专题20.2 二次根式的运算（1）（7大题型+能力训练） 同步培优讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题20.2 二次根式的运算（1） 知识点一、最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点二、 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 例如，与是同类次根式,而与不是同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 知识点三、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 知识点四、二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点五、二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点六、二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点七、二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01：最简二次根式 【例1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意， 故选：D． 【例2】将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 即：， 解得：， 原式， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 【跟踪训练】 1.（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 2.二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】、 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：、是最简二次根式， 被开方数含有分母，被开方数含有能开得尽方的因式，都不是最简二次根式． 故答案为：、． 3.已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 4.．化简： ； ． 【答案】 【分析】本题重点考查的是二次根式的化简，带分数化简时先将带分数化成假分数，再进行开平方化简；字母化简时首先判断字母的正负，再利用开平方化简． 【详解】解：∵，∴； ∵，∴，∴故答案为：；． 【点睛】掌握二次根式的基本性质与化简，二次根式的非负性是化简含字母问题的关键． 题型02：同类二次根式 【例3】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 【例4】如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，同类二次根式，几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，据此进行求解即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； C、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D、，与是同类二次根式，能合并，故本选项正确； 故选：D． 2.若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】1 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式，根据同类二次根式及最简二次根式的定义可得，解得的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， 解得：， 当时，二次根式有意义， 故； 故答案为：1． 题型03： 二次根式的加减运算 【例5】计算： 【答案】 【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【例6】计算： 【答案】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式= = =． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【例7】计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算．先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 【跟踪训练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 2．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】先对二次根式进行化简，然后再进行二次根式的加减运算． 【详解】解：原式＝ ＝． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算是解题的关键． 4．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 5.计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型04：二次根式的乘除运算 【例8】计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 【例9】计算：÷． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【例10】计算：． 【思路点拨】根据二次根式的乘除法法则进行解题即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝ ＝2． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【例11】计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【例12】计算：． 【答案】． 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【例13】计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 【跟踪训练】 1.计算∶ (1)； (2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的乘法： （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 2.计算： （1）； （2） 【思路点拨】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算二次根式的除法，再计算乘法即可． 【解析】解：（1） ＝ ＝ ＝12； （2） ＝ ＝ 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题主要考查二次根式的除法，直接运用二次根式的除法法则和性质进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 5.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式除以单项式法则计算，然后估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 7.计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则进行计算，可以先化简再除，也可以先除再化简． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． 【详解】（1）方法一： ； 方法二：； （2） （3） （4）方法一: 方法二： 【点睛】本题考查二次根式的除法，理解二次根式的性质，掌握二次根式除法运算法则是解题关键． 8.计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 9.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 题型05：二次根式的混合运算 【例14】计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）利用平方差公式，完全平方公式计算即可． 【解析】解：（1）原式＝2﹣3+3 ＝3﹣； （2）原式＝6﹣2+9﹣6+5 ＝18﹣6． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 【跟踪训练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可． 【详解】解：原式 ． 2.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的应用； （1）先依次计算二次根式的除法与乘法，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式与完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， ． 3.计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据二次根式的乘法运算法则和完全平方公式运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质及乘法运算法则运算，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型06：已知字母的值化简求值 【例15】若，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．先将代数式变形为，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【例16】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 【例17】已知，则 ． 【答案】7 【分析】对已知等式两边平方，展开计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【跟踪训练】 1.已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先根据完全平方公式将原式整理成，再代入求解即可． 【详解】解： 故答案为：10． 2.已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 3．先化简再求值：，其中 【答案】，1 【分析】先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可． 【详解】因为， 可知. 原式= = =． 所以原式= = =． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据a的大小化简是解题的关键． 题型07：二次根式运算的实际应用 【例18】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 【思路点拨】（1）根据海伦公式进行计算即可； （2）根据秦九韶公式进行计算即可． 【解析】解：（1）由条件可知， ∴． （2）∵，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【例19】高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）先计算高度得到h＝75，然后把h的值代入公式得到t的值； （2）把t＝4代入公式，然后求出h的值即可； （3）先计算高度得到h＝48，再利用公式E＝mgh计算出150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上产生的动能E为67.5J，然后利用67.5J＞65J可判断该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【解析】解：（1）（26﹣1）×3＝75（m）， 当h＝75时，t＝＝， 即该物品落地的时间为； 故答案为：； （2）当t＝4时，4＝， 解得h＝80（m）； 故答案为：80； （3）能． 理由如下： （16﹣1）×3＝45， 当h＝45，m＝150g＝0.15kg，g≈10N/kg，E＝0.15×10×45＝67.5（J）， ∵67.5J＞65J， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，在解决实际问题的过程中运用有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【跟踪训练】 1．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据题意可得算式，再计算即可． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握：． 2. 如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 3．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 【答案】该汽车超速了，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可． 【详解】解：该汽车超速了；理由： ∵，，， ∴ ． 故该汽车超速了． 4．2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海徐汇期末）在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的两个条件，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：根据条件①，排除，； 根据条件②，排除． 最简二次根式有三个：，，， 故选B． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先利用二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式化简后，被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海普陀期末）下列计算正确的是（　　） A．+＝ B．﹣＝ C．×＝6 D．÷＝4 【思路点拨】A、原式不能合并； B、原式第一项化简后，合并即可得到结果； C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果． 【解析】解：A、+不能合并，故选项错误； B、﹣＝2﹣＝，故选项正确； C、×＝＝，故选项错误； D、÷＝＝＝2，故选项错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，以及乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4.（24-25八年级上文来中学期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根数的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式混合运算法则计算即可； 【详解】解： 故选：B 5．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 6．（2024建平中学八年级上期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据题意表示出正方形的边长，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得两正方形的边长分别为：，， 故图中空白部分的面积为：． 故选：． 2、 填空题 7.（24-25八年级上·上海黄浦期末）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 8．（24-25八年级上延安中学期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组求解，得出a、b值，再代入计算即可． 【解析】银，根据题意，得 ，解得：， ∴ab=2-1=， 故答案为：． 【点睛】本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握同类二次根式概念是解题的关键． 9．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海普陀期中）计算：＝ 　　． 【思路点拨】先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（24-25八年级上·上海奉贤期中）计算＝ 　　． 【思路点拨】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减，属于基础题型，熟练掌握二次根式的加减法则是解题的关键． 13.（24-25八年级上·上海宝山期中）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 14.（24-25八年级上西南模范中这期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则． 根据二次根式的乘除法则进行计算，然后化简二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 15.（24-25八年级上·上海嘉定期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，逆用积的乘方公式是解题的关键．逆用积的乘方公式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 16．（24-25市北中学八年级上期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先求出，再由得出答案． 【详解】解：，，，， ，，．故答案为：． 17．（24-25八年级上建华中学期中）已知x，y为正整数，，求 ． 【答案】8 【分析】将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，，， 又x，y为正整数，则或，从而，故答案为：8． 【点睛】本题考查代数值求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 18．（2024徐汇中学八年级期中）我们规定运算符号“△”的意义是：当时，△；当时，△，其它运算符号的意义不变，计算：△△　　． 【分析】根据已知将原式化简进而求出即可． 【解答】解：当时，△；当时，△，，， △△ ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确利用已知运算符号化简是解题关键． 三、解答题 19．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式等知识，首先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则及平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 20．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21.（24-25八年级上·上海阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加法即可； （1）先利用完全平方公式化简，再计算二次根式的除法，最后计算二次根式的加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（23-24八年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】先将各项分别化简，再合并同类二次根式． 【详解】解： = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及二次根式的性质． 23．（23-24八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算．先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 24.（24-25八年级上·上海阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，解决本题的关键是把二次根式化简，然后再合并同类二次根式． 首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化为最简二次根式，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的到数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25.（24-25八年级上·上海阶段练习）先化简，再求值，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先进行括号内化简，再合并同类二次根式，最后再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当 ， 时， 原式 ． 26.（24-25八年级上·上海阶段练习）阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质与方法是解题的关键． （1）运用三角形的面积：（海伦公式）计算即可； （2）运用三角形面积：S＝（秦九韶公式），计算即可． 【详解】（1）解：∵一个三角形的三边长依次为， ∴， ∴海伦公式： ； （2）解：∵， ∴， ∴秦九韶公式： 27．（24-25八年级上·上海阶段练习）已知，． （1）求的值； （2）设是小数部分，是整数部分，求代数式的值． 【分析】（1）将、的值代入计算即可； （2）求出、的值再代入求值． 【解答】解：（1），． ， （2）， ，， ，， ． 【点评】本题考查无理数的估算，正确地求出、的值是正确解答的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题20.2 二次根式的运算（1） 知识点一、最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点二、 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 知识点三、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 知识点四、二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点五、二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点六、二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点七、二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01：最简二次根式 【例1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2.二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 3.已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 4.．化简： ； ． 题型02：同类二次根式 【例3】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【例4】如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 【跟踪训练】 1．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2.若与最简二次根式可以合并，则 ． 3．若最简二次根式与可以合并，则 ． 题型03： 二次根式的加减运算 【例5】计算： 【例6】计算： 【例7】计算：． 【跟踪训练】 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算：． 5.计算： 题型04：二次根式的乘除运算 【例8】计算： 【例9】计算：÷． 【例10】计算：． 【例11】计算：． 【例12】计算：． 【例13】计算： 【跟踪训练】 1.计算∶ (1)； (2)；(3)． 2.计算： （1）； （2） 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5.计算： ． 6．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7.计算： （1） （2） （3） （4） 8.计算∶ (1)； (2)． 9.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05：二次根式的混合运算 【例14】计算： （1）； （2）． 【跟踪训练】 1．计算：． 2.计算： (1) (2) 3.计算下列各题： (1)； (2)． 题型06：已知字母的值化简求值 【例15】若，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【例16】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例17】已知，则 ． 【跟踪训练】 1.已知，，则 ． 2.已知，则的值为 ． 3．先化简再求值：，其中 题型07：二次根式运算的实际应用 【例18】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． （1）三角形三边长分别为9，10，11； （2）三角形三边长分别为，，． 【例19】高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【跟踪训练】 1．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 2. 如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 3．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 4．2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海徐汇期末）在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25八年级上·上海普陀期末）下列计算正确的是（　　） A．+＝ B．﹣＝ C．×＝6 D．÷＝4 4.（24-25八年级上文来中学期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．（2024建平中学八年级上期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为　　 A． B． C． D． 2、 填空题 7.（24-25八年级上·上海黄浦期末）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 8．（24-25八年级上延安中学期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则______． 9．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 11．（24-25八年级上·上海普陀期中）计算：＝ 　　． 12．（24-25八年级上·上海奉贤期中）计算＝ 　　． 13.（24-25八年级上·上海宝山期中）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 14.（24-25八年级上西南模范中这期中）计算： ． 15.（24-25八年级上·上海嘉定期中）计算： ． 16．（24-25市北中学八年级上期中）如果，那么 ． 17．（24-25八年级上建华中学期中）已知x，y为正整数，，求 ． 18．（2024徐汇中学八年级期中）我们规定运算符号“△”的意义是：当时，△；当时，△，其它运算符号的意义不变，计算：△△　　． 三、解答题 19．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 20．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）计算： 21.（24-25八年级上·上海阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)． 22．（23-24八年级上·上海·期末）计算： 23．（23-24八年级上·上海·期末）计算：． 24.（24-25八年级上·上海阶段练习）计算： (1)； (2) 25.（24-25八年级上·上海阶段练习）先化简，再求值，其中 ，． 26.（24-25八年级上·上海阶段练习）阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 27．（24-25八年级上·上海阶段练习）已知，． （1）求的值； （2）设是小数部分，是整数部分，求代数式的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $