1.4 线段垂直平分线与角平分线（1）课件 -2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.4　线段垂直平分线与角平分线（1） ——线段垂直平分线的性质 1．在“图形的变换”一 章中，我们曾通过折纸发现： 线段是 对称图形， 是其对称轴. 轴 线段的垂直平分线 2．如图，在线段AB的垂直平分线 l 与AB 相交于点O，在 l 上任意找一点P，连接PA、PB，则PA与PB相等吗？证明你的结论． O = = P 证明：1° 当点P 与点O 重合时，显然PA=PB； 2° 当P 与点O 不重合时， ∵OP 是线段AB 的垂直平分线， ∴ AO=BO，∠POA= ∠POB=90°， 在△POA和△POB中， PO=PO ∠POA= ∠POB AO=BO ∴△POA≌△POB（SAS）， ∴PA=PB ∵点P是线段AB的垂直平分线上的点， ∴PA＝PB 线段垂直平分线的性质定理　 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 符号语言 (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗? 解：1° 如图，当点Q 在线段AB 上时， ∵QA =QB， ∴点Q 是线段AB的中点， ∴线段AB的垂直平分线一定经过点Q Q = = 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗? 解：2° 如图，当点Q 在线段AB 外时， 连QA，QB，作QM ⊥ AB，垂足为M， ∴∠QMA = ∠QMB=90° 在Rt△QAM和Rt△QBM中， QA =QB， QM =QM， ∴Rt△QAM≌Rt△QBM（HL）， ∴AM=BM， ∴点M是线段AB的中点， ∴QM是线段AB的垂直平分线， 综上，点Q一定在线段AB的垂直平分线上 Q = = M ∵QA＝QB ， ∴点Q在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线性质定理的逆定理:　 到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上． B A Q 符号语言： （到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上） 是到 的点的集合 . 线段的垂直平分线 线段两端距离相等 若PA=PB，QA=QB，则PQ是线段AB的垂直平分线吗？ 想一想 B A P Q 解：PQ是线段AB的垂直平分线 理由：∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上（性质定理） 又∵QA=QB ∴点Q在线段AB的垂直平分线上（性质定理逆定理） ∴PQ是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） = = / / AB，PQ相交于点M.你能在图中找到哪些相等的角? 证明你的结论 . M 做一做 1. 如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离相等？ 公路 A村 B村 P 变式. 在直线MN上求作一点P，使PA=PB. P 2. 如图，一辆汽车由A向B行驶，M、N分别是位于AB两侧的村庄. （1）设汽车行驶到AB上点P时，距M最近，行驶到Q时，距N最近，请在图中P、Q的位置画出. （2）当车从A向B行驶时，在AB的哪一段路上，离M、N两村都越来越近？在哪一段上距N越来越近，而距M却越来越远？ （3）在AB上是否存在一点，使车驶到该点时，与村庄M、N的距离相等？并说明理由. N M B A 3. 如图，分别在网格中作出线段AB、AC、BC的垂直平分线. D A C B 例1. 如图，在△ABC 中，AB，AC的垂直平分线 l1，l2 相交于点O . 求证：点O在BC 的垂直平分线上 . A C B 证明：如图，连接OA，OB，OC . ∵点O在AB 的垂直平分线 l1上， ∴OA =OB (线段垂直平分线的性质定理) 同理，OA =OC ∴OB =OC ∴ 点O在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理) O 到三角形的三个顶点距离相等的点是 . 三条边的垂直平分线的交点 例2.如图，AC=12，BD=4，AD⊥BC，垂足D，BD=CD，求△ABC的周长. 解: ∵AD⊥BC，BD=CD ∴AD是线段BC的垂直平分线 ∴AC=AB=12 ∴C△ABC=AB+AC+BC =AB+AC+BD+DC =12+12+4+4 =32 D C B A D C B E A 解： ∵ED是线段AB的垂直平分线 ∴DA=DB ∴ C△BCD=BC+CD+DA =AC+BC =12+8=20 ∵ C△BCD=BC+CD+DB 变式1.如图，AC=12，BC=8，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长. ∴ C△BCD=BC+CD+DB = = 变式2.如图，在△ABC中，已知AB=AC，E是AB的中点，且DE⊥AB交AC于D.已知△BCD周长为8，且AB－BC=2，求AB、BC的长. ∴ DA=DB BC+CD+DA AC+BC=8 解： ∵ E是AB的中点， DE⊥AB 又∵ AB－BC=2， AB=AC ∴ AC－BC=2 ① ② 由①、②解得AC=5，BC=3 D C B E A ∴ DE是线段AB的垂直平分线 变式3.已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长. DC=3.5cm D C B E A 变式4.如图，如果△ACD的周长为17 cm，DE是BC的垂直平分线，△ABC的周长为25 cm，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长? BC=8cm 例3. 如图，在△ABC 中，BC=9，AC=4，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为________. 13 变式1. 如图，点D在△ABC的边BC上. 如果DB=DA，那么点D在线段_______的垂直平分线上； 如果BC=BD+AD，那么点D在线段______的垂直平分线上. AB AC 变式2. 为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A村、B村、C村不在同一条直线上，地理位置如图所示).请你用尺规作图的方法确定点P的位置(不写作法，保留作图痕迹). 解：线段AB与线段AC的垂直平分线的交点P即为所求的医疗点的位置． 例4. 如图，AB垂直平分CD.若AC=1.6cm，四边形ACBD的周长为7.8cm，则BD= ______cm. 2.3 解：∵ AB垂直平分CD， ∴ AC＝AD＝1.6 cm，BC＝BD ∵ 四边形ACBD的周长为7.8 cm， ∴ AC＋AD＋BC＋BD＝7.8 cm， 即 1.6＋1.6＋BD＋BD＝7.8 cm ∴ BD＝2.3 cm 变式1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D.再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为________. 6 变式2. 在△ABC中，AB=AC，O为平面上一点，且OB=OC.点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，求AO的长. 解：∵ AB＝AC， ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上 ∵ OB＝OC， ∴ 点O也在线段BC的垂直平分线上 ∴ AO所在的直线即为线段BC的垂直平分线 设AO与BC交于点M.由题意，得AM＝8，OM＝3 如图①，当点A、O在BC的同侧时，AO＝AM－OM＝8－3＝5； 如图②，当点A、O在BC的异侧时，AO＝AM＋OM＝8＋3＝11 ∴ AO的长为5或11 练习1. 如图，在△ABC 中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.试探究△AEG 的周长与BC的长度之间的数量关系，并说明理由. 解：△AEG的周长与BC的长度相等　 理由：∵ DE是AB的垂直平分线， ∴ AE＝BE 同理，AG＝CG ∴ C△AEG＝AE＋EG＋AG ＝BE＋EG＋CG＝BC ∴ △AEG的周长与BC的长度相等 2. 如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E. 求证：∠ABE= ∠CDE. 证明：如图，连接AE、CE. ∵ AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E， ∴ AE＝CE，BE＝DE 在△ABE和△CDE中， ∴ △ABE≌△CDE(SSS) ∴ ∠ABE＝∠CDE $