精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年九年级上学期入学数学试卷

2025-2026学年重庆一中九年级（上）入学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则的面积与的面积之比为（    ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小 6. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，点E为正方形的边上一点，且，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 因式分解：______． 12. 已知，且，则a的值为______． 13. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是______． 14. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，交y轴于点C，连接AC，若的面积为5，则k的值为______． 16. 在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度．如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为______． 17. 如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则______，______． 18. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. （1）化简：； （2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 21. 如图，在平行四边形中，于点E， （1）用尺规作的角平分线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形为矩形． 证明：四边形是平行四边形， ，______． 平分， ______． ， ______． ， 且， 四边形为平行四边形． ， ______． 平行四边形为矩形（______）（填推理的依据） 22. 为迎接年重庆市青少年信息素养科普创新系列活动，开心中学特开展了“提升信息素养，智领科创未来”的科普讲座，并举行信息知识挑战赛，现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理和分析成绩得分用表示，共分为四个组：，：，：，：，得分在分及以上为优秀下面给出了部分信息： 七年级名学生在挑战赛中的比赛成绩为：． 八年级名学生在挑战赛中的比赛成绩在组的数据为：． 七、八年级选取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在挑战赛中，哪个年级学生对“信息知识”的了解情况更好？请说明理由写出一条理由即可； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次信息知识挑战赛，请估计该校七、八年级学生在此次比赛中，比赛成绩为优秀的学生总人数． 23. 列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． （1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ （2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 24. 如图1，在菱形中，对角线、相交于点．，，点E是的中点．动点P从点B出发，沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动．动点Q从C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动．当点P到达点A时，点P与点Q同时停止运动．过点Q作交于点．设运动时间为x秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 25. 如图1，直线：与反比例函数在第一象限内的图象交于点，交y轴于点 （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线垂直于直线，交y轴于点，点D是线段上一点，连接，若四边形的面积为，点P为y轴上一动点，连接，求的最小值及此时P点的坐标； （3）如图2，在的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接，将射线绕K点逆时针旋转，交x轴于点G，若，则在x轴上是否存在点Q，使得，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 26. 在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆一中九年级（上）入学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选：C. 2. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则的面积与的面积之比为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， 的面积与的面积之比为， 故选：D． 5. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：A．当时，，所以图象经过点，说法不正确，不合题意； B．反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，符合题意； C．，则图象位于第一、三象限，故说法不正确，不合题意； D．，则图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一个月的进馆人次及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得： 故选：B． 7. 如图，点E为正方形的边上一点，且，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，由推导出，从而得到，由，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 【详解】解：点E为正方形的边上一点，且， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及分式方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于，求出的范围，表示出分式方程的解，由解为正整数确定出的值，再求出所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：由条件可知：，解得， 分式方程， 去分母得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， 或或， 整数或或， 当时，，则有，产生增根，故舍去， 当或时，，满足条件 则所有满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．设，由外角的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由可证，可得，列出方程可求解． 【详解】解：如图，连接，设， ， ， 四边形是菱形，的中垂线交对角线于点F， ，，． ， 垂直平分， ． ， . ，，， ． ． ． ． 故选：D． 10. 已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的求值，理解多项式求值的规则是解题的关键，本题可根据已知条件，结合多项式的次数、系数等相关知识，对每个说法逐一进行分析判断．根据由得，即，结合，为正整数，可得为正奇数，从而得到且，得到、的值，进而求得的值，从而判定说法的正确性；通过反证法判断，先假设存在，通过整理，比较系数的关系，从而判定说法的正确性；当，时，得到、的代数式，根据代数式系数之间的数量关系，得到、的可能结果，从而得到的可能情况，排除重复项，从而得到的可能结果数，从而判定说法的正确性． 【详解】解：①当时， ，， 由得，即， ，为正整数， 为正奇数， 且， ，， ， 故正确． 假设存在，使得，则， 此时，， 根据题意有，， 两式相加得， 而，比较系数可得：，，， 三式相加得， ，产生矛盾， 假设不成立， 故正确． 当，时， ，满足，共有种可能， ，满足，共有种可能， ，组合共有种可能情况， 经检验，其中有种重复情况，故不同的结果共有种， 故正确． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解：4a2b-b=b（4a2-1）=b（2a-1）（2a+1）． 故答案为：b（2a-1）（2a+1）． 【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键． 12. 已知，且，则a的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质可得，，进而得到，解方程解答即可． 【详解】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 13. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，列出表格展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为： 14. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可． 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则， 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为： 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，交y轴于点C，连接AC，若的面积为5，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作轴，垂足为点是关键． 【详解】解：如图，作轴，垂足为点， 的面积为， 矩形的面积，即， 解得 故答案为： 16. 在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度．如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为______． 【答案】12 【解析】 【分析】作于H，交于P，如图，则，，，证明，然后利用相似比计算出即可． 本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【详解】解：作于H，交于P，如图， 则，，， ， ， ， 即， ， 即旗杆的高度为． 故答案为：． 17. 如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形中的翻折问题，勾股定理，一次函数的性质，解题的关键是掌握翻折的性质，求出，的长度． 设，由翻折可得：，，，，即可得，从而，解方程即可；以为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过作交于M，交于N，用面积法和勾股定理可得，即得，直线解析式为，求出，可得，即可解答． 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，， ，，， 为中点， ， 由翻折可得：，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，， ∴，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得 ∴直线解析式为， 令得， ， ∴， ， ； 故答案为：，． 18. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 【答案】 ①. 9216 ②. 【解析】 【分析】根据“阴阳数”的定义可得x与y的关系，进而根据的求法可得x的值，即可判断出y的值，进而可得A的值；根据“阴阳数”的定义可得a与b，c，d的关系，分别得到N和的值，根据所给条件，判断出a，b，c合适的值即可得到满足条件的N的最小值． 本题考查新定义的相关知识．理解并应用新定义的意义解决问题是解决本题的关键．难点是判断出各个数位上合适的数字． 【详解】解：四位数为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得， ； 为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∵为整数， ∴为整数， 为整数， ∴是11的倍数， ∵N的十位数字与千位数字调换后可以组成新的四位数， ∴， 当时，∴d可取的最小自然数为6（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为1（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个各数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为7（要满足是11的倍数）， ∴，此时不符合题意； 当c取别的自然数时，此时a的值一定大于3，即满足题意的N一定比大， 综上所述，满足条件的N的最小值为， 故答案为：9216，． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握以上方程的运算方法是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，得出方程的解，最后把解代入分母检验即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 检验：把代入中得，， 是分式方程的解． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 20. （1）化简：； （2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】（1）（2），该不等式组的所有整数解是，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的方法是解答本题的关键． （1）先通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，然后约分即可； （2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的所有整数解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 该不等式组的所有整数解是，0，1，． 21. 如图，在平行四边形中，于点E， （1）用尺规作的角平分线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形为矩形． 证明：四边形是平行四边形， ，______． 平分， ______． ， ______． ， 且， 四边形为平行四边形． ， ______． 平行四边形为矩形（______）（填推理的依据） 【答案】（1） 如图，为所作； （2），，，，有一个内角为直角的平行四边形为矩形 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，再证明得到，所以，于是可判断四边形AFCE为平行四边形．然后利用得到，则根据矩形的判定方法得到结论． 本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为迎接年重庆市青少年信息素养科普创新系列活动，开心中学特开展了“提升信息素养，智领科创未来”的科普讲座，并举行信息知识挑战赛，现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理和分析成绩得分用表示，共分为四个组：，：，：，：，得分在分及以上为优秀下面给出了部分信息： 七年级名学生在挑战赛中的比赛成绩为：． 八年级名学生在挑战赛中的比赛成绩在组的数据为：． 七、八年级选取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在挑战赛中，哪个年级学生对“信息知识”的了解情况更好？请说明理由写出一条理由即可； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次信息知识挑战赛，请估计该校七、八年级学生在此次比赛中，比赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）； （2）八年级学生对“信息知识”的了解情况更好，因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数比七年级高，所以八年级学生对“信息知识”的了解情况更好； （3）估计该校七、八年级学生在此次比赛中，比赛成绩为优秀的学生总人数大约为人. 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义即可求出和的值，用“”分别减去其它三组所占百分比可得的值； 从平均数、中位数比较可得答案； 利用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：在七年级名学生在挑战赛中的比赛成绩中，分出现的次数最多， 故众数； 将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为， 即中位数； ， 即； 故答案为：； 【小问2详解】 八年级学生对“信息知识”的了解情况更好， 因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数比七年级高，所以八年级学生对“信息知识”的了解情况更好； 【小问3详解】 人， 答：估计该校七、八年级学生在此次比赛中，比赛成绩为优秀的学生总人数大约为人． 【点睛】本题考查了中位数和众数，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键 23. 列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． （1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ （2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 【答案】（1）甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制 （2）需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设甲生产商计划用天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设需将该批卤鹅储藏天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅，根据甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制； 【小问2详解】 解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出． 24. 如图1，在菱形中，对角线、相交于点．，，点E是的中点．动点P从点B出发，沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动．动点Q从C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动．当点P到达点A时，点P与点Q同时停止运动．过点Q作交于点．设运动时间为x秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）函数图象如图所示；当时，随x的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得出，分两种情况讨论：当时，点在上，此时；当时，点在上，此时，过点P作于点M，利用锐角三角函数，表示出，再利用三角形面积公式，即可求出分别关于x的函数表达式；证明，利用相似三角形周长比等于相似比，即可求出分别关于x的函数表达式； （2）根据（1）所得关系式描点连线，再写出函数的一条性质即可； （3）根据函数的图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，，，点E是的中点． ，，， ， 当时，点在上，此时， 如图，过点P作于点M， ，，， ， ， ； 当时，点在上，此时， 如图，过P作于M， ， ， ， ； 综上所述，； ， ， ， ； 【小问2详解】 解： 0 2 4 6 7 0 6 12 4 0 2 3 4 6 6 4 3 2 【小问3详解】 解：由图象知，当时，x的取值范围为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，求函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 25. 如图1，直线：与反比例函数在第一象限内的图象交于点，交y轴于点 （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A作直线垂直于直线，交y轴于点，点D是线段上一点，连接，若四边形的面积为，点P为y轴上一动点，连接，求的最小值及此时P点的坐标； （3）如图2，在的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接，将射线绕K点逆时针旋转，交x轴于点G，若，则在x轴上是否存在点Q，使得，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）最小值为6，此时P点坐标为 （3）解：点Q的坐标为或，过程如下 解：如图所示，过点K作轴于M， 由旋转的性质可得， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴（已检验是原方程的解）或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线交y轴于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点Q在x轴正半轴上时， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∴此时点Q的坐标为； 如图所示，当点在x轴的负半轴上时，此时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将代入直线上，求得，再利用待定系数法即可求反比例函数表达式； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，即可得到，从而得到的面积，进而得到的面积，进而可求得点的坐标；取的中点S，连接，可证明，得到是等边三角形，则；过B作，过P作于H，过D作于F，可得四边形为矩形，可证得，即可求得的最小值，由于，设直线的解析式为：，将代入求得，进而得到点坐标； （3）过点K作轴于M，可证明，得到，设，则，可求出，则，由勾股定理可得，则，进而可得；设直线交y轴于N，导角可证明，则可证明；进一步可证明，证明，得到，则，进而可得，即此时点Q的坐标为；当点在x轴的负半轴上时，此时，则可证明，进而得到，即点的坐标为，则点Q的坐标为或． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ； 解得， 点A的坐标为， 点A在反比例函数的图象上， 将A点坐标代入反比例函数可得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ，， ∴， 解得， 直线的解析式为； 在中，当是，， ， ∴， ∴， 四边形的面积为， ， ∴，即， 解得， 在中，当时，， ； 如图所示，取的中点S，连接， ∵直线垂直于直线，S为的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图所示，过B作，过P作于H，过D作于F， 四边形为矩形，， ，， ， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为6； ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， ∵ ， ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，构造矩形，构造相似三角形是解题的关键． 26. 在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】（1）； （2）解：， 理由如下：如图，延长至，使得，连接， ∵点为边上中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， ∵，点为边上中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）当取得最小值时的面积为． 【解析】 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可； （）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解； （）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点为边上中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为边上中点， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为长度的圆上运动， ∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当取得最小值时的面积为． 【点睛】本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $