专题06 选择压轴题（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题06选择压轴题 ☆5大高频考点概览 考点01绝对值相关代数操作题 考点02代数式相关代数操作题 考点03方程相关代数操作题 考点04函数相关代数操作题 考点05定义新运算类代数操作题 考点01 绝对值相关代数操作题 1.(24-25九上·重庆南开中学·期中)给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两 个代数式只作一次差)，再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”.例如：对于m, ”,P作“绝佳操作”，得到m-+m-小+n-p川 下列说法： ①对2，-4,5作“绝佳操作”的结果是18： ②对m,n,卫作“绝佳操作”的结果一共有8种： ®对20,60-6,4如-2作“绝佳操作”的结果为28，则“的值为1- 或1 其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2425九上重庆广益中学半期)在多项式0--0-d(a<h<C<d<0中，先将其中任意两个减号变 为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对 值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：a-+c+d=-a+b+c+d,口+-c+d=-a-b+c+d…下 列说法中正确的有() ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等： ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0： ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果， A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.(24-25九上·重庆十一中教育集团期中)对于整式：x、3x+3、5x-1、7x+6,在每个式子前添加 “十”或“一”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为 1 M例如：r+3x+3)-(5x-1-(7x+6H-8x-2斗，当x≤4时，M=-8x-2:当x之4时， M=8x+2,所以M=-8x-2或8x+2. 下列相关说法正确的个数是：() ①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数： ②若一种“全绝对”操作的化简结果为M=-2x+k(k为常数)，则x≤2； ③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有16种不同的结果， A.0 B.1 C.2 D.3 4.(24-25九上·重庆十八中期中)在多项式-a-(b+c)-d(其中a>b>c>d)中，对每个字母及其左边 的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：-a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，-d为“数 4”,若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项 式-a-(仍+c)-的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得 到a-b-d+ ， 将其化简后结果为+b-C-d,….下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝 对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等： ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 5.(24-25九上·重庆垫江中学期中)已知代数式A=a+b+c,B=a-b-c,其中a>b>c>0,在代数 式A中任取两项相减后再求差的对值，同时在B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换 后的结果分别记为、B,这样的操作称为“换差绝对运算”.例如：在代数式A中选取 b,+C ,在代数 式B中选取4、-b,进行“换差绝对运算”，得到=a+a=-b=2a+bB=b-cc=b-2c.下列说 法正确的个数是() ①存在某种“换差绝对运算”，使得A=A,B=B': 2/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ②存在某种“换差绝对运算”，使得A'=B': ③在“换差绝对运算”中，B有9种不同的结果. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 x>O>y>z>m>n 术-y-2-m-n 6.(24-25九上·重庆三十七中期中)已知 ，在多项式 中任意加绝对值， 加绝对值后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序进行化简，称为“取非负数操作”，例如： x-y-z-m-n=x-y-z+m+n,x-y-|z-m-n=x-y-z+m-n. 下列说法： ①至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果与原多项式相等： ②至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果一定为负数： ③所有可能的“取非负数操作”共有8种不同运算结果. 其中正确的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 目目 考点02 代数式相关代数操作题 x-4,3x-2,5x+1,7x-3 7.(24-25九上·重庆合川合阳中学半期)对于多项式： 我们用任意两个多项式 求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”.例如： (x-4)-5x+1=-4x-5(7x-3-(3x-2)=4x-1,(-4x-5)-(4x-1=-8x-4 ,给出下列说法： (1)不存在任何“全差操作”，使其结果为0： (2)至少存在一种“全差操作”，使其结果为常数： (3)所有的“全差操作”共有6种不同的结果， 以上说法中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8。(24-25九上：重庆大学城三中：期中)有两个依次排列的代数式。r-4红+4， 用第二个代数式减去 第一个代数式得到“，将“加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将：加8得到”， 将第3个代数式与4相加得到第四个代数式，…依此类推则以下结论： 3/14 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ①0%4x+44 ②当第2024个代数式的值为36时，x=4042或4054； ③0+a,+a,+…+an=-4x+4n2 (n为正整数).其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.(24-25九上·重庆巴渝学校·期中)对两个整式A=a+b,B=a-b进行如下操作：将A+B的结果记为 C=2a,称为第1次操作：将第1次操作的结果C加上A-B,结果记为C,=2+2b, 称为第2次操作： 将第2次操作的结果C9加上A+B,结果记为 3=4a+2 26,称为第3次操作：将第3次操作的结果C加上 A-B,结果记为 4=4a+4b ,称为第4次操作；… 下列说法： ①当b=a时，则第5次操作的结果 5=10a ②当6-=-时，则第2024次操作的结果C0:=20。 ③当6=24时，则100次操作的结果之和G+C+…+Cw=15100a 其中正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 、9x2 10.(24-25九上·重庆涪陵十六中·期中)有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为 9r+6r+1,第二个整式减去第一个整式的差记为“，将4+2 2记为，将第二个整式加上作为第三个 整式，将%+2 记为”，将第三个整式与“相加记为第四个整式，以此类推.以下结论正确的个数是 () @%=6r+5 ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则x=-3: 4/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ®第2024个整式为3x+2023: ④当n=50 时， a1+a2+..a50=300x+2500 A.1 B.2 C.3 D.4 1,(2425九上重庆荣昌初级中学期中)已知代数式=0，%=20，从第三个式子开始，每一个代数 式都等于前两个代数式的和，m=m+%=3a.m,=m+m,=5a ，,则下列说法正确的是() ①若%，-34 ，则”=8；②%+m,+%++m0=231a ;③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式 有674个. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 12.(2425九上重庆高新区中学联盟期中)已知4=-4+3，B=2-c-3,则下列说法： ①若2A+B的值与x的取值无关，则a=-1,b=-4; ②当a=b=4时，若A-=6,则x=0或x=25 @当a=-1b=1时，若2A+B-4利+号24+B-3+号2A+B+21有最小值 7 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 13.(24-25九上重庆万州二中期中)关于x的多项式1=x-2,B=2r+m-1, ,m为任意实数，则下 列结论中正确的有()个. ①若4B中不含项，则m=4, ②不论x取何值，总有B≥A; ®若关于x的方程B=0的两个解分别为=2a-4,5=a ,则实数m的最大值为10： ④不论m取何值，关于x的方程A+B)-(4+B)=6始终有4个不相同的实数解。 A.1 B.2 C.3 D.4 5/14 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 14。(2425九上重庆杨家坪中学期中)对于两个多项式A=A+9x+B=,r+9,x+5,若满足下 列两种情形之一： (1)P≠0，P,=0 (2)B=P29>92 则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式. 对于两个多项式4=心+9x+”和4=P,+x+万，若将4和4中“较大”多项式和“较小”多项式 的差记作4，则称这样的操作为一次“优选作差”操作：再对和么进行“优选作差”操作得到，“ 以此类推，经过”次操作后得到的序列4，，4,4称为“优选作差”序列4.现对4=，4=x+1 进行”次“优选作差”操作得到“优选作差”序列4，则下列说法： ①44sx+1 ②4+4+…+41=6x2-18x-18 ⑧当”=2024时，“优选作差”序列4中满足4-A1=A的正整数k有1350个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 15.(24-25九上·重庆松树桥中学期中)有依次排列的2个整式x,y,将第1个整式乘以2再与第2个整 2x+y 式相加，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二 2x+3y 次操作，得到第4个整式 ；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，称为第三次操作，得到第5 6x+5y 个整式 ,…,以此类推，下列三个说法正确的有（). 22x+21y ①第7个整式为 6/14 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ②第20个整式中x的系数与y的系数的差为-1； ③第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和等于2048； A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 16。(2425九上重庆八中：期中)已知整式M=a,r+a,++ax+a N=h,+b++hr+b,其中002，ab,,为自然数，m,0儿，b为正整数，且满足： am+am-1+…+a1+ag=m,bn+bn-1+…+b+b=n ”,记S=M+N,T=M-V.则下列说法：①当x=l时， 「S=5m=3 若T=1,则n=2;②当m=3时，满足条件的整式M共有10个；③不存在任何一个m=n,使得 S=4x+2x3+x ;其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 17.(24-25九上·重庆北碚朝阳中学教育集团·期中)对于依次排列的整式，用任意相邻的两个整式中的左 边的整式减去右边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一列列新的整式，称此为1次“友好 操作”.例如：9,2进行1次“友好操作”得到9,7,2；对于9,2连续进行2次“友好操作”得到9， 2,7,5,2:对于依次排列的5个整式a,b,c,d,e,连续进行n次“友好操作”后得到一列新的 整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当n=2时，这列新的整式中共有16个整式： ②当n=100时，这一列新的整式中有一个整式为d-100e; ③存在正整数n,使得这一列新的整式中所有整式之和为2023a+b+c+d-2021: 其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 目目 考点03 方程相关代数操作题 18.(24-25九上·重庆开州初中教育集团·期中)已知多项 M=2x2-3x-2,多项式 N=x2-ax+3 ,则 下列结论正确的有() 7/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5x ①若M=0,则代数式x2-2x-1的值为-10 ②当a=-3,x≥5时，代数式M-N的最小值为-10： ③当a=0时，若M·N=0,则关于x的方程有两个实数根： 7 ④当a=3时，若M-2N+2+M-2N+1=13,则x的取值范围是-3<r<2. A.1 B.2 C.3 D.4 19.(24-25九上：重庆巫山高唐初中期中)对于代数式M、N定义一种新运算：MN=M2-3MW+N 1∀(5x)=24 ①若1，则 ②若文，是一元二次方程-4x-3=0的两个根，则，=1： @若y=Kx-训的函数图象与直线，=本+6b为常数)有三个交点时，则6-1或55。 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 20.(24-25九上重庆八中期中)已知整式M:a,r+a,+a,+a,+4+,其中0，，8,4,4， 0均为自然数，若+a,=P,a4+4+a+a,= .则下列说法： ①若P=0,9=3,则“所有可能的取值有4个： ②若，g满足方程P四-(+9)=7，且“>4>4>a,则满足条件的不同整式有12个： ®若。1当M=0时，该方程存在5个实数解记为X,5'本，七’’若5x5= n,且 a4=-n2+25 则p存在最大值为25 其中，正确的个数是() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 21.(2425九上重庆四川外语学院二外半期)定义：已知×，女是关于X的一元二次方程 8/14 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1≤立≤3 a心2+br+c=0(a≠0)的两个实数根，若x<2<0,且x,则称这个方程为“友好方程”·如：一 元次方程十8x+5=0的两根为三5,5，E3,且3，所以一元三次方程十8x+5=0为 友好方程”，关于，的一元三次方程x+1-px-p=0,有下列两个结论：①当P=名时，该方程是 “友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数P满足要求，对于这两个结论判断正确 的是() A.①②都正确B.①②都错误 C.①正确，②错误D.①错误，②正确 22.(24-25九上·重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知整式 a a2 d3 an, 其中”，4,4，，均为正整数，记+4+4十+a,=m,下列说法①考m=5,n=3,则满足条 件的不同的整式共有6种；®若K,=2时，关于‘的方程有两个不同的实数解：③若×=1且 a1≠a2≠43≠a4 当为整数时，满足条件的的最大值为42.正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 23.(24-25九上重庆红叶中学期中)设一元二次方程r+6x+c=0(a≠0 的两个根分别为X,,则 b 程可写成ax-X(x-X=0,即a二ax+5x+x5,=0.容易发现：十5a,5= 元三次方程r+++d=0a≠0的三个非等实根分别为X,女，5，则以下正确命题的序号是 () b 1+1+1= D+5+无；②西+65+西=；③万五54：④55= A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 24.(24-25九上重庆西南大学附中：期中)已知F=ar-1,G)=,是 x-3,T(x)=x2+(b-1)x+9.下列说 9/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 法： ①当b=-5时，若T)G()=0,则x的值为0或3： ②当a=-2时，若T()+F()=7,则关于x的方程一定有两个不相等的实数根： ③若a=1,b=2,则x=5时，1F()-T)+3x+|(x-3)G()+3引有最小值8. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 25.(24-25九上·重庆一一O中学集团五校期中)已知正整数a,b,c,d满足a<b<c<d,且 a+b+c+d=d2-c2+b2-a2,下列几个说法：①a=1,b=2,c=3,d=4是该四元方程的一组解：② 连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若≤6，则该四元方程有6组解.其中错误说法的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 26.（2425九上重庆南开中学期中)已知关于的两个多项式1=--2，B=-2x-3.其中u为 常数，下列说法： ①若A-B的值始终与x无关，则a=-2: ②关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根； 5 ③若A:B的结果不含x2的项，则Q=2 -2 ④当a=1时，若B的值为整数，则x的整数值只有2个。 以上结论正确的个数有() A.4 B.3 C.2 D.1 考点04 函数相关代数操作题 27.（24-25九上：重庆渝北区实验中学期中)已知三个函数：7=-4，G对=-2，F(=42 x 下列说法： O当TF=7时，x的值为5或3： ②对于任意的实数m,,若m+n=V5,mn=1,则Tm-T(m=5-4, 10/14 专题06 选择压轴题 5大高频考点概览 考点01 绝对值相关代数操作题 考点02 代数式相关代数操作题 考点03 方程相关代数操作题 考点04 函数相关代数操作题 考点05 定义新运算类代数操作题 地 城 考点01 绝对值相关代数操作题 1．（24-25九上·重庆南开中学·期中）给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于，，作“绝佳操作”，得到．下列说法： ①对2，，5作“绝佳操作”的结果是18； ②对，，作“绝佳操作”的结果一共有8种； ③对，，作“绝佳操作”的结果为28，则的值为或； 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键，注意分类讨论． 利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可． 【详解】解：① ，故①正确； ②当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则 当时，则 当时，则 ∴对，，作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误； ③当时，则， 化简得：，解得：或（舍去）； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）或； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）； 当时，则， 化简得：， ∵ ∴无解； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）， 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）， 综上，的值为或，故③错误； ∴只有①正确，共1个， 故选：B． 2．（24-25九上·重庆广益中学·半期）在多项式中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：，…下列说法中正确的有（    ） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【来源】重庆广益中学2024-2025学年上学期九年级半期数学试题 【详解】解：由题意知，先将其中任意两个减号变为加号，有，，， ①“双加绝对操作”后 ，，，； ② “双加绝对操作”后，，，； ③ “双加绝对操作”后，，，； 当时，运算结果与原多项式相等，①正确，故符合要求； 当时，其运算结果与原多项式之和为0，②正确，故符合要求； 所有“双加绝对操作”共有9种不同的结果，③错误，故不符合要求； 故选：C． 3．（24-25九上·重庆十一中教育集团·期中）对于整式：、、、，在每个式子前添加“＋”或“－”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或． 下列相关说法正确的个数是：（    ） ①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“全绝对”操作的化简结果为为常数），则； ③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有16种不同的结果， A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】重庆十一中教育集团2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷 【分析】根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①． ，凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围，可判定②．利用排列组合的方法，每一个整式添“”或“”所以每一个整式有两种变化情况，共4个整式，就有，但是有重复结果，可判定③． 【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使的系数为0， 有， ①正确． ， ； ． ：当，时． ：当，时．符合题意． ②正确． （种， 而当时，， ，结果相同， ③错误． 故选：C． 【点睛】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍． 4．（24-25九上·重庆十八中·期中）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】重庆市第十八中学2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误． 故选：B． 5．（24-25九上·重庆垫江中学·期中）已知代数式，，其中，在代数式A中任取两项相减后再求差的对值，同时在B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换后的结果分别记为，这样的操作称为“换差绝对运算”．例如：在代数式A中选取，在代数式B中选取a、，进行“换差绝对运算”，得到．下列说法正确的个数是（    ） ①存在某种“换差绝对运算”，使得； ②存在某种“换差绝对运算”，使得； ③在“换差绝对运算”中，有9种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【来源】重庆市垫江中学2024-2025学年九年级上册数学期中模拟试卷 【分析】本题考查整式的加减运算以及新定义下的运算，根据新定义分别对①②③验证即可． 【详解】解：假设，则， 解得与矛盾， 故①错误； 假设，则， 则， ， 不成立， 故②错误； 当在的三个数，，中任取两个数做差，有3种不同的运算结果， 在中计算的两个数的差的绝对值替换中个两项也有3种不同的结果， 故有9种不同的结果， 故③正确． 故选：B． 6．（24-25九上·重庆三十七中·期中）已知，在多项式中任意加绝对值，加绝对值后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序进行化简，称为“取非负数操作”．例如： ，． 下列说法： ①至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②至少存在一种“取非负数操作”，使其运算结果一定为负数； ③所有可能的“取非负数操作”共有种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：；故①正确； “取非负数操作”的结果在形式上只能改变之间的运算符号； ∵ ∴对多项式进行“取非负数操作”的结果的最小值为： 当时，的值恒大于；故②错误； ∵之间的运算符号只有“”或“”两种符号 ∴共有种不同的运算结果； 分别为：；；；；；；；；③正确； 正确的有：①③ 故选C． 【点睛】本题考查了新定义下的绝对值的化简；熟练掌握绝对值的化简方法是解题的关键． 7．（24-25九上·重庆合川合阳中学·半期）对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：，，给出下列说法：地 城 考点02 代数式相关代数操作题 （1）不存在任何“全差操作”，使其结果为0； （2）至少存在一种“全差操作”，使其结果为常数； （3）所有的“全差操作”共有6种不同的结果． 以上说法中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【来源】重庆市合川区合阳中学2024-2025学年九年级上学期半期考试数学试题 【分析】本题主要考查整式的加减，设四个多项式为：，，，，所有“全差操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“”号，据此列出所有计算结果，再逐一判断即可． 【详解】解：设四个多项式为：，，，，所有“全差操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“”号，共有6种不同的系数组合，计算结果如下： 1. ， 2. ， 3. ， 4. ， 5. ， 6. ， （1）所有结果均不含，故（1）正确； （2）和均为常数，故（2）正确； （3）上述6种结果均不重复，故（3）正确． 故选：D． 8．（24-25九上·重庆大学城三中·期中）有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【来源】重庆大学城第三中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 9．（24-25九上·重庆巴渝学校·期中）对两个整式，进行如下操作：将的结果记为，称为第1次操作；将第1次操作的结果加上，结果记为，称为第2次操作；将第2次操作的结果加上，结果记为，称为第3次操作；将第3次操作的结果加上，结果记为，称为第4次操作；…． 下列说法： ①当时，则第5次操作的结果； ②当时，则第次操作的结果； ③当时，则100次操作的结果之和． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【来源】重庆市巴渝学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】依次求出，，，……，找到规律即可解决问题．此题考查了整式的加减及数字类变化规律，根据题意找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 根据题意可知：， ， ， ， ， …… 由此可见，第次操作的结果为 ， 第次操作的结果为 ， 第次操作的结果为 ， 当时，则第5次操作的结果；故①正确， 当时， ， ∵， ∴， 故②错误， 由题可知， ∵， ∴， 故③正确 故选：B． 10．（24-25九上·重庆涪陵十六中·期中）有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（   ） ①； ②若第三个整式与第二个整式的差为21，则； ③第2024个整式为； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ， ，故①正确； 以此类推，， ，故④正确； 第一个整式为， 第二个整式为， 第三个整式为， 第四个整式为，…… 以此类推，第个整式为， 第2024个整式为，故③正确； 第三个整式与第二个整式的差为， ， 解得：，故②错误； 综上所述，结论正确的有①③④，共3个． 故选：C． 11．（24-25九上·重庆荣昌初级中学·期中）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，...，则下列说法正确的是（    ） ①若，则；②；③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【来源】重庆市荣昌初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了整式的加减，根据整式的加减运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 故选：B． 12．（24-25九上·重庆高新区中学联盟·期中）已知，则下列说法： ①若的值与的取值无关，则； ②当时，若，则或； ③当时，若有最小值． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【来源】重庆市高新区中学联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程，解一元一次不等式组等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键． ①先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；②代入，可得，解方程即可求解；③根据题意得出，代入原式得，然后分情况分析求解即可． 【详解】解： ① ， ∵的取值无关， ∴， ∴，故①错误； ② 当时， 解得：或；故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴， 当时，即， 原式， 此时时，有最小值为， 当时，即， 原式， 此时， 当时， 原式， 当时，即， 原式， 此时时，原式有最小值为， 综上，当时，若有最小值，故③错误； 综上分析可知：正确的有0个． 故选：A． 13．（24-25九上·重庆万州二中·期中）关于x的多项式，，m为任意实数，则下列结论中正确的有（    ）个． ①若中不含项，则； ②不论x取何值，总有； ③若关于x的方程的两个解分别为，，则实数m的最大值为10； ④不论m取何值，关于x的方程始终有4个不相同的实数解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】重庆市万州第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】，中不含项，则，可判断①正确；利用求差法克判断②错误；由一元二次方程根与系数的关系得到，进而得，可判断③正确；由得，即或，将多项式A，B代入化简后，根据一元二次方程根的判别式即可可判断④正确． 【详解】解：， 若中不含项，则， ，故①正确； ∵， 当时，不论x取何值，总有，即，故②错误； 若关于的方程，即的两个解分别为，，则， ， 当时，m有最大值，为，故③正确； 由得， 或， 由得， ∴， ∵， ∴有两个不相同的实数根， 由得， ∴， ∴， ∴有两个不同的实数根， ∴始终有4个不相同的实数解，故④正确， 正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，求差法比较大小，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 14．（24-25九上·重庆杨家坪中学·期中）对于两个多项式，若满足下列两种情形之一： （1）； （2）； 则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①； ②； ③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】重庆市杨家坪中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】根据题意列出到的值，找出值为的规律，即可判断①，计算，即可判断②，找出的的值，根据规律计算的个数，即可判断③， 本题考查了整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是：找到满足条件的规律． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，， ，， ，， ，，…； ∴、、、、…多项式为， 即：，，2，3，…， 当时，，故①正确； ，故②错误； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当，5，8，…，即：，，2，3，…，时，， 当时，，，不符合题意， 当时，， ∴当时，有， 即共有个值，满足； ∵在序列中，当时，共有个的差， ∴在序列中，有（个）值使得， 故③不正确， 综上所述①正确，个数为1， 故选：B． 15．（24-25九上·重庆松树桥中学·期中）有依次排列的2个整式x，y，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，称为第三次操作，得到第5个整式，……，以此类推，下列三个说法正确的有（   ）． ①第7个整式为； ②第20个整式中x的系数与y的系数的差为； ③第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和等于2048； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【来源】重庆市松树桥中学校2024-2025学年九年级数学上学期数学期中试题 【分析】按要求分别列出整式，即可判断①；由①可知，当是奇数时，x的系数与y的系数大1，当是偶数时，y的系数与x的系数大1，据此即可判断②；分别求出部分整式的系数和，可得第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和，即可判断③，据此即可得出答案． 【详解】解：第1个整式为， 第2个整式为， 第3个整式为， 第4个整式为， 第5个整式为， 第6个整式为， 第7个整式为，故①正确，符合题意； 由①可知，当是奇数时，x的系数与y的系数大1，当是偶数时，y的系数与x的系数大1， ∴第20个整式中x的系数与y的系数的差为，故②正确，符合题意； 第1个整式和第2个整式中x的所有系数与y的所有系数的和为2， 第3个整式和第4个整式中x的所有系数与y的所有系数的和为， 第5个整式和第6个整式中x的所有系数与y的所有系数的和为， ∴第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和，故③正确，符合题意， 综上可得：说法正确的为①②③，有3个． 故选：D 【点睛】本题考查了数字的变化规律、通过计算，得出整式各项系数之间的关系，找到系数和的规律是解本题的关键． 16．（24-25九上·重庆八中·期中）已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②正确； 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③正确； 故选：D 17．（24-25九上·重庆北碚朝阳中学教育集团·期中）对于依次排列的整式，用任意相邻的两个整式中的左边的整式减去右边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一列列新的整式，称此为次“友好操作”．例如：，进行次“友好操作”得到，，；对于，连续进行次“友好操作”得到，，，，；对于依次排列的个整式，，，，，连续进行次“友好操作”后得到一列新的整式，关于所得的一列新的整式，下列说法： ①当时，这列新的整式中共有个整式； ②当时，这一列新的整式中有一个整式为； ③存在正整数，使得这一列新的整式中所有整式之和为； 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：当时，整式为：，，，，，，，，共有个， 当时，整式为：，，，，，，，，，，，，，，，，共有个， ①当时，有个整式， ②上面时，所得一系列整式中有，，，，故可类比知当整式中有，，，， ③当时，所有整式和；当时，所有整式和； 类比，当时，所有整式和， ∴②③正确， 故选：C． 18．（24-25九上·重庆开州初中教育集团·期中）已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（    ）地 城 考点03 方程相关代数操作题 ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①若，则，解得，； 当时，；当时，；故①正确； ②当时，，， 当时，的最小值取在，此时值为；故②正确； ③当时，，，则，解得，；故③正确； ④当时，，，，． 当且，即时，； 当且，即时，； 当且，即时，； 综上，的取值范围是．故④错误； ∴正确的有三个． 故选：C． 19．（24-25九上·重庆巫山高唐初中·期中）对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若，是一元二次方程的两个根，则； ③若的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则或． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】重庆市巫山县高唐初级中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了新定义的概念，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，根据新定义得到正确的函数，且能准确理解题意是解题的关键．根据新定义的概念，利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，逐一对选项进行判断即可解答． 【详解】解：当时，，故①不正确； 由题意可得， 根据，可得，， 原式，故②错误； ， 当时，解得， 存在两种情况，使得直线与有三个交点， ①当经过点时，直线与有三个交点， 把代入，可得， 解得； ②当与只有一个交点时，直线与有三个交点， 可得， 经整理可得， ， 解得， 综上所述，的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或，故③正确， 故正确的有1个， 故选：B． 20．（24-25九上·重庆八中·期中）已知整式M：，其中，，，，，均为自然数，若，．则下列说法： ①若，，则所有可能的取值有4个； ②若p，q满足方程，且，则满足条件的不同整式有12个； ③若，当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若，且，则p存在最大值为25 其中，正确的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【来源】重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【详解】∵， ，，，均为自然数， ∴最大为． ∴可取，，，，所有可能的取值有4个． 说法①正确． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴只能表示为，且，． ∴，． ∴，可能的组合为，或者，或者，，共三种组合；，，，可能的组合为，，，或者，，，或者，，，，共三种组合． ∴满足条件的不同整式有：(个)． 说法②错误． 由题意得． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴的对称轴为． ∵，为自然数，不为， ∴为正整数． ∵，当时，随着增大，逐渐减小， ∴当时，可以取得最大值． 说法③正确． 综上所述，说法正确的为①③． 故选：B 21．（24-25九上·重庆四川外语学院二外·半期）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【来源】重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2024一2025学年上学期 九年级半期质量监测数学试题 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：． 22．（24-25九上·重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知整式，其中，，，，均为正整数，记，下列说法①若，，则满足条件的不同的整式共有6种；②若时，关于的方程有两个不同的实数解；③若且，当为整数时，满足条件的的最大值为42．正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【详解】解：若，，则，且，，均为正整数， ∴，，可能的值为1、1、3；1、2、2；1、3、1；2、1、2；2、2、1；3、1、1， 共计6种，故说法①正确； 若，则， 整理可得， ∴， ∵，均为正整数 ∴， ∴关于的方程有两个不同的实数解，故说法②正确； 若且， 则， 设（为整数）， 则，要使的值最大，可令， ∴，解得， 当时，可有，解得（不合题意，舍去）， 当时，可有，解得， 当时，可有，解得（不合题意，舍去）， …… 即值越大，值越小， ∴此时，的最大值为6， 当时，，则， ∴，即， ∵为 整数， ∴为6的倍数， 设，则， ∴为整数， ∴或2或3或4或7， ∴最大为42，故说法③正确． 综上所述，说法正确的为①②③，共计3个． 故选：D． 23．（24-25九上·重庆红叶中学·期中）设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：设一元三次方程的三个非零实根分别为，，， 则方程可写成，即． 对比可得，，，， 可得，，， ， 综上可知，①②④正确，③错误， 故选B． 24．（24-25九上·重庆西南大学附中·期中）已知，，．下列说法： ①当时，若，则的值为0或3； ②当时，若，则关于的方程一定有两个不相等的实数根； ③若，，则时，有最小值8． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】重庆市西南大学附属中学2024-2025学年 九年级上学期期中考试数学试题 【分析】对各项分别分析计算即可．本题重点考查一元二次方程的根的判别式，绝对值的意义，难度不是很大，但4个小题需要分别分析计算，计算量相当大，过程很繁琐，容易出错，一定要认真． 【详解】解：①当时，若， 则， 整理，得， 解得或． 经检验，为增根， 故的值为0； ①错误； ②当时，，， ， ， ， ， 关于的方程一定有两个不相等的实数根， ②正确； ③若，，则，，， ， 当时，， 则时，有最小值8； 当时，， 则时，有最小值22； 当时，原式 时，有最小值8． ③正确 故选：C． 25．（24-25九上·重庆一一〇中学集团五校·期中）已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有6组解．其中错误说法的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【来源】重庆市第一一〇中学校集团五校联考2024-2025学年九年级上学期数学期中期学情调查试题 【分析】①将，，，代入方程验算即可判断说法①；②设，则，，，代入方程检验即可判断说法②；③设，，代入方程验算可知，正整数a，b，c，d满足，且，，一定是该四元方程的解，当时，分三种情况讨论：当时，有组解；当时，有组解；当时，有组解；据此即可判断说法③；综合以上，即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， ， ， ，，，是该四元方程的一组解， 故说法①正确； 设，则，，， ， ， ， 连续的四个正整数一定是该四元方程的解， 故说法②正确； 设，， ， ， ， 正整数a，b，c，d满足，且，，一定是该四元方程的解， 当时，分三种情况讨论： 当时，，解为：，，，；，，，；，，，； 当时，，解为：，，，；，，，； 当时，，解为：，，，； 该四元方程有组解， 故说法③正确； 综上所述，正确的说法有：， 错误说法的个数是， 故选：． 26．（24-25九上·重庆南开中学·期中）已知关于的两个多项式，．其中a为常数，下列说法： ①若的值始终与无关，则； ②关于x的方程始终有两个不相等的实数根； ③若的结果不含的项，则； ④当时，若的值为整数，则x的整数值只有2个． 以上结论正确的个数有(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：①∵，， ∴， ∵的值始终与x无关， ∴，故①不符合题意； ②， ∵， ∴关于x的方程始终有两个不相等的实数根， 故②符合题意； ③， ∵的结果不含的项， ∴， 解得；故③符合题意； ④当时，， ∴， ∵的值为整数， ∴， 解得或，故④符合题意； 综上，②③④符合题意； 故选：B． 27．（24-25九上·重庆渝北区实验中学·期中）已知三个函数：，，，下列说法：地 城 考点04 函数相关代数操作题 ①当时，x的值为5或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中x的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中不正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【来源】重庆渝北区实验中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】解可化为一元二次方程的分式方程即可判断①，通过平方差公式对进行变形得到，在通过完全平方公式的变形得到的值即可判断②，解可化为一元二次方程的分式方程求得，再代入化简，即可判断③，令，，，根据，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可判断④． 【详解】解；①当时，则， ∴， 解得或． 经检验，和都是原方程的解，故①说法正确； ② ， ，， ∴， ∴， ∴或 ，故②错误； ③∵， ∴， 整理得：， ∴， ∵时，， ∴， ，故③正确； ④，令， 当式子中x的取值为与时，的值相等， ∴令，，则， ， 整理得：， ∵当式子中x的取值为与时，的值相等， ∴对于b的不同的很多值都可以满足的值相等， ∴（满足时，只有特定的两个值）， ∴， ， 的最大值为8，故④正确； ∴错误的有1个， 故选：C． 28．（24-25九上·重庆一中·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论： ①当时，的值为或5； ②对于任意的实数a、b，若，，则有； ③当时，． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】解可化为一元二次方程的分式方程即可判断①，对进行变形，进而根据二次根式的混合运算进行计算，即可判断②，解可化为一元二次方程，再代入化简，即可判断③． 【详解】解：①即， 整理得：， 解得：或， 经检验，或，是原方程的解， 故①正确； ② ，， 故②正确； ③即， 即 ∴ ∴ ∴ 故③正确； 故选：C． 29．（24-25九上·重庆石柱一中·期中）已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，的值为6或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①即， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是原方程的解， 故①正确； ② ， ，， ， 故②正确； ③即， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， ， 故③错误； ④，令， 的取值为与时，的值相等，令，， ， ， 整理得：， ， 的最大值为8， 故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 30．（24-25九上·重庆八中·期中）定义一个运算，下列说法正确的个数为（    ）地 城 考点05 定义新运算类代数操作题 考点01 考点01 ①； ②若，则或3； ③； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①，故①正确； ②，则，化简得， 解得或， 经检验，是增根，是分式方程的解， ∴，故②错误； ③ ， 故③错误； ④若， 则， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， 故④错误； 综上可知，正确的是①， 故选A． 31．（24-25九上·重庆江津中学·期中）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：，故①正确； 当时，即时，， 当时，即时，，故②正确； ∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴，解得：； 当时，， ∵， ∴或，解得：或； 综上所述：m的值为3或，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 32．（24-25九上·重庆沙坪坝一中·期中）对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（    ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①♣，解得：或1； 故①正确，符合题意； ②♣，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故②正确，符合题意； ③♣， ∵方程的解为、， ∴， ∴，则 当时，♣， 当时，♣， ∴♣的值为或， 故③不正确，不符合题意； ④∵♣， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个； 故选：B． 33．（24-25九上·重庆九龙坡重庆实验外国语·期中）对于代数式、，定义一种新运算：．①若，则或；②若、是一元二次方程的两个根，则；③若二次函数在内有最小值，则；④若的函数图象与直线有两个交点，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据题意得： ①，， ， 即， ， 解得：，， 故①正确； ②根据定义的新运算得： ， 即， 、是一元二次方程的两个根， ，， ， 故②正确； ③根据定义的新运算得： 二次函数 ， ， 函数的顶点坐标为， 二次函数在内有最小值， ， 故③不正确； ④根据定义的新运算得： 函数， 令，则， 解得：， 的函数图象与轴交点为，， 把代入，得， 把代入，得， 当时，的函数图象与直线有两个交点； 令，整理得： ， 若时，的函数图象与直线有三个交点， 即， 解得：， 当时，的函数图象与直线有两个交点， 综上，当或时，的函数图象与直线有两个交点， 故④不正确， 故正确的是①②， 故选． 34．（24-25九上·重庆江津白沙中学·期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：， ， ．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解： ，故①正确； ，故②错误； ∵， ∴，， ，故③正确； 若，则， ， ， 或，故④错误； ， 同理， ， … ， 即，故⑤错误； 正确的有①③共2个 故选：A 35．（24-25九上·重庆石柱·期中）对于任意实数和，定义新运算，有下列四个结论，其中正确的结论个数为（    ） ①的运算结果为； ②方程的解为，； ③当时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④函数的图像不经过第二、四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】重庆市石柱土家族自治县第一初级中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【详解】解：①， ，故正确； ②当时，即时，方程为， 整理得，解得，， 当时，即时，方程为， 整理得，解得或（不符合题意，舍去）， 方程的解为，，故正确； ③当时，函数， 函数的图像经过第一、二象限，故错误； ④当时，即时，函数为， 当时，即时，函数为， 画出函数图像如下： 由图可知函数图像不经过第二、四象限，故正确； 故选：C． 36．（24-25九上·重庆大足·期中）对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（　　） ①方程的解为或； ②关于的方程有三个解，则； ③当时，随增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【来源】重庆市大足区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【详解】解：在方程中， 当时，即，则， 解得：或， 当时，即，则， 解得：或（都不符合题意，舍去）， ∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确； 当时，即，则，即， 当时，即，则，即， 如图，当时，方程没有三个解，故结论②错误；    函数中， 当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确； 当时，函数，当时，函数有最小值，最小值为，故结论④错误， 综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论． 故选：B 【点睛】本题考查了新定义运算、二次函数的图象与性质，解本题的关键在理解新定义运算法则，并熟练掌握二次函数的图象与性质． 37．（24-25九上·重庆一中·期中）若定义一种新运算：，例如：，，下列说法： ①； ②若，则，； ③的解集为或； ④函数与直线（为常数）有3个交点，则． 其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】根据新定义，分类计算判断即可． 【详解】因为，且， 所以， 故①正确； 当时，， 解得，，符合题意； 当即时，， 所以，此时即，显然不成立， 所以②正确； 当即时，，得到， 解得， 所以不等式的解集是； 当即时，，得到， 解得， 所以不等式的解集是或； 所以③不正确； 当即时，此时 因为， 图像为抛物线上的一部分； 当即时，此时或， 因为， 图像为抛物线上的一部分，且当时，；当时，；符合题意的整体图象如下： 故当时，函数与直线（为常数）有3个交点． 所以④正确； 故选B． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $