作业16：平面向量与复数-2026届高三数学一轮复习

高三一轮复习课后讲义—巩固·拓展 编号：16 参考答案与解析（务必做完再对答案） 1.B 【分析】根据向量的数量积含义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【详解】根据题意，若(ab)c=亿.c)a,则a与c共线， 不防假设a=c,则对任意的五都有a.b=b.c,进而(a.)c=(仍ca成立， 故无法判定a=b=c,充分性不成立， 若a=i=c,则a.b=b.c,所以(a-)c=(⑥c）a, 故必要性成立， 所以(a.)c=亿.c)a是“a=b=c的必要不充分条件. 故选：B 2.B 【分析】利用纯虚数的概念可得a所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数z=a2-1+(a2-2a-3)i是纯虚数， a2-1=0 所以 a2-2a-3≠0 解得a=1. 故选：B. 3.C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到二=-1+3，结合共轭复数的概念， 以及复数的几何意义，即可求解 【详解】由复数z满足之=-2+i,则z=(1-(2+i)=-1+3i,可得三=-1-31， 1-i 故复数z的共轭复数在复平面内对应的点(-1，-3)位于第三象限， 故选：C 4.A 【分析】根据向量的减法运算求出D,再由共线向量定理求解即可. 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 【详解】AB=g+a吧，，BD=CD-CB=1+电2-E1-电2+&2=4F+22), 因为AB与BD共线，∴.a=2, 故选：A 5.A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示计算出x的值，可求得数量积. 【详解】由a/仍可得-2x-1x4=0,求得x=-2: 因此可得ab=-2×4+1×(←2)=-10. 故选：A 6.B 【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断： 【详解】因为c.d=(a+)(a-)=-=0,所以d=,但向量ā，的方向不确定， 所以cd=0推不出a=b; 又根据a=万，得到c.d=l-=0,所以a=万可以推出cd=0, 则“c.d=0”是“ā=的必要不充分条件， 故选：B. 7.BCD 【分折】由您意根据平面向量的数量积运算可得8名-一分，进而根据投影向量的定义、 数量积的运算律、基底的定义、向量垂直的定义判断各选项即可. 【详解】由题意，回==1，+2e=5, 则G+466+4e,=-3,则1+4gg+4=3,即ee=- 2 ee,e, 对于A,e在e,上的投影向量为 28,故A错误： 对于B,22-3=√4e-128e,+9,=V4+6+9=V19,故B正确； 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 对于C,由g6=2≠，得e,6不英线，则e+e,与6e,不共线 所以e+e,与e,-e,可以构成平面内所有向量的一组基底，故C正确： 对于D,由e(日+2)=e+2,e2=1-1=0, 则e1(+2卫2)，故D正确。 故选：BCD 8.50 【分析】连接AC,BD交于点O,由菱形的特点可得O为AC,BD的中点，且AC⊥BD, 进而根据平面向量的模的坐标表示及数量积的运算律求解即可. 【详解】连接AC,BD交于点O,则O为AC,BD的中点，且AC L BD, 由A4,5),C(-2,-3),则AC=(-6,-8),即AC=10, 所以西4c-(4a0+o丽)4c-}4c+号丽ac-号4c-10-50 故答案为：50. B 9.C 【分析】由(a-2b)计算即可. 【详解】因为(a-25)=-4ab+462=4-4×2×1×cos120°+4=12， 所以a-2b=25, 故选：C 10.A 【分析】由投影向量计算公式可得答案， 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 =4(2)=1,0) 【详解)向量万在向量ā上的投影向量是a?五-2( 故选：A 11.B 【分析】求出三，再用复数的除法运算可求目 【详解】=1-21，故2=1+21-+20=-3+4.34， z1-2i5 5 55 故选：B 12.B 【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可 【详解】如图所示，因为D为VABC的边BC的中点，所以AD=AB+上AC, 2 因为0D=20A,所以40=}AD, c0.-Ac+A0-4c+若B+AC-名-名6、 故选：B 13.B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模长即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为y,水流速度为y,,船实际航行速度为下，则？=4，y,=2, 则节=y+y2,设日=2，y, 由船需要准确到达正北方向的B点，得节⊥y,, 则5=(+2)9，=2+=4×2c0s0+22=0,解得c0s0=-1 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 而0≤0≤元，于是0=2 +2 =V++2·=4+22+2×4×2× =2/3, 所以该船完成此段航行的实际速度为23/s. B A V2 故选：B. 14.B 【分析】首先根据条件求卫.，再代入投影向量公式，即可求解」 【详解】由题意可知：=√2，因为（位-）=产·-=-2，即市4-1=-2，可得 p4=-1, 所以布p的设向益为(pP(》 故选：B 15.C 【分析】由A巫+BC的最小值为4可得VABC的形状为等腰直角三角形，建立平面直角 坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及日的取值范围表示出MP的表达式，再 由二次函数单调性即可求得MPx=25. 【详解】如下图所示： D 在直线BC上取一点D,使得BD=BC, 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 所以AB+BC=A+BD=AD,当AD L BC时，AB+BC取得最小值为4，即AD=4: 又AB=AC=4√2，所以可得VABC是以A为顶点的等腰直角三角形， 建立以A为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： yA M 又AM=MB可得M为AB的中点， 由AP=sin2日AB+cos20AC以及sin20+cos20=1可得P在BC上， 可得A(0,0),B(0,45)C(45,0)M0,25), 所以AB=(0,4V2),AC=45,0),可得P(4W2cos28,42sin26） MP=(4V2cos20.4sin20-2), ◇w0-,0后若可得w20-1引 所以证=(4W2,22-4厅），m=4)+(25-42=62-32+8, 由=冰酒致)=6-3江+8在：e青引上单调滋推可得。 -32×2+8=25. 4 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用AB+BC的最小值为4判断出VABC的形状，将 向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果。 16.ABD 【分析】过点C作CDL AB于点D,由条件结合投影向量定义可得AD=AB,解三角形 2 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 求AD,CD,BD,BC,再求边BC上的高，判断A,利用余弦定理求cOsC,结合同角关系求 siC,判断B,根据数量积定义求CACB判断C,设AB的中点为M,由关系 CM=(+C丽)两边平方，结合数量积运算律求边AB上的中线，判断D. 【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则向量AC在向量AB上的投影向量为AD, 由己知而-B,所以4D-号A8, 设AD=x,则BD=2x,又tanA=2,所以CD=2x,所以B=45°， 在Rt△ACD中，AC=√5x,又AC=2√5，所以x=2, 所以AD=2,BD=4,CD=4,所以AB=6, 在Rt△BCD中，易得BC=√BD2+CD2=4V2, 所以边BC的高为AB·sinB=3√2，故选项A正确； 在VABC中，由余弦定理的推论得cosC=AC+BC-AB=V0 2CA.CB 10 又因为C∈(0，)， 所以sinc-V-cos'c=3v0 故选项B正确； 10 C1.C西-C团eoc=2V5x4W5×D-8,故选项c错误， 10 设AB的中点为M,则cM=+CB), 所以CW=+CE+2CA.c国)子x(20+32+2x8)=17, 则CM=7,故选项D正确， 故选：ABD 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 D M B 17.C 【分析】由丽=(AD+),及亚=西+D即可求解 【详解】 D F E B 因为点F是线段DE的中点， 所以亚-a0+西)， 又孤-B+丽=丽}8C-孤+4D, 所以号0-到-40+号通， 所以=门 故选：C 18.√35 【分析】根据复数模长公式计算即可 【详解】a--a-印=V(a-=√d-2a.b+形√3s 故答案为：√35 19.3 【分析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 积 【详解】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示： 则a=(2,1),b=(1,2), 效a可 a.b2+24 形V5xV55 又两向量的夹角为锐角， 故ma6)- 则该平行四边形的面积为s-smla）-5x5x-3 故答案为：3. 【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基 础题 20.√10 【分析】根据B、D点横坐标可确定周期得出@，再把D(5,0)代入可求P的值，利用 BC.CD=0得到A即可求解. 【详解】由题干图象可知 =5-2=3，则7=12，所以m=钙-名所以 f(x)=Asin 由5)=4mG+9-0,得 5兀 +p=2m+元，kez,即p=L+2m,tez, 6 6 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 因为州后所以p-云则f()-As加（怎+君 +6 又o=4g是则c0分，又c-（2分)，cD-（5) BcCD=-10+4 =0,解得A=2√10（负根舍去）， 所以f)-2om(名x+君引所以J④-i而. 故答案为：√10 21.35 【分析】利用复数的几何意义知复数z对应的点Z到点C(-1,-1)的距离d满足1≤d≤√2， -1-表示复数z对应的点Z到点P(1,)的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z满足1≤z+1+i≤V2，即1≤z-(←-1-i≤2 即复数z对应的点Z到点C(-l,-)的距离d满足1≤d≤√5 设P1,),5-1-表示复数z对应的点Z到点P(1,)的距离 数形结合可知-1-i的最大值|AP-CP|+V互=22+22+迈=3迈 故答案为：3√2 22.2m 3 【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得OA+OB=4,进而利用余弦定理以 及基本不等式即可求解最值. 【详解】如图：当a,i不共线时，取AB=a,4D=b,则a-=DB,+b=4C，高三一轮复习课后讲义——巩固·拓展 编号：16 参考答案与解析（务必做完再对答案） 1．B 【分析】根据向量的数量积含义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【详解】根据题意，若，则与共线， 不防假设，则对任意的都有，进而成立， 故无法判定，充分性不成立， 若，则，所以， 故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．B 【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 3．C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 4．A 【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 5．A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示计算出的值，可求得数量积. 【详解】由可得，求得； 因此可得. 故选：A 6．B 【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断. 【详解】因为，所以，但向量的方向不确定， 所以推不出； 又根据，得到，所以可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 7．BCD 【分析】由题意根据平面向量的数量积运算可得，进而根据投影向量的定义、数量积的运算律、基底的定义、向量垂直的定义判断各选项即可. 【详解】由题意，，， 则，则，即. 对于A，在上的投影向量为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得不共线，则与不共线， 所以与可以构成平面内所有向量的一组基底，故C正确； 对于D，由， 则，故D正确. 故选：BCD. 8．50 【分析】连接，交于点，由菱形的特点可得为，的中点，且，进而根据平面向量的模的坐标表示及数量积的运算律求解即可. 【详解】连接，交于点，则为，的中点，且， 由，则，即， 所以. 故答案为：50. 9．C 【分析】由计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 10．A 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量是. 故选：A． 11．B 【分析】求出，再用复数的除法运算可求. 【详解】，故， 故选：B 12．B 【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示，因为D为的边的中点，所以， 因为，所以， ． 故选：B. 13．B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模长即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 则，设， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为m/s. 故选：B. 14．B 【分析】首先根据条件求，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由题意可知：，因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 15．C 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 16．ABD 【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D. 【详解】如图，过点C作于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知，所以， 设，则，又，所以，所以， 在中，，又，所以， 所以，，，所以， 在中，易得， 所以边BC的高为，故选项A正确； 在中，由余弦定理的推论得， 又因为， 所以，故选项B正确； ，故选项C错误； 设的中点为，则， 所以， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 17．C 【分析】由，及即可求解. 【详解】    因为点是线段的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 故选：C 18． 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 19．3 【分析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积. 【详解】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示： 则， 故. 又两向量的夹角为锐角， 故， 则该平行四边形的面积为. 故答案为：3. 【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题. 20． 【分析】根据B、D点横坐标可确定周期得出，再把代入可求的值，利用得到A即可求解. 【详解】由题干图象可知，则，所以，所以， 由，得，，即，， 因为，所以，则． 又，则，又，， ，解得（负根舍去）， 所以，所以． 故答案为：. 21． 【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数满足，即 即复数对应的点到点的距离满足 设，表示复数对应的点到点的距离 数形结合可知的最大值 故答案为： 22． 【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得，进而利用余弦定理以及基本不等式即可求解最值. 【详解】如图：当不共线时，取,则, 故，故, 在中，, 故， 故， 由于，故，故，当且仅当时取等号， 则，由于，故的最大值为， 由于的夹角为,即为, 由于与互补，故的最小值为， 当共线时，不妨设则，可得， 当时，此时的夹角为,即为, 时，此时的夹角为,即为, 综上可知：的夹角的最小值为 故答案为：    23． 【分析】过点作直线的垂线，垂足为，则,当点与点重合时，取最小值，当点与点重合时，取最大值. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则,, 所以， 当点与点重合时，取最小值， 当点与点重合时，取最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：.    24． 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由复数满足，可得 根据复数的几何意义，方程表示复数对应的点到点和间的距离之差的绝对值为定值， 由双曲线的定义，可得复数所对应轨迹为以和为焦点的双曲线 且，可得，则， 所以复数所对应的点的轨迹方程为. 故答案为：. 25．/ 【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题 【详解】由题，令，则, 因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上， ，又因为，利用数量积公式展开可得， 所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆， 所以C的横坐标的最大值为， ，即为在上的投影，最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系. 26．D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 27．A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 28．A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 29． 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 30．C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 31．D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 32．C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 33．B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 34．A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 35．C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 36．A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 37． 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 38．ABD 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 39． 2 【分析】利用数量积定义及运算律可得第一空；设，利用平面向量的线性运算分类讨论结合共线的充要条件确定的值即可. 【详解】要使最小，需模长最大，且与夹角为， 故当同向，且反向时，， 可取得最小值； 设，即，又，，均为单位向量， 若共线，则首尾相连一条线段，则此时与共线，不符题意； 所以不共线，则首尾相连形成一个菱形，即， 因为，， 所以，则， 所以. 故答案为：， 40．5 【分析】由题意确定P点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及时不符合题意，说明时满足题意，即可得答案. 【详解】由题意知点P满足，则P点在以为直径的圆上， 当时，设为的中点，如图，   ， 当共线且方向时，即三点共线时，取最小值， 此时，则， 则，故时，不满足题意； 当时，设为的中点，如图，     ，当共线且反向时，取最小值， 此时共线，， ， 则， 则当共线且同向时，必有， 故时，存在点P满足，且； 当时，如图，正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高，依此类推，    故此时不存在点P满足，且； 故n的最小值为5， 故答案为：5 【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况. 学科网（北京）股份有限公司 $高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 作业16：《平面向量与复数》 使用说明：第一部分夯实基础：以基础题呈现，旨在保证填补知识漏洞。 第二部分考题演练：以考试常规题型呈现，难度适中，贴近高考。 第三部分三年高考：挑选三年新高考真题，感受考情，力争高分。 第四部分拓展提升：结合新高考考情，适当创新、拔高难度，开拓视野。 （本作业共40题，作业共6页。如无特殊说明，选择题均为单选题) 一、夯实基础 1.(2025北大附中三模)设a,五，c是非零平面向量，则(a.b)c=(⑥.c)a”是“a=i=c” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025河北模拟)已知复数z=d-1+(d-2a-3)i为纯虚数，则实数a=() A.-1 B.1 C.3 D.-1或1 3.(2026黑龙江高三期初)己知复数z满足，三=-2+i,则复数z的共轭复数在复平面内 1-i 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2025如皋三模)己知g,g,为平面内一组基底，AB=g+ae,CB=e-4e,, CD=5+4e,若A,B,D三点共线，则a的值为（) A.2 B.-2 C.0 D.1 5.(2026漳州一模)已知向量a=(x,1),b=(4,-2),且a/,则a.b=() A.-10 B.-6 C.6 D.10 6.(2025高三练习)设a和6是两个非零向量，定义向量c=ā+b,d=a-b,则c.d=0” 是“a=b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2025哈尔滨三中模拟，多选)已知向量g,8为平面α内两个单位向量，且日+2，=5， 则下列说法正确的有( A.日在e,上的投影向量为： B.|2e-3e=M9 第1页共6页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 C.e,+e,与e1-e,可以构成平面a内所有向量的一组基底 D.e⊥(+22) 8.(2025岳阳模拟)已知菱形ABCD中，点A(4,5),C(-2,-3),则AB.AC= 二、考题演缘 9.(2026达州“零诊”)已知向量，方的夹角为120°，同=2，=1，则a-2= A.√5 B.2 C.2V5 D.45 10.(2025高三练习)已知向量ā=(2,0)，6 12 则向量b在向量a上的投影向量为 () A.(1,0) B.(2,0) C. D.7 2 11.(2025烟台三模)已知复数z=1+2i,则三=（). A B.-+4 c.43 +-1 55 55 12.(2025临沧模拟)已知D为△ABC的边BC的中点，O为AD上一点，且满足OD=2OA, 设AB=-e,AC=e,则Co=() 部B.点 C. D. 13.(2026广州高三阶段训练)某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港 口的正北方向.己知河水的速度为向东2m/s.若货船在静水中的航速为4m/s,船长调整 船头方向航行，使得实际路程最短.则该船完成此段航行的实际速度为() A.2m/s B.23m/s C.4m/s D.2√5m/s 14.(2025湖北高三十一校第二次联考)已知向量，G满足：卫=(1，-1)，=1，(2-)4=-2， 则4在卫上的投影向量为() 22 2’2 D.（1- 15.（2024北京朝阳高三期末)在△ABC中，AB=AC=4√5，当∈R时，AB+BC的 第2页共6页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 最小值为4若AM=MB,AP=sim26AB+cos26AC,其中6∈ 石，则的最大值为() ππ A.2 B.4 C.25 D.4V2 16.（2025漳州三模，多选)在△ABC中，AC=2√5，taA=2,向量AC在向量AB上的 投影向量为4B,则() 3 A.边BC上的高为3√2 B.sinc=310 10 C.CA-CB=-8 D.边AB上的中线为√17 17.(2025广州一模)在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC=4EC,点F是 线段DE的中点，若AF=AB+LAD,则L=() A.5 B.1 D 18.(2025沈阳二模)已知向量ā，五满足同=2，=5，且ā.6=-3，则ā-= 19.向量ā，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量立，b为邻边的平行四 边形的面积是 a 20.(2025泉州模拟)已知函数f()-本n(ax+o40.0>04号的部分图象如图 所示，y=f(x)的图象与y轴交于点C,且D(5,O),B(2,A),BC.CD=0,则 f(4)= 第3页共6页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 YA B D 21.(2022镇江模拟)若i为虚数单位，复数z满足1≤z+1+i≤v2,则-1-i的最大值 为 22.(2025湖北八市州3月联考)平面向量ā，五满足凤=2，a-b+丘+b=8,则(a-五，ā+b 的最小值为 23.(2025蚌埠二模)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要. 有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.己知六边 形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形，且AB=4,点M为正六边形CDEFGH 内的一点（包含边界），则AB.AM的取值范围是 H B 24.(2025盐城高三考前指导卷)已知复数z满足z+21-z-21=±2，则复数z所对应的 点的轨迹方程为 25.(2022温州二模)已知ā，5，c是非零平面向量，=2，Q-=1,（2c-),石=0， II a.c =,则货的最大值是 e 三、三年高考 26.(2023I)已知向量a=1,1),b=1,-1),若(a+b)1(a+ub),则() A.2+=1 B.+=-1 C.24=1 D.=-1 27.(2023)已知Ξ-1- ,则z-z=() 2+2 A.-1 B.i C.0 D.1 第4页共6页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 28.(2023I)在复平面内，(1+31)(3-i)对应的点位于(). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 29.(2023)己知向量a,5满足a-=5,la+=2a-,则ll= 30.(2024)若三=1+i,则z=（) z-1 A.-1-i B.-1+i c.1-i D.1+i 31.(2024)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b1(6-4,则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 32.(2024)已知z=-1-i,则2=() A.0 B.1 C.2 D.2 33.(2024)已知向量a万满足-1，a+26=2,且(6-2)16，则=() A.月 B. c.3 D.1 2 34.(2025红)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航 海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向 量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部 分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应 的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：s),则该时刻的 真风为() 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.63.3 3 微风 3.45.4 4 和风 5.57.9 5 劲风 8.010.7 第5页共6页 高三一轮复习课后讲义一巩固·拓展 编号：16 3 视风风速 2 船速 1 1 2 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 35.(2025I)1+5i)i的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.6 7() 36.(2025)已知z=1+i,则1 A.-1 B.i C.-1 D.1 37.(2025)已知平面向量a=(c,1).6=(k-1,20若a1(a-b,则a 四、拓展提升 38.(2025长郡中学模拟，多选)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 点M是△ABC所在平面上一点，且AM=AB+LAC则下列说法正确的是( ) A.若0<2<1,0<<1,0<2+<1，则M在△ABC内部 B.若2=A有则M为△1BC的重心 C若入三子，三，则△4MC的面积是△ABC面积的 1-3 D.若b=2c=3,2B4CM为△4BC外接圆圆心，则2+么Ⅱ 18 39.(2025潍坊3月模拟)已知同一平面内的单位向量，，g,,则(-已2)e,的最小 值是 :若e,+e,与e,不共线，+e+e,=1,x,y,zeR,g+ye+=0, x+y+z=2025,则 x+y x+z y+z 40.(2024浙江模拟)设正n边形的边长为1，顶点依次为A,4,,4,若存在点P满足 则n的最大值为 (参考数据：tan36°≈0.73) 第6页共6页高三一轮复习课后讲义——巩固·拓展 编号：16 作业16：《平面向量与复数》 使用说明：第一部分 夯实基础：以基础题呈现，旨在保证填补知识漏洞。 第二部分 考题演练：以考试常规题型呈现，难度适中，贴近高考。 第三部分 三年高考：挑选三年新高考真题，感受考情，力争高分。 第四部分 拓展提升：结合新高考考情，适当创新、拔高难度，开拓视野。 （本作业共40题，作业共6页。如无特殊说明，选择题均为单选题） 一、夯实基础 1．（2025北大附中三模）设是非零平面向量， 则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025河北模拟）已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 3．（2026黑龙江高三期初）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025如皋三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 5．（2026漳州一模）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．6 D．10 6．（2025高三练习）设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025哈尔滨三中模拟，多选）已知向量，为平面内两个单位向量，且，则下列说法正确的有（    ） A．在上的投影向量为 B． C．与可以构成平面内所有向量的一组基底 D． 8．（2025岳阳模拟）已知菱形中，点，则 ． 二、考题演练 9．（2026达州“零诊”）已知向量，的夹角为120°，，，则 A． B．2 C． D． 10．（2025高三练习）已知向量．则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D．7 11．（2025烟台三模）已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 12．（2025临沧模拟）已知D为△ABC的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026广州高三阶段训练）某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（    ） A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s 14．（2025湖北高三十一校第二次联考）已知向量满足：，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．（2024北京朝阳高三期末）在△ABC中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025漳州三模，多选）在△ABC中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C． D．边上的中线为 17．（2025广州一模）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（   ） A． B．1 C． D． 18．（2025沈阳二模）已知向量满足，，且，则 . 19．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是 . 20．（2025泉州模拟）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ． 21．（2022镇江模拟）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 22．（2025湖北八市州3月联考）平面向量满足，则的最小值为 . 23．（2025蚌埠二模）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是 .    24．（2025盐城高三考前指导卷）已知复数满足，则复数所对应的点的轨迹方程为 . 25．（2022温州二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 . 三、三年高考 26．（2023Ⅰ）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（2023Ⅰ）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 28．（2023Ⅱ）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29．（2023Ⅱ）已知向量，满足，，则 ． 30．（2024Ⅰ）若，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024Ⅰ）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 32．（2024Ⅱ）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 33．（2024Ⅱ）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 34．（2025I）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 35．（2025I）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 36．（2025II）已知，则（   ） A． B． C． D．1 37．（2025II）已知平面向量若，则 四、拓展提升 38．（2025长郡中学模拟，多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（    ） A．若，则M在△ABC内部 B．若，则M为△ABC的重心 C．若，则的面积是△ABC面积的 D．若，M为△ABC外接圆圆心，则 39．（2025潍坊3月模拟）已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是 ；若与不共线，，，，，则 ． 40．（2024浙江模拟）设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为 .（参考数据：） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $