精品解析：北京市第一六六中学2025一2026学年上学期开学测试九年级 数学

北京市第一六六中学2025-2026学年度第一学期开学测试 初三数学 （考试时长：100分钟） 考查目标：知识：勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析、一元二次方程、旋转、概率初步 能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论 一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1~10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】D 【解析】 【详解】A．摸到红球是随机事件，故此选项错误； B．摸到白球是随机事件，故此选项错误； C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误； D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确； 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ） A. 110° B. 80° C. 40° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形内角和计算出，再利用旋转的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：，， ， 绕着点顺时针旋转后得到△， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 5. 一元二次方程x2－2x－3=0配方后可变形为（　　） A. （x－1）2=2 B. （x－1）2=4 C. （x－1）2=1 D. （x－1）2=7 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移项到方程的右边，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 故选B 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 6. 分别写有数字，，，，的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，非负数概念，根据非负数的概念，判断题目中非负数的个数，再利用概率公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：数字，，，，中，非负数为，，，共个， ∴抽到非负数的概率是， 故选：． 7. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 每条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 【答案】B 【解析】 【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直． 【详解】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意， B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意， C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意， D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较． 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可． 【详解】解：一元二次方程有实数解， ， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解． 9. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． 设新能源汽车出口量的年平均增长率为，则2022年的出口量是万辆，2023年的出口量是万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 由题意得：． 故选：C． 10. 如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的值随着的变化而变化 B. 线段的长始终不变 C. 一定是无理数 D. 的面积随着的变化而变化 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，无理数，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．求出，由勾股定理得到，因此，由三角形面积公式得到的面积，求出，由，得到． 【详解】解：、分别表示数和， ， 四边形是正方形， ，， ， ，故B不符合题意； 的面积， 故D符合题意； ，表示的数分别为，， ， ， 一定是无理数，故C不符合题意； ，，， ， ， 的值随的变化而变化， 故A不符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 在中，，则__________°． 【答案】110 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：110． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出对角相等是解题关键． 12. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴. 考点：一元二次方程根的判别式. 14. 若，是一元二次方程的两根，则的值是___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案． 【详解】∵一元二次方程两根为，， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个实数根为，，则，熟练掌握相关知识是解题关键． 15. 若一次函数（）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≤4的解集是____________． 【答案】x≤3 【解析】 【分析】观察函数图象结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】观察函数图象，可知：当x≤3时，kx＋b≤4． 故填：x≤3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，观察函数图象，找出不等式kx＋b≤4的解集是解题的关键． 16. 八年级(1)班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练，某次训练成绩如下: 甲组成绩(环) 8 7 8 8 9 乙组成绩(环) 9 8 7 9 7 由上表可知，甲、乙两组成绩更稳定的是________组. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差计算公式，进行计算，然后比较方差，小的稳定，在计算方差之前还需先计算平均数． 【详解】=8，=8， [（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.4， [（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.8 ∵＜ ∴甲组成绩更稳定． 故答案为甲． 【点睛】考查平均数、方差的计算方法，理解方差是反映一组数据的波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定． 17. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_____． 【答案】2或或． 【解析】 【分析】分、、三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴当时，， 当时，∵， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， 故答案为2或或． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 18. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是_________（填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元． 【答案】 ①. ② ②. 1040 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 三、解答题（本题共64分，第19题8分，第20~25题，每小题6分，第26题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用配方法即可解答． （2）把方程转化为一般形式，运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ． ， 解得，． 【小问2详解】 解： ∴ 即，． 20. 第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同． （1）从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为______； （2）从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，用树状图求概率，解题的关键是掌握树状图法求概率． （1）根据概率公式即可解题． （2）根据题意画出树状图得出所有的情况数，找出两次抽到的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公式即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，（从这三张卡片中随机抽取一张抽到宸宸）， 故答案为：． 【小问2详解】 由图可知， 用画树状图的方法，将两次抽到的卡片绘制如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片图案相同的有3种， 两次抽到的卡片图案相同的概率为． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若是该方程的根，求代数式的值． 【答案】（1）详见解析；（2）-2 【解析】 【分析】（1）将判别式化简变形即得； （2）先将代入得出，进而得出，再根据将代入求解即得． 【详解】（1）∵在中，，， ∴ ∴不论为何值，该方程总有两个实数根． （2）将代入得 ∴ ∵ ∴将代入得： ∴代数式的值为-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及整体法，解题关键是熟悉一元二次方程根的判别式公式：，当时，一元二次方程有两个不等实根；当时，一元二次方程无实数根；当时，一元二次方程有两个相等实根． 22. 如图，在菱形中，点在边上，，，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，由菱形的性质得出，，由含角的直角三角形的性质得出，在中，由勾股定理得：，解得：，进一步可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 23. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 【答案】（1）； （2），理由： 由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个， ∴； （3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元． 【解析】 【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解； （2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解； （3）根据乙城市的平均数可直接进行求解． 【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数， ∵有3家，有7家，有8家， ∴中位数落在上， ∴； （2）略 （3）由题意得： （百万元）； 答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元． 【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过分析动点的运动规律和所求三角形的关系列方程求解是解题的关键． 设秒后，的面积为面积的一半，根据题意表示出和，再分别表示出和的面积，根据它们之间的等量关系列方程求解即可． 【详解】设秒后，的面积为面积的一半， 由题意可得：，，，， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 经过1秒后，的面积为面积的一半． 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整． （1）化简函数表达式：当时，___________；当时，___________； （2）如图，在平面直角坐标系中，通过列表描点画出了时的部分图象，请在同一平面直角坐标系中，补全当时的部分图象，并写出函数的两条性质； （3）进一步研究：若点都在函数的图象上，且，，若存在满足，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据解析式即可确定自变量取值分类讨论化简即可； （2）在坐标系中画出当时，一次函数的图像即可，根据图形即可写出函数的两条性质； （3）由点都在函数的图象上，，得， 进而有，解不等式组即可． 【小问1详解】 解∶当时，，即， 当时，，即， 故答案为，； 【小问2详解】 解：作图如下： 由图像可得，函数关于直线成轴对称图形，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 ∵点都在函数的图象上，， ∴在直线的两侧，且关于对称， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及解不等式组，熟练掌握一次函数图象及性质是解题的关键． 26. 如图，在中，，为的中点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，与交于点，与线段交于点． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的代数式表示）； （3）探究，和之间的等量关系，并给出证明． 【答案】（1）图形如图所示． （2）∠CDF=45°-α； （3）2（DF-DG）＝EC，理由： 如图，作BH⊥FG交FG于H． ∵∠H＝90°， ∴∠DBH+∠BDH＝90°， ∵∠BDH＝45°﹣α， ∴∠DBH＝45°+α， ∵∠ABC＝α， ∴∠HBG＝45°， ∴∠HBG＝∠BGH＝45°， ∴BH＝HG， ∵∠H＝∠DFC＝90°，BD＝DC，∠BDH＝∠CDF， ∴△BDH≌△CDF（ASA）， ∴CF＝BH，DF＝DH， ∵DC＝DE，DF⊥EC， ∴CF＝EF，EC＝2CF， ∴DF﹣DG＝DH﹣DG＝HG＝BH＝CF， ∴2（DF﹣DG）＝EC． 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形即可． （2）利用直角三角形斜边中线定理以及等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题． （3）结论：2（DF-DG）＝EC．作BH⊥FG交FG于H．想办法证明△BHG是等腰直角三角形，△BDH≌△CDF即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠BAC＝90°，BD＝CD， ∴AD＝DB＝DC， ∴DBA＝∠DAB＝α， ∴∠ADC＝∠DBA+∠DAB＝2α， ∵DA⊥DC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠CDE＝90°-2α， ∵DE＝DA＝DC，DF⊥EC， ∴∠CDF＝∠EDF=∠CDF＝45°-α． （3）略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27. 对于平面直角坐标系中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图． （1）已知点A的坐标为，点P关于点A的“垂链点”为点Q； ①若点P的坐标为，则点Q的坐标为_______________； ②若点Q的坐标为，则点P的坐标为__________； （2）如图2，已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标； （3）如图3，已知图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点，使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）① （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解； （2）①当点D在第一象限时，点D关于点C的“垂链点”在x轴上，轴，即可求解；②当点D在第二象限时，证明即可求解； （3）分点N落在正方形右边一条边上、上边一条边上两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 点A的坐标为，即点A是原点，根据旋转性质得：①点②点， 故答案为， 【小问2详解】 ①当点D在第一象限时，点D关于点C的“垂链点”在x轴上， 轴， 故点； ②当点D在第二象限时，如下图，设点，点(0，n）， 点D的“垂链点”在y轴上， 过点D作轴于点H， ， ， ，, ， 则，即，解得：， 故点， 综上，点或 【小问3详解】 图形G所在的直线表达式为：， 设点，其中， 当N落在正方形的右边的一条边上， ①当T在x轴上方时，如下图： 分别过M、N作y轴的垂线交于点、， 同理可证：M， ，即，， 而，且， 则； ②当T在x轴下方时， 当时，点M关于点T的“垂链点”恰好为N在正方形的边上， 故； 当点T在下方时，且， 同理可得：解得：且，不符合题意舍去； 当N点落在正方形的上面的一条边上时，同理可得：，而，且， 解得：， 综上，t的取值范围是：或． 【点睛】本题考查一次函数综合运用，正方形的性质，图形的旋转，解不等式等，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解，解题时注意分类讨论，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六六中学2025-2026学年度第一学期开学测试 初三数学 （考试时长：100分钟） 考查目标：知识：勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析、一元二次方程、旋转、概率初步 能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论 一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1~10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 4. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ） A. 110° B. 80° C. 40° D. 30° 5. 一元二次方程x2－2x－3=0配方后可变形为（　　） A. （x－1）2=2 B. （x－1）2=4 C. （x－1）2=1 D. （x－1）2=7 6. 分别写有数字，，，，的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 每条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的值随着的变化而变化 B. 线段的长始终不变 C. 一定是无理数 D. 的面积随着的变化而变化 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 在中，，则__________°． 12. 点关于原点的对称点的坐标为______． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 14. 若，是一元二次方程的两根，则的值是___． 15. 若一次函数（）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≤4的解集是____________． 16. 八年级(1)班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练，某次训练成绩如下: 甲组成绩(环) 8 7 8 8 9 乙组成绩(环) 9 8 7 9 7 由上表可知，甲、乙两组成绩更稳定的是________组. 17. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_____． 18. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是_________（填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元． 三、解答题（本题共64分，第19题8分，第20~25题，每小题6分，第26题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同． （1）从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为______； （2）从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若是该方程的根，求代数式的值． 22. 如图，在菱形中，点在边上，，，若，求的长． 23. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 24. 如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整． （1）化简函数表达式：当时，___________；当时，___________； （2）如图，在平面直角坐标系中，通过列表描点画出了时的部分图象，请在同一平面直角坐标系中，补全当时的部分图象，并写出函数的两条性质； （3）进一步研究：若点都在函数的图象上，且，，若存在满足，求的取值范围． 26. 如图，在中，，为的中点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，与交于点，与线段交于点． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的代数式表示）； （3）探究，和之间的等量关系，并给出证明． 27. 对于平面直角坐标系中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图． （1）已知点A的坐标为，点P关于点A的“垂链点”为点Q； ①若点P的坐标为，则点Q的坐标为_______________； ②若点Q的坐标为，则点P的坐标为__________； （2）如图2，已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标； （3）如图3，已知图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点，使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $