第3章 一次方程（组）习题课件 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

知识梳理： 用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤如下： 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点 和、差、倍、分问题 1.（杭州中考）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种 3棵树，女生每人种2棵树，设男生有 人，则( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 2 2.在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七（1）班学生回收饮料瓶 共 ，男生回收饮料瓶的质量是女生的4倍，则女生回收饮料 瓶的质量为( ) A A. B. C. D. 3.笔记本比水性笔的单价多2元，小刚买了5本笔记本和3支水性 笔正好用去18元，则水性笔的单价为( ) D A.4元 B.3元 C.2元 D.1元 挖教材 析真题 炼方法 3 4.一个长方形的周长是，若将长减少，宽增加 ， 长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( ) B A. B. C. D. 5.有一位工人师傅将底面直径为，高为 的“瘦长”形圆 柱，锻造成底面直径为 的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱 的高是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 6.（衡阳中考）某班有52名学生，其中男生人数比女生人数的2 倍少17人，则女生有____名. 7.甲、乙两个人共生产零件580只,其中甲生产的零件是乙生产的 零件的 ，则甲生产零件_____只，乙生产零件_____只. 23 145 435 挖教材 析真题 炼方法 5 8.（教材P113练习T2变式）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定胜 一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，甲、乙两队共比赛6场， 甲队保持不败，共得14分. （1）由于甲队______，所以甲队只会____或____，因此，该题 的等量关系是_____________________________________； （2）设甲队胜了 场，则甲队平了________场； （3）根据等量关系列方程为_____________________，解这个方 程，得 ___，即甲队胜了___场. 不败 胜 平 甲队胜场积分平场积分甲队的总积分 4 4 挖教材 析真题 炼方法 6 9.（泸州中考节选）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计 划购买甲、乙两种奖品共30件.其中甲种奖品每件30元，乙种奖 品每件20元.如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种 奖品分别购买了多少件？ 挖教材 析真题 炼方法 7 解：设甲种奖品购买了件，则乙种奖品购买了 件，根 据等量关系，得 . 解得 . 因此，乙种奖品购买了 （件）. 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件. 挖教材 析真题 炼方法 8 10.（盐城中考）把 这9个数填 入 方格中，使其任意一行， 任意一列及两条对角线上的数之和 都相等，这样便构成了一个“九宫 格”.它源于我国古代的“洛书” A A.1 B.3 C.4 D.6 （图1），是世界上最早的“幻方”. 图2是仅可以看到部分数值的 “九宫格”，则其中 的值为( ) 挖教材 析真题 炼方法 9 11.有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人 分1个，正好分完，则大、小和尚各有多少人？设大和尚有 人， 则可列一元一次方程为_________________. 12.某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6 000件生 活物资发往，两个贫困地区，其中发往区的物资比 区的物 资的1.5倍少1 000件，则发往 区的生活物资为_______件. 3 200 挖教材 析真题 炼方法 10 13.王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘 ，李丽平 均每小时采摘 .采摘结束后，王芳从她采摘的樱桃中取出 给了李丽，这时两人的樱桃一样多，则她们采摘用了____ 小时. 0.5 挖教材 析真题 炼方法 11 14.（广州中考）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动 驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标.某公 交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车 投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计 明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降 . （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； 解： （万元）. 答：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元. 挖教材 析真题 炼方法 12 （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆. 解：设明年改装的无人驾驶出租车是 辆，则今年改装的无人驾 驶出租车是 辆，根据等量关系，得 . 解得 . 答：明年改装的无人驾驶出租车是160辆. 挖教材 析真题 炼方法 13 15.相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他设宴请客， 他看到几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人 听了，心想难道我们是不该来的，于是已到的客人的一半走了， 他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的却走了！”剩下的人一听， 是我们该走啊！又有剩余客人的三分之一离开了，他着急地一拍 大腿：“我说的不是他们.”于是剩下的6个人也走了，聪明的你知 道最开始来了多少位客人吗？ 挖教材 析真题 炼方法 14 $知识梳理： 1.方程：把含有________的等式叫作方程. 2.一元一次方程：只含有______未知数，并且未知数的次数是___， 这样的方程叫作一元一次方程. 3.方程的一个解：对于含有一个未知数的方程，若用一个数 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 就是这个方程的一 个解.习惯上记作 . 未知数 一个 1 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点1 方程及一元一次方程的概念 1.下列各式中，是方程的是( ) A A. B. C. D. 2.下列方程中，是一元一次方程的是( ) D A. B. C. D. 3.若是关于的一元一次方程，则 ___. 1 挖教材 析真题 炼方法 2 知识点2 估算方程的解 4.估算出方程 的解. 解：把，，，，，， 依次代入方程左边 计算，可得下表: ___ _____ _____ _____ _____ ___ 由表可得，当____时，方程的左边的值是 ，这时 方程的右边为____，左边 右边，所以________是方程的解. 0.2 2.2 挖教材 析真题 炼方法 3 知识点3 方程的解 5.下列方程的解是 的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 6.下列说法正确的是( ) C A.是方程 的解 B.是方程 的解 C.是方程 的解 D.是方程 的解 挖教材 析真题 炼方法 5 7.（教材P98例题变式）分别检验 的下列值是否是方程 的解. （1） ； 解：把 用7代入原方程得， 左边，右边 . 左边 右边， 所以不是方程 的解. 挖教材 析真题 炼方法 6 （2） . 解：把 用9代入原方程得， 左边，右边 . 左边 右边， 所以是方程 的解. 挖教材 析真题 炼方法 7 知识点4 根据等量关系，列出方程 8.已知某数为 ，若比它的2倍大1的数是3，则列出的方程是 ( ) C A. B. C. D. 9.某次数学竞赛共有25道题，做对一道得4分，做错一道或者不 做扣2分.某同学得分为88分.设他做对 道题，可列方程为_______ ______________. 挖教材 析真题 炼方法 8 10.（教材P96“思考”变式）根据下列问题,设未知数并列出方程: （1）把1 500元奖学金按照两种奖项给24名学生，其中一等奖每 人200元,二等奖每人50元,获得一等奖的学生有多少人? 解:设获得一等奖的学生有 人.由题意，得 . （2）春运期间,汽车票价上浮 ,小明从南京去上海的票价是84 元,求原来的票价； 解:设原来的票价为 元,由题意，得 . 挖教材 析真题 炼方法 9 （3）哥哥今年15岁,弟弟今年9岁,几年前哥哥的年龄是弟弟年龄 的2倍? 解:设 年前哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍. 由题意，得 . 挖教材 析真题 炼方法 10 11.若是关于的一元一次方程，则 的值是 ( ) B A.1 B. C.1或 D.0 12.已知是方程的解，那么 的值是( ) A A. B.0 C.1 D.2 挖教材 析真题 炼方法 11 13.已知一件标价为400元的上衣按八折销售，仍可获利50元.设这 件上衣成本价为 元，根据题意，那么下面所列方程正确的是 ( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 12 14.【数学文化】（吉林中考）《九章算术》中记载了一道数学问 题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7 钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为 人，可列方程为_________________． 15.请写出一个解为 的一元一次方程_____________________ ___________. （答案不唯一，合理即可） 挖教材 析真题 炼方法 13 16.检验下列各方程后面的括号内字母的值是否为相应方程的解. （1）; 解：把 用1代入原方程，得 左边,右边 , 左边右边，所以 不是方程的解； 把 用2代入原方程，得 左边,右边 , 左边右边，所以 是方程的解. 挖教材 析真题 炼方法 14 （2） 解：把用 代入原方程，得 左边 ， 左边右边，所以 不是方程的解； 把用 代入原方程，得 左边 ， 左边右边，所以 是方程的解. 挖教材 析真题 炼方法 15 17.根据下列等量关系设未知数列方程,并判断它是不是一元一次 方程. （1）从长的木条上截去2段同样长的木条,还剩下 长 的木条,截去的每段木条长为多少? 解:设截去的每段木条长为 . 由题意,得 ,是一元一次方程. 挖教材 析真题 炼方法 16 （2）小红对小敏说:“我是6月份出生的,我的年龄的2倍加上10天, 正好是我出生的那个月的总天数,你猜我有几岁?” 解:设小红的年龄为 岁. 由题意,得 ,是一元一次方程. 挖教材 析真题 炼方法 17 18.为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用 水收费标准如下： 用水量 收费标准 每户每月用水量不超过 时 0.8元/ 每户每月用水量超过 时，超过部分 2元/ 已知某户7月份缴水费8.8元，则该用户7月份的用水量为多少立 方米？（只列方程） 挖教材 析真题 炼方法 18 $知识梳理： 1.等式的基本性质1：等式两边都____________同一个数 （或整式），等式两边仍然相等. 2.等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数， 等式两边仍然相等. 加上或减去 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点 等式的基本性质 1.关于等式 的变形正确的是( ) A A.等式两边都加上1，得 B.等式两边都减去1，得 C.等式两边都乘1，得 D.等式两边都除以1，得 挖教材 析真题 炼方法 2 2.根据等式性质，下列变形正确的是( ) C A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 3.若 ，下列各式不正确的是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 4.用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据 等式的哪一条性质以及是如何变形得到的. （1）如果，那么 ___，根据等式的基本性质___， 等式两边都_______； （2）如果，那么 ___，根据等式的基本性质___， 等式两边都_______； （3）如果，那么 ____，根据等式的基本性质___，等 式两边都_____； 7 1 加上2 3 1 减去2 25 2 乘5 挖教材 析真题 炼方法 4 （4）如果，那么 ___，根据等式的基本性质___，等式 两边都_______； 1 2 除以5 （5）如果，那么 ___，根据等式的基本性质___， 等式两边都_______，根据等式的基本性质___，等式两边都____， 即 ____. 3 1 减去2 2 乘5 15 挖教材 析真题 炼方法 5 5.（教材P101例2变式）判断下列等式变形是否正确，并说明理由. （1）如果，那么 ； 解：错误. 由等式的基本性质1可知，等式两边都加上2，得 ，即 . 挖教材 析真题 炼方法 6 （2）如果，那么 ; 解：错误. 由等式的基本性质2可知，等式两边都除以2，得 ，即 . 挖教材 析真题 炼方法 7 （3）如果，那么 ； 解：错误. 由等式的基本性质2可知，等式两边都乘3，得 ， 即 . 挖教材 析真题 炼方法 8 （4）如果，那么 . 解：正确，由等式的基本性质2可知，等式两边都乘30，得 ， 即 . 挖教材 析真题 炼方法 9 6.（青海中考）根据等式的基本性质，下列各式变形正确的是 ( ) A A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 挖教材 析真题 炼方法 10 7.（河北中考）有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同一 种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数 的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是( ) A A. B. C. D. 8.若 ，则下列式子一定成立的是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 11 9.（教材P106习题变式）已知 ，请利用等式的基 本性质求下列各式的值. （1） ； 解：在等式 的两边都除以2，得 . 在等式 的两边都加上1，得 . 挖教材 析真题 炼方法 12 （2） . 解：在等式的两边都乘 ，得 . 在等式 的两边都加上7，得 . 挖教材 析真题 炼方法 13 10.（教材P106习题变式）已知， ，求 的值. 解：在等式 的两边都乘3，得 . 在等式 的两边都除以4，得 . 挖教材 析真题 炼方法 14 所以 . 挖教材 析真题 炼方法 15 11.能否从等式中得到 ，为什么?反过 来，能否从中得到 ，为什么? 解:不能从中得到 .理由如下： 因为有可能为0，此时等式两边不能同时除以 . 能从中得到 . 挖教材 析真题 炼方法 16 $知识梳理： 1.对于只含有未知数 的一元一次方程，可以通过________、 ________、______、____________,然后再除以未知数的______， 从而将其化为 的形式.这实质上是求方程的解的过程. 2.求方程的____的过程叫作解方程. 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数 解 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点1 利用移项解一元一次方程 1.解方程 ，移项正确的是( ) A A. B. C. D. 2.方程 的解为( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 2 3.解下列方程： （1） ； 解：移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . （2） . 解：移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 3 知识点2 利用去括号解一元一次方程 4.解方程 ，去括号正确的是( ) C A. B. C. D. 5.方程 的解为( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 6.解方程： . 解：去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以5，得 . 挖教材 析真题 炼方法 5 知识点3 利用去分母解一元一次方程 7.将方程 去分母后，结果正确的是( ) A A. B. C. D. 8.方程 的解是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 9.解下列方程： （1） ； 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 7 （2） . 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 8 10.当用什么数代入时，多项式与多项式 的值相等？ 解：由题意,得 , 去分母，得 , 去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . 故当用13代入时，多项式与多项式 的值相等. 挖教材 析真题 炼方法 9 11.如图是解一元一次方程的过程，“ ”所代表的内容是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 10 12.小亮在做作业时，不小心将墨水洒在了作业纸上，导致方程 中的一个常数被污染，同桌说正确答案是 ，则被污染的常数是( ) C A.6 B.5 C.4 D.3 挖教材 析真题 炼方法 11 13.解下列方程： （1） ； 解：去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 12 （2） ； 解：去分母，得 , 去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 13 （3） ； 解：去括号,得 , 移项,得 , 合并同类项,得 , 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 14 （4） . 解：去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 15 14.当用什么数代入时，多项式的值与多项式 的值互 为相反数？ 解：由题意,知 , 去分母，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以26，得 . 挖教材 析真题 炼方法 16 15.小明在解方程去分母时，方程右边的 忘记乘 6，求出的解是 . （1）求 的值； 解：根据题意，得方程的解为 ，则 有 . 所以 , 解得 . 挖教材 析真题 炼方法 17 $ 知识点 用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 1.（南充中考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开 店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房 空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7 人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设 有客房间，客人 人，则可列方程组为( ) 挖教材 析真题 炼方法 1 A. B. C. D. √ 挖教材 析真题 炼方法 2 2.六年前，的年龄是的年龄的5倍，现在的年龄是 的年龄的 3倍， 现在的年龄是( ) A A.36岁 B.12岁 C.24岁 D.30岁 3.已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是9.若 颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小63，则这 个两位数是____． 81 挖教材 析真题 炼方法 3 4.,两地相距3千米，甲从地出发步行到地，乙从 地出发步 行到 地，两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲 所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度． 挖教材 析真题 炼方法 4 解：20分钟 小时， 设甲的速度是千米/时，乙的速度是 千米/时． 根据题意，得 解得 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时. 挖教材 析真题 炼方法 5.某快递公司有甲、乙两个仓库，各存有快件若干件，甲仓库发 走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件；乙仓 库发走560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的 还多210 件，甲、乙两个仓库原有快件各多少件？ 解：设甲、乙两个仓库原有快件分别为件和 件．由题意，得 解得 答：甲、乙两个仓库原有快件分别为1 480件和1 050件. 挖教材 析真题 炼方法 6 6.（西宁中考）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不 知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长 几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将 绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长 尺， 绳长 尺，根据题意列方程组得( ) 挖教材 析真题 炼方法 7 A. B. C. D. √ 挖教材 析真题 炼方法 7.（教材P132练习T2变式）对于多项式（其中， 为非零 常数），若分别用50，10代入时， 的值分别为18，10， 求, 的值. 解：根据题意，得解得 故的值为, 的值为8. 挖教材 析真题 炼方法 9 8.（教材P133习题 变式）某工厂生产茶具，每套茶具由1个 茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千 克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯．现要用9千克紫砂泥制作这些 茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯，恰 好配成这种茶具多少套？ 挖教材 析真题 炼方法 10 解：设应用千克紫砂泥做茶壶， 千克紫砂泥做茶杯，恰好配 成这种茶具． 根据题意，得解得 （套）． 答：应用3千克紫砂泥做茶壶，6千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这 种茶具9套． 挖教材 析真题 炼方法 11 9.某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方 形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖 式与横式两种无盖的长方体纸箱（加工时接缝材料不计）．若该 厂购进正方形纸板1 000张，长方形纸板2 000张，问竖式纸箱、 横式纸箱各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 挖教材 析真题 炼方法 12 解：设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱 个． 根据题意，得解得 答：加工竖式纸箱200个，加工横式纸箱400个，恰好能将购进的 纸板全部用完． 挖教材 析真题 炼方法 13 10.（张家界中考）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生 开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位； 若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐 满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 挖教材 析真题 炼方法 14 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆 45座客车？ 解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用 辆45 座客车． 根据题意，得解得 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45 座客车． 挖教材 析真题 炼方法 15 $1.（淮安中考）某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为15 元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小 型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆? 解：设中型汽车有辆，小型汽车有 辆． 根据题意，得解得 答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆． 挖教材 析真题 炼方法 1 2.对于多项式（其中，为非零常数），若 分别用2，7 代入时，的值分别为5，20，求, 的值. 解：根据题意，得解得 故的值为3，的值为 . 挖教材 析真题 炼方法 2 3.某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽西安”活动，需购买 ，两种类型垃圾桶，用1 600元可购进型垃圾桶14个和 型垃 圾桶8个，且购买3个型垃圾桶的费用与购买4个 型垃圾桶的费 用相同，求出型垃圾桶和 型垃圾桶的单价． 解：设型垃圾桶的单价是元，型垃圾桶的单价是 元. 根据题意，得解得 答：型垃圾桶的单价是80元， 型垃圾桶的单价是60元． 挖教材 析真题 炼方法 3 4.（泰安中考）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了 种茶30盒， 种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶 每盒的价格都提高了，该店又购进了种茶20盒， 种茶15 盒，共花费5 100元．求第一次购进的, 两种茶每盒的价格． 挖教材 析真题 炼方法 4 解：设第一次购进种茶的价格为元/盒，种茶的价格为 元/ 盒． 根据题意，得 解得 答：第一次购进种茶的价格为100元/盒， 种茶的价格为150元/ 盒． 挖教材 析真题 炼方法 5 5.（教材P133习题 变式）某装订车间的工人要将一批书打 包后送往邮局，每包中所包装书的数目一样多，第一次他们领来 这批书的 ，结果打了14个包还多35本，第二次他们把剩下的书 全部取来，连同第一次多出的零头一起，刚好又打了27包，那么 这批书共有多少本? 挖教材 析真题 炼方法 6 解：设本书可以打一个包，这批书共有 本. 根据题意，得 解得 答：这批书共有4 100本. 挖教材 析真题 炼方法 7 6.（教材P133习题 变式）课余活动中，小杰、小明和小丽 一起玩飞镖游戏，飞镖盘上区域所得分值和 区域所得分值不 同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞 镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分． 挖教材 析真题 炼方法 8 解：设区域每次镖中得分，区域每次镖中得 分． 由题意，得解得 所以小丽的5次飞镖总分为 （分）． 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 挖教材 析真题 炼方法 9 7.《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有甲、乙二人持 钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、 乙持钱各几何？ 大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一 半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱 数也为50，问甲、乙各有多少钱？ 挖教材 析真题 炼方法 10 解：设甲持钱为，乙持钱为 ， 根据题意，得解得 答：甲持钱为 ，乙持钱为25． 挖教材 析真题 炼方法 11 8.某店举行“任选两双鞋，第二双打六折”的暑假特惠活动，其中 两双鞋的原价不同，以价低的打折，活动不与折价券合并使 用．小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张在该店购买所 有商品皆打八折的折价券． 挖教材 析真题 炼方法 12 （1）若小李参加特惠活动花费了420元，比使用折价券多花20元， 设两双鞋的原价分别为元和元 ，求出两双鞋的原价； 解：根据题意，得 解得 答：两双鞋的原价分别为300元和200元． 挖教材 析真题 炼方法 13 （2）若小李参加特惠活动比使用折价券花费多60元时，则两双 鞋的原价相差多少元？ 解：设两双鞋的原价分别为元和元，且 ． 因为参加特惠活动比使用折价券花费多60元， 所以 ， 整理，得 ， 答：两双鞋的原价相差300元． 挖教材 析真题 炼方法 14 9.（百色中考）某玩具生产厂家车间原来有30名工人， 车间原 来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使 车间工人 总数是 车间工人总数的2倍． （1）新分配到, 车间各多少人？ 解：设新分配到车间人，分配到车间 人． 由题意，得解得 答：新分配到车间20人，分配到 车间5人． 挖教材 析真题 炼方法 15 （2） 车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名 工人，现要制作一批玩具，若 车间用一条生产线单独完成任务需 要30天，问 车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务？ 挖教材 析真题 炼方法 16 $知识梳理： 1.移项：把方程中的某一项__________后，从等式的一边移到另 一边，方程的这种变形叫作移项.必须牢记：移项要变号. 2.去括号：运用乘法对加法的________，将方程中的括号去掉， 方程的这种变形叫作去括号. 3.去分母：在原方程的两边都乘各个分母的____________，从而 将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母. 改变符号 分配律 最小公倍数 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点1 利用等式的基本性质把方程化成 的形式 1.把方程化成 的形式，结果是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 2 2.利用等式的基本性质把下列方程化成 的形式： （1） ； 解:在方程的两边都减去8，得 ， 在方程两边都除以3，得 . （2） ； 解：在方程的两边都减去，得 , 在方程的两边都除以2，得 ． 挖教材 析真题 炼方法 3 （3） . 解：在方程的两边都减去2，得 , 在方程的两边都乘，得 . 挖教材 析真题 炼方法 4 知识点2 利用移项、去括号、去分母把方程化成 的形式 3.下列变形属于移项的是( ) D A.由得 B.由得 C.由得 D.由得 4.把方程化成 的形式，正确的是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 5.把方程化成 的形式，步骤如下： ①去括号，得, ②移项，得 , ③合并同类项，得, ④两边都除以2，得 . 其中最开始出错的一步是( ) A A.① B.② C.③ D.④ 挖教材 析真题 炼方法 6 6.把方程化为 的形式的步骤如下： ①去分母，得___________________ ___， ②去括号，得________________ ___， ③移项，得_________ __________， ④合并同类项，得___ ___. 6 6 0 挖教材 析真题 炼方法 7 7.把下列方程化成 的形式： （1） ； 解：去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 . 挖教材 析真题 炼方法 8 （2） ； 解：去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以2，得 . 挖教材 析真题 炼方法 9 （3） ； 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边都除以2，得 . 挖教材 析真题 炼方法 10 8.若关于的方程可化为的形式，则 的 值是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 11 9.如果与 是同类项，那么, 的值分别是( ) A A.， B.， C.， D.， 10.若代数式与的值互为相反数，则 的值为___. 挖教材 析真题 炼方法 12 11.把下列方程化成 的形式： （1） ； 解：去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以2，得 . 挖教材 析真题 炼方法 13 （2） ； 解：去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 14 （3） ; 解：移项，得 ， 合并同类项，得 , 两边都乘，得 . 挖教材 析真题 炼方法 15 （4） . 解：原方程可化为 . 去分母，得 , 去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以7，得 . 挖教材 析真题 炼方法 16 $类型1 利用一元一次方程的解的定义求待定字母或式子的值 1.已知是方程 的解，则式子 的值为_______. 2 027 挖教材 析真题 炼方法 1 2.已知是关于的方程 的解.求 的值. 解：因为是关于的方程 的解， 所以，即 . 所以 . 挖教材 析真题 炼方法 2 类型2 利用两个方程解之间的关系求待定字母的值 3.已知关于的方程的解比关于的方程 的 解小1，则 的值为( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 4.已知关于的方程的解与 的解 相同，求 的值. 解：因为关于的方程的解与 的 解相同， 解方程,得 . 把代入 ， 解得.所以 的值为2. 挖教材 析真题 炼方法 4 5.关于的方程与 的解互为相反数． （1）求 的值； 解：解方程，得 ， 由题意，得，解得 . （2）求这两个方程的解． 解：由（1），得 ， 则方程的解为 . 方程的解为 ． 挖教材 析真题 炼方法 5 类型3 利用方程的错解确定待定字母的值 6.七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程 时，把“”抄成了“”，解得 ，而 且“ ”处的数字也模糊不清了． 挖教材 析真题 炼方法 6 （1）请你帮小红求出“ ”处的数字； 解：根据题意，得方程的解为 ， 把用8代入 ，得 ，即 ， 解得，所以“ ”处的数字为2． 挖教材 析真题 炼方法 7 $知识梳理： 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点 用二元一次方程组解决较简单的实际问题 1.一种饮料有大、小两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、 6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒每盒装 瓶，小盒每盒装 瓶，则可列方程组( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 2 2.如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个 果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 3.某公司用30 000元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的利 润是，另一种货物的利润是 ，共获得利润3 150元，该 两种货物进货花费分别为元， 元，根据题意列方程组为 _ ______________________． 挖教材 析真题 炼方法 4 4.某人买了60分的邮票和80分的邮票共20张，用去了13元2角， 则60分的邮票买了____枚，80分的邮票买了___枚． 5.（株洲中考）小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍 和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为____． 14 6 20 挖教材 析真题 炼方法 5 6.（广东中考）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图 书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本； 若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1 240 本．求男生、女生志愿者各有多少人？ 解：设男生志愿者有人，女生志愿者有 人. 根据题意，得解得 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人． 挖教材 析真题 炼方法 6 7.（安顺中考）某校去年有学生1 000名，今年比去年增加 ， 其中寄宿学生增加了，走读学生减少了 ，问该校去年有寄 宿学生与走读学生各多少名？ 挖教材 析真题 炼方法 7 解：设该校去年有寄宿学生名，走读学生 名，则今年该校有 寄宿学生名，今年该校有走读学生 名.根据 题意，得 解得 答：该校去年有寄宿学生800名，走读学生200名． 挖教材 析真题 炼方法 8 8.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是 40的大长方形，则每个小长方形的面积是( ) B A.200 B.300 C.480 D.500 挖教材 析真题 炼方法 9 9.（吉林中考）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售 ，两种查干湖野生鱼，如果购买1箱种鱼和2箱 种鱼需花费 1 300元,如果购买2箱种鱼和3箱 种鱼需花费2 300元．分别求 每箱种鱼和每箱 种鱼的价格． 解：设每箱种鱼的价格为元，每箱种鱼的价格为 元，由题 意，得 解得 答：每箱种鱼价格是700元，每箱 种鱼的价格是300元． 挖教材 析真题 炼方法 10 10.“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前 成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉 兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四 句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25 个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 解：设笼中有只鸡， 只兔. 根据题意，得解得 答：笼中有12只鸡和13只兔． 挖教材 析真题 炼方法 11 11.（南京中考）某文印店用2 660元购进一批白色复印纸和彩色 复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白 色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱．求购买的白色 复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数． 挖教材 析真题 炼方法 12 解：设购买的白色复印纸的箱数为箱，彩色复印纸的箱数为 箱， 由题意，得解得 答：购买的白色复印纸的箱数为22箱，彩色复印纸的箱数为5箱． 挖教材 析真题 炼方法 13 12.（河池中考）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子 共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元． （1）跳绳、毽子的单价各是多少元？ 解：设跳绳的单价为元，毽子的单价为 元．根据题意，得 解得 答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元． 挖教材 析真题 炼方法 14 $知识梳理： 三元一次方程：含有____个未知数，并且含未知数的项的次数都 是___的方程，叫作三元一次方程. 三元一次方程组：含有____个未知数，并且含未知数的项的次数 都是___的方程组叫作三元一次方程组. 三 1 三 1 挖教材 析真题 炼方法 1 三元一次方程组的解：对于未知数，， 的三元一次方程组， 若，，分别用数，， 代入，能使每个方程左右两边的 值______，则把 叫作这个方程组的一个解.习惯上也记 作 相等 挖教材 析真题 炼方法 2 知识点1 三元一次方程组的概念 1.下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 知识点2 三元一次方程组的解法 2.解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选 取( ) B A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.以上说法都不对 挖教材 析真题 炼方法 4 3.将三元一次方程组经过 和 消去未知数 后，得到的二元一次方程组是( ) A A. B. C. D. 4.若，则____， ____， ____． 挖教材 析真题 炼方法 5 5.解下列三元一次方程组： （1） 挖教材 析真题 炼方法 6 解：，得 ．④ 把③代入④，得，解得 ． 把用1代入③，得 ， 把用1，用2代入①，得 ， 解得 ． 因此， 是原方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 7 （2） 解：，得 ．④ ，得 ．⑤ 挖教材 析真题 炼方法 8 ，得．解得 . 把用8代入方程⑤，得 ， 把用8，用代入方程③，得 ， 因此， 是原三元一次方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 9 知识点3 三元一次方程组的实际应用 6.已知某个三角形的周长为 ，其中两条边的长度之和等于第 三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的 ，求这个三 角形三边的长度． 挖教材 析真题 炼方法 10 解：设这个三角形的三边长分别为，，,且, 为第三条边． 由题意，得解得 答：这个三角形的三边长分别为，， ． 挖教材 析真题 炼方法 11 7.已知则 ___． 3 8.若关于、 的二元一次方程组的解也是二元一次方 程的解，则 的值为__． 挖教材 析真题 炼方法 12 9.解下列三元一次方程组： （1） 解：②代入方程①，得 ． 把用3代入①和③,得 解得因此， 是原三元一次方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 13 （2） 解：可得 ．④ ，得，解得 ． 把用1代入④式，得 ． 把用1、用2代入①式，得 ． 因此， 是原方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 14 10.一种饮料有大、中、小3种包装，1个中瓶比2个小瓶便宜2角， 1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元 6角，3种包装的饮料每瓶各多少元？ 解：设大瓶每瓶元，中瓶每瓶元，小瓶每瓶 元． 由题意，得解得 答：大瓶每瓶5元，中瓶每瓶3元，小瓶每瓶1.6元． 挖教材 析真题 炼方法 15 11.有一个三位数，其各数位上的数字和是16，十位上的数字是个 位上的数字和百位上的数字的和，如果把百位上的数字与个位上 的数字对调，那么新数比原数大594，求原三位数． 挖教材 析真题 炼方法 16 $知识梳理： 1.二元一次方程：含有______未知数，并且含未知数的项的次数 都是___的方程叫作二元一次方程. 2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程左右两边的____ 相等的______未知数的值，叫作二元一次方程的解. 3.二元一次方程组：只含有______未知数，并且含未知数的项的 次数都是1的________叫作二元一次方程组. 两个 1 值 两个 两个 方程组 挖教材 析真题 炼方法 1 4.二元一次方程组的一个解：一般地，对于未知数， 的二元一 次方程组，若，分别用数， 代入，能使每个方程左右两边 的值______，则把 叫作这个方程组的一个解.习惯上记作 5.解方程组：求方程组的解的______叫作解方程组. 相等 过程 挖教材 析真题 炼方法 2 知识点1 二元一次方程及其解 1.下列方程是二元一次方程的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.已知方程 ，下列选项中是此方程的解的是( ) B A. B. C. D. 3.已知是关于， 的二元一次方程，则 ____． 挖教材 析真题 炼方法 4 知识点2 二元一次方程组及其解 4.下列方程组是二元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 5. 是下列哪个方程组的解( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 6.（丹东中考）二元一次方程组 的解为( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 7 知识点3 根据题意列二元一次方程（组） 7.（益阳中考）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用 1 580元购进，两种劳动工具共145件，， 两种劳动工具每 件分别为10元，12元．设购买， 两种劳动工具的件数分别为 ， ，那么下面列出的方程组中正确的是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 8 8.（内蒙古中考）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负， 每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设 该队胜场，负场，则根据题意，列出关于, 的二元一次方程 组正确的是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 9 9.（1）根据题意列出关于, 的二元一次方程或方程组: ①长方形的长为,宽为,周长为 ; 解: . ②在一次捐款活动中,甲、乙两班共捐3 200元,已知甲班捐款数比 乙班捐款数的2倍多50元.设甲班捐款元,乙班捐款 元; 解: 挖教材 析真题 炼方法 10 （2） 是（1）中列出的方程或方程组的解吗? [答案] 不是（1）中列出的方程的解,是（1）中列出 的方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 11 10.（教材P119习题 变式）《九章算术》中，一次方程组是 由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图表示的方程组就是 类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为( ) 图1 图2 挖教材 析真题 炼方法 12 A. B. C. D. √ 挖教材 析真题 炼方法 13 11.（黑龙江中考）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校 决定用1 200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个 90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有( ) A A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 挖教材 析真题 炼方法 14 12.判断下列各组数是不是二元一次方程组的解． （1） 解：①当，时， ，故①不是方程组 （1）的解； ②当，时，， ，故②是 方程组（1）的解． 挖教材 析真题 炼方法 15 （2） 解：①当，时，， ，故①是 方程组（2）的解； ②当，时， ，故②不是方程组（2） 的解. 挖教材 析真题 炼方法 16 13.（教材P119习题 变式）《孙子算经》是我国古代一部较 为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷“雉兔同笼”流传尤 为广泛．“雉兔同笼”题为：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足. （1）设鸡有只，兔有 只，试列出相应的二元一次方程组； 解：根据等量关系，得 挖教材 析真题 炼方法 17 $类型1 用代入消元法解二元一次方程组 1.解方程组： 解：把①代入②，得.解得 . 把用1代入①，得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 1 2.解方程组： 解：由①，得 .③ 把③代入②，得.解得 . 把用代入③，得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 2 类型2 用加减消元法解二元一次方程组 3.解方程组： 解：，得，解得 . 把用4代入②，得，解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 3 4.解方程组： 解：，得,解得 . 把用1代入①，得,解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 4 5.解方程组： 解：，得 .③ ，得，解得 . 把用1代入①，得,解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 5 6.解方程组： 解：，得. ，得. ，得，解得 . 把用代入②，得 ， 解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 6 类型3 选择适当的方法解二元一次方程组 7.解方程组： 解：原方程组变形为 ，得.解得 . 将用1代入②，得 . 解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 7 8.解方程组： 解：将②代入①，得.解得 . 把用3代入②，得.解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 8 9.解方程组： 解：，得 . 解得 . 把用20代入①，得 . 解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 9 10.解方程组： 解：原方程组变形为 ，得.解得 . 把用7代入①，得.解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 10 类型4 用换元法解二元一次方程组 11.【注重阅读理解】先阅读，再解方程组. 解方程组： 设， ， 则原方程组变为 挖教材 析真题 炼方法 11 变形为 解这个方程组，得即 解得 挖教材 析真题 炼方法 请用这种方法解下面的方程组： 解：设， ， 则原方程组变为 解得即解得 挖教材 析真题 炼方法 13 类型5 构造二元一次方程组求字母的值 12.（扬州中考）对于任意实数，，定义关于“ ”的一种运算 如下：.例如 . （1）求 的值； 解：因为 ， 所以 . 挖教材 析真题 炼方法 14 $知识梳理： 1.等间隔植树类问题的等量关系： （1）______________×________ 路程； （2）两端都种树时：间隔数__________ ． 树的间隔长度 间隔数 树的棵数 挖教材 析真题 炼方法 1 2.调配问题的解决策略. （1）认真审题，清晰判断出对象的流动方向的数量； （2）巧妙地设未知数，构建恰当的调配图； （3）找出关键词，正确地列出方程； （4）准确地解方程； （5）作答并检验． 挖教材 析真题 炼方法 2 知识点1 调配问题 1.甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，要使两队的汽车一 样多，则需要从甲队调 辆汽车到乙队．由此可列方程为( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给 两个队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，则应分配到 甲车队___辆车． 4 3.甲、乙两车队共有汽车160辆，因工作需要需从乙队调20辆车 到甲队，这时甲队的汽车数恰好是乙队汽车数的3倍，求甲队原 有汽车多少辆？ 挖教材 析真题 炼方法 4 解：设甲队原有汽车辆,则乙队原有汽车 辆． 根据题意，得 . 解得 ． 答：甲队原有汽车100辆． 挖教材 析真题 炼方法 5 知识点2 等间隔植树类问题 4.某市计划把某一段公路的一侧全部栽上丁香树，要求路的两端 各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等.如果每隔7米栽1棵，则树苗 缺17棵；如果每隔8米栽1棵，则树苗多出1棵.求原有树苗的棵数. 解：设原有树苗 棵.根据等量关系，得 . 解得 . 答：原有树苗128棵. 挖教材 析真题 炼方法 6 5.（教材P115练习T2变式）某县政府在成立60周年县庆来临之际， 为了做好城市的美化、亮化工作，政府在瑶都大道两旁安装了瑶 鼓节能型路灯（每边两端必需各安装1盏）.现在每两盏灯距离大 约是40米，安装一边用了251盏；如果改用另一种型号的节能型 路灯，且每两盏灯的距离改为50米，安装一边需要多少盏？ 挖教材 析真题 炼方法 7 解：设每两盏灯的距离改为50米时，安装一边需要 盏.根据等量 关系，得 . 解得 . 答：每两盏灯的距离改为50米时，安装一边需要201盏. 挖教材 析真题 炼方法 8 6.某工厂甲车间有54人，乙车间有48人，要使甲车间人数是乙车 间人数的2倍，则需要从乙车间调往甲车间____人． 14 7.甲组有31人，乙组有20人，现又调来18人，要使甲组人数是乙 组人数的2倍，问应往甲组分配多少人？若设应往甲组分配 人， 则 ____． 15 挖教材 析真题 炼方法 9 8.甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙车队车数 比甲车队车数的2倍还多1辆，应从甲车队调多少辆车到乙车队？ 解：设应从甲车队调 辆车到乙车队． 根据题意，得 . 解得 ． 答：应从甲车队调20辆车到乙车队． 挖教材 析真题 炼方法 10 9.某厂甲车间有工人32人，乙车间有工人62人，现在从厂外又招 聘98名工人分配到两个车间，问如何分配才能使乙车间人数是甲 车间人数的3倍？ 挖教材 析真题 炼方法 11 解：设分配人到甲车间，则分配 人到乙车间． 根据题意，得 ， 解得 ． 所以 （人）． 答：分配16人到甲车间，分配82人到乙车间才能使乙车间人数是 甲车间人数的3倍． 挖教材 析真题 炼方法 12 10.某校组织七年级（1）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实 践，其中甲队人数是乙队人数的2倍，后因劳动需要，从甲队抽 调16人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半，则甲、乙两 队原来各有多少人？ 解：设乙队原来有人，则甲队原来有 人． 根据题意，得 . 解得 ． 所以 （人）． 答：甲队原来有32人，乙队原来有16人． 挖教材 析真题 炼方法 13 11.为保持水土，美化环境，某中学准备在校门口到柏油公路的这 一段土路的两侧栽一些树，并要求土路两侧树的棵数相等，间距 也相等，且首、尾两端均栽上树，现在学校已备好一批树苗，若 间隔30米栽一棵，则缺少22棵；若间隔35米栽一棵，则缺少14棵. 挖教材 析真题 炼方法 14 （1）求该校备好的树苗棵数； 解：设学校备好的树苗为 棵.根据题意，得 . 解得 . 答：学校备好的树苗为36棵. 挖教材 析真题 炼方法 15 （2）某苗圃负责人听说某中学想在校外土路两旁栽树的上述情 况后，觉得两树间距太大，既不美观，又影响防风固沙的效果， 决定无偿支援某中学300棵树苗.请问：这些树苗加上学校自己备 好的树苗，间隔5米栽一棵，树苗是否够用？ 挖教材 析真题 炼方法 16 $知识梳理： 1.行程问题的基本数量关系: 路程 ______×______. 速度 时间 挖教材 析真题 炼方法 1 2.常见行程问题中的等量关系: （1）相遇问题:甲的路程___乙的路程 总路程（速度和×相遇时 间 总路程）； （2）追及问题:运动速度快的行驶的路程__运动速度慢的行驶的 路程相距的路程（速度差×相遇时间 相距的路程）； （3）航行问题:顺航速度 静航速度 ___水速（风速）；逆航速 度 静航速度-水速（风速）. - 挖教材 析真题 炼方法 2 知识点1 相遇问题 1.甲、乙两地相距， 车从甲地开车前往乙地，速度为 ，车从乙地开车前往甲地，速度为 .设两车相 遇的地点离甲地 ，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.小明和小刚从相距24千米的两地同时相向而行，3小时后两人 相遇，小明的速度是4千米/时，小刚的速度为( ) C A.2千米/时 B.3千米/时 C.4千米/时 D.5千米/时 挖教材 析真题 炼方法 4 3.甲、乙两人在长400米的环形跑道上跑步,速度分别为5米/秒和3 米/秒，他们同时在同一端点朝相反方向出发，经过多少秒两人 第一次相遇? 解:设第一次相遇所需的时间为 秒. 根据题意,得 . 解得 . 答:经过50秒两人第一次相遇. 挖教材 析真题 炼方法 5 知识点2 追及问题 4.一列慢车从地出发1个小时后，一列快车也从 地出发追赶慢 车，已知快车速度是每小时80千米，慢车速度是每小时60千米， 小时后快车追上慢车，此时慢车行驶的时间为________小时； 慢车行驶的路程为__________小时；快车行驶的路程为_____千 米，两车所行驶的路程之间的关系是：______，因此可列方程为： ________________，解得 ___，即___小时后快车追上慢车. 相等 3 3 挖教材 析真题 炼方法 6 5.两列火车同时同向而行，出发时慢车在快车前方60千米，其中 慢车的速度是快车的 ，行驶半小时后快车追上慢车.求快车和慢 车的速度分别是多少？ 挖教材 析真题 炼方法 7 解：设快车的速度是千米/时，则慢车的速度是 千米/时.根据 等量关系，得 . 解得 . （千米/时）. 答：快车的速度为200千米/时，慢车的速度为80千米/时. 挖教材 析真题 炼方法 8 知识点3 顺流（风）、逆流（风）问题 6.一架飞机在两城之间飞行，顺风需5.5小时，逆风需6小时.已知 风速为24千米/时，则飞机在无风时的飞行速度为_____千米/时. 552 挖教材 析真题 炼方法 9 7.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返 回甲码头逆流行驶，用了3小时.已知水流的速度是3千米/时，求 甲、乙两码头之间的距离. 解：设船在静水中的平均速度为 千米/时，则船在顺水中的平均 速度为千米/时，船在逆水中的平均速度为 千米/时. 根据等量关系，得 . 解得 . 则 （千米）. 答：甲、乙两码头之间的距离为36千米. 挖教材 析真题 炼方法 10 8.甲、乙二人从相距21千米的两地同时出发，相向而行，120分 钟后相遇.甲每小时比乙多走500米，设乙的速度为 千米/时，下 面所列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 11 9.，两地相距40千米，甲从地步行到地，乙从地步行到 地，甲比乙晚出发1小时，乙出发5小时后两人在途中相遇，已知 甲每小时比乙多走1千米，则甲每小时走多少千米？( ) B A.4千米 B.5千米 C.6千米 D.7千米 挖教材 析真题 炼方法 12 10.某铁路桥长 ，现有一列火车从桥上通过，测得该火车 从开始上桥到完全过桥共用了 ，整列火车完全在桥上的时 间共 ，则火车的长度为( ) C A. B. C. D. 11.一艘轮船航行于甲、乙两地之间，航行单程顺水要用 ，逆 水比顺水多用，已知轮船在静水中速度是 ，则水 流的速度为________. 挖教材 析真题 炼方法 13 12.，两地相距480千米，一列慢车从 地出发，每小时行驶60 千米，一列快车从 地出发，每小时行驶65千米. （1）若两车同时出发相向而行， 小时后相遇，可列方程 _________________； （2）两车同时出发相背而行， 小时后两车相距620千米，可列 方程_______________________； 挖教材 析真题 炼方法 14 （3）若慢车出发1小时后快车从 地出发，同向而行，请问快车 出发几小时后追上慢车？ 解：设快车出发 小时后追上慢车.根据题意，可得 . 解得 . 答：快车出发108小时后追上慢车. 挖教材 析真题 炼方法 15 13.“健康出行,绿色环保”,星期天小李骑自行车从家出发到某景区 去游玩，他先在景区待了 ，然后在景区某农家特色小吃处品 尝风味小吃用去了 ，最后愉快地返程.已知去时的速度为 ，返回时的速度为，这次游玩共用了 ，返回时 因绕道多走了 ，求去时的路程. 解:设去时的路程是 ，根据题意，得 ， 解得 . 答:去时的路程是 . 挖教材 析真题 炼方法 16 14.已知，两地相距1 000米，甲、乙两人分别从， 两地同 时出发，沿着同一条直线公路相向而行.若甲以7米/秒的速度骑自 行车前进，乙以3米/秒的速度步行前进，求经过多长时间两人相 距100米. 挖教材 析真题 炼方法 17 $ 知识点 用一元一次方程解决工程问题 1.有一项城市绿化整治任务交给甲、乙两个工程队完成,已知甲单 独做10天完成，乙单独做8天完成,若甲先做1天，然后甲、乙合 做 天后,共同完成任务,则可列方程为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 1 2.一项工作,甲单独做需要10小时完成,乙单独做需要15小时完成, 那么甲每小时完成总工作量的___,乙每小时完成总工作量的___, 若设甲、乙合做需要 小时可完成该项工程，则可列方程为_____ ______,解得 ___. 6 3.某项工程,甲单独做需5天完成,乙单独做需10天完成,现在由甲先 做2天,然后甲、乙合做完成此项工程,若设甲一共做了 天,则可列 方程为___________. 挖教材 析真题 炼方法 2 4.学校校办工厂需制作一块广告牌,请来师徒二人,已知师父单独 完成需4天,徒弟单独完成需6天,现由徒弟先做一天,再由两人合作 完成,完成后共得到报酬900元,如果按各人完成的工作量计算报酬， 那么该如何分配? 挖教材 析真题 炼方法 3 解:设两人一起做了 天.根据题意,得 .解得 . 故师父应得报酬为 （元）; 徒弟应得报酬为 （元）. 答:师父应得报酬为450元,徒弟应得报酬为450元. 挖教材 析真题 炼方法 4 5.一项工作,甲单独完成要9天,乙单独完成要12天,丙单独完成要15 天,若甲、丙先做3天后,甲有事离开,由乙接替甲的工作,则完成这 项工作的 还需( ) B A.3天 B.2天 C.4天 D.5天 挖教材 析真题 炼方法 5 6.为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政 府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工 程,由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工 程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工 程队每天比乙工程队多掘进2米.按此速度完成这项隧道贯穿工程, 甲、乙两个工程队还需联合工作多少天? 挖教材 析真题 炼方法 6 解：设甲工程队每天掘进米,则乙工程队每天掘进 米.根 据题意,得 . 解得 . 所以乙工程队每天掘进 （米）. （天） 答：甲、乙两个工程队还需联合工作10天. 挖教材 析真题 炼方法 7 7.报社需要在 内将一篇紧急宣传文稿输入电脑.已知独立完 成此项任务,小王需要,小李只需要 .小王独自输入了 后,因为急于完成任务,请求小李帮助他（求助时间忽略不 计）,他们能在要求的时间内完成任务吗?请说明理由. 挖教材 析真题 炼方法 8 $1.解下列方程： （1） ； 解：去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边都除以4，得 ． 挖教材 析真题 炼方法 1 （2） ； 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 2 （3） ； 解：去分母，得 , 去括号，得 , 移项、合并同类项，得 , 两边都除以7，得 . 挖教材 析真题 炼方法 3 （4） ； 解：方程整理，得 , 去分母，得 , 去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 . 挖教材 析真题 炼方法 4 （5） . 解：去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 5 2.解方程： . 解:去分母，得 , 移项、合并同类项，得 ， 两边都除以5，得 ， 去绝对值，得或 . 挖教材 析真题 炼方法 6 3.一题多解是培养我们发散思维的重要方法，方程“ ”可以有多种不同的解法， 观察此方程，假设 . （1）则原方程可变形为关于 的方程：_________________，通 过先求的值，从而可得 ___； 2 挖教材 析真题 炼方法 7 （2）利用上述方法解方程： . 解：设，则原方程可变形为 . 去括号，得 ， 移项，得 ， 挖教材 析真题 炼方法 8 $教材母题 （教材P116习题 ） 【古代数学问题】今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足 四．问人数、物价各几何？ ——《九章算术·盈不足》 意思是：几个人一起购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱； 如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人？物品的价格是多少？ 挖教材 析真题 炼方法 1 解：设有 人. 根据题意，得 ， 解得 ， 物品的价格是 （钱）. 答：有7人，物品的价格是53钱． 挖教材 析真题 炼方法 2 类型1 总量=各部分量的和 1.目前节能灯在城市已基本普及.某商场计划购进甲、乙两种节能 灯共1 200只，这两种节能灯的进价、售价如下表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 如何进货，进货款恰好为40 000元？ 挖教材 析真题 炼方法 3 解：设商场购进甲型节能灯只，则购进乙型节能灯 只.根据题意，得 ， 解得 . 乙型节能灯为 （只）. 答：购进甲型节能灯700只，购进乙型节能灯500只，进货款恰好 为40 000元. 挖教材 析真题 炼方法 4 2.现有一项工程，甲队单独完成需10天，乙队单独完成需6天. （1）若甲队单独做2天后两队再合做，则甲、乙两队再合做多少 天才能把该工程完成？ 解：设甲、乙两队再合作 天才能把该工程完成. 根据题意，得 ，解得 . 答：甲、乙两队再合做3天才能把该工程完成. 挖教材 析真题 炼方法 5 （2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为500元，乙队每天 的施工费用为600元，则完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 解： （元）. 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共4 300元. 挖教材 析真题 炼方法 6 类型2 利用同一个量的两种不同形式建立等量关系 3.（张家界中考）中国“最美扶 贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开 通后，张家界到怀化的运行时间 由原来的3.5小时缩短至1小时， 运行里程缩短了40千米.已知高 铁的平均速度比普通列车的平均 速度每小时快200千米，求高铁的平均速度. 挖教材 析真题 炼方法 7 解：设高铁的平均速度为 千米/时，则普通列车的平均速度为 千米/时.根据题意,得 ，解得 . 答：高铁的平均速度为296千米/时. 挖教材 析真题 炼方法 8 4.（桂林中考节选）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要 进行绿化改造.现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队 每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合 做一天能完成800平方米的绿化改造面积.甲、乙两工程队每天各 能完成多少平方米的绿化改造面积？ 挖教材 析真题 炼方法 9 $知识梳理： 代入消元法：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知 数的代数式表示，然后把这个代数式代入另一个方程中，便消去 了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就 可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代入前面 的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元 一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫做代入消元法. 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点1 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 1.把方程改写为用含的代数式表示 的形式( ) C A. B. C. D. 2.已知方程，把方程写为用含的代数式表示 的形 式是___________，把方程写为用含的代数式表示 的形式是 ___________. 挖教材 析真题 炼方法 2 3.把下列方程改写成用含的式子表示 的形式： （1） ； 解：去分母，得 ， 移项，得 ， 两边都除以4，得 . 挖教材 析真题 炼方法 3 （2） . 解：移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边都除以，得 . 挖教材 析真题 炼方法 4 知识点2 用代入消元法解二元一次方程组 4.已知关于，的方程组 将②代入①可得( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 5.二元一次方程组 的解是( ) B A. B. C. D. 6.二元一次方程组 的解为_ _______． 挖教材 析真题 炼方法 6 7.用代入消元法解下列方程组： （1） 解：把①式代入方程②，得 ， 解得 ． 把用2代入①式，得 . 因此， 是原二元一次方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 7 （2） 解：将方程②移项，得 ．③ 把③式代入方程①中，得 ， 解得 ． 将用1代入③式，得 ． 因此， 是原二元一次方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 8 8.把方程写成用含的代数式表示 的形式，以下 各式正确的是( ) A A. B. C. D. 9.解二元一次方程组得 ( ) D A. B. C. D.5 挖教材 析真题 炼方法 9 10.关于，的二元一次方程组 若 ，则 的值为___． 11.若，则___， ___. 5 2 1 挖教材 析真题 炼方法 10 12.用代入消元法解下列方程组： （1） 解：将方程①移项，得 .③ 把③式代入方程②中，得 ， 解得 . 把用1代入③式，得 ， 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 11 （2） 解：将方程②移项，得 .③ 把③式代入方程①中，得 ， 解得 . 把用代入③式，得 . 因此， 是原二元一次方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 12 13.甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程① 中的，解得乙看错②中的，解得 挖教材 析真题 炼方法 13 （1）求， 的值； 解：由题意，知是二元一次方程 的一个解， 是二元一次方程 的一个解，所以 ， ， 解得, . 挖教材 析真题 炼方法 14 （2）求原二元一次方程组的解. 解：由（1），知, ， 所以原方程组为 将方程①移项、两边都除以 ，得 .③ 把③式代入方程②中，得 ， 挖教材 析真题 炼方法 15 $知识梳理： 加减消元法：对于二元一次方程组，把一个方程进行适当变形后， 再加上（或减去）另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含 另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个 未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的任意一个方程， 就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的 解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 挖教材 析真题 炼方法 1 知识点1 用加减消元法解某一未知数的系数的绝对值相等的 方程组 1.已知二元一次方程组 将 得( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 2 2.方程组 的解是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 3.用加减消元法解方程组： 解：，得 ， 两边都除以3，得 . 把用3代入方程①，得 , 解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 4 知识点2 用加减消元法解某一未知数的系数的绝对值有倍数 关系的方程组 4.用加减消元法解方程组 时，最简捷的方法是 ( ) D A.消去 B.消去 C.消去 D.消去 挖教材 析真题 炼方法 5 5.方程组消去 后得到的方程是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 6.用加减消元法解下列方程组： （1） 解：，得 .③ ，得 ， 去括号，得 ， 挖教材 析真题 炼方法 7 合并同类项，得 ， 两边除以7，得 ， 把用4代入②，得，解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 8 （2） 解：，得 .③ ，得 ， 去括号，得 ， 合并同类项，得 ， 两边除以11，得 . 把用2代入①，得，解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 9 7.用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中 ( ) D A.某一个未知数的系数是1 B.同一个未知数的系数相等 C.同一个未知数的系数互为相反数 D.同一个未知数的系数的绝对值相等 挖教材 析真题 炼方法 10 8.用加减消元法解方程组 时，要使方程组中同一个未 知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中 正确的是( ) D A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 挖教材 析真题 炼方法 11 9.已知是二元一次方程组的解，则 的值为___． 4 挖教材 析真题 炼方法 12 10.用加减消元法解下列方程组： （1） 解：，得 .③ ，得 ， 去括号，得 ， 挖教材 析真题 炼方法 13 合并同类项，得 ， 两边都除以7，得 ． 把用2代入③式，得 ， 解得 . 因此， 是原二元一次方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 14 （2） 解：，得 .③ ，得 ， 去括号，得 ， 合并同类项，得 ， 挖教材 析真题 炼方法 15 两边都除以8，得 ． 把用代入③，得 ， 解得 ． 因此， 是原二元一次方程组的解． 挖教材 析真题 炼方法 16 11.已知方程组与方程组 的解相同． （1）求这两个方程组的解． 解：因为方程组与方程组 的解相 同， 挖教材 析真题 炼方法 17 所以方程组 的解即为两个方程组的解， 解方程组得 所以这两个方程组的解为 挖教材 析真题 炼方法 18 $复习点1 方程及一次方程（组）的相关概念 1.下列各式中，是方程的是( ) D A. B. C. D. 2.已知是关于的一元一次方程，则 的值为 ( ) A A.3 B. C.或 D.或 3.若是关于， 的二元一次方程，则 的 值是( ) A A.1 B.任何数 C.2 D.1或2 挖教材 析真题 炼方法 1 4.写出一个关于的一元一次方程,且它的解为 ，如 _________________________. 5.若方程组 是二元一次方程组，则“…”可 以是__________________________________． （答案不唯一） （答案不唯一，符合即可） 挖教材 析真题 炼方法 2 复习点2 等式的基本性质 6.下列等式变形正确的是( ) C A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 挖教材 析真题 炼方法 3 7.设“ , , ”分别表示三种不同质量的物体，如图（1），（2）所 示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡， 那么在右盘中应该放“ ”的个数为( ) B A.6个 B.5 个 C.4 个 D.3个 挖教材 析真题 炼方法 4 复习点3 一次方程（组）的解法 8.解方程 时，去分母正确的是( ) C A. B. C. D. 9.关于,的方程组 的解是则 的值 是( ) B A.4 B.9 C.5 D.11 挖教材 析真题 炼方法 5 10.解下列方程（组）： （1） ； 解：移项，得 , 合并同类项，得 , 两边都除以8，得 . 挖教材 析真题 炼方法 6 （2） 解：将①式代入方程②中，得 ， 解得 . 把用2代入①式，得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 7 （3） 解：，得，解得 . 把用3代入①式，得 . 因此， 是原二元一次方程组的解. 挖教材 析真题 炼方法 8 复习点4 一次方程（组）的应用 11.一个大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个 大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱 子装洗衣粉( ) C A.6.5千克 B.7.5千克 C.8.5千克 D.9.5千克 挖教材 析真题 炼方法 9 12.（陕西中考）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小 笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种 小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价． 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是 元，则小笔记本的单 价是 元. 根据题意列方程，得 ， 解得 . 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 挖教材 析真题 炼方法 10 13.（安徽中考）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销 售单价进行了如下调整：甲地上涨 ，乙地降价5元．已知销 售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求 调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 挖教材 析真题 炼方法 11 解：设调整前甲地该商品的销售单价为 元，乙地该商品的销售 单价为 元． 由题意，得 解得 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 价为50元． 挖教材 析真题 炼方法 12 14.为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买， 两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏 型节能灯共需要40元， 购买2盏型和3盏 型节能灯共需要70元． 挖教材 析真题 炼方法 13 （1）， 两种型号节能灯的单价分别是多少元？ 解：设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为 元. 由题意，得解得 答：种型号节能灯的单价为20元， 种型号节能灯的单价为10元. 挖教材 析真题 炼方法 14 $