江苏省苏州市昆山市葛江中学2021～2022学年八年级下学期 数学期末教学质量调研测试

江苏省苏州市昆山市葛江中学2021~2022学年八年级下学期 数学期末教学质量调研测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案直接填在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　） A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命 B．调查盐城市中小学生的课外阅读时间 C．对全市中学生观看电影《流浪地球》情况的调查 D．对量子通信卫星的零部件质量情况的调查 3．（3分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在一只不透明的袋子里装有1个红球和100个白球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到白球是（　　） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上事件都有可能 5．（3分）把一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配成（x+p）2＝q的形式，则p、q的值是（　　） A．p＝﹣2，q＝5 B．p＝﹣2，q＝3 C．p＝2，q＝5 D．p＝2，q＝3 6．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（2，﹣4） B．图象分别在二、四象限 C．y≤1时，x≥﹣8 D．在每个象限内y随x增大而增大 8．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC 9．（3分）如图，△ABC的中线AD，CE相交于点O，连接DE，当四边形ODBE的面积为1时，则△DOE的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，等边△ABC的顶点A，B分别在函数y＝﹣图象的两个分支上，且AB经过原点O．当点A在函数y＝﹣的图象上移动时，顶点C始终在函数y＝的图象上移动，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．2 D．3 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）计算2﹣的结果是 　 　． 12．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（1，6）和（m，﹣3），则m＝　 　． 13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP＝　 　． 14．（3分）若关于x的方程＝3的解为非负数，则m的取值范围是　 　． 15．（3分）如图，小丽在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网3米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网　 　米处． 16．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 　 　． 17．（3分）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜﹣b的解集是 　 　． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为1，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点．连接FM，则线段FM的最大值是 　 　． 三、解答题：（本大题共10小题，共76分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．（8分）计算：（1）； （2）． 20．（6分）化简代数式：﹣÷，直接写出x为何整数时，该代数式的值也为整数． 21．（8分）解下列方程： （1）﹣＝0； （2）x2﹣2x﹣6＝0． 22．（6分）为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某区积极响应党的号召，鼓励老师们踊跃捐款．为了了解该区老师们的捐款情况，抽取了部分老师的捐款金额进行统计，数据整理成尚不完整的统计表和统计图． 某区教师捐款金额抽样统计表 组别 捐款金额（元） 人数 A x≤100 2 B 100＜x≤200 10 C 200＜x≤300 D 300＜x≤400 14 E x＞400 4 （1）一共抽取了 　 　名老师； （2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为 　 　°； （3）该社区共有1000名老师，请估计捐款金额超过300元的老师有多少名？ 23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形ABCD的边长为3，∠BCD＝60°，求AE的长． 24．（6分）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：小明在地面上直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图1）．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的高度CD＝1.6m． 方案二：小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米（如图2）． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度．我选择方案 　 　． 25．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 26．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． （1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； （2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），AC的垂直平分线分别交BC，OA于点D，E，过点D的反比例函数的图象交AB于点F． （1）求反比例函数的表示式； （2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （3）连接OD，在反比例函数图象上存在点G，使∠ODG＝90°，直接写出点G的坐标． 28．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止． （1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD； （2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）设AE＝m，连接EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案直接填在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 2．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　） A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命 B．调查盐城市中小学生的课外阅读时间 C．对全市中学生观看电影《流浪地球》情况的调查 D．对量子通信卫星的零部件质量情况的调查 【解答】解：A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命适合抽样调查； B．调查盐城市中小学生的课外阅读时间适合抽样调查； C．对全市中学生观看电影《流浪地球》情况的调查适合抽样调查； D．对量子通信卫星的零部件质量情况的调查必须进行全面调查； 故选：D． 3．（3分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵＝， ∴＝+1＝+1＝． 故选：C． 4．（3分）在一只不透明的袋子里装有1个红球和100个白球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到白球是（　　） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上事件都有可能 【解答】解：在一只不透明的袋子里装有1个红球和100个白球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到白球是随机事件， 故选：A． 5．（3分）把一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配成（x+p）2＝q的形式，则p、q的值是（　　） A．p＝﹣2，q＝5 B．p＝﹣2，q＝3 C．p＝2，q＝5 D．p＝2，q＝3 【解答】解：∵x2﹣4x＝﹣1， ∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3， 则p＝﹣2，q＝3， 故选：B． 6．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项错误； C、原式＝2，所以C选项错误； D、原式＝＝2，所以D选项正确． 故选：D． 7．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（2，﹣4） B．图象分别在二、四象限 C．y≤1时，x≥﹣8 D．在每个象限内y随x增大而增大 【解答】解：A、当x＝2时，y＝﹣4，即反比例函数y＝﹣的图象经过点（2，﹣4），说法正确； B、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以图象分别在二、四象限，说法正确； C、y≤1时，x≤﹣8或x＞0，故C说法不正确； D、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以在每个象限内y随x增大而增大，说法正确； 故选：C． 8．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC 【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC， ∵∠EBC＝∠EBD， ∴∠EBD＝∠DEB， ∴BD＝DE， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∵BD＝DE， ∴四边形DBFE是菱形． 其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形， 故选：A． 9．（3分）如图，△ABC的中线AD，CE相交于点O，连接DE，当四边形ODBE的面积为1时，则△DOE的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设△DOE的面积为S， ∵△ABC的中线AD，CE相交于点O， ∴O点为△ABC的重心， ∴OC＝2OE，OD＝2OE， ∴S△AOE＝S△COD＝2S△ODE＝2S， S△AOC＝2S△COD＝4S， ∵BD＝CD， ∴S△BDE＝S△CDE＝S+2S＝3S， ∵四边形ODBE的面积为1， ∴3S+S＝1， ∴S＝． 故选：B． 10．（3分）如图，等边△ABC的顶点A，B分别在函数y＝﹣图象的两个分支上，且AB经过原点O．当点A在函数y＝﹣的图象上移动时，顶点C始终在函数y＝的图象上移动，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．2 D．3 【解答】解：∵函数y＝﹣图象关于原点对称， ∴OA＝OB， 连接OC，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AO⊥OC， ∴∠AOC＝90°，∠AOC＝30°， ∴∠AOE+∠COF＝90°， 设OA＝x，则AC＝2x，OC＝x， ∵AE⊥x轴，CF⊥x轴， ∴∠AEO＝∠OFC＝∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠COF＝∠OAE， ∴△AOE∽△OCF， ∴＝（）2＝， ∵顶点A在函数y＝﹣图象的两个分支上， ∴S△AOE＝， ∴S△OCF＝， ∵顶点C始终在函数y＝的图象上， ∴k＝9， 故选：B． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）计算2﹣的结果是 　﹣　． 【解答】解：原式＝﹣2 ＝﹣． 故答案为：﹣． 12．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（1，6）和（m，﹣3），则m＝　﹣2　． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，6）， ∴6＝，解得k＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝． ∵点（m，﹣3）在此函数图象上上， ∴﹣3＝，解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP＝　3﹣　． 【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点， 且AP＞BP， 则AP＝a＝＝﹣1． BP＝2﹣（﹣1）＝； 故答案为：3﹣ 14．（3分）若关于x的方程＝3的解为非负数，则m的取值范围是　m≤且m≠　． 【解答】解：去分母得：x+m﹣3m＝3x﹣9， 解得：x＝， 由分式方程的解为非负数，得到≥0且≠3， 解得：m≤且m≠， 故答案为：m≤且m≠ 15．（3分）如图，小丽在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网3米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网　6　米处． 【解答】解：如图所示： 已知网高BE＝0.8m，击球高度CD＝2.4m，AB＝3m， 由题意可得，△ABE∽△ACD ∴＝ ∴AC＝＝＝9（m）， ∴BC＝AC﹣AB＝6（m）， ∴她应站在离网6米处． 故答案为：6． 16．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 　k＜﹣1　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根， ∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0， 解得：k＜﹣1． 故答案为：k＜﹣1． 17．（3分）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜﹣b的解集是 　x＞5或0＜x＜1　． 【解答】解：不等式k1x＜﹣b的解集，即不等式k1x+b＜的解集，也就是y1＜y2时，所对应的自变量x的取值范围，根据图象及交点的横坐标可知， 当x＞5或0＜x＜1时，y1＜y2，即k1x＜﹣b， 故答案为：x＞5或0＜x＜1． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为1，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点．连接FM，则线段FM的最大值是 　2　． 【解答】解：延长EF到G，使FG＝EF，连接AG，BG， ∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝3， ∴AB＝＝＝3， ∵正方形BDEF的边长为1， ∴△BFG为等腰直角三角形， ∴BG＝BF＝， ∴AB﹣BG≤AG≤AB+BG（共线时相等）， 即3﹣≤AG≤3+， ∴2， ∵F为EG的中点，M为AE的中点， 故FM是△AEG的中位线， ∴FM＝AG， ∴≤FM≤2， ∴线段FM的最大值是2． 故答案为：2． 三、解答题：（本大题共10小题，共76分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．（8分）计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝5﹣4+2 ＝3； （2） ＝ ＝． 20．（6分）化简代数式：﹣÷，直接写出x为何整数时，该代数式的值也为整数． 【解答】解：﹣÷ ＝﹣ ＝﹣ ＝， ∵为整数，且x为整数， ∴＝﹣2，＝﹣1，＝1，＝2， ∴x＝﹣2或x＝﹣3或x＝1或x＝0， 又∵x（x+2）≠0，（x+1）（x﹣1）≠0， ∴x≠0，﹣2，±1， ∴x＝﹣3时，该代数式的值也为整数． 21．（8分）解下列方程： （1）﹣＝0； （2）x2﹣2x﹣6＝0． 【解答】解：（1）方程两边同乘x2﹣1得： （x+1）﹣2＝0， 解得x＝1， 检验，当x＝1时，x2﹣1＝0， ∴x＝1是增根，故原方程无解； （2）x2﹣2x﹣6＝0， x2﹣2x＝6， x2﹣2x+1＝7， （x﹣1）2＝7， x﹣1＝， 解得，． 22．（6分）为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某区积极响应党的号召，鼓励老师们踊跃捐款．为了了解该区老师们的捐款情况，抽取了部分老师的捐款金额进行统计，数据整理成尚不完整的统计表和统计图． 某区教师捐款金额抽样统计表 组别 捐款金额（元） 人数 A x≤100 2 B 100＜x≤200 10 C 200＜x≤300 D 300＜x≤400 14 E x＞400 4 （1）一共抽取了 　50　名老师； （2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为 　72　°； （3）该社区共有1000名老师，请估计捐款金额超过300元的老师有多少名？ 【解答】解：（1）14÷28%＝50（名）， 故答案为：50； （2）C组人数：50﹣2﹣10﹣14﹣4＝20（名）， 条形图如图所示： B组对应扇形的圆心角度数为360°×＝72°， 故答案为：72； （3）估计捐款金额超过300元的党员有：1000×＝360 （名）， 答：估计捐款金额超过300元的老师有360名． 23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形ABCD的边长为3，∠BCD＝60°，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC， ∴∠DOC＝90°， ∵DE∥AC，DE＝AC， ∴DE＝OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC， ∵∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝3， ∴OD＝OB＝， ∴OC＝， ∴AC＝2OC＝3， 由（1）得：四边形OCED为矩形， ∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝， 故AE的长为：． 24．（6分）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：小明在地面上直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图1）．测量：人与标杆的距离DF＝1m，人与旗杆的距离DB＝16m，人的目高和标杆的高度差EG＝0.9m，人的高度CD＝1.6m． 方案二：小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米（如图2）． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度．我选择方案 　一　． 【解答】解：方案一：如图1所示： 由已知得：CD∥EF∥AB， ∴△ECG∽△ACH， ∴，即， 解得：AH＝14.4米， ∴AB＝AH+BH＝14.4+1.6＝16（米）； 答：旗杆的高度是16米； 方案二：如图所示，延长AC，BD相交于点E， 则CD：DE＝1：1.5，得DE＝1.5CD＝3米， 由已知CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝，即＝， 解得：AB＝16． 答：旗杆的高度是16米． 故答案为：一． 25．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k﹣1≠0， ∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2＝0， ∴， ∴， 又∵且k≠1 ∴k不存在． 26．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． （1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； （2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 【解答】解：（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x， 依题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%． （2）设每台降价y元，则每台的销售利润为（40﹣y﹣30）元，四月份可售出50+×4＝（50+2y）台， 依题意得：（40﹣y﹣30）（50+2y）＝348， 整理得：y2+15y﹣76＝0， 解得：y1＝4，y2＝﹣19（不合题意，舍去）． 答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），AC的垂直平分线分别交BC，OA于点D，E，过点D的反比例函数的图象交AB于点F． （1）求反比例函数的表示式； （2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （3）连接OD，在反比例函数图象上存在点G，使∠ODG＝90°，直接写出点G的坐标． 【解答】解：（1）连接AD， ∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵B（4，2）， ∴AB＝2，BC＝4． 设AD＝CD＝x，则BD＝4﹣x， ∵四边形OABC矩形， ∴BC∥OA，∠B＝90°． 在Rt△ABD中，AD2＝BD2+AB2．即 x2＝（4﹣x）2+22． 解得． ∴点． 将点的坐标代入中， 解得：． ∴所求反比例函数表达式为； （2）DF∥AC． 将x＝4代入得，， ∴点． ∵B（4，2），A（4，0），C（0，2），， ∴AB＝2，，BC＝4，． ∴，． ∴． ∵∠B＝∠B， ∴△BDF∽△BCA， ∴∠BDF＝∠BCA． ∴DF∥AC； （3）存在， ∵， ∴OC＝2，CD＝， 如图，∵G点在反比例函数图象上， ∴设G（m，）， 过G作GH⊥BC于H， ∴GH＝﹣2，DH＝﹣m， ∵∠ODG＝90°， ∴∠GDH+∠CDO＝90°， ∵∠CDO+∠COD＝90°， ∴∠GDH＝∠COD， ∴△DHG∽△OCD， ∴＝， ∴＝， 解得：m＝，m＝（不合题意舍去）， ∴． 28．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止． （1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD； （2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）设AE＝m，连接EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAP+∠BPA＝90°， ∵∠MPN＝90°， ∴∠CPD+∠BPA＝90°， ∴∠BAP＝∠CPD， ∴△ABP∽△PCD； （2）解：的值为定值，该定值是，理由如下： 如图③，过点F作FG⊥BC于G， ∴∠FGP＝90°， ∴∠FGP＝∠B，∠PFG+∠FPG＝90°， 易知四边形ABGF是矩形， ∴FG＝AB＝2， ∵∠MPN＝90°， ∴∠EPB+∠FPG＝90°， ∴∠EPB＝∠FPG， ∴△EBP∽△PGF， ∴＝＝， ∴的值是定值，该定值为； （3）解：∵AE＝m， ∴BE＝2﹣m， ①当＝时，∵∠B＝∠EPF＝90°， ∴△BPE∽△PFE， ∴＝， ∴＝， ∴m＝； ②当＝时，∵∠B＝∠EPF＝90°， ∴△BPE∽△PEF， ∴＝， ∴＝， ∴m＝0， 综上，当m＝0或时，△BPE与△PEF相似． 学科网（北京）股份有限公司 $$