3.D　【解析】z===1+i,其共轭复数为1-i,对应的点的坐标为(1,-1),该点位于第四象限. 4.【解析】∵3i-2是方程2x2+px+q=0的一个根, ∴-3i-2是该方程的另一个根, ∴解得 学科网（北京）股份有限公司 $$