专题01 三角形的线段（期中真题汇编，北京专用人教版2024）八年级数学上学期

专题01 三角形的线段 2大高频考点概览 考点01 三角形的三边关系 考点02 三角形的高线中线角分线 地 城 考点01 三角形的三边关系 一、单选题 1．(23-24八上·北京育才学校·期中)下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．4，7，11 D．5，8，12 【答案】D 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，能够组成三角形． 故选：D． 2．(24-25八上·北京大兴区·期中)下列四组线段中，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：． 3．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，根据，则，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， A、B、C、D四个选项只有A选项符合上述范围， 故选：A． 4．(23-24八上·北京工业大学实验学校·期中)下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5 【答案】C 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，根据两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形，从而对选项进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A．，不能组成三角形； B．，不能够组成三角形； C．，能组成三角形； D．，不能组成三角形． 故选：C． 5．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)已知三条线段的长分别是5，5，x，若它们能构成三角形，则整数的最大值是(   ) A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：∵三条线段的长分别是5，5，x，它们能构成三角形， ∴， ∴， ∴整数x的最大值是9． 故选：B． 6．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如果三角形的三边长分别为5，8，，那么整数的值可以是(   ) A．2 B．3 C．4 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得出的取值范围，从而得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：，则， 整数的值可以是， 故选：C． 7．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)下列三条线段的长度，可以构成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，5，7 C．4，5，10 D．3，3，8 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形； B、，能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，不能构成三角形； 故选B． 【点睛】本题考查构成三角形的条件．解题的关键是掌握两条短的线段之和大于第三条线段的长时，三条线段能构成三角形． 二、填空题 8．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式（组）的应用，因为不能确定最长和最短边，分三种情况：①；②；③，然后根据计算结果可得答案．解题的关键是理解已知条件中的新定义的含义． 【详解】解：分三种情况讨论： ①， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； ②， 解得：， ， 解得：， ∴， 此时，不合题意舍去； ③， 解得：， ， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 当时，，， ∵， ∴能构成三角形； 综上所述：的整数值为或或或． 故答案为：或或或． 9．(23-24八上·北京三帆中学·期中)小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为和，则这根铁丝的长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，当腰为时和当腰为时，利用三角形的三边关系判断等腰三角形的三边长，再根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当腰为时， 则等腰三角形的三边分别为：、、， ， 、、不能构成三角形， 当腰为时， 则等腰三角形的三边分别为：、、， ，且， 、、能构成三角形， 这根铁丝的长为：， 故答案为：20． 10．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)等腰三角形的周长是，一边长为6，它的底边长为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义和分类讨论的思想是解题的关键，由于题目没有明确腰和底边，所以要分两种情况讨论：当边长6为腰或者6为底边，根据三角形周长公式即可解答，再利用三角形三边关系验证是否能构成三角形进行验证即可． 【详解】解：当腰为6时，底边为 此时三角形的三边为6、6、1，能构成三角形； 当底为6时，腰为， 此时三角形的三边为，，6，能构成三角形； ∴这个等腰三角形的底边长为1或6， 故答案为：1或6． 三、解答题 11．(23-24八上·北京第十四中学·期中)问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 【答案】（1）；（2）3；（3）与是偏等积三角形，理由见解析；（4）6 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答； （4）过N作于P，过点C作于点Q，证明，得出，即可证明和面积相等，然后说明和不全等，即可判断和是偏等积三角形，然后同理判断和、和是偏等积三角形，进而判断出 和、和、和是偏等积三角形即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，   与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：； （2）如图2，过C作交的延长线于E，   与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3； （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形； （4）如图4，过N作的延长线于P，过点C作于点Q， ．四边形、是则正方形， ，，， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 和面积相等， ，，， 和不全等， 和是偏等积三角形， 同理：和、和是偏等积三角形， 和、和、和是偏等积三角形， 故图中共6组是偏等积三角形， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 地 城 考点02 三角形的高线中线角分线 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，，是的平分线，已知，，则 的面积是（   ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积等知识点，过点D作于E，先根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解，熟记性质并作辅助线得到边上的高是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积， 故选：C． 2．(23-24八上·北京石景山区·期末)如图，中边上的高线为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】解：由已知图形可得于E， 因此是边上的高线， 故选B． 3．(22-23八上·北京第九中学·期中)下列各图中，作边边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此求解即可． 【详解】解：由三角形的高的概念可知，四个选项中只有D选项中的作图方法是作的边边上的高， 故选：D． 4．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)在中，D是上一点，一定能使得与面积相等的一个条件是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形面积的计算方法，与等高．若和面积相等，则与的底相等． 【详解】解：∵和等高， ∴若和面积相等，则与的底相等， 即． 故选：D 5．(22-23八上·北京第八中学·期中)如图，若点A在y轴上，点B在x轴上， 的平分线交外角的平分线于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如下图所示，根据三角形角平分线定义，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，得出，然后再根据三角形的外角性质得出． 【详解】解：如图所示， 的平分线交外角的平分线于点C， ，， ，， ， ， ； 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形两锐角互余与三角形外角的性质是解此题的关键． 二、填空题 6．(24-25八上·北京大兴区·期中)若是的高，且，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等，分在内部和外部两种情况讨论即可． 【详解】解：当在内部时， ∵，， ∴； 当在外部时， ， ∵，， ∴； ∴的度数是或， 故答案为：或． 7．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 【答案】和（或和，或和，或和） 【分析】此题主要考查了三角形面积公式应用及全等三角形的概念，根据已知得出三角形的高与底边是解题关键．根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案． 【详解】 解：四边形是长方形， ， 与，底边为，高为， ， ， 与，底边为，高为， ， 与，等底，等高， ，图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，即和，和，和，和， 故答案为：和（或和，或和，或和）． 8．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如图，在中，，是的平分线，已知，则 。 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质得，再由三角形面积公式得到答案． 【详解】解：过点作于， 是的平分线，， ， ， ， ， 故答案为：． 9．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，点，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，进而得，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， 故答案为：． 10．(24-25八上·北京丰台区外国语学校·期中)如图，在面积为的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和求三角形的面积，解题关键是运用转化和整体求解的思想．本题应将的面积转变为的面积再来求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，是边上的高， ∴，且， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故答案为： ． 11．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，已知的面积为，将沿某直线对称后得到（与对应，与对应），且、、三点共线，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据中线求面积．熟练掌握轴对称的性质，根据中线求面积是解题的关键． 由题意知，为的中点，则是的中线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，为的中点， ∴是的中线， ∴， 故答案为：． 12．(24-25八上·北京文汇中学·期中)2024年8月5日，巴黎奥运会射击项目进入最后一个比赛口，中国射击队最终以5金、2银、3铜的好成绩结束本届奥运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据手、肘、肩构成托枪三角形，进行作答即可． 【详解】解：依题意，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 三、解答题 13．(24-25八上·期中模拟卷02-备战·期中)如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了中线的定义，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段． 由题意可得，，由中线的性质得，故可求得，进而即可求解． 【详解】解：由题意知，， ，为中点， ， ， 即， 则，， 则． 14．(23-24八上·北京三帆中学·期中)阅读理解： 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． (1)如图是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．在下面的几种用法中，能作出的平分线的有 ．（填写序号）             ①是的平分线 ②是的平分线 ③是的平分线 (2)同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题． 如图是小瑞设计出的三等分角的仪器——勾尺．    勾尺的直角顶点为，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足，，三点共线（所以）． 小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分： 第一步：如图1，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图2，移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上； 第三步：如图3，标记此时点和点所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图3，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程： 证明：垂直平分线段， = ． ， ． （请继续完成后面的证明过程） 【答案】(1)①③ (2)；证明见解析 【分析】（1）图①和图③中，，则，能作出的平分线，然后作答即可； （2）由垂直平分线的性质可得．则，如图3，过作于，证明，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，图①和图③中， ∵，，， ∴， ∴，能作出的平分线， 图②中无法证明，不能作出的平分线， 故答案为：①③； （2）证明：∵垂直平分线段， ． ∵， ∴， 如图3，过作于，   ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴射线和射线是的三等分线； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 15．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①补图见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，证明，进而可证； （2）①如图1，即为所求；②如图2，连接，则截取，使得，连接，由轴对称的性质可知，，，，则，证明，则，，由，可得，则，，由，可得，证明，则，根据，等量代换可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）①解：如图1，    ②解：，证明如下： 如图2，连接，则截取，使得，连接，    由轴对称的性质可知，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质．解题的关键在于确定全等三角形的判定条件． 16．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，在中，平分，，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合平行线的性质得出，再由等角对等边得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴的度数为． 17．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，是中边上的高，平分，若．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角的性质，先由三角形高的定义得到，再根据三角形的内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，利用求出的度数，根据三角形的外角的性质求出即可． 【详解】解：∵是中边上的高， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，． 18．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)如图所示，在中，，，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ． 19．(24-25八上·北京朝阳区日坛中学教育集团·期中)如图，在中，，的角平分线交于点，，．求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中，利用三角形内角和定理可求出的度数即可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴ ∵平分， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，，， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的线段 2大高频考点概览 考点01 三角形的三边关系 考点02 三角形的高线中线角分线 地 城 考点01 三角形的三边关系 一、单选题 1．(23-24八上·北京育才学校·期中)下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．4，7，11 D．5，8，12 2．(24-25八上·北京大兴区·期中)下列四组线段中，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·北京工业大学实验学校·期中)下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5 5．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)已知三条线段的长分别是5，5，x，若它们能构成三角形，则整数的最大值是(   ) A．11 B．9 C．7 D．5 6．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如果三角形的三边长分别为5，8，，那么整数的值可以是(   ) A．2 B．3 C．4 D．14 7．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)下列三条线段的长度，可以构成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，5，7 C．4，5，10 D．3，3，8 二、填空题 8．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为 ． 9．(23-24八上·北京三帆中学·期中)小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为和，则这根铁丝的长为 ． 10．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)等腰三角形的周长是，一边长为6，它的底边长为 ． 三、解答题 11．(23-24八上·北京第十四中学·期中)问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 地 城 考点02 三角形的高线中线角分线 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，，是的平分线，已知，，则 的面积是（   ） A． B．5 C．7 D．14 2．(23-24八上·北京石景山区·期末)如图，中边上的高线为（    ）    A． B． C． D． 3．(22-23八上·北京第九中学·期中)下列各图中，作边边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)在中，D是上一点，一定能使得与面积相等的一个条件是（    ） A． B．平分 C． D． 5．(22-23八上·北京第八中学·期中)如图，若点A在y轴上，点B在x轴上， 的平分线交外角的平分线于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25八上·北京大兴区·期中)若是的高，且，，则的度数是 ． 7．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 8．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如图，在中，，是的平分线，已知，则 。 9．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，在中，点，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 10．(24-25八上·北京丰台区外国语学校·期中)如图，在面积为的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 11．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，已知的面积为，将沿某直线对称后得到（与对应，与对应），且、、三点共线，连接，则的面积为 ． 12．(24-25八上·北京文汇中学·期中)2024年8月5日，巴黎奥运会射击项目进入最后一个比赛口，中国射击队最终以5金、2银、3铜的好成绩结束本届奥运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 三、解答题 13．(24-25八上·期中模拟卷02-备战·期中)如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 14．(23-24八上·北京三帆中学·期中)阅读理解： 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． (1)如图是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．在下面的几种用法中，能作出的平分线的有 ．（填写序号）             ①是的平分线 ②是的平分线 ③是的平分线 (2)同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题． 如图是小瑞设计出的三等分角的仪器——勾尺．    勾尺的直角顶点为，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足，，三点共线（所以）． 小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分： 第一步：如图1，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图2，移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上； 第三步：如图3，标记此时点和点所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图3，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程： 证明：垂直平分线段， = ． ， ． （请继续完成后面的证明过程） 15．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．    (1)求证：； (2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 16．(23-24八上·北京三帆中学·期中)如图，在中，平分，，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 17．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，是中边上的高，平分，若．求和的度数． 18．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)如图所示，在中，，，是的平分线，求的度数． 19．(24-25八上·北京朝阳区日坛中学教育集团·期中)如图，在中，，的角平分线交于点，，．求和的度数． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $