专题03 直角三角形（期中真题汇编，北京专用人教版2024）八年级数学上学期

专题03 直角三角形 2大高频考点概览 考点01 直角三角形两个锐角互余 考点02 含30°角的直角三角形 地 城 考点01 直角三角形两个锐角互余 一、单选题 1．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·北京东城区东直门中学·期中)如图，在中，，，为边中点，则等于（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京日坛中学教育集团·期中)把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)如图，等边中，是上的点，于点， ． 5．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 6．(24-25八·北京海淀区·期中)如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 三、解答题 7．(24-25八上·北京·期中)如图1，A是线段上一点，，，，． (1)求证：． (2)若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 地 城 考点02 含30°角的直角三角形 一、单选题 1．(23-24八上·北京三帆中学·期中)中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 二、填空题 2．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如图，中，，D为上一动点，垂直平分分别交于E，交于F，则 ． 3．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，，，则的长为 ．    三、解答题 4．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 5．(23-24八上·北京第十四中学·期中)如图，中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，连接．若，求的长． 解：∵，∴（______）． ∵，∴， ∴______． ∵点D是的中点，且， ∴（______）， ∴， ∴． ∵在中，， ∴______=______， ∴______． 6．(24-25八上·北京八一学校·期中)若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 7．(24-25八上·北京大兴区·期中)在中，，，点D是射线上一点（点D不与点B，C重合），连接，将线段 绕点A逆时针旋转，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点F． (1)如图1，证明：是等边三角形； (2)当点D在如图所示的位置时： ①求证：； ②直接用等式表示线段， 和之间的数量关系； (3)当点D在线段上时（点D不与点B，C重合），直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直角三角形 2大高频考点概览 考点01 直角三角形两个锐角互余 考点02 含30°角的直角三角形 地 城 考点01 直角三角形两个锐角互余 一、单选题 1．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．(23-24八上·北京东城区东直门中学·期中)如图，在中，，，为边中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握等腰三角形三线合一是解此题的关键． 【详解】解：，为边的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．(24-25八上·北京日坛中学教育集团·期中)把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，直角三角形两个锐角互余．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)如图，等边中，是上的点，于点， ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：等边， ， ， ， ． 故答案为：． 5．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键． 首先根据等边三角形的性质得到，，求出 可得，从而可得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ∴ ∴． 故答案为：2． 6．(24-25八·北京海淀区·期中)如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 三、解答题 7．(24-25八上·北京·期中)如图1，A是线段上一点，，，，． (1)求证：． (2)若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出； （3）由（2）知，，然后求出，的长，进而即可得解； 熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）如图，连接， 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 地 城 考点02 含30°角的直角三角形 一、单选题 1．(23-24八上·北京三帆中学·期中)中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，轴对称的性质，含30度的直角三角形，垂线段最短等知识．熟练它们的性质是解题的关键． 作F关于的对称点，连接，由作图和结合已知条件分析得知：当A、E、三点共线时，即、重合时时，此时的值最小，根据含30度的直角三角形的性质定理即可求出答案． 【详解】解：如图，作F关于的对称点，连接， 则， ∵是的角平分线， ∴在上， ∴， ∴当A、E、三点共线，且即、重合时，的值最小， ∵，，， ∴ 的最小值为4， 故选：A． 二、填空题 2．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如图，中，，D为上一动点，垂直平分分别交于E，交于F，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含角的直角三角形是解题的关键．先利用含角的直角三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换以及线段的和差关系进行计算即可得到答案， 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ． 故答案为：． 3．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，，，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 利用等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， 故答案为：4． 三、解答题 4．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：中，，， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又， ． 5．(23-24八上·北京第十四中学·期中)如图，中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，连接．若，求的长． 解：∵，∴（______）． ∵，∴， ∴______． ∵点D是的中点，且， ∴（______）， ∴， ∴． ∵在中，， ∴______=______， ∴______． 【答案】等边对等角；120；线段垂直平分线的性质；；6；9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据已知的过程与等腰三角形的性质、垂直平分线的特点即含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，∴（等边对等角）． ∵，∴， ∴． ∵点D是的中点，且， ∴（线段垂直平分线的性质）， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：等边对等角；120；线段垂直平分线的性质；；6；9． 6．(24-25八上·北京八一学校·期中)若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 【答案】(1)①，是；②，证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）①由与互为“底余等腰三角形”和三角形内角和定理得到，根据四边形内角和可得，即可得到答案； ②作于点，通过证明求解即可； （2）①作垂直平分线交于点； ②连接，延长交于点，先证明为等边三角形，然后通过含角的直角三角形的关系求解． 【详解】（1）解：①和互余， ， ， ， ， ， ， 与是“底余等腰三角形”， 故答案为：，是； ②， 作于点， ， 点为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①连接，作垂直平分线交于点， 连接，与即为所求； ②连接，延长交于点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 7．(24-25八上·北京大兴区·期中)在中，，，点D是射线上一点（点D不与点B，C重合），连接，将线段 绕点A逆时针旋转，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点F． (1)如图1，证明：是等边三角形； (2)当点D在如图所示的位置时： ①求证：； ②直接用等式表示线段， 和之间的数量关系； (3)当点D在线段上时（点D不与点B，C重合），直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析；② (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由，可得是等边三角形； （2）①延长至点G，使， 连接，，先证明，得到，，再证明，得到，； ②由，得到，再结合，得到； （3）根据题意画出图形同（2）的辅助线和方法证明即可． 【详解】（1）证明：，， ∴， 是等边三角形； （2）①证明：延长至点G，使， 连接，， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ． 在和中 ， ∴， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； ②解：∵在中，，， ∴， 由①得， ∴； （3）解：， 如图：延长至点G，使， 连接，， ， ． ，， 是等边三角形，. ． 在和中 ≌． ， ， ， ， 在和中 ≌， ， ， ∵在中，，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $