专题08 二次函数压轴综合题角相关（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08二次函数压轴综合题角相关 ☆4大高频烤点概览 考点01角度相等 考点02已知角的度数 考点03角的倍数关系 考点04角的和差关系 目目 考点01 角度相等 1. (24-25九上·重庆垫江中学期中)已知抛物线y=ax2+2x+6与x轴交于点A、点B(点A在点B的左 侧，点B在原点O右侧)，与y轴交于点C,且0B=0C. B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作O平行于y轴交BC于点Q,点D是PQ的中点， 过点D作BC的平行线交y轴于点F,过点C作CH平行于x轴交DF于点H,点R在直线BC上，当 PQ+2CH取最大值时，求此时点P的坐标及AR-PR的最大值， (3)如图2，点E坐标为E(0,2),将原抛物线沿射线CB方向平移22个单位长度，得到新抛物线y,在抛 物线y是否存在点M,满足∠BEM=∠AC0,若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程， 若不存在请说明理由。 2.(24-25九上·重庆长寿川维中学期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点D,抛物线的顶点为E,直线y=x+1与抛物线相交于A,C 两点 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式. (2)设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，当△PAC的面积取得最大值时，求出此时点P的坐标. (3)抛物线上是否存在一点M,使LMB0=∠AD0,若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若 不能，请说明理由。 3。(24-25九上重庆南开中学期中)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=一2x+1与抛物线 y=ax2-x+3(a≠0)交于A,B两点，且点A在x轴上，直线与y轴交于点C. B B 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式； ③P是直线8上方越物线上一点.过P作P心少y维交直线B于应Q,录PQ,50的最大值求此 时点P的坐标； (3)在(2)P9+ 40的最大值的条件下，连接BP,将抛物线沿射线B1方向平移，使得点A在新抛物线 v5 的对称轴上，M是新抛物线上一动点，当∠MAB=∠BPQ时，直接写出所有符合条件的点M的坐标 4.(24-25九上·重庆合川合阳中学.半期)如图，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)交x轴于A(-1,0),B(3,0), 交y轴于点C.连接AC,BC. / 丽学科网 ww w zxxk .com 让教与学更高效 备用图 (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，点P是第四象限内抛物线上一动点，过P作PQ⊥BC于点Q,试求线段PQ的最大值及此时点P的 坐标； (3)在(2)的条件下，将抛物线y=ar2+br-3到a≠0)沿射线C4方向平移10个单位长度得到新抛物线y, 4 点P的对应点为点P,在新抛物线对称轴上是否存在点M,使∠MP'C与LAC0相等，若存在，请直接写 出M点坐标；若不存在，请说明理由. 5.(24-25九上重庆荣昌初级中学期中)如图，抛物线y=-3:+x+c经过4，B两点，与x轴的另外 4 一个交点为C,点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线AB于点D,点E是 y轴上点B下方一点，若DE=DB,点A4,0),点B(0,3). B (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D,在y轴上点B下方取一点E, 使得DE=DB,求PD+】BE的最大值及此时点P的坐标： 是否存在点Q,使得∠PAB=∠QPA,如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明 理由. 6.(2425九上重庆高新区中学联盟期中)如图1，抛物线y=r2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交于点C.已知B(2,0),抛物线的对称轴1为：x=-1. V 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点D为抛物线的顶点，过点P作直线PQ∥BC交对称轴 1于点Q,连接QD.求√2PQ-QD的最大值以及此时点P的坐标； ③)图2，在②)成立的情况下，连接PB,将抛物线y=a2+x+e沿着射线4C方向平移25个单位有到 抛物线y，,E是抛物线y上的一点，若∠ABP=∠EPB，请直接写出满足条件的E的横坐标 7.(2425九上·重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校期中)在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0)的图象与x轴交于A-1,0)、B(4,0两点，与y轴交于点C(0,2). D AV A B B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PC、PB;求当△PBC的面积最大值及点P的坐 标； (3)如图2，在(2)的条件下，连接OP,将抛物线沿射线CB的方向平移得到新抛物线y,使得新抛物线y 经过点B,且与直线BC相交于另一点H,点Q为抛物线y上的一个动点，当∠HBQ=∠POB时，直接写出 符合条件的所有Q点的坐标 8.(24-25九上·重庆江津中学期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-2,0),点B(3,0), 交y轴于点C(0,3. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 图 备用图 (1)求抛物线的解析式， (2)如图1，已知直线BC上方抛物线上有一点P,过点P作PE∥y轴与BC交于点E,过点P作PF∥x轴与 y轴交于点F,求PE+PF的最大值和此时点P的坐标： (3)将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C,点B的对应点为B,点N是第一 象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否 存在点M,使得LMNB'=LC'B'W,请直接写出所有符合条件的点M的坐标. 9.（2425九上重庆七中期中)知图所示，关于x的抛物线y=子-x-3，与x轴从左往右分别交于点4、 点B,与y轴交于点C,连结CB VA E (I)求出A、B、C点的坐标； ②点P为直线BC下方抛物线上的任意一点，过点P作PO1x轴交BC于点Q,求PQ+5 Q的最大值及 5 此时点P的坐标； (3)若将原抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点E,连结AC、BE,点M为 新抛物线上一动点，若LAC0=LBEM，请直接写出满足条件的点M的坐标。 10.(24-25九上重庆长寿中学期中)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0),与 y轴交于点C,连接BC,点D在抛物线上. 函学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B B (图1) (备用图) (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD,CD,请求出△BCD面积的最大值及此时点D的坐 标 (3)点D在抛物线上移动，连接CD,是否存在点D,使得∠DCB=∠ABC,若存在求出点D的坐标；不存 在请说明理由 目目 考点02 已知角的度数 11.(24-25九上·重庆四川外语学院二外.半期)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 1 y= x2+bx+c交x轴于点A(-2,0),，B(6,0).交y轴于点C,点D为抛物线顶点 4 B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接BC,BD,CD,求△BCD的面积； (3)如图2，在y轴上取一点，抛物线沿射线BG方向平移2√2个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点 E,F,交y轴于点H,点P在线段FH上运动，线段OF关于线段OP的对称线段是OF',若直线F'P与直 线BG所成夹角为45°，请写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求其中一个点F的坐标的过程 12.(24-25九上·重庆大足区邮亭中学等五校期中)如图，抛物线y=ax2+5ax+b经过点D-1,-5),且交 x轴于A-6,0),B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C. 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式， (②)如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M,点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD, PF⊥DM,求√2PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标 (③)将原抛物线沿射线CA方向平移5个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G,使得∠CAG=45°，请 写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程， 13.(24-25九上重庆巫山初级中学期中)如图，二次函数y=ax2+bx-3与x轴相交于A,B两点，与y 轴相交于点C.己知点A-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1. y 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)连接BC,点P是抛物线上一点，在直线BC下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与BC交于E, F两点，求PE+PF的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着射线CB的方向平移√2个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若∠MBC=15°， 直接写出点M的坐标， 1 14.(2024-2025重庆十一中，九上期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=二x2+bx+c 交x轴于点A(-2,0),B(7,0),与y轴交于点C. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B M 图1 y B F E E D D 图2 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC,求MN+3BQ的最大 值； (3)如图2，在y轴上取一点G(0,7),抛物线沿BG方向平移2√2个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于 点E,F,交y轴于点D,点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物 线于点H,直线F'P与直线BG所成夹角为45°，直接写出点H的横坐标. 5九上电庆渝北期中如图，在平面直角坐标系中，抛物线y)产+x+c与X雅交 点，与y轴交于点C,连接AC,BC,且B-2,0),AB=6. / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M G 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过P作PD⊥AC交AC于点D,过P作PG⊥x轴交x轴于 点G、交4C于点E,点M为直线PG上一动点，当ADEP周长最大时，求OM+5PM的最小值及此时 点M的坐标； (3)如图2，将抛物线y= x2-x-4沿射线BC方向平移2√5个单位，得到新抛物线y,点F是新抛物线y上 点，点？为点B关于y轴的对称点，当∠FQC=45°时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标. 目目 考点03 角的倍数关系 16.(24-25九上重庆松树桥中学期中)如图1，抛物线y=x2+bx与x轴交于点A,与直线OB交于点 B(4,4),过点A作直线OB的平行线，交抛物线于点C. G E A D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴交直线OB于点E,过点E作EF⊥AC于点F, 连接DF,求aDEF面积的最大值及此时点D的坐标， 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，在(2)问条件下，将原抛物线向右平移1个单位，使抛物线再次经过(2)问条件下的点D时， 新抛物线与x轴交于点M，N(点M在点N的左侧)，与y轴交于点G,连接GD,点P为新抛物线上一 点，连接DP交直线GN于点H,使得∠DHN=2LDGN,直接写出所有符合条件的点P的坐标， 17.(24-25九上·重庆巴渝学校期中)如图1，抛物线y=ax2+bx-3经过A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴 交于点C,P为第四象限内抛物线上一点. V 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形COBP的面积为S,求S的最大值； (3)如图2，过点P作PM⊥x轴于点M,连接AC,AP,AP与y轴交于点N.当∠MPA=2LPAC时，求 满足条件的P点坐标。 18.(23-24九上重庆长寿川维中学期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于 A(-1,0),B(6,0)两点.交y轴于点C. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E,在y轴上取一点F,使得 EF=EC,求PE+CF的最大值及此时点P坐标； (3)将该抛物线沿射线BC方向平移√10个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M，使得 ∠BCM=2∠OBC.写出所有符合条件的点M的横坐标.并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程.函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08二次函数压轴综合题角相关 ☆4大高频烤点概览 考点01角度相等 考点02已知角的度数 考点03角的倍数关系 考点04角的和差关系 目目 考点01 角度相等 1. (24-25九上·重庆垫江中学期中)已知抛物线y=ax2+2x+6与x轴交于点A、点B(点A在点B的左 侧，点B在原点O右侧)，与y轴交于点C,且0B=0C. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PQ平行于y轴交BC于点Q,点D是P9的中点， 过点D作BC的平行线交y轴于点F,过点C作CH平行于x轴交DF于点H,点R在直线BC上，当 PQ+2CH取最大值时，求此时点P的坐标及AR-PR的最大值 (3)如图2，点E坐标为E(0,2),将原抛物线沿射线CB方向平移22个单位长度，得到新抛物线y,在抛 物线y是否存在点M,满足∠BEM=∠AC0,若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程， 若不存在请说明理由， 【答案】(I)y=- x2+2x+6 8,-2,28 1323 【来源】重庆市垫江中学2024-2025学年九年级上册数学期中模拟试卷 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)当x=0时，y=6, C(0,6, ∴.0C=6,0B=0C, 0B=6, B(6,0), 把B(6,0)代入y=ax2+2x+6,得0=36a+12+6, 解得a=-2, :装物线伯衣达式为y=方+2x+61 (2)设直线BC的表达式为y=x+b, 则 6k+b=0 b=6 k=-1 解得 b=6' .直线BC的表达式为y=-x+6, 设P6+21+6, 则9(t,-t+6), :点D是P2的中点， ,-+1+6 :D4+2 :D0=-4 1 2+5t+6--t+6三0 2+3, 3 :DF∥BC, 设直线DF的表达式为y=-x+b', :y=-x-4 13 tG+2t+6, 2 1 3 当y=6时，6=-x-二t0+号t+6, 4 ”2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 3 解得x=一41口21 4 :CH∥x轴， P0+2cw=200+2ca=2）--1e6=-r+. :点P是直线BC上方抛物线上一点， .0<t<6, 15 当t=3时，PQ+2CH的最大值为9，此时P3,2: (3)存在点M,满足∠BEM=∠ACO,理由如下： y=-x2+2x+6=-x-22+8, 2 2 对于y=- x+2x+6,当y=0时， 2r+2x+6=0. 1 解得x1=-2,x2=6, A-2,0), .A0=2, an∠4co=OA-1 0C3' :抛物线沿射线CB方向平移2√2个单位长度， :抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度，沿y轴负半轴平移2个单位长度， :平移后的抛物线表达式为y=-4+6, :E(0,-2), E0=2, ÷tan∠OBE=OE_1 OB 3' :tan∠AC0=tan2OBE=3 1 ·LAC0=LOBE, 当ME∥BO时，∠BEM=∠OBE=∠ACO, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当)=2时，-4+6=-2，解得=8,6=0， .M(8,-2): 设BE的垂直平分线与x轴交于点G,连接GE,如图， V G B ∴GB=GE, .LBEG=LOBE=∠AC0, 在Rt△0EG中，GE2=OE2+OG2, .(6-0G2=22+0G2, 解得0G=3 o 设直线EG表达式为y=mx+n, 则/3m+n=0 8 n=-2 3 解得 m=- 4, n=-2 3 直线EG表达式为y=二x-2, 4 3 -2 联立方程组 y4 1 =2x-4+6 13 x= x=0 2 解得 或 y=-21 23 8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，M的坐标为8，-2)或28) 1323 2.(24-25九上重庆长寿川维中学.期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于A(-1,O),B(3,0)两点，与y轴交于点D,抛物线的顶点为E,直线y=x+1与抛物线相交于A,C 两点. B (1)求抛物线的解析式： (2)设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，当△PAC的面积取得最大值时，求出此时点P的坐标. (3)抛物线上是否存在一点M,使LMB0=∠AD0,若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若 不能，请说明理由 【答案】(1)y=-x2+2x+3 @P》 (3)能，点M的坐标为： 【来源】重庆市长寿区川维中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷 【详解】(1)解：由题意得：y=-(x+1(x-3=-x2+2x+3; (2)过点P作PH∥y轴交AC于点H, y=-x2+2x+3 y=x+1 B x=2 解得： x=-1 或 y=0 y=3 .C2,3, :A(-1,0), 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 xc-x4=2--1=3, 设点Px,-x2+2x+3,则点H(x,x+1),则PH=-x2+x+2, 则：P4C的面积=×PH×-小+x+2列， 3 故aPAC的面积有最大值，此时x=2: 1 则点P 115) 24月 (3)能，理由： 由抛物线的表达式y=-（x+1)(x-3=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3 .点D0,3), 依题意，tan∠ADO=}=tan∠MBO, 3 设直线MB交y轴于点N,则N(0,±1 设直线BM的表达式为y=x+b 3k+b=03k+b=0 b=-1 或 b=1 1 1 k= k=- 解得： 3或 3 b=-1 b=1 则直线8M的表达式为：y=±号x-引， 联立上式和抛物线的表达式得：一+2x+3=x-到或-+2x+3=x-引。 解得：！合去)或专成子 则点M的坐标为： 413) 3’-91 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A 3.(24-25九上·重庆南开中学期中)如图1，在平面直角坐标系中，直线y= 2x+1与抛物线 y=ax2-x+3a≠0)交于A,B两点，且点A在x轴上，直线与y轴交于点C. B B A 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： 线4B上方趣物线一点，过P作P四/y釉交直线B于点Q,求P四+Ag的最大但 时点P的坐标； (⊙在（②）Q:540的最大值的条件下，连接肌，将拖物线沿线1方向平，使行点A在新琳物线 的对称轴上，M是新抛物线上一动点，当∠MAB=∠BPQ时，直接写出所有符合条件的点M的坐标. 【答案】0)y=-x2-x+3 4 ②Pp+ A0的最大值为4，P(-2,4) (3)点M的坐标为2,2)或 -V41+1-3√41-9 2 8 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】(1)先由一次函数解析式求出点A2,0),再把A(2,0)代入y=ax2-x+3,求出a值即可； 2延长p交y维于D,证明：01c,040,得66即00求行0-940，再设 P子-4则+小则P=-+2,0=-1,所以 P0+540=P0+QD=PD=-x+2+4,利用=次函数最值即可求解， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为y=-二x2+x+1,再分两种情况：当点M在直线AB上方 时，当点M在直线AB下方时，分别求解即可. 【详解】()解：对于直线y=2+1, =0,则x+10,解得：r=2 A2,0, 把A2,0)代入y=ax2-x+3,得0=4a-2+3, 解得：a=-4' 1 1 :.抛物线的表达式y=-二x2-x+3. 4 (2)解：延长PQ交y轴于D, B D O Ai 对于直线y=一 x+1, 1 令x=0,则y=1, .C0,1, :A2,0) AC=V12+22=V5 :PQ∥y轴，即QD∥0C, △0ACn△DAQ 06即 AC OC 40 DO 5D0-540, 5 设P-+小则0+小 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 P0+540=P0+QD=Pn=--+-4x+2+4 1 -4<0 “当x=-2时，PQ+ 5 AQ的最大值为4： P(-2,4. 1x-x+3 y=- 4 (3)解：联立， 1 y= 2+1 x1=-4 x2=2 解得： y=3’ =0' .B(-4,3, 由(2)知，在P0+5 Q的最大值的条件下，抛物线的顶点为点P(-2,4),对称为直线P9, 当x=-2时，则=-2列+1=2. 0(-2,2), PO=2,PB=0B=2+1=5, ∠BPO=∠BQP, :将抛物线沿射线BA方向平移，使得点A在新抛物线的对称轴上， “点Q平移后与点A重合， :0(-2,2),A2,0, :.抛物线沿射线BA方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位， :.抛物线顶点P(-2,4)平移后到点P'(2,2),点B(-4,3)平移后到点B'(0,1),即B与C重合， :ABP028PA,抛物线平移后的解析式为y=x-2+2=子+x+1, ∠BPQ=LB'P'A, B'(0,1,P'(2,2), ÷P'B=V2+(2-12=5, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :B'(0,1,A2,0), AB'=V22+12=√5， ∴P'B'=AB', ∴LB'AP'=LB'P'A, 当点M在直线AB上方时， :∠MAB=∠BPQ, .∠MAB=∠B'P'A, ∴点M与点P重合， M2,2), B P'(M) B DA( M 当点M在直线8下方时，设M-+小 过点M作ME9P0,交AB于E,交维于N,则∠ME4=∠0P,Ex方+， 则△AOC∽△ANE, AC OC EE0,则AE=ENaC=5: :∠MAB=∠BP9, ·△BPQ∽△MAE, 器是则9， 5二u,整理得：=-w 3 2 5yE 2 2 此时，w=3④-9， 8