专题05 尺规作图（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05尺规作图 ☆4大高频考点概览 考点01角平分线 考点02垂直平分线 考点03过点作垂直 考点04作角相等 考点01 角平分线 1,(24-25九上·重庆南开中学期中)如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC,∠ABC的角平分 线交AC于点E. (I)用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)问所作的图形中，连接BF、DE,求证：四边形BEDF是平行四边形. 证明： ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,∠ABC=① ∴.∠BAE=∠DCF 又，BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA. 4BE=LABC,∠CDF=∠女 2 ∴.∠ABE=∠CDF 在△BAE和△DCF中： ∠BAE=∠DCF AB=CD ② :△BAE≌ADCF(ASA) 1/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 BE=DF,∠AEB=③ ∴.180°-∠AEB=180°-∠CFD .④ :BE∥DF .BE=DF,BE∥DF. ∴.四边形BEDF是平行四边形（⑤ )(填依据) 2.(24-25九上·重庆十八中期中)已知四边形ABCD是平行四边形，AB<AD. B (I)利用尺规作图作∠BAD的角平分线交BC于点E,在AD上截取AF=AB,连接EF;(要求保留作图 痕迹，不写作法)： (2)求证：四边形ABEF是菱形.（请补全下面的证明过程） 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ①， :AE平分∠BAF, ∴.∠BAE=∠FAE ②， ∴.BA=BE 又AB=AF, ③， 又④， .四边形ABEF为平行四边形， 又⑤， .四边形ABEF是菱形. 3.(24-25九上·重庆彭水思源教研共同体五校·期中)在学习蓺形的过程中，小量想利用平行四边形构造 出一个荠形.他的思路如下；如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC,在AD上取一点E,使得AE=AB, 再作∠BAD的角平分线交BC于点F,然后通过证明四边形AEFB是有一组邻边相等的平行四边形来得到 2/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 菱形.按以上思路完成下面的作图与填空： B 证明：用直尺和圆规，在AD截取一点E,使得AE=AB,连接BE,再作∠BAD的角平分线交BC于点F, 交BE于点O,连接（保留作图痕迹） AB=AE,AF平分∠BAE, ∴AO是BE上的中线， :在平行四边形ABCD中AD∥BC, ∠AEO=∠FBO BO=EO 在 和 中有 .△AOE△FOB ∴.△AOE≌△FOB(ASA) AD∥BC, ∴四边形ABFE是平行四边形： .平行四边形ABFE是菱形. 4.(24-25九上·重庆八中·期中)小红非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一 个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为90°，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完 成以下作图和填空： 如图，在四边形4BCD中，∠A=∠C=90,DE平分∠ADC B (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AD于点F.(只保留作图痕迹) 3/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)探究：DE与BF的位置关系.将下面的过程补充完整. ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360° ∠A=∠C=90° 解： …① :DE平分∠ADC,BF平分∠ABC, ∠EDc=ADc,<PBC=<ABc, ∠F8c+∠EDc=ABc+ADc=∠ABc+∠A0c=180=0, 1 2 2 “在△EDC中， ∠C=90° .∠DEC+∠EDC=90° ② ③ 通过以上推理论证，小红得到命题：④_· 5.(24-25九上·重庆八中期中)小文非常喜效钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了边形的 内角和等于n-2180°，那么四边形的内角和是360°，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除 外)的一组对角都为90°，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC. B C (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AD于点F(只保留作图痕迹)· (2)探究：DE与BF的位置关系.将下面的过程补充完整. 解：，∠A+∠ABC+∠C+∠AC=360°且∠A=∠C=90°， .① :DE平分∠ADC、BF平分∠ABC, 4/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 :∠EDC=)∠ADC,∠FBC=)∠ABC, 2 2 .∠FBC+∠EDC=2∠ABC+∠ADC)=90° .在△EDC中，∠C=90°，∠DEC+∠EDC=90° ②. ∴.③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为90°，那么④ 6.(24-25九上·重庆七中·期中)在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平 分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路 完成以下作图与填空： (I)用直尺和圆规，作∠BAC的角平分线交BC于D.(只保留作图痕迹) (2)已知：如图：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD L BC. 求证：AB=AC 证明：，AD是∠BAC的角平分线， ∠BAD=① :AD⊥BC, ∴.∠BDA=② =90°， ∴.△ABD兰△ACD(ASA) ∴③ 林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④ 重合时，这个三角形是等腰 三角形. 7.(24-25九上·重庆一中·半期)在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她 发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等 得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空 5/26 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图，在等腰△ABC中，BE是∠ABC的角平分线.用尺规作∠ACB的角平分线分别交BE、AB于点 O、D(不写作法，保留作图痕迹)· (2)已知△ABC是等腰三角形，BE平分∠ABC交AC于点E,CD平分∠ACB交AB于点D,且BE、CD 交于点O.求证：OD=OE. 证明：△ABC是等腰三角形， :BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠ABE=—2 ∠ABC,∠BCD=∠ACD=5∠ACB, ∴.∠ABE=∠CBE=∠BCD=∠ACD, .'.OB=OC, 在aOBD和△OCE中， OB=OC ∠BOD=∠COE' ∴.△OBD≌AOCE ∴.OD=OE」 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在 直线的交点的距离也满足该特点.即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在 直线与两腰所在直线的交点的距离. 8.(24-25九上·重庆育才中学·期中)林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时， 这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论.请根据他的思路完成以下作图与填空： (I)用直尺和圆规，作∠BAC的角平分线交BC于D.(保留作图痕迹) 2)已知：在△ABC BC中，AD是∠B1C的角平分线，AD LBC 求证：AB=AC, 6/26 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：：AD是∠BAC的角平分线， ∴.∠BAD=① AD L BC, ∴.∠BDA=∠CDA=90°， 在△BAD△CAD 和 ∠BAD=∠CAD, ② ∠BDA=∠CDA :△BAD≌aCAD(ASA .③ 林林进一步研究发现，若在上图中已知AD是∠BAC的角平分线，BD=CD,同样可以通过证明三角形全 等得到AB=AC.因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④】 重合时，这个三角形是等腰 三角形. 目目 考点02 垂直平分线 9. (24-25九上·重庆云阳期中)如图，在四边ABCD中，AD∥BC,BD是对角线. D B (I)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF,EF分别交BD,AD,BC于点O,E,F.连 接BE,DF.(只保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形.（请完成下面的填空） 证明：，EF垂直平分BD .①，EF⊥BD 7/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 .AD∥BC ② [∠EDO=∠FBO DO=BO 在 和 中 △EDO△FBO ③ ∴AEDO2△FBO(ASA .'.OE=OF,DO=BO ∴.四边形BFDE为平行四边形 …④ ∴.四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到 一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤ 10.(24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)如图，AC是菱形ABCD的对角线. D C B (I)作边AB的垂直平分线，分别与AB,AC交于点E,F,连接FB、FD(尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹)； (2)求证：点F在线段AD的垂直平分线上. 证明：：四边形ABCD是菱形 AB=CB,CD∥AB,CD=CB, ①，∠DCA=∠BAC, ∴.∠DCA=∠BCA, 在△DCF和△BCF中， CD=CB ∠DCA=∠BCA CF=CF .△DCF≌△BCF, 8/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 …②. EF垂直平分AB, ③， .FA=FD ∴点F在线段AD的垂直平分线上（④）· 11.(24-25九上·重庆合川七校联盟·期中)如图，在四边形ABCD中，DC∥AB,连接BD. O (I)尺规作图：作BD的垂直平分线交AB于点E,交CD于点F,交BD于点O(不写作法，保留作图痕 迹)： (2)连接DE,BF,求证：四边形DEBF是菱形.完成下列填空 证明：DC∥AB, 5 又EF垂直平分BD, 》 又：∠DOF=∠BOE, .△DOF≌△BOE, ， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又， ∴四边形DEBF是菱形 12.(24-25九上·重庆三十七中期中)在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通 过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系. 请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交BC于点E,垂足为点O,连 9/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 接BO并延长，在射线BO上截取OD=OB,连接AD、CD.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中，求证：OB=。AC. 2 证明：，OE垂直平分AC, ∴点O是AC的中点. .0A=- .OB=OD, ∴.四边形ABCD是平行四边形. .∠ABC= .四边形ABCD是 OB=1BD 2 ∴.OB= 13.(24-25九上·重庆梁平区梁山初中教育集团·期中)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,交AB于点 D B (I)尺规作图：作CD的垂直平分线，分别交AC,BC于点E,F,连接DE,DF:(不写作法，保留作图痕 迹) (2)小川判断四边形CEDF是菱形，他的证明思路是：利用垂直平分线的性质，先证明△DEC、△DFC为 等腰三角形，再利用平行线的判定得到四边形CEDF为平行四边形，从而得到四边形CEDF是菱形. 证明：，CD平分∠ACB, .① ,EF是CD的垂直平分线， .DE=CE,② ∴.∠ACD=∠CDE,∠BCD=∠CDF ∠ACD=∠CDF,∠BCD=∠CDE, .AC∥DF,③ 10/26 专题05 尺规作图 4大高频考点概览 考点01 角平分线 考点02 垂直平分线 考点03 过点作垂直 考点04 作角相等 地 城 考点01 角平分线 1．（24-25九上·重庆南开中学·期中）如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E．    (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，①__________ ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴ 在和中： ∴， ∴，③__________ ∴ ∴④____________________ ∵ ∴，． ∴四边形是平行四边形（⑤____________________）（填依据） 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【来源】重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷 【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，为所求作的角平分线；    （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）． 故答案为：①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 2．（24-25九上·重庆十八中·期中）已知四边形是平行四边形，．    (1)利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；；； 【来源】重庆市第十八中学2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用基本作图作的平分线和作一条线段等于已知线段即可； （2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形． 【详解】（1）如图，为所作；    （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定． 3．（24-25九上·重庆彭水思源教研共同体五校·期中）在学习蓺形的过程中，小量想利用平行四边形构造出一个荠形．他的思路如下；如图，在平行四边形中，，在上取一点E，使得，再作的角平分线交于点，然后通过证明四边形是有一组邻边相等的平行四边形来得到菱形．按以上思路完成下面的作图与填空：    证明：用直尺和圆规，在截取一点E，使得，连接，再作的角平分线交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹） ，平分， 是上的中线， __________， 在平行四边形中， 在和中有 ， __________， ， 四边形是平行四边形； __________， 平行四边形是菱形． 【答案】图见解析，，， ， 【来源】重庆市彭水思源教研共同体五校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【详解】证明：如图，在截取一点，使得，连接，再作的角平分线交于点，交于点，连接．   ，平分， 是上的中线， ， 在平行四边形中， 在和中有， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 平行四边形是菱形． 4．（24-25九上·重庆八中·期中）小红非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（只保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：且， ① ． 平分，平分， ， ， 在中，， ， ② ． ③ ． 通过以上推理论证，小红得到命题：④ ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷 【分析】本题考查了角平分线基本作图：熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．也考查了平行线的判定和余角的性质，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． （1）利用基本作图作出角平分线即可； （2）先利用四边形内角和得到，再根据角平分线的定义得到，，则，然后证明，从而得到，即可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：且， ①． 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ②． ③． 通过以上推理论证，小红得到命题：④如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行． 5．（24-25九上·重庆八中·期中）小文非常喜效钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 【答案】(1)见解析 (2)； ； ；另一组对角的角平分线互相平行 【来源】重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【详解】（1）解：如图，为的角平分线， （2）解：∵且， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴ 6．（24-25九上·重庆七中·期中）在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：是的角平分线， ①___________． ， ②____________， ， ③__________． 林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④________________重合时，这个三角形是等腰三角形． 【答案】(1)详见解析； (2)高与中线． 【来源】重庆市第七中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）如图所示； （2）∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴． 林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的高与中线重合时，这个三角形是等腰三角形， 故答案为：高与中线． 7．（24-25九上·重庆一中·半期）在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． (1)如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 【答案】(1)见详解 (2)；；；ASA；相等 【详解】（1）解：用尺规作的角平分线分别交、于点、，如下图所示； （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离相等． 故答案为：；；；ASA；相等． 8．（24-25九上·重庆育才中学·期中）林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（保留作图痕迹） (2)已知：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴①______． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴③______． 林林进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到．因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④______重合时，这个三角形是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)， ，，角平分线与中线． 【来源】重庆市育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形三线合一的性质，证明是解题的关键． （1）根据角平分线的基本作法作出图形即可； （2）根据证明即可得出结论． 【详解】（1）如图所示； （2）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． 林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的角平分线与中线重合时，这个三角形是等腰三角形． 故答案为：， ，，角平分线与中线． 9．（24-25九上·重庆云阳·期中）如图，在四边中，，是对角线．地 城 考点02 垂直平分线 (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)，，，，得到的四边形是菱形 【来源】重庆市云阳县农村初中2024-2025学年上学期九年级数学期中定时作业 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：∵垂直平分 ∴①， ∵ ∴② ∵在和中， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵④ ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 10．（24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）如图，是菱形的对角线． (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点E，F，连接、（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：点F在线段的垂直平分线上． 证明：四边形是菱形 ，，， ① ，， ， 在和中， ， ， ② ． 垂直平分， ③ ， 点在线段的垂直平分线上（ ④ ）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市凤鸣山中学教育集团校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据线段垂直平分线的画法作图即可； （2）由菱形的性质易证，即得出，再根据线段垂直平分线的性质定理和判定定理求证即可． 【详解】（1）解：如图即为所作； （2）证明：四边形是菱形 ，，， ，， ， 在和中， ， ， ． 垂直平分， ， 点在线段的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为：；；；到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 11．（24-25九上·重庆合川七校联盟·期中）如图，在四边形中，，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，，求证：四边形是菱形．完成下列填空． 证明：， ， 又垂直平分， ， 又＝， ， ， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【来源】重庆市合川区初中“七校联盟”2024-2025学年上学期期中质量检测九年级 数学试题 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，菱形的判定． （1）根据作线段的垂直平分线的基本作法作图； （2）根据菱形的判定定理证明． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ； （2）证明：； ， 又垂直平分， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形； 又， 四边形是菱形． 故答案为：，，，． 12．（24-25九上·重庆三十七中·期中）在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴_____． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵_____， ∴四边形是_____． ∴_____． ∵， ∴_____． 【答案】(1)图形见解析； (2)；；矩形；， 【来源】重庆市第三十七中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定等知识， （1）根据要求作出图形； （2）证明四边形ABCD是矩形，可得结论； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． 故答案为：；；矩形；，． 13．（24-25九上·重庆梁平区梁山初中教育集团·期中）如图，在中，平分，交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小川判断四边形是菱形，他的证明思路是：利用垂直平分线的性质，先证明为等腰三角形，再利用平行线的判定得到四边形为平行四边形，从而得到四边形是菱形． 证明：∵平分， ∴①___________， ∵是的垂直平分线， ∴，②___________， ， ， ∴，③___________， ∴四边形为平行四边形． ∵④___________， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【详解】（1）如图，即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ， ， ∴，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：，，， 14．（24-25九上·重庆万州二中·期中）学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点．（不写作法，只保留作图痕迹） (2)已知：在四边形中，，为中点，为中点． 猜想：，且． 证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴ ① 在和中 ， ∴ ∴ ② ，且 ∵是的中点 又是的中点 ∴为的中位线 ∴且 ③ ∴ ∵ ∴ 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于 ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴， 在和中 ， ∴, ∴，且, ∴是的中点, 又是的中点, ∴为的中位线 ∴且, ∴, ∵， ∴， ∴连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于上底加下底的一半， 故答案为：；；；上底加下底的一半． 15．（24-25九上·重庆南川三校联盟·期中）如图，为矩形的对角线，．    (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；保留作图痕迹，不写作法 (2)在(1)所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程 证明：∵四边形是矩形， ∴　 ① 　， ∴，． ∵平分， ∴　 ② 　， ∴　 ③ 　， ∴ 　④ 　， 又∵， ∴四边形是 　⑤ 　， 又∵， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；平行四边形 【来源】重庆市南川区三校联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（B卷） 【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明． 【详解】（1）如图，直线即为所求；    （2）证明：证明：四边形是矩形， ， ，． 平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 故答案为：；；；；平行四边形， 16．（24-25九上·重庆垫江中学·期中）学习了正方形后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如图所示正方形中，E为上一点（E不与B，C重合），连接，过点B作的垂线，交于点F，则线段与线段的长度相等，她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空：地 城 考点03 过点作垂直 用直尺和圆规，过点B作的垂线，垂足为点O，交于点F．（只保留作图点痕迹） 已知：如图，四边形是正方形，点E在上（E不与B，C重合），连接，，垂足为O，交于点F． 求证：． 证明：∵四边形是正方形， ∴________，， ∴． ∵． ∴． ∴________， ∴________． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过上其它点也能作出具备此特征的一组垂线，请你依照题意完成下面命题： 过上一点作的垂线，________． 【答案】，，，分别与，交于F、G，则线段与线段的长度相等 【来源】重庆市垫江中学2024-2025学年九年级上册数学期中模拟试卷 【分析】本题考查尺规作图-作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，先根据尺规作图得到过B的垂线，再根据正方形的性质和等角的余角相等求解填空；画出命题对应的图形，利用平行四边形的判定与性质证明命题的正确性． 【详解】解：如图，即为所求作： 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现， 过上一点作的垂线，分别与，交于F、G，则线段与线段的长度相等． 证明：如图，过B作交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， 由上一结论可知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 17．（24-25九上·重庆西南大学附中·期中）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：平行四边形中，于点，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】 重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中，， ． ，②． ，即③． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18．（24-25九上·重庆四川外语学院二外·半期）如图：在正方形中，直线经过点D，与交于点． (1)用直尺和圆规作图：过点作的垂线，垂足为G，交于点F．（请保留作图痕迹，不要求写作图过程） (2)同学们作图完成后，通过测量发现，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明； 如图：在正方形中，、分别是直线，直线被正方形的一组对边截得的线段，已知． 求证：． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴．② ． ∴． 在和中，， ∴． ∴． (3)进一步研究发现，一条直线被矩形的一组对边所截得的线段与另一条直线被矩形的另一组对边所截得的线段互相垂直时，两条被截线段的长度之间也有一定的关系，请你类比题目中的证明，补充完成下列命题：两条直线分别被矩形的一组对边所截，如果所截得的线段互相垂直，那么 ． 【答案】(1)见解析 (2)①； ②； ③； (3)所截得的线段与所对矩形边长对应成比例 【来源】重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2024一2025学年上学期 九年级半期质量监测数学试题 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键． （1）根据垂线的画法画出即可； （2）利用全等三角形的判定定理写出分析过程即可． （3）利用相似三角形的性质和判定证明即可； 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴．． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：①； ②； ③； （3）解：两条直线分别被矩形的一组对边所截，如果所截得的线段互相垂直，那么所截得的线段与所对矩形边长对应成比例． 已知，如图，四边形是矩形，、分别是直线，直线被矩形的一组对边截得的线段，已知， 求证： 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， ∴，， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 19．（24-25九上·重庆大足区邮亭中学等五校·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O．      (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴ ① ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ② 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ③ ∴ ∴ ④ ∴ ∴四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【来源】重庆市大足区邮亭中学等五校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【详解】（1）如图：    作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 （2）证明：∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 20．（24-25九上·重庆酉州中学·期中）学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证： 证明：∵平分，且， ∴ ① 且 ∵在四边形中，∴ 又∵   ∴ ② ∴（ ③ ） ∴ 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角 ④ 【答案】(1)见解析 (2)；；；所对的四边形的两条边相等 【来源】 重庆市酉州中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分，且， ∴ 且 ∵在四边形中，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等， 故答案为：；；；所对的四边形的两条边相等． 21．（24-25九上·重庆一一〇中学集团五校·期中）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 【答案】作图见解析；①；②；③；④两交点到顶点的距离相等 【来源】重庆市第一一〇中学校集团五校联考2024-2025学年九年级上学期数学期中期学情调查试题 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明全等是解题的关键．用尺规作图作出过A与垂直的垂线；由菱形的性质易证，则可得；由此可归纳出结论． 【详解】解：作图如下： 证明：四边形是菱形， ，，； ， ； ， ， ， ； 由上证明知：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等． 故答案为：①；②；③；④两交点到顶点的距离相等． 22．（24-25九上·重庆綦江区联盟校·半期）学习小组在学习菱形时，进行了进一步地深入研究，他们发现，过菱形的一个顶点作对边的垂线，两个垂足的连线与菱形的这个顶点所引的对角线垂直．请你根据他们的想法与思路，完成以下作图与填空． (1)如图，在菱形中，用尺规过点A作的垂线，垂足为，连接 (不写作法，保留作图痕迹)． (2)已知：在菱形中，为对角线，于点于点，连接EF，求证：． 证明：四边形是菱形，为对角线， ① ， ， ② ， ， ， ③ ， 又， ． 同学们进行了更进一步的研究：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在怎样的位置关系呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ 【答案】(1)见解析 (2)，，，，证明见解析 【来源】重庆市綦江区联盟校2024-2025学年上学期半期九年级数学试题 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）直接根据要求尺规作图即可； （2）根据菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定进行分析论证即可解答． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求． （2）证明∶四边形是菱形，为对角线， ， ， ， ， ， ， 又， ． 猜想：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在的位置关系为：． 证明如下： ∵菱形中，、为对角线， ∴， ， ∴． 故答案为：，，，． 23．（24-25九上·重庆南开中学·期中）在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中， ∴．∴ ② ．又∵，∴， ∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)；；；进一步思考：四边形是平行四边形 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可； （2）先证明，得到．从而证得，即可得到．又由正方形的性质得，即可得出结论； 进一步思考：证明，得到，再证明，又由正方形的性质得，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的经过点B垂直于于Q，交于P的直线， （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 又∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，． 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键． 24．（24-25九上·重庆荣昌初级中学·期中）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）． 已知：在四边形中，，，平分，平分． 求证：．    证明：∵平分， ∴______， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，，______ ______， ∴， ∴______， 同理可得：， ∴． 小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么______． 【答案】，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度． 【来源】重庆市荣昌初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作图一基本作图，直角梯形，角平分线的定义，利用尺规作，即可完成作图，由证明，得到，同理可得，即可证明问题，根据证明可得如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 【详解】证明：如图，过点作的垂线，垂足为点，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度； 故答案为：，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度． 25．（24-25九上·重庆巫山初级中学·期中）学习了矩形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过矩形的一对对角的顶点分别作连接矩形另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状是平行四边形．为了证明这个发现，她的解决思路是通过证明这两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，四边形是矩形，对角线交于点O，过C作于点E，过点A作的垂线，垂足为点F，连接． 求证：四边形为平行四边形 证明：∵，，∴①_____ ∴②_______ ∵四边形是矩形 ∴③______ 又∵ ∴ ∴④______ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 小莉再进一步研究发现，当矩形对角线夹角为时，过矩形的一对对角的顶点分别作另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状均有此特征，而此时得到的平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系是：⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半 【来源】 重庆市巫山县巫山初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查尺规作图、矩形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定和性质等： （1）过直线外一点A作的垂线即可； （2）根据平行四边形的判定定理，结合已知证明过程逐项推导论证即可；当矩形对角线夹角为时，矩形两条对角线将矩形分成的四个三角形中两个锐角三角形为等边三角形，根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：补全后的证明过程如下： 证明：∵，，∴① ∴② ∵四边形是矩形 ∴③ 又∵ ∴ ∴④ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半，理由如下： 如图，四边形是矩形，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∴． 26．（24-25九上·重庆涪陵十六中·期中）如图，在中，点D为边上的中点，连接．地 城 考点04 作角相等 (1)尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【详解】（1）解：如图所示，图形即为所求： （2）证明：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 27．（24-25九上·重庆杨家坪中学·期中）某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个三角形（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． 如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴① ，在和中， ∴② （ASA）， ∴ ， ∵， ∴④ ∴四边形是平行四边形． 兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是⑤ ． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，，；菱形 【来源】重庆市杨家坪中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． （1）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再证明，从而得到四边形为平行四边形；当时，四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，射线为所求， （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形； 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形． 理由：∵四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形． 故答案为：，，，，菱形． 28．（24-25九上·重庆巴蜀中学教育集团·期中）小达同学在一次学习过程中，发现了一个规律：在平行四边形中，如图所示，分别以点和点为顶点向四边形内部作等于，分别交、于点、，分别交、于点、，连接、，则四边形为平行四边形．为了验证上述结论，小达同学按以下步骤进行探究： (1)【初步探究】如图，用尺规完成以下基本作图：以为顶点，以为边向平行四边形内部作等于，另一条边分别交、于点、，连接，；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)【验证结论】以上述为条件，证明四边形是平行四边形，请补全下列证明过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①　 　， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴（）， ∴② 　，， ∴③ 　， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． (3)【深入探究】如果四边形为菱形，则按照题干中的操作可以得到四边形应该为④　 　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形． 【来源】重庆市巴蜀中学教育集团中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，①，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，且，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形， （3）连接交于，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴②，， ∴③， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，，． （3）解：连接交于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与菱形的性质和判定、全等三角形的判定与性质以及基本作图，熟练掌握平行四边形和菱形的性质、全等三角形判定及基本作图方法是解题的关键． 29．（24-25九上·重庆九龙坡育才中学·期中）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，点、分别为、的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和平行四边形来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．    (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：，． 证明：∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵点为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴⑤ ， ∴，． 【答案】(1)画图见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【详解】（1）解：如图所示：    （2）∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 30．（24-25九上·重庆南开中学·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线．    (1)用尺规完成以下基本作图：在边的下方作射线，使，射线分别交于点，交的延长线于点，连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，证明：，（请完成下面的填空） 四边形是平行四边形， ① ， ，② ． ， ③ ，， ，④ ⑤ ， ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【详解】（1）解：如图，射线即为所求，    （2）四边形是平行四边形， ， ，． ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 31．（24-25九上·重庆八中·期中）如图，在中，D是边的中点，过点D的直线交于点E，交的延长线于点F，且．    (1)尺规作图：过点C在线段上方作交线段于点G（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、不下结论） (2)在（1）中所作的图中，证明：（请补全下面的证明过程）． 证明： ∵D为边中点， ∴ ∵ ∴ ① ． ∴ 在和中 ． ∴， ∴ ③ ． ∵ ∴， ∴ ④ ． 又∵， ∴ ⑤ ． ∴ 【答案】(1)见解析 (2)；；；； 【详解】（1）解：以B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点M、N，再以C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点P； 以N为圆心，长度为半径画弧，再以P为圆心，相同长度为半径画弧，交于点Q，连接，交于点G，如图所示，    （2）证明∵D为边中点， ∴ ∵ ∴． ∴ 在和中 ． ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴； 32．（24-25九上·重庆南开中学·期中）如图，在中，，点为延长线上一点，，连接．    (1)用尺规完成以下基本作图：在的右侧作，射线与延长线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)孟孟判断．她的证明思路是：利用等腰三角形的性质及外角定理，通过全等从而得到与相等．请根据孟孟的思路完成下面的填空： 证明：∵①_____________，∴，∵ ∴②_______________，∵ 又，∴ ∵D、B、C三点共线，∴ ∵A、C、E三点共线，∴③______________ ∴，∵ ∴④_____________，∴ 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；     （2）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵D、B、C三点共线， ∴ ∵A、C、E三点共线， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：；；；． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $