专题01 相似形（期中真题汇编，北京专用北京版）九年级数学上学期

专题01 相似形 5大高频考点概览 考点01 相似图形的相关概念及性质 考点02 相似三角形的性质 考点03 相似三角形的判定 考点04 相似三角形的实际应用 考点05 相似三角形的判定与性质综合 地 城 考点01 相似图形的相关概念及性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点，进行判断即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点（）， ∴； 故选A． 2．(24-25九上·北京延庆区·期中)如果，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据每个选项的比例整理变形，看看是否与相同，若相同则正确，反之不正确，据此即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，与不相同，故该选项不符合题意； B、∵，∴，与相同，故该选项符合题意； C、∵，∴，与不相同，故该选项不符合题意； D、∵，∴，与不相同，故该选项不符合题意； 故选：B 3．(24-25九上·北京通州区·期中)五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．0.618 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足， ∴为较长线段， 由，得， 故选：A． 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如果，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． 根据比例的性质，可得答案． 【详解】解：A、由比例的性质，得与一致，故A符合题意； B、由比例的性质，得与不一致，故B不符合题意； C、由比例的性质，得与不一致，故C不符合题意； D、由比例的性质，得与不一致，故D不符合题意． 故选：A． 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)已知，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可设，据此把代入到四个选项中求解判断即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴，，，， ∴，， ∴四个选项中只有D选项中的式子不正确，符合题意， 故选：D． 7．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选：D． 8．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在中，，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， ，，故A、C选择正确，不符合题意； ， ， ，故D正确，不符合题意，B错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 9．(23-24九上·北京第九中学·期中)古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，此人身高大约为 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 二、填空题 10．(24-25九上·北京房山区·期中)若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入约分即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．根据题意先过D作的平行线，交边于G，得出，再根据D为中点可得出，；同理求得，从而得出，即可得出的值． 【详解】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示： ∵D为中点，， ∴，即：， 又E为的中点，的延长线交于F，， ∴，即：， ∴， ∴． 12．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，在中，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 13．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)如图，四边形 四边形．    (1)______； (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）利用相似多边形的对应角相等可得：，，再根据四边形的内角和求出，即可求解求； （2）利用相似多边形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）解：四边形 四边形， ，， 又，， ， ，即， 故答案为：． （2）四边形 四边形， ，即， 解得：，． 地 城 考点02 相似三角形的性质 一、填空题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，如果，，，那么的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，若，则与的面积比等于 ．    【答案】 【分析】由，可得，证明，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质． 二、解答题 3．(24-25九上·北京房山区·期中)如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比． 【答案】画图见解析，相似比为 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的判定画出图形，然后求出对应边的比即可． 【详解】解：如图，即为所求， 由网格知：，，，，，， ∴，，， ∴， ∴即， 相似比为 4．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴； （2）解：∵ ， 即， ． 5．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，再根据垂直的定义得出，即可得出，则，即可求证； （2）根据相似三角形的性质出，即可求出，根据平行四边形的性质得出，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴，则， 解得：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；相似三角形对应边相等． 6．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，在中，点在边上，且满足，．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，易得，进而由，可证； （2）由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键． 7．(24-25九上·北京房山区·期中)已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求得∠B即可． 【详解】（1）∵， ， ∴∽． （2）解：∵∽， ∴． 在中，， ∵． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 地 城 考点03 相似三角形的判定 一、单选题 1．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故A不符合题意； 由即，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故B不符合题意； 由，结合条件不可以得到，故C符合题意； 由可得，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故D不符合题意； 故选：C． 2．(23-24九上·北京顺义区·期中)如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，得出角相等，即可证出三角形相似，然后即可选择答案． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共3对． 故选：B． 3．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，在矩形中，E，F分别是，上的点，若，则一定有（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中，， ，选项C正确； 与、与、与都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 4．(23-24九上·北京延庆区·期中)如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，则，故选项A不合题意； 若，则，故选项B不合题意； 若，则，故选项C不合题意； 若，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 二、填空题 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定进行添加条件即可． 【详解】解：由题意知， 添加，则， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 6．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，． (1)利用尺规作图在边上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形判定，三角形内角和定理与性质及作角平分线的方法，解题的关键是根据题意得到相似的条件是作角平分线． （1）作的角平分线，交边于点D； （2）根据两角对应相等三角形相似作等角即可得到答案． 【详解】（1）解：点D，如图所示， ； （2）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 7．(23-24九上·北京顺义区·期中)如图，． (1)与是否相似？请说明理由． (2)设，，求的值． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）相似，由平行线的性质得，结合可证明; （2）根据相似三角形列式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：相似，理由如下： ∵ ∴， 又， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴． 8．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角的和差关系得到，即可证明出． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 9．(23-24九上·北京房山区·期中)如图分别是的边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定；由条件得出，根据相似三角形的判定即可解决问题； 【详解】证明：∵， 又∵， ∴． 10．如图，的高，相交于点O．    (1)写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； (2)请任选一对进行证明． 【答案】(1)，，（写出一个即可） (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由于是直角三角形，因此可观察图中的几个直角三角形，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可找到与相似的三角形； （2）可选择与，根据“两角对应相等，两三角形相似”证明即可． 【详解】（1）与相似的三角形有，，， 故答案为：，，（写出一个即可）． （2） 证明：∵的高，相交于点O， ∴． ∵， ∴．    11．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)则__________°，__________； (2)判断与是否相似．若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定． （1）根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到的度数，再根据邻补角定义即可得到的度数；利用勾股定理，即可求出的值，构造利用勾股定理，是解题关键； （2）方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的倍，可求出对角线，的值，然后通过构造，利用勾股定理可求出的值，由此即可得到和三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出，的值，由（1）可得到的值，同理可求出的值，已知，的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键． 【详解】（1）解：如图，令的正方形顶点分别为，，，， 由题意得为边长为1的小正方形的对角线， ， ， 由图可知，是的斜边，， ． （2）解：判断：， 解法一： 证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线， ，， 由图可得是的斜边，， ， 又∵，， ， ， ． 解法二： 证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线， ，， 又，， ， ， ，都是正方形的对角线， ， ， ． 地 城 考点04 相似三角形实际应用 一、单选题 1．(23-24九上·北京延庆·期中)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 二、填空题 2．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，与交于点D．已测得，，，则河宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 故答案为：． 3．(24-25九上·北京通州区·期中)“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质．由矩形的性质可得出，，利用相似三角形的判定和性质，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴(米)， 故答案为：3． 4．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：4． 5．(23-24九上·北京延庆区·期中)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是 ．    【答案】 【分析】根据相似三角形的判定及性质可得（），进而可求解． 【详解】解：，且， ， ，即：， 解得：（）， （）， 树高是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 三、解答题 6．(24-25九上·北京延庆区·期中)小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是发现相似三角形以及牢记它的性质，本题根据相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比即可求解． 【详解】解：∵小明的眼睛到铅笔的距离为， ∴的边上的高等于， ∵铅笔始终与地面垂直， ∴与平行， ∴， ∴，即， ∴，经检验，符合题意； 答：旗杆的高度为． 7．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，结合镜面反射角度相等，证明，列出比例式，求解即可． 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴该古城墙的高度是． 8．(24-25九上·北京房山区·期中)学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意是解答的关键．分别证明和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即, 由得， ∴，解得， 答：昊天塔的高度为． 9．(23-24九上·北京顺义区·期中)某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：×××      组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在水平地面上直立一根标杆，观测者沿着直线后退到点，使眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一直线上． 测量数据 观测者与标杆的距离 观测者与旗杆的距离 标杆的长 观测者的眼睛离地面的距离 问题解决 如图，过点作于点，交于点． 请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、矩形的性质，可证得，得到，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于点，交于点． 根据题意，可得四边形与四边形是矩形． ，，， ，，． ， ． 根据题题意，得， ． 又， ． ，即．   ． ． 答：旗杆的高度为． 地 城 考点05 相似三角形的判定与性质综合 一、单选题 1．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)如图所示，点、分别在的、边上，且．如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，再结合求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C 2．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 3．(24-25九上·北京延庆区·期中)在中，，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质等知识点，在图中观察并找出相似三角形是解题的关键． 利用直角三角形的两个锐角互余可证得，，于是可得，进而可证得，根据相似三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，在中，点分别在边上，．若，则的长为（   ） A．4 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，在中，于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，然后证明，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 6．(23-24九上·北京通州区·期中)如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（    ） A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A 7．(23-24九上·北京房山区·期中)已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论： ①；②；③；④ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据和平分，平分推出即可证明，可证明①正确；根据推出，根据推出，从而推出，即可推出，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案． 【详解】∵， ∴ ∵平分，平分 ， ∴， ∴； 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵ ， ， ，故③正确； 故④不正确； 正确的有①②③. 故选: C. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键. 二、填空题 8．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查网格中的相似三角形，根据网格特点，证明，得到即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为： 9．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)如图，，，则与的周长之比为 ；面积之比为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定定理可知，再根据相似三角形的性质即可解答．本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵， ， ∴与的周长之比为，面积之比为． 故答案为：， 10．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，首先证明是等边三角形，得，求得，再证明，可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，在中，点E在上，交于点F，若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 12．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由全等三角形的性质得，，而，则，所以，则，可判断①正确；由，且，得，可判断②正确；证明，得，则，所以，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ，且， ， 故②正确； ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 故③正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 13．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，相交于点，若，则 ． 【答案】32 【分析】本题了相似三角形的判定与性质，证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：32． 三、解答题 14．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在平行四边形中，E为边上一点．若，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．利用平行四边形的性质求得，再证明，利用两角对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，判断，据此即可证明结论成立． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 【答案】． 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 16．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，D是边上一点，且，延长到点E，使，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：点C是的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似： （1）证明，利用相似比即可得出结论； （2）证明，列出比例式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C是的中点； （2）由（1）知：，点C是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用等角的余角相等，求得，即可证明； （2）由得到，利用勾股定理求得，，过点B作，交的延长线于H，证明，求得，，证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中线， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于H， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，，再由垂直的定义得到，据此可证明得到，即； （2）根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴． 19．(24-25九上·北京延庆区·期中)阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． (1)①直接写出的度数；②求线段的长； (2)参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可；根据平行线分线段成比例定理计算线段的长； （2）过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求出、，根据正切的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ； ②， ， ， ，， ， ， ， ； ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． ， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 20．(23-24九上·北京延庆区·期中)如图，点E是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点B落在边上，记作点F．    (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的证明与性质，折叠的性质等，熟练掌握相似三角形的证明及性质是解题关键． （1）通过矩形以及折叠性质得到，，即可得证． （2）通过第一问得到的相似三角形，通过对应边成比例算出的长度，再通过折叠性质，利用勾股定理及相似的性质可求得，进而得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 由折叠得：， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 21．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，在等腰三角形中，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使．    (1)求证：； (2)设，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ，，， ， ， 由题意得：， ． 22．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边行的性质可得，再证，即可求证； （2）可证，可得，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ． （2）解：四边形是平行四边形 ，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的模型：“”字形和“”字形的判定方法是解题的关键． 23．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质和折叠变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）根据两个角相等可证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式可得的长，再根据勾股定理列方程可得的值，从而可得答案 【详解】（1）证明：四边形是矩形 ， 沿直线将翻折，使得落在AD边上， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 即， 解得． 四边形是矩形， ， 沿直线将翻折，使得点落在边上， ， ， ， ， 即， 解得， 24．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，在中，，，过点的射线与斜边交于点，于点． (1)求证：； (2)连接，若满足，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余角和互余的性质，即可证明结论； （2）过点B作，交AD延长线与点F，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，最后利用勾股定理，即可求出的值．． 【详解】（1）证明： （2）解：如图，过点B作，交AD延长线与点F， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的特征，垂线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似形 5大高频考点概览 考点01 相似图形的相关概念及性质 考点02 相似三角形的性质 考点03 相似三角形的判定 考点04 相似三角形的实际应用 考点05 相似三角形的判定与性质综合 地 城 考点01 相似图形的相关概念及性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京延庆区·期中)如果，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京通州区·期中)五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．0.618 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如果，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)已知，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)如图，在中，，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 9．(23-24九上·北京第九中学·期中)古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 10．(24-25九上·北京房山区·期中)若，则 ． 三、解答题 11．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 12．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，在中，，．求的长． 13．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)如图，四边形 四边形．    (1)______； (2)求边，的长度． 地 城 考点02 相似三角形的性质 一、填空题 1．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，如果，，，那么的度数是 ． 2．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，若，则与的面积比等于 ．    二、解答题 3．(24-25九上·北京房山区·期中)如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比． 4．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 6．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，在中，点在边上，且满足，．    (1)求证：； (2)求的度数． 7．(24-25九上·北京房山区·期中)已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若，，求的度数． 地 城 考点03 相似三角形的判定 一、单选题 1．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·北京顺义区·期中)如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图，在矩形中，E，F分别是，上的点，若，则一定有（    ）． A． B． C． D． 4．(23-24九上·北京延庆区·期中)如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是 （写出一个即可） 三、解答题 6．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，． (1)利用尺规作图在边上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 7．(23-24九上·北京顺义区·期中)如图，． (1)与是否相似？请说明理由． (2)设，，求的值． 8．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 9．(23-24九上·北京房山区·期中)如图分别是的边上的点，．求证：． 10．如图，的高，相交于点O．    (1)写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； (2)请任选一对进行证明． 11．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)则__________°，__________； (2)判断与是否相似．若相似，请说明理由． 地 城 考点04 相似三角形实际应用 一、单选题 1．(23-24九上·北京延庆·期中)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，与交于点D．已测得，，，则河宽为 ． 3．(24-25九上·北京通州区·期中)“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为 米． 4．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度 ． 5．(23-24九上·北京延庆区·期中)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是 ．    三、解答题 6．(24-25九上·北京延庆区·期中)小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 7．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 8．(24-25九上·北京房山区·期中)学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 9．(23-24九上·北京顺义区·期中)某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：×××      组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在水平地面上直立一根标杆，观测者沿着直线后退到点，使眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一直线上． 测量数据 观测者与标杆的距离 观测者与旗杆的距离 标杆的长 观测者的眼睛离地面的距离 问题解决 如图，过点作于点，交于点． 请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆的高度． 地 城 考点05 相似三角形的判定与性质综合 一、单选题 1．(24-25九上·重点北京顺义区第三中学·期中)如图所示，点、分别在的、边上，且．如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京延庆区·期中)在中，，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，在中，点分别在边上，．若，则的长为（   ） A．4 B．10 C．12 D．16 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，在中，于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·北京通州区·期中)如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（    ） A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6 7．(23-24九上·北京房山区·期中)已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论： ①；②；③；④ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 8．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 9．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)如图，，，则与的周长之比为 ；面积之比为 ． 10．(24-25九上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为 ． 11．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，在中，点E在上，交于点F，若，则的值为 ． 12．(24-25九上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 13．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，相交于点，若，则 ． 三、解答题 14．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在平行四边形中，E为边上一点．若，，．求证：． 15．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 16．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，D是边上一点，且，延长到点E，使，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：点C是的中点； (2)若，求的长． 17．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 18．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 19．(24-25九上·北京延庆区·期中)阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． (1)①直接写出的度数；②求线段的长； (2)参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 20．(23-24九上·北京延庆区·期中)如图，点E是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点B落在边上，记作点F．    (1)求证：； (2)若，且，求的长． 21．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，在等腰三角形中，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使．    (1)求证：； (2)设，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围 22．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 23．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 24．(23-24九上·北京房山区·期中)如图，在中，，，过点的射线与斜边交于点，于点． (1)求证：； (2)连接，若满足，，求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $