19.1 平方根与立方根（1）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题19.1 平方根与立方根（1） 知识点01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 题型01：算术平方根与平方根的概念辩析 【例1】（2024闵行区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义及运算，根据平方根的定义逐项验证即可得到答案，熟记平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，符合题意； B、由平方根定义，被开方数非负，故的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； C、，则的平方根是，故的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、由平方根定义，被开方数非负，故的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2024松江区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．的算数平方根是9 D．近似数万精确到了千位 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义、近似数等知识点，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据平方根、算式平方根、近似数的知识逐项判定即可． 【规范解答】解：A、是负数，负数没有平方根，不符合题意； B、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是，不符合题意； C、，9的算术平方根是3，不符合题意； D、近似数万等于5200，即精确到了千位，符合题意． 故选：D． 【例3】（2024普陀区七年级下期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．正确的是_____ 【答案】①④ 【分析】本题考查对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；根据平方根的意义与性质进行判断即可． 【详解】①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 【例4】（2023进华中学七年级下期中）若和是实数m的平方根，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平方根的定义求解． 【详解】由题意， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查平方根定义，关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 【例5】（2024上汇实验七年级下期中）若正数的平方根分别是和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根互为相反数，可得和的关系，根据解一元一次方程，可得的值，根据平方运算即可求值，解题的关键是正确理解平方根的概念． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数， ∴， ∴，即，， ∴， 故答案为：． 【例6】（2024浦东新区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和倒数的概念，熟练掌握平方根，算术平方根和倒数相关概念是解题的关键． 根据平方根，算术平方根，和倒数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故本选项不符合题意； B．倒数等于它本身的数有，故本选项不符合题意； C．算术平方根等于它本身的数是0，1，故本选项符合题意； D．的平方根为，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例7】（2021春•杨浦区期末）下列各式计算正确的是（　　） A．±5 B．5 C．5 D．5 【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，据此解答即可． 【解析】，故本选项不合题意； B.没有意义，故本选项不合题意； C.，故本选项符合题意； D.，故本选项不合题意； 故选：C． 题型02：求一个数的算术平方根、平方根 【例8】（2024存志中学七年级下期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2； ∴的算术平方根是2； 故选：A． 【例9】（2023宝山实验学校七年级下期中）的平方根是（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．解题的关键在于明确一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0．先计算出，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 题型03：求代数式的算术平方根、平方根 【例10】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知的算术平方根为，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，先根据算术平方根和立方根的定义求出，，再求出的值，最后根据平方根的定义计算即可得解． 【规范解答】解：因为的第术平方根为2，的立方根是﹣1， 所以，所以， 所以，所以的平方根是． 【例11】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【规范解答】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【考点剖析】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【例12】（2024延安初级中学七年级下期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【规范解答】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【例13】（2024青浦区七年级下期中）已知 和 互为相反数，求x+4y的平方根. 【答案】±3. 【分析】根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得出x、y的值，代入可求． 【详解】由题意得：+=0，所以， 解得 ∴x+4y的平方根=== 考点：非负数的性质、平方根． 【例14】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)这个正数是多少？ (2)的算术平方根是多少？ 【答案】(1)这个正数是49 (2)的算术平方根是5 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”可得 ，即可求解； （2）由（1）可求，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 所以这个正数是． （2）解：由（1）得， 所以， 所以， 所以的算术平方根是． 【点睛】本题考查了平方根的性质，算术平方根的求法，理解平方根的性质和算术平方根的求法是解题的关键． 题型04：已知一个数平方根求字母的值 【例15】（22-23七年级下·上海静安·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则 ． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得出的值． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的知识，注意掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数，0的平方根为0，负数没有平方根． 【例16】（2024奉贤区七年级下期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式的值． 【详解】解： ，是4的算术平方根， ， ， 故答案为：11． 【例17】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为，它的平方根为，则这个数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根和平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根的定义．根据算术平方根与平方根中的正平方根相等，可得方程，根据解方程，可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】解：一个数的算术平方根是，平方根是， ，或， 解得，或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 故答案为：． 题型05：由平方根的概念解方程 【例18】（2024黄浦区七年级下期中）若，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先由整式乘法运算公式-平方差公式化简、移项、合并同类项、直接开平方解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， 移项、合并同类项得， 直接开平方得， 故选：C． 【点睛】本题考查解方程，涉及整式乘法运算公式-平方差公式，掌握解方程步骤移项、合并同类项、直接开平方等是解决问题的关键． 【例19】（2024宝山区七年级下期中）满足方程的x的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了利用平方根解方程． 先整理得到，则或，计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 故答案为：或3． 【例20】（2024闵行区七年级下期中）对于实数，定义一种运算“”：．关于的方程 的解为 ． 【答案】 【分析】根据题意定义的新运算，列出关于的一元二次方程即可，解之即可得到答案. 【详解】由题意可得， 或 ． 故答案为：. 【点睛】本题考查的是一元二次方程求解的问题，实数的运算和理解定义的新运算是解题的关键. 【例21】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，根据完全平方公式得出，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 【例22】（23-24八年级·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）， ， ， 或； （2）， ， ， 或， 或． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． 【例23】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答． 【详解】解：， 或， 解得：． 题型06：由算术平方根的非负性求值 【例24】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 【详解】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 【例25】（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据绝对值、完全平方及二次根式的非负性可得，，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 【例26】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知和互为相反数，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了非负数的性质和负指数次幂，根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， 【例27】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 【例28】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，即，计算求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 【例29】（24-25上海七年级下·阶段练习）若满足关系式，则 ． 【答案】201 【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值． 【解析】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0， ∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①． ∴=0， ∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③， 联立①②③得，， ②×2-③×3得，y=4-m， 将y=4-m代入③，解得x=2m-6， 将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201． 故答案为：201． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 题型07：算术平方根的估算、整数部分和小数部分 【例30】（24-25上海七年级下·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【规范解答】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 【例31】（24-25上海七年级下·阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 【例32】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，求平方根等知识，正确估算是解题的关键；先对无理数进行估算，则可求得a与b的值，代入计算，最后即可求得其平方根． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例33】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4， c是 的整数部分． (1)求 的小数部分； (2)求的平方根． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的意义，无理数的估算，掌握立方根的定义、算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键． （1）先估算的整数部分，进而得到的整数部分，再求其小数部分即可； （21）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， ∴，∴的整数部分为3， 的小数部分为 （2）解：由（1）的整数部分为3，则， 由的立方根是3，可知，解得，， 由的算术平方根是4， 可知，则，解得，， ∴， ∴的平方根为． 【例34】（24-25上海七年级下·阶段练习）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为．(2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【例35】阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确； 信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为； 根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是___________，小数部分是______________； （2）若，则的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______； （3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则______； （4）若，其中是整数，且，请求的相反数． 【答案】（1）3；；（2）21；；（3）23；（4）． 【分析】（1）先找到，可找到，即可找出的整数部分与小数部分 （2）根据因为，即可找出的整数部分与小数部分 （3）找到在哪两个整数之间,再加10即可. （4）先确定，找到，由，是整数，即可确定x=2，y=，再求，即可求出 【解析】（1） ∴ 的整数部分是3，小数部分是 故答案为：3；； （2）因为,故则的整数部分是21，的小数部分可以表示为. 故答案为：21；； （3）因为， ∴，即， 所以,， 故， 故答案为：23； （4）， ， ∵，是整数， ∴x=2， ∴y=， ， 的相反数是． 【点睛】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，掌握估值法确定无理数的范围，即无限不循环小数知识的拓展延伸,理解题意,按照题目所给的表示方法去解答是关键． 题型08：与算术平方根有关的规律探索题 【例36】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，结合，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，被开方数小数点向右移动2位，则所得算术平方根小数点向右移动1位， ∴， 故答案为： 【例37】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知，则a的值是（   ） A．130 B．1300 C．169 D．1690 【答案】B 【分析】本题考查了当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 故选B． 【例38】（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键； 根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是，进而求解. 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， ……， 所以第n个数是， 所以第6个数为； 故选：A. 【例39】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 题型09：平方根与数轴的综合 【例40】（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【规范解答】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：A． 【例41】（24-25上海七年级下·阶段练习）数轴上表示，的对应点分别为，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决． 【解析】解：根据对称的性质得： 设点表示的数为，则 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到． 【例42】（2023春·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵面积为7的正方形ABCD为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴与、平方根的应用，关键是结合题意求出． 题型10：算术平方根在实际生活中的应用 【例43】（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算出大正方形的面积，再求算术平方根即可； （2）先求出中间小正方形的面积，再求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为．求出x的值， 进而求出长方形纸片的长，与（1）中结果进行比较即可． 【详解】（1）由题意得，大正方形的面积 ， 大正方形的边长 ； （2）大正方形面积为：，两个小长方形面积为：， 小正方形面积为：． 故长方形对角线长度为：． （3）不能；理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 题型11：综合提升 【例44】（24-25上海七年级下·阶段练习）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 【例45】（24-25上海七年级下·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：    (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 (2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． (3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)能，见解析 (3)不能，见解析 【分析】（1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能； （3）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能． 【解析】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为． （2）能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为 ∴ 解得： ∴ ∴能裁出这样的长方形． （3）不能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为 ∴ 解得： ∴ 又∵要求长方形的四周至少留出的边框 因此加边框后的长至少要 ∵ ∴不能裁出这样的长方形． 【点睛】本题考查图形的探究，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键． 一、选择题 1．（2024-25松江区七年级下期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．3或 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了求一个数的算术平方根． 先计算被开方数的值，再求其算术平方根即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 2．（2024春•浦东新区期末）下列说法正确的是（　　） A．﹣a2一定没有平方根 B．4是16的一个平方根 C．16的平方根是4 D．﹣9的平方根是±3 【分析】根据平方根的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解析】A、﹣a2不一定是负数，故本选项错误； B、4是16的算术平方根，正确； C、16的平方根是±4，故本选项错误； D、﹣9没有平方根，故本选项错误； 故选：B． 3．（2024春•浦东新区期末）下列计算正确的是（　　） A．8 B．（）2＝64 C．±25 D．3 【分析】根据算术平方根、平方根和二次根式的性质对各个选项进行计算，判断即可． 【解析】8，A正确； （）2＝8，B错误； 25，C错误； ，D错误， 故选：A． 4．（2018春•杨浦区期末）已知1.732，下列各式正确的是（　　） A．1.732 B．17.32 C．17.32 D．173.2 【分析】直接利用已知结合二次根式的性质得出答案． 【解析】∵1.732， ∴1017.32． 故选：C． 5．（2024秋•长宁区校级期中）若是一个整数，则整数x可取得的值共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】是一个整数，则150x一定是一个数的平方的形式．把150分解因数得5×5×2×3，凑质数的平方即可解决问题． 【解析】∵，且是一个整数，x是0＜x≤150的整数， ∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式， 所以x可以是6，24，54，96，150共有5个． 故选：C． 6．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根，立方根，不等式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，不等式的性质，实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2、 填空题 7．（2024-25闵行区七年级下期中）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题涉及算术平方根的概念．算术平方根是一个非负数的正的平方根．对于形如，先求出的值，再加上负号． 【规范解答】解： 故答案为：． 8．（2023上海大同中学期中）的算术平方根等于（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】计算，由此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于a，则这个数是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键． 9．（2024-25位育中学七年级下期中）若与互为相反数，则＝___________． 【答案】1 【分析】由互为相反数的两数的和为0，可以得出+＝0，由非负性得到关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值，再代入计算即可． 【解析】∵与互为相反数， ∴+＝0， 又∵≥0，≥0， ∴， 解得， ∴a-b=1． 故答案为：0． 【点睛】考查了解方程组、互为相反数的两数之和为0和平方（算术平方根）的非负性，解题关键是由题意得到+＝0和非负性得到关于a、b的方程组． 10．（21-22七年级下·上海·期中）已知，求的平方根． 【答案】± 【分析】首先根据非负数的性质列方程组求得a和b的值，然后求解． 【详解】解：∵， ∴a﹣3=0，b﹣4=0， 解得a=3，b=4， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和等于0，则每个数是0，初中范围内的非负数有：数的偶次方、绝对值以及算术平方根． 11．（2022上海格致中学期中）的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 1 / 【分析】先估算出，得出，即可得出结果． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴的整数部分是1，小数部分是． 故答案为：1，． 【点睛】此题主要考查学生对平方根知识点的掌握．根据判断其数值范围为解题关键． 12．（21-22七年级下·上海闵行·期中）的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】先估算出的范围，再用减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵和小数部分相同， ∴的小数部分为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 13．（2023上海建平中学期中预测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】±4 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4， ∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16， ∴a＝5，b＝2， ∵c是的整数部分， ∴c＝3， ∴ ∴的平方根是±4． 故答案为：±4． 【点睛】本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 14.（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，先根据非负数性质得到，，求出、的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ，， ，， ， 故答案为：1． 15．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为：， ∴，， ∴空白部分的面积为； 故答案为：． 16.（23-24八年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C．1+ D．+2 【答案】C 【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB=，而AB=AE，得AE=，A点的坐标为1，故E点的坐标为+1． 【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7， ∴AB=， ∵AB=AE， ∴AE=， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为+1， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=． 17.（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律问题，先判断序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根，即可得出第10个数，进而得出第n个数． 【详解】解：∵一列数按如下规律排列：，，，，，，…， ∴序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根， 则第10个数是，第个数是． 故答案为：，． 18．（2022上海期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意，先求出，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到． 三、解答题 19．（2024-25松江区七年级下期中）计算：（1） ． （2）． 解：（1）原式． （2）原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 20.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 （3） 【详解】（1）， ， ， 或； （2）， ， ， 或， 或． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． 21.（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：． 【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答． 【详解】解：， 或， 解得：． 22．（21-22八年级·全国·假期作业）已知与(2x+3y+1)2互为相反数，求x﹣y的平方根． 【答案】x﹣y的平方根为 【分析】根据与(2x+3y+1)2互为相反数，得到，再结合二次根式非负性及平方的非负性得到，求解代值即可得到结论． 【详解】解：∵与互为相反数， ， ， ∴，解得， ∴x﹣y＝2， ∴x﹣y的平方根为． 【点睛】本题考查求代数式的平方根，涉及到相反数的性质、二次根式非负性及平方的非负性、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相反数的性质和常见非负式的运用是解决问题的关键． 23．（2022下·上海·七年级专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】把已知等式变形后化为非负数的和相加等于0，利用非负数的性质求得a，b，c的值，再代入所求的代数式利用二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∴，   解得：，   ∴． 【点睛】本题考查绝对值与平方根的非负性及相关运算． 24．（2021下·上海·七年级上海市西南模范中学校考期中）已知实数满足等式，求的值 【答案】 【分析】，，，结合题意可得，进而可得，根据算术平方根的非负性即可求得的值，进而求得的值． 【详解】， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，算术平方根的非负性，非负数之和为0，求得的值是解题的关键． 25．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形． （1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ； （2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5；  （2） 【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根； （2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为的且互相垂直的线段，进而拼合即可． 【解析】（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：． （2）如图所示，能，正方形的边长为． 【点睛】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键. 26．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【解析】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题19.1 平方根与立方根（1） 知识点01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 题型01：算术平方根与平方根的概念辩析 【例1】（2024闵行区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 【例2】（2024松江区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．的算数平方根是9 D．近似数万精确到了千位 【例3】（2024普陀区七年级下期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．正确的是_____ 【例4】（2023进华中学七年级下期中）若和是实数m的平方根，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5】（2024上汇实验七年级下期中）若正数的平方根分别是和，则_____． 【例6】（2024浦东新区七年级下期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【例7】（2021春•杨浦区期末）下列各式计算正确的是（　　） A．±5 B．5 C．5 D．5 题型02：求一个数的算术平方根、平方根 【例8】（2024存志中学七年级下期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 【例9】（2023宝山实验学校七年级下期中）的平方根是（　　） A．8 B． C．4 D． 题型03：求代数式的算术平方根、平方根 【例10】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知的算术平方根为，的立方根是，求的平方根． 【例11】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【例12】（2024延安初级中学七年级下期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【例13】（2024青浦区七年级下期中）已知 和 互为相反数，求x+4y的平方根. 【例14】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)这个正数是多少？ (2)的算术平方根是多少？ 题型04：已知一个数平方根求字母的值 【例15】（22-23七年级下·上海静安·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则 ． 【例16】（2024奉贤区七年级下期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【例17】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为，它的平方根为，则这个数是 ． 题型05：由平方根的概念解方程 【例18】（2024黄浦区七年级下期中）若，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例19】（2024宝山区七年级下期中）满足方程的x的值为 ． 【例20】（2024闵行区七年级下期中）对于实数，定义一种运算“”：．关于的方程 的解为 ． 【例21】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：． 【例22】（23-24八年级·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2)． 【例23】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：． 题型06：由算术平方根的非负性求值 【例24】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例25】（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）若，求的值． 【例26】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知和互为相反数，求的值． 【例27】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【例28】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 【例29】（24-25上海七年级下·阶段练习）若满足关系式，则 ． 题型07：算术平方根的估算、整数部分和小数部分 【例30】（24-25上海七年级下·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例31】（24-25上海七年级下·阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【例32】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【例33】（24-25上海七年级下·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4， c是 的整数部分． (1)求 的小数部分； (2)求的平方根． 【例34】（24-25上海七年级下·阶段练习）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【例35】阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确； 信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为； 根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是___________，小数部分是______________； （2）若，则的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______； （3）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则______； （4）若，其中是整数，且，请求的相反数． 题型08：与算术平方根有关的规律探索题 【例36】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：，，则 ． 【例37】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知，则a的值是（   ） A．130 B．1300 C．169 D．1690 【例38】（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 【例39】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ． 题型09：平方根与数轴的综合 【例40】（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【例41】（24-25上海七年级下·阶段练习）数轴上表示，的对应点分别为，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（       ） A． B． C． D． 【例42】（2023春·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 题型10：算术平方根在实际生活中的应用 【例43】（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 题型11：综合提升 【例44】（24-25上海七年级下·阶段练习）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【例45】（24-25上海七年级下·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：    (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 (2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． (3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 一、选择题 1．（2024-25松江区七年级下期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．3或 D．3 2．（2024春•浦东新区期末）下列说法正确的是（　　） A．﹣a2一定没有平方根 B．4是16的一个平方根 C．16的平方根是4 D．﹣9的平方根是±3 3．（2024春•浦东新区期末）下列计算正确的是（　　） A．8 B．（）2＝64 C．±25 D．3 4．（2018春•杨浦区期末）已知1.732，下列各式正确的是（　　） A．1.732 B．17.32 C．17.32 D．173.2 5．（2024秋•长宁区校级期中）若是一个整数，则整数x可取得的值共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（2024-25闵行区七年级下期中）计算： ． 8．（2023上海大同中学期中）的算术平方根等于（    ） A．4 B． C．2 D． 9．（2024-25位育中学七年级下期中）若与互为相反数，则＝___________． 10．（21-22七年级下·上海·期中）已知，求的平方根． 11．（2022上海格致中学期中）的整数部分是 ，小数部分是 ． 12．（21-22七年级下·上海闵行·期中）的小数部分是 ． 13．（2023上海建平中学期中预测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为 ． 14.（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 15．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 16.（23-24八年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C．1+ D．+2 17.（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ． 18．（2022上海期中）已知，且，则的值为 ． 三、解答题 19．（2024-25松江区七年级下期中）计算：（1） ． （2）． 20.解方程： (1)； (2)． 21.（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：． 22．（21-22八年级·全国·假期作业）已知与(2x+3y+1)2互为相反数，求x﹣y的平方根． 23．（2022下·上海·七年级专题练习）已知，求的值． 24．（2021下·上海·七年级上海市西南模范中学校考期中）已知实数满足等式，求的值 25．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形． （1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ； （2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由． 26．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $