精品解析：2025年四川省眉山市中考数学模拟试卷

2025年四川省眉山市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 中国风筝源于春秋时代，有着悠久的历史，属于我国重要的非物质文化遗产，下列风筝图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能为12.5亿亿次/秒.这个数据以亿次/秒为单位用科学记数法可以表示为（ ） A. 亿次/秒 B. 亿次/秒 C 亿次/秒 D. 亿次/秒 5. 若实数和是整数，，将向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则点的可能位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 6. 如图，正六边形内接于，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P是正方形内一点，且，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某厂第二车间人数比第一车间人数的少，如果从第一车间调人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间人数的，问这个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人．根据题意，正确列出方程组的是 A. B. C. D. 9. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知锐角，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接（2）分别以点，D为圆心，长为半径作弧，交于点（3）连接，．下列四个结论：①；②；③；④．所有正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 12. 如图，抛物线（）恰好经过两个全等正方形的顶点，，正方形关于轴对称，且它的边在轴上，，，三点共线，若这两个正方形的边长都为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. a+1算术平方根是2，a-b-1是27的立方根，则a-b的平方根为____． 14. 某车间甲班的名工人加工零件，每人完成的件数分别是，，，，，，，，，，则这班组工人日产量的中位数和众数是______． 15. 已知关于的方程的一个根1，则方程的另一个根为____． 16. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面________．（结果保留根号） 17. 已知，，，，，则________． 18. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 _______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解不等式组： 20. 已知的展开式中不含x的二次项，，求： （1）m的值； （2）的值． 21. 宿豫区教育局在动员教师学习“党的十九大”精神活动中，组织全区教师参加了“党的十九大知识竞赛”，赛后随机抽取了某校部分教师的成绩，按从低分到高分将成绩分成A，B，C，D，E五组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100（满分100分）．绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： （1）D类所对应的圆心角是　 度，样本中成绩的中位数落在　 类中； （2）补全条形统计图； （3）若将D、E两组成绩定为优秀，全区参加本次“党的十九大知识竞赛”共有2000名教师，估计全区参加竞赛达到优秀的教师共有多少人？ 22. 若一个函数的自变量在不同范围内取值时，函数的表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法、探究分段函数的图象与性质． 列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 2 3 4 … 描点：如图，在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出了相应的点． （1）在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象． （2）研究函数并结合图象与表格，解答下列问题： ①若点，，，在函数图象上，则______，______．（填“＞”、“＜”或“＝”）． ②当函数值时，求自变量x的值． ③在直线右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值． 23. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在某店定制A、B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同． （1）求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润； （2）若该商店计划购进A，B两款帆布包共200件进行销售，且A款帆布包数量不超过B款帆布包数量的．商店购进A，B两款帆布包各多少件，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． （1）与数量关系是________； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 25. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连结分别交，于点H，F．G为线段上一点，连结． （1）求证：； （2）连结，当四边形是平行四边形时，求的值． （3）若点G为中点， ①当四边形的一条对角线平分另外一条对角线时，求的值． ②记的面积为，的面积为，当，时，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为第一象限拋物线上一点，点的横坐标为，连接，，设的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点在拋物线上，点的横坐标为，连接，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，点在轴上，连接，，过点作的垂线，点为垂足，过点作的垂线，点为垂足，平分交于点，连接交轴于点，点在轴正半轴上，点在上，连接，，，，，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省眉山市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数计算即可． 本题考查了倒数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵的倒数是， 故选：B． 2. 中国风筝源于春秋时代，有着悠久的历史，属于我国重要的非物质文化遗产，下列风筝图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式以及积的乘方进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 4. 在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能为12.5亿亿次/秒.这个数据以亿次/秒为单位用科学记数法可以表示为（ ） A. 亿次/秒 B. 亿次/秒 C. 亿次/秒 D. 亿次/秒 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数. 【详解】12.5亿亿次/秒=1.25×109亿次/秒， 故选B. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 5. 若实数和是整数，，将向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则点的可能位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，象限内点的坐标的特点和解一元一次不等式组，先根据平移得出点B的坐标，再根据点B所在象限列出不等式组，然后结合和是整数，，即可求出答案． 【详解】解：向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点， ， 点位于第四象限， ， ， 又，和是整数， m可能是、，n可能是、， 可能是， 故选：D． 6. 如图，正六边形内接于，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接交点，连接，可推出，，可证明是等边三角形，得到，，推出，在中，设，则，根据勾股定理即可求出，进而得到半径，即可求解． 【详解】解：连接交点，连接， 正六边形内接于， ，，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 的半径为， 的周长为， 故选：B． 7. 如图，点P是正方形内一点，且，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把绕着点B顺时针旋转得到，根据旋转的性质和勾股定理的逆定理即可得到结论 【详解】解：把绕着点B顺时针旋转得到，连接, ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 8. 某厂第二车间人数比第一车间人数的少，如果从第一车间调人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间人数的，问这个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人．根据题意，正确列出方程组的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组． 根据题意可知，第二车间的人数=第一车间的人数，（第一车间）=第二车间，根据这两个等量关系，可列方程组． 【详解】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有： ， 故选：C． 9. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，，得到，进而问题可求解． 【详解】解：，，且满足， ，即， 故选：B． 10. 对于实数、，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，根据新定义可得不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：由题意得，不等式组即为不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：A． 11. 如图，已知锐角，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接（2）分别以点，D为圆心，长为半径作弧，交于点（3）连接，．下列四个结论：①；②；③；④．所有正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据作一个角等于已知角的基本作图，圆心角与弧，弦的关系，平行线的判定，三角形三边关系定理解答即可． 【详解】解：连接， 根据作图，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①②③正确，④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，圆心角与弧，弦的关系，平行线的判定，三角形三边关系定理，熟练掌握作图和圆的性质是解题的关键． 12. 如图，抛物线（）恰好经过两个全等正方形的顶点，，正方形关于轴对称，且它的边在轴上，，，三点共线，若这两个正方形的边长都为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何图象综合应用，求出，两点坐标，代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴，， ∵抛物线（）恰好经过两个全等正方形的顶点，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. a+1的算术平方根是2，a-b-1是27的立方根，则a-b的平方根为____． 【答案】±2 【解析】 【分析】根据算术平方根与立方根列出方程，解方程求得的值，代入即可求解． 【详解】解：∵a+1的算术平方根是2，a-b-1是27的立方根， ∴， 解得， ， 的平方根是， a-b的平方根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根，平方根，根据题意求得的值是解题的关键． 14. 某车间甲班的名工人加工零件，每人完成的件数分别是，，，，，，，，，，则这班组工人日产量的中位数和众数是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键． 先将数据从小到大排列，再计算第5，6个数据的平均数即为中位数；根据数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数来求解众数即可． 【详解】解：将数据排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为：，众数为19， 故答案为：，． 15. 已知关于的方程的一个根1，则方程的另一个根为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是先求出系数，再利用根与系数的关系进行求解． 【详解】解：的一个根1， 则将代入中，得， 解得：， ， 设另一个根为，根据根与系数之间的关系得：， 解得：； 故答案为：． 16. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及坡度概念、勾股定理等知识，先由坡度，设，，在中，由勾股定理列方程解得，求出，进一步在中，由坡度求出，由勾股定理求解即可得到答案，熟记坡度定义及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：在梯形中，斜坡，坡度为， ， 设，，则在中，，解得， ， 在中，，解得，则， 故答案为：． 17. 已知，，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了数字变化规律问题，求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可．认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，解题时注意运用an进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴这列数每3个数为一循环周期， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 _______． 【答案】40 【解析】 【分析】由，得，结合，推出是的中位线，是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，得到的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道，从而利用即可求得面积． 【详解】 为的中位线 又 ，点是中点 即为中点 是的中位线 是直径 的面积 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，实数的混合运算． （1）先计算乘方、绝对值和负整数指数幂，再计算乘除即可得出答案； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）记不等式组为， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 20. 已知的展开式中不含x的二次项，，求： （1）m的值； （2）的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项，因式分解，以及非负性． （1）根据多项式乘多项式的法则，进行化简后，根据展开式中不含的二次项，得到的二次项的系数为0，求出的值，即可； （2）将等式的左边进行因式分解后，利用非负性求出的值，再将的值代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解：， ∵展开式不含x的二次项， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，且， ∴，， ∴，， ∴． 21. 宿豫区教育局在动员教师学习“党的十九大”精神活动中，组织全区教师参加了“党的十九大知识竞赛”，赛后随机抽取了某校部分教师的成绩，按从低分到高分将成绩分成A，B，C，D，E五组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100（满分100分）．绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： （1）D类所对应的圆心角是　 度，样本中成绩的中位数落在　 类中； （2）补全条形统计图； （3）若将D、E两组成绩定为优秀，全区参加本次“党的十九大知识竞赛”共有2000名教师，估计全区参加竞赛达到优秀的教师共有多少人？ 【答案】（1）72，C；（2）如图所示见解析；（3）全区参加竞赛达到优秀的教师约有520人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数及占比求出调查的总人数，再依次求出B,D类教师的人数，故可求出D类所对应的圆心角，再根据中位数的定义求解. （2）根据（1）所求即可补全统计图； （3）用全市人数乘以调查中优秀的教师的占比即可. 【详解】（1）∵抽取的教师总人数：30÷30%＝100人 ∴B类教师人数：100×40%＝40人 ∴D类教师人数：100﹣4﹣40﹣30﹣6＝20人 ∴D类所对应的圆心角为：360°×＝72° 样本样本中成绩的中位数落在C类中 故答案为72，C （2）如图： （3）2000×＝520人 答：全区参加竞赛达到优秀的教师约有520人． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数. 22. 若一个函数的自变量在不同范围内取值时，函数的表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法、探究分段函数的图象与性质． 列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 2 3 4 … 描点：如图，在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出了相应的点． （1）在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象． （2）研究函数并结合图象与表格，解答下列问题： ①若点，，，在函数图象上，则______，______．（填“＞”、“＜”或“＝”）． ②当函数值时，求自变量x的值． ③在直线右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①＜；＜；②的值为或或；③ 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的应用： （1）先描点，再依次连接，即可作答． （2）①根据分段函数的图象性质，得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，再结合点，，，，即可作答． ②分别求出各个函数的解析式，再代入求解，即可作答． ③依题意，分析与，得这两个函数关于对称，结合，，且，即可作答． 【小问1详解】 解：函数图像如图所示． 【小问2详解】 解：①当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大 ∴，都在内，y随x的增大而增大， 则； ∴，都在内，y随x的增大而增大， 则； ②观察图象，当时，设，把代入 得，即当时， 当时，有，解得； 当时，设，把代入 得 解得 则 令 解得 当时，设，把代入 得 解得 则 令 解得 故当函数值时，自变量值为或或． ③∵，，在直线的右侧． ∴当时，点，关于直线对称． ∵， ∴． 23. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在某店定制A、B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同． （1）求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润； （2）若该商店计划购进A，B两款帆布包共200件进行销售，且A款帆布包数量不超过B款帆布包数量的．商店购进A，B两款帆布包各多少件，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件A款帆布包的利润为元，每件B款帆布包的利润为元 （2）商店购进A，B两款帆布包分别为件和件时，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大，最大利润是3360元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和函数解析式，是解题的关键： （1）设每件A款帆布包的利润为元，根据每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进A款帆布包件，根据A款帆布包数量不超过B款帆布包数量的，列出不等式，求出的范围，根据总利润等于两款帆布包的利润之和，列出函数关系式，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每件A款帆布包的利润为元，则每件B款帆布包的利润元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意； ∴； 答：每件A款帆布包的利润为元，每件B款帆布包的利润为元； 【小问2详解】 设购进A款帆布包件，则购进B款帆布包件，设总利润为元， 则：，解得：， ∵，， ∴当时，的值最大为：元；此时； 答：商店购进A，B两款帆布包分别为件和件时，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大，最大利润是3360元． 24. 如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． （1）与的数量关系是________； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 【答案】（1）= （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）由旋转及等腰三角形可得答案； （2）由旋转得，再由（1）得出的，即可证明； （3）由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可． 本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， 由旋转，得， ∴， 故答案为：=； 【小问2详解】 证明：由旋转可知， ∴， 又∵，， ∴； 【小问3详解】 ∵当为直径时，以为半径的⊙O切CD于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴点A，O，D在同一直线上， ∴， ∴的值为， ∴， ∴优弧==. 25. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连结分别交，于点H，F．G为线段上一点，连结． （1）求证：； （2）连结，当四边形是平行四边形时，求的值． （3）若点G为中点， ①当四边形的一条对角线平分另外一条对角线时，求的值． ②记的面积为，的面积为，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①或；② 【解析】 【分析】（1）证明△DAH≌△DCH，可得∠1=∠DAH，从而推出∠1=∠E； （2）证明△ABH∽△FDH，得到，可得； （3）①分当HG平分CD时，当CD平分HG时两种情况，分别求解； ②过H作PQ∥BC，交AB于P，交CD于Q，过G作GK⊥CD于K，分别表示出S1和S2，设GK=5a，根据KG∥CE得到，证明△HQF∽△ECF，得到，得到CF，根据tan∠1=tan∠E，可得，得到关于a的方程，求出a值，可得HP和AP，利用勾股定理求出AH即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=DC，∠ADH=∠CDH=45°，AD∥BC， 在△DAH和△DCH中， ， ∴△DAH≌△DCH（SAS）， ∴∠1=∠DAH， ∵AD∥BC， ∴∠E=∠DAH， ∴∠1=∠E； （2）四边形CHDG是平行四边形， ∴DF=CF=CD，DH=CG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴DF=AB， ∵AB∥CD， ∴△ABH∽△FDH， ∴， ∴BH=2DH， ∵BD=BH+DH， ∴BD=3DH， ∴， ∴； （3）①当HG平分CD时，如图， 过点G作GM⊥CD于M， ∴∠DMG=90°， 设正方形ABCD边长为2a， ∴AD=DC=a， ∴HG平分CD， ∴DF=CF=CD=a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF=∠BCD=90°， ∴∠ECF=180°-∠BCD=90°， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF， ∴AD=EC=2a， ∴EF==， ∵G是EF中点， ∴CG=FG=EF=， ∵GM⊥CD， ∴CM=FM=CF=， 在Rt△FMG中，MG=， ∵DM=CD-CM=2a-a=， ∴tan∠CDG=， 当CD平分HG时，如图， 在Rt△CFE中，G是EF中点， ∴CG=FG=EG=EF， ∴∠2=∠E， ∵∠1=∠E， ∴∠1=∠2， ∴∠1+∠FCG=∠2+∠FCG， 即∠HCG=∠FCE=90°， ∵CD平分HG， ∴FH=FG， ∴CF=FH=FG=HG， ∴CF=FG=CG， ∴△FCG是等边三角形， ∴∠FCG=60°， ∴∠1=30°， ∴∠DAF=∠1=30°， 设DF=a，则AD=CD=， ∴CF=FG=CG=， 过G作GN⊥CD于点N， ∴CN=NF=CF=， ∴NG=CN=， DN=CD-CN=， ∴tan∠CDG=， 综上：tan∠CDG=或； ②如图，过H作PQ∥BC，交AB于P，交CD于Q， 过G作GK⊥CD于K， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD=5， ∠ABC=∠BCD=90°，∠ABD=∠BDC=45°， ∵PQ∥BC， ∴四边形PBCQ是矩形， ∴PQ=BC=5，PB=QC， ∴∠BPH=90°， ∴，， ∵， ∴设GK=5a，则HP=12a， ∵∠HPB=90°，∠PBH=45°， ∴∠PHB=45°=∠PBH， ∴PB=PH=12a， ∴QC=12a，HQ=5-12a， ∵G是EF中点， ∴FG=EF， ∴GK⊥CD， ∴∠FKG=90°=∠FCE， ∴KG∥CE， ∴， ∴CE=2KG=10a， ∵PQ∥BC， ∴△HQF∽△ECF， ∴， ∴， ∴CF=， ∵∠1=∠E， ∴tan∠1=tan∠E， 即， ∴， 解得：a=或a=， 经检验：a=是原方程解，且符合题意， ∴HP=BP=3，AP=2， ∴AH=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，解分式方程，知识点较多，综合性较强，解题的关键是理清图中线段之间的关系，属于中考压轴题． 26. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为第一象限拋物线上一点，点的横坐标为，连接，，设的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点在拋物线上，点的横坐标为，连接，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，点在轴上，连接，，过点作的垂线，点为垂足，过点作的垂线，点为垂足，平分交于点，连接交轴于点，点在轴正半轴上，点在上，连接，，，，，，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式； （2）与之间函数关系式为； （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）将点和点的坐标分别代入，可得和，即可得抛物线的解析式； （2）将点的横坐标代入抛物线的解析式，得出点的纵坐标，即为中，边上的高，代入三角形的面积公式即可； （3）由已知条件易得点的坐标和线段的长度，推导角度之间的关系，得出线段之间的关系，求出点的坐标，从而可得所在直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标，从而可得所在直线的解析式，设出点的坐标，由三角形全等的判定和性质，可表示出点的坐标，代入抛物线的解析式，结合已知条件中点所在的象限，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点，点， ∴， 解得，， ∴， 答：抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，点为垂足， ∵点的横坐标为，点在抛物线上， ∴点的纵坐标为， ∵点在第一象限， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 答：与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解∵如图所示， 已知点在拋物线上，点的横坐标为， ∴， ∴ ， ∵拋物线交轴于点， ∴， ∴， 设，记与轴的交点为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，， 解得，， ∴，，，， 作于点， 和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， 设点的横坐标为，，则，， 解得，， ∴， ∴， 延长交延长线于点， 记与轴的交点为，设， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，平分， ∴， 连接，在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， 交的延长线于点，则四边形是正方形， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵， ， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在上，设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，，或， 当时，，，符合题意， 当时，，，与已知“在第四象限的抛物线上”矛盾，故舍去， ∴， 答：点的坐标为． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，等腰三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $