第1章 长方体和正方体（单元讲义）-六年级上册数学热点难点一网打尽（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）苏教版

第1讲 长方体和正方体 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征：长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是正方形)围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2.长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体(或长方体)的棱将其剪开，可以把正方体(或长方体)展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。 2.正方体(或长方体)的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同(长方体相对的面完全相同)，相对的面完全隔开。 知识点三：长方体、正方体的表面积 1.意义：长方体(或正方体)6个面的总面积。 2.计算方法： (1)长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2=(长×宽＋长×高＋宽×高)×2。 (2)正方体的表面积=棱长×棱长×6。 3.长方体和正方体的表面积在实际生活中的应用 在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。 知识点四：体积和容积的意义 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 知识点五：常用的体积单位和容积单位 1.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 2.常用的容积单位有升或毫升，1立方分米=1升,1立方厘米=1毫升。 知识点六：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.长方体、正方体体积的统一公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，字母公式为V=Sh。 知识点七：相邻体积单位间的进率 体积单位常用到，相邻进率是1000。立方分米立方米，它们进率是1000。立方分米立方厘米，它们进率是1000。 知识点八：表面涂色的正方体 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。 1.3面涂色的小正方体有8个。 2.如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数(n为大于或等于2的自然数)，用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 考点一：长方体和正方体的特征和展开图 【例1】洛阳牡丹酥是洛阳的传统点心，它不仅是一种美食，更是一种文化象征，体现了洛阳作为“牡丹花城”的独特魅力。阳阳给爷爷买了一盒牡丹酥，并用一根丝带捆扎礼盒（如图），如果打结处用的丝带长30cm，这根丝带至少长多少厘米？ 【分析】根据图示可知，丝带的长度为长方体礼盒长宽高之和的2倍加上打结处的长度之和。 【解答】解：2×（15+12+8）+30 ＝2×35+30 ＝70+30 ＝100（厘米） 答：这根丝带至少长100厘米。 【点评】本题考查了长方体棱长计算的应用。 1．给一个正方体礼品盒包装，用了50厘米长的丝带，其中，打结用了14厘米．礼品盒一个面的边长是多少厘米？ 2．一个长方体如图所示，相对两个面的点数之和为7。 （1）在左面的展开图中画出每一面的点数。 （2）右边长方体的占地面积是多少？ 3．有趣的折叠。鹏鹏在方格纸上画正方体展开图，他已经画出了5个面，如图所示。 （1）在图中画出第六个面，标上数字“6”，帮助鹏鹏完成展开图。（画出一种即可） （2）在这个正方体中，与“1”相对的面是“　 　 ”，与“3”相对的面是“　 　 ”。 考点二：长方体、正方体的表面积 【例2】如图，欣欣商场要制作一种环保购物纸袋。（重叠部分约需210平方厘米的纸）制作一个这样的纸袋至少需要多少平方厘米的纸？ 1．花灯，又叫灯笼，是一种古老的中国传统工艺品。小轩的爷爷是一位手工艺人，他用木条做了一个长和宽都是16cm，高是30cm的长方体花灯框架，然后在花灯的四周和上面粘贴彩纸（如图）。做这个花灯至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 2．一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，在这个长方体的顶点处挖去一个棱长为1厘米的小正方体，现在剩余部分的表面积是多少平方厘米？ 3．某商场要制作一种如右图所示的长方体无盖环保纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（不计损耗） 考点三：长方体和正方体的体积 【例3】青玉交龙钮（如图）是清朝乾隆皇帝时期的玉玺，现收藏于故宫博物馆。如果要将它装入一个长方体盒子里，这个盒子的容积是多少？（用“四舍五入”法取整数进行列算式和计算） 1．在科学实验室里，有一个水深24厘米的长方体水箱B，还有一个空的长方体水箱A，水箱A长15厘米、宽10厘米，水箱B长30厘米、宽15厘米。为了做对比实验，实验员要把水箱B中的水倒一部分到水箱A中，使两个水箱的水深度相同，此时水箱里的水深是多少呢？ 2．丁丁把一张长11厘米的正方形纸，从四个角各剪掉一个相同的正方形，做成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积是多少立方厘米？ （1）画一画：尝试画出折成后的长方体草图，并标上长、宽、高的数据。 （2）算一算。 3．一个长方体容器，长15厘米，宽9厘米，高9厘米。容器里面装着水，水面高度是6厘米（如图1）。 （1）如果把容器竖起来放（如图2），水面高度是多少厘米？ （2）竖起来后，打开顶盖，浸没一块体积500cm3的石块，水会不会溢出来？ 考点四：简单的立方体切拼问题 【例4】搭积木。 聪聪用一些相同的小正方体搭了一个长方体，如图所示，他一共用了多少个小正方体？下面是他想到的两种方法： 方法一：2×5×3＝30（个） 方法二：3×5×2＝30（个） （1）下面的选项中，图 　B　 表示的是方法一的思路；图 　A　 表示的是方法二的思路（选填序号）。 （2）还有不同的思考方法吗？请你先想象一下，再列一个连乘的算式解决这个问题。 【分析】聪聪用一些相同的小正方体搭了一个长方体，如图所示，他一共用了多少个小正方体？下面是他想到的两种方法： 方法一：2×5×3＝30（个） 方法二：3×5×2＝30（个） （1）图B表示的是先求出一行有2×5＝10（个）小正方体，然后求出3行有10×3＝30（个）小正方体，所以图B表示的是方法一2×5×3＝30（个）的思路； 图A表示的是先求出一层又3×5＝15（个）小正方体，在求出2层有15×2＝30（个）小正方体，所以图A表示的是方法二的思路。 （2）根据题意，还可以先求出一列有3×2＝6（个）小正方体，然后求出5列有6×5＝30（个）小正方体，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：聪聪用一些相同的小正方体搭了一个长方体，如图所示，他一共用了多少个小正方体？下面是他想到的两种方法： 方法一：2×5×3＝30（个） 方法二：3×5×2＝30（个） （1）下面的选项中，图B表示的是方法一的思路；图A表示的是方法二的思路（选填序号）。 （2）还可以先求出一列有3×2＝6（个）小正方体，然后求出5列有6×5＝30（个）小正方体，再列一个连乘的算式3×2×5＝30（个）解决这个问题。 故答案为：B，A。 【点评】本题考查了立体图形的拼组知识，结合长方体的体积公式解答即可。 1．看一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？ 2．有一个长方体，如图。 （1）如果将这个长方体“切成”完全一样的小正方体，小正方体的棱长最大可以是多少？可以切成多少个？ （2）如果将这个长方体“切成”两个完全一样的长方体，怎样切可以使增加的表面积最多？画出切痕，并求出表面积增加了多少。 3．用若干个棱长1dm的小正方体在墙角搭成几何体。（如图） （1）这个几何体漏在外面的面积是 　 　 dm2，如果要把它补搭成一个大的正方体，至少还需要 　 　 个这样的小正方体。 （2）如果将①号小正方体移动到②号的前方，漏在外面的面积与原来相比将会 　 　 ；如果将④号小正方体移动到 　 　 号的 　 　 方，漏在外面的面积与原来相比，将会增加。 一．选择题（共7小题） 1．一个正方体如图，切掉一个长方体，剩下的表面积与原来的表面积比较（　　） A．原来大 B．现在大 C．不变 D．无法确定 2．将四个长12cm，宽8cm，高5cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（　　） A． B． C． D． 3．如图，一个长2米的长方体钢材截成两段，表面积比原来增加36平方分米，这根钢材原来的体积是（　　）立方米。 A．3.6 B．36 C．72 D．0.36 4．如图所示的长方体，如果高增加2cm，则变成一个正方体，表面积就比原来增加了32cm2，原来这个长方体的体积是（　　）cm3。 A．96 B．64 C．32 D．16 5．用同样的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（　　）个． A．4 B．8 C．27 D．10 6．妈妈购买了一台电器，它的尺寸是434×330×242（单位：mm），这台电器可能是（　　） A．烤箱 B．洗衣机 C．冰柜 D．手机 7．下面图形中，能折成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 8．一个棱长1分米的大正方体，可以切成　 　 个棱长1厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排，长　 　 米． 9．用下列五块玻璃粘接成一个无盖的金鱼缸，这个金鱼缸最多装水 　 　 升。（玻璃厚度不记） 10．如图是用若干个棱长为1厘米的小正方体搭建的大正方体。美术老师要求从它正面的中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是（ 　 　 ）平方厘米。 11．如图长方体，它的底面周长是2分米，这个长方体如果截去2厘米高度的话，就得到一个正方体。这个长方体的体积是（　 　 ）立方厘米。 12．一个长方体的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm。如果高增加5cm，那么体积增加 　 　 cm3。 13．要制作一个棱长是8cm的正方体框架，至少需要 　 　 cm长的铁丝。 14．爸爸在做手工时，把图中的长方体木块平均切成两个小正方体。原来长方体木块的体积是　 　 cm3，切好的两个小正方体的表面积之和比原来的长方体木块的表面积增加了　 　 cm2。 三．判断题（共5小题） 15．表面积相等的两个正方体，体积也一定相等。 　 　 16．用铁丝制作一个棱长10cm的正方体框架，至少需150cm的铁丝。 　 　 17．一个正方体切成8个小正方体，那么大正方体是小正方体表面积的8倍。　 　 18．长方体的展开图中，最多可以出现4个正方形。 　 　 19．8个可以拼成一个大的正方体。 　 　 四．计算题（共1小题） 20．求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 五．应用题（共5小题） 21．一个正方体，六个面上分别写有六个连续的整数（如图所示），且每两个相对面上的数字和相等．本图所能看到的三个面所写的数字分别是3，6，7，求这六个数的和． 22．小雪买了一盒盒装牛奶，量得外包装长10厘米、宽6厘米、高12厘米，盒身上标有“净含量：750毫升”的字样。根据以上数据，你认为净含量的标注真实吗？请说明理由。 23．制作一个如图所示的长方体灯笼框架，至少需要多少厘米长的木条？ 24．模拟太空舱模型长1.2m、宽0.8m、高1m（底面不刷防护漆，防止和地面粘连），刷防护漆的面积是多少平方米？ 25．同学们用一些棱长为1厘米的小正方体搭长方体，其中一个长方体如图1所示。 （1）这个长方体的体积是多少立方厘米？ （2）把这个长方体沿虚线竖直切一刀，得到一个新的几何体，如图2所示。笑笑和刚刚结合之前体积的学习经验，找到了它的体积的计算方法。 我想先求出一层小正方体的个数，再数出层数。一层是10个，也就是10立方厘米，有这样的3层，所以体积是30立方厘米。 我发现图2中一层小正方体的个数是图1中一层个数的一半，层数相同，所以图2体积是图1体积的一半。 请你认真思考，以上两位同学的方法正确吗？（填“正确”或“不正确”） 笑笑：（　 　 ） 刚刚：（　 　 ） （3）上面两位同学的想法一定给你带来了启发，请你计算图3的体积。（图3是由另一个长方体竖直切一刀得到的） 一．选择题（共7小题） 1．如图，用丝带捆扎一种礼品盒，结头处长25cm，要捆扎这种礼品盒，准备（　　）分米的丝带比较合理． A．10 B．15 C．20 D．22.5 2．计算如图的表面积。下面算式正确的是（　　） A．10×15×2+10×（28﹣15）×2+15×（28﹣15）×2 B．10×15×2+10×（28﹣10）×2+15×（28﹣10）×2 C．10×15×（28﹣10） D．（10+28）×4 3．用棱长1cm的小正方体拼成棱长是2cm的大正方体，这个大正方体的体积是（　　） A．2cm3 B．4cm3 C．60cm3 D．8cm3 4．下面三个图形中不能拼成正方体的是（　　） A． B． C． D． 5．在阅读节颁奖典礼上，学校为获奖同学准备了奖品（如图），每盒奖品长8cm、宽7cm、高2cm。要将4盒包装在一起，最省包装纸的方法是（　　） A． B． C． D． 6．在一张正方形纸板的四角分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖纸盒。按下面的方法做出来的纸盒中，体积最大的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在一个长方体盒子里装了一些棱长为1dm的正方体，这个盒子的容积是（　　） A．15dm3 B．20dm3 C．30dm3 D．无法确定 二．填空题（共7小题） 8．用棱长1厘米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要　 　 个小正方体． 9．如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48cm2，原来的正方体表面积是 　 　 平方厘米。 10．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心打一个相通的洞．洞口是边长为1cm的正方形．每个面与正方体相对的面平行（如图）．挖洞后正方体木块的体积是　 　 cm3． 11．用一根6米长的铁丝恰好可以焊成一个正方体框架。这个正方体框架的棱长是 　 　 米（接头不计）。 12．如图是某长方体的一个顶点处的三条棱。（单位：cm） 从下面图形中选择哪6个面（可重复选择）可以围出上面的长方体？写一写：　 　 。 13．笑笑把6个小正方体摆放在长方体盒子里（如图），如果要摆满整个长方体盒子，一共需要 　 　 个小正方体。 14．把一根1m长的方木锯成三段后（如图所示），表面积比原来增加了16cm2，原来这根方木的体积是 　 　 cm3。 三．判断题（共5小题） 15．王师傅要用铁丝做一个棱长6厘米的正方体框架，至少需要216cm的铁丝。 　 　 16．如图是一个长方体的展开图，将它围成长方体后，与①相对的面是⑤。 　 　 17．一个正方体的表面积是96平方厘米，它的棱长是16厘米。 　 　 18．若正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的6倍。 　 　 19．用3个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体后，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和减少了50平方厘米。 　 　 四．计算题（共1小题） 20．计算下面各立体图形的表面积和体积。 五．应用题（共5小题） 21．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 22．《三国演义》与《西游记》《水浒传》《红楼梦》并称为中国古典四大名著某文学出版社出版的少儿版《三国演义》，分为上、中、下三册（如图）笑笑想要把这三册书用包装纸包在一起，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 23．如图，在一张长14cm、宽10cm的长方形纸板的四个角各剪去一个边长为2cm的小正方形，然后做成一个无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 24．妈妈要给客厅的立式空调缝一个布罩（四周和顶部都要罩住），空调的样式是一个长方体，如图所示，做这个布罩至少需要多少平方米布？ 25．六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的长方体容器和A、B两种型号的零件各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计） 步骤一：往长方体容器中加入一定量的水，水面高度为60毫米，保证容器内的水能够淹没所有的零件。 步骤二：先放入3个A型号零件，经过测量，水面的高度上升了15毫米；再把3个A型号零件捞出，放入5个B型号零件，水面的高度恰好也上升了15毫米。计算可得，一个A型号零件可以使水位上升 　 　 毫米，一个B型号零件可以使水位上升 　 　 毫米。 步骤三：把之前的零件全部捞出，然后再放入A型号与B型号零件共10个，水面高度上升到104毫米。 （1）把“步骤二”中的数据填写完整。 （2）步骤三中，放入水中的A、B两种型号零件各有多少个？ 一．选择题（共7小题） 1．如图是产品包装截图，根据标注的信息，请你联系生活，想象一下它可能是（　　） A．冰箱 B．微波炉 C．笔记本电脑 D．空调室内挂机 2．如图是一个正方体展开图，要把这个展开图重新折叠成正方形，折叠后与E点重合的是（　　） A．F点 B．G点 C．H点 D．Ⅰ点 3．包装4个长、宽、高分别是10cm、8cm、1cm的长方体盒子、最节省包装纸的是（　　） A． B． C． D． 4．把一块长方体橡皮切成两个小长方体，有下面三种切割方式。切割后，表面积之和分别比原来增加12cm2、8cm2、24cm2。原来这块长方体橡皮的表面积是（　　）cm2。 A．22 B．44 C．88 D．无法确定 5．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高是10厘米，如果它的长与宽都是整厘米数且都是合数，那么这个长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．120 B．240 C．360 D．540 6．如图是官官和渡渡用同样大小的小正方体拼搭的立体图形。图①和图②相比，下列说法正确的是（　　） A．体积相等，表面积相等。 B．体积相等，表面积不相等。 C．体积不相等，表面积相等。 D．体积不相等，表面积不相等。 7．如图是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，没被切到的小正方体有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二．填空题（共7小题） 8．如图，芳芳把棱长为1cm的小正方体放在一个长方体盒子里，这个盒子里最多可以摆　 　 个这样的小正方体。（盒子厚度忽略不计） 9．如图是一个　 　 ，棱长是　 　 厘米，它的棱长总和是　 　 厘米。 10．一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图单位：cm）。图中涂色部分的面积是（　 　 ）cm2。 11．一个无盖长方体盒子的长是18厘米、宽是5厘米、高是9厘米，制作这个长方体盒子的框架至少需要（ 　 　 ）厘米长的铁丝，覆盖四周和底面至少需要（ 　 　 ）平方厘米的纸板。（接头处忽略不计） 12．把一个长方体木块切成两个完全相同的小长方体木块，有三种切法（如图），表面积分别增加40cm2、24cm2、30cm2，原来长方体木块的表面积是 　 　 cm2。 13．将一个棱长为6厘米的实心正方体铝块熔化后，铸造成一个长为9厘米、宽为4厘米的实心长方体，则长方体的高为（　 　 ）厘米。 14．一块长26cm，宽21cm的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子，这个盒子的容积是 　 　 立方厘米。 三．判断题（共5小题） 15．从正方体的一个顶点引出的三条棱，它们的长度一定相等。　 　 16．沿虚线折叠后的立体图形中有2个面是正方形。　 　 17．把两块棱长是2分米的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是42平方分米。 　 　 18．两个体积相等的盒子，它们的容积不一定相等。 　 　 19．把一个长方体切成两个正方体，每个正方体的表面积是原来长方体表面积的一半。 　 　 四．计算题（共1小题） 20．计算下面图形的表面积或体积。（单位：cm） （1）计算如图图形的表面积。 （2）根据如图展开图计算立体图形的体积。 五．应用题（共5小题） 21．妈妈买了一套图书给张明当“六一”节礼物，她准备用彩带捆扎图书（如图），已知这套图书摞起来是一个长是30厘米，宽是20厘米，高25厘米的长方体，彩带接头处需35厘米。捆扎这套图书至少需要多长的彩带？ 22．为了防止运输磕碰，运输公司给桌子粘贴防撞包条，只需要粘贴桌腿和桌面四周，每张桌子需要贴多少米防撞包条？ 23．李伯伯打算做一根通风管（如图），它的横截面是长0.5m、宽0.3m的长方形，如果每平方米铁皮150元，那么李伯伯做这根通风管需要花费多少元？ 24．一个长方体木块，长8厘米、宽5厘米、高6厘米。把这个木块削成了一个最大的正方体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 25．兰溪黄蜡石因其质地细腻、色泽温润如黄蜡而得名，在赏石文化中具有较高的知名度。张师傅把一块不规则的黄蜡石加工成一个棱长为6分米的正方体底座，上面摆放一株高度为8分米的黄蜡石刻兰花，就是一件极具观赏价值的艺术品。如果1立方分米黄蜡石的质量在2.6～2.8千克之间，这块正方体黄蜡石底座最多重几千克？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 长方体和正方体 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征：长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是正方形)围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2.长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体(或长方体)的棱将其剪开，可以把正方体(或长方体)展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。 2.正方体(或长方体)的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同(长方体相对的面完全相同)，相对的面完全隔开。 知识点三：长方体、正方体的表面积 1.意义：长方体(或正方体)6个面的总面积。 2.计算方法： (1)长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2=(长×宽＋长×高＋宽×高)×2。 (2)正方体的表面积=棱长×棱长×6。 3.长方体和正方体的表面积在实际生活中的应用 在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。 知识点四：体积和容积的意义 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 知识点五：常用的体积单位和容积单位 1.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 2.常用的容积单位有升或毫升，1立方分米=1升,1立方厘米=1毫升。 知识点六：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.长方体、正方体体积的统一公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，字母公式为V=Sh。 知识点七：相邻体积单位间的进率 体积单位常用到，相邻进率是1000。立方分米立方米，它们进率是1000。立方分米立方厘米，它们进率是1000。 知识点八：表面涂色的正方体 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。 1.3面涂色的小正方体有8个。 2.如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数(n为大于或等于2的自然数)，用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 考点一：长方体和正方体的特征和展开图 【例1】洛阳牡丹酥是洛阳的传统点心，它不仅是一种美食，更是一种文化象征，体现了洛阳作为“牡丹花城”的独特魅力。阳阳给爷爷买了一盒牡丹酥，并用一根丝带捆扎礼盒（如图），如果打结处用的丝带长30cm，这根丝带至少长多少厘米？ 【分析】根据图示可知，丝带的长度为长方体礼盒长宽之和的2倍、高的4倍加上打结处的长度之和。 【解答】解：2×（15+12+8+8）+30 ＝2×43+30 ＝86+30 ＝116（厘米） 答：这根丝带至少长116厘米。 【点评】本题考查了长方体棱长计算的应用。 1．给一个正方体礼品盒包装，用了50厘米长的丝带，其中，打结用了14厘米．礼品盒一个面的边长是多少厘米？ 【分析】根据正方体的特征：12条棱分别相等，由图形可知，丝带一共绕了正方形的四个边，总长度减去打结用了14厘米，再除以4，即可求出正方体的棱长，解答即可． 【解答】解：（50﹣14）÷8 ＝36÷8 ＝4.5（厘米） 答：礼品盒一个面的边长是4.5厘米． 【点评】解决此题的关键是理解正方体棱长的特征，弄清围绕的长度是围了几条棱． 2．一个长方体如图所示，相对两个面的点数之和为7。 （1）在左面的展开图中画出每一面的点数。 （2）右边长方体的占地面积是多少？ 【分析】（1）根据长方体展开图知识，结合相对两个面的点数之和为7，在展开图中画出每一面的点数即可。 （2）根据图示，右边长方体的占地面积等于长是10厘米，宽是12﹣4＝8（厘米）的长方形的面积，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：（1）相对两个面的点数之和为7，在左面的展开图中画出每一面的点数。如图： （2）10×（12﹣4） ＝10×8 ＝80（平方厘米） 答：右边长方体的占地面积是80平方厘米。 【点评】本题考查了长方体的展开图知识，结合题意分析解答即可。 3．有趣的折叠。鹏鹏在方格纸上画正方体展开图，他已经画出了5个面，如图所示。 （1）在图中画出第六个面，标上数字“6”，帮助鹏鹏完成展开图。（画出一种即可） （2）在这个正方体中，与“1”相对的面是“　5　 ”，与“3”相对的面是“　2　 ”。 【分析】（1）根据正方体展开图的11种特征，可在下层左边的正方形涂色，并标上数字“6”，这样就是正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，也可在中层左边的正方形涂色，并标上数字“6”，这样就是正方体展开图的“1﹣3﹣2”型。 （2）如果是正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，折成正方体后，数字“1”与“5”相对，“2”与“3”相对，“4”与“6”相对。 【解答】解：（1）在图中画出第六个面，标上数字“6”，帮助鹏鹏完成展开图（下图，答案不唯一）： （2）在这个正方体中，与“1”相对的面是“5”，与“3”相对的面是“2”。 故答案为：5，2。 【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，掌握规律是解答本题的关键。 考点二：长方体、正方体的表面积 【例2】如图，欣欣商场要制作一种环保购物纸袋。（重叠部分约需210平方厘米的纸）制作一个这样的纸袋至少需要多少平方厘米的纸？ 【分析】根据题意可知，本题中长方体的表面积＝长×宽+（长×高+宽×高）×2，把数据代入公式计算出长方体的表面积，再加重叠部分的面积即可。 【解答】解：22×10+（30×10+30×22）×2+210 ＝220+（300+660）×2+210 ＝220+1920+210 ＝2350（平方厘米） 答：制作一个这种纸袋至少需要2350平方厘米的纸。 【点评】本题考查的是长方体表面积计算公式的运用。 1．花灯，又叫灯笼，是一种古老的中国传统工艺品。小轩的爷爷是一位手工艺人，他用木条做了一个长和宽都是16cm，高是30cm的长方体花灯框架，然后在花灯的四周和上面粘贴彩纸（如图）。做这个花灯至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【分析】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。 【解答】解：16×16+16×30×2+16×30×2 ＝256+960+960 ＝2176（平方厘米） 答：做这个花灯至少需要准备2176平方厘米的彩纸。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，在这个长方体的顶点处挖去一个棱长为1厘米的小正方体，现在剩余部分的表面积是多少平方厘米？ 【分析】首先，明确原长方体的表面积计算公式为S＝2（ab+ah+bh），其中a、b、h分别为长方体的长、宽、高。当在长方体的顶点处挖去一个棱长为1厘米的小正方体时，从表面上看，挖去小正方体的位置会减少3个小正方形的面积，但同时，由于挖去小正方体后，原来被小正方体遮挡的内部又会新露出3个小正方形的面积。所以，减少的表面积和增加的表面积相互抵消，剩余部分的表面积实际上与原长方体的表面积相等。 【解答】解：2×（5×4+5×3+4×3） ＝2×（20+15+12） ＝94（平方厘米） 答：现在剩余部分的表面积是94平方厘米。 【点评】本题考查了长方体表面积公式的应用。 3．某商场要制作一种如右图所示的长方体无盖环保纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（不计损耗） 【分析】纸袋长32cm、宽10cm、高40cm，按“纸的面积＝长×宽+（长×高+宽×高）×2”作答即可。 【解答】解：32×10+（32×40+10×40）×2 ＝320+（1280+400）×2 ＝320+1680×2 ＝320+3360 ＝3680（cm2） 答：制作一个这种纸袋至少需要3680平方厘米的纸。 【点评】本题考查了长方体表面积的计算问题，解答时一定要清楚：长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，无上底或下底的长方体的表面积＝长×宽+（长×高+宽×高）×2。 考点三：长方体和正方体的体积 【例3】青玉交龙钮（如图）是清朝乾隆皇帝时期的玉玺，现收藏于故宫博物馆。如果要将它装入一个长方体盒子里，这个盒子的容积是多少？（用“四舍五入”法取整数进行列算式和计算） 【分析】长方体体积＝长×宽×高，用“四舍五入”法取整数得出长、宽、高的整数数值，再列式计算。 【解答】解：10.7≈11 9.5≈10 11×11×10＝1210（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1210立方厘米。 【点评】此题考查长方体体积的计算及应用。 1．在科学实验室里，有一个水深24厘米的长方体水箱B，还有一个空的长方体水箱A，水箱A长15厘米、宽10厘米，水箱B长30厘米、宽15厘米。为了做对比实验，实验员要把水箱B中的水倒一部分到水箱A中，使两个水箱的水深度相同，此时水箱里的水深是多少呢？ 【分析】A水箱的水的体积加上B水箱水的体积等于长30厘米、宽15厘米、高是24厘米的长方体的体积，由此计算水深。 【解答】解：30×15×24÷（30×15+15×10） ＝30×15×24÷600 ＝18（厘米） 答：水箱里的水深是18厘米。 【点评】本题考查的是长方体的体积公式的应用。 2．丁丁把一张长11厘米的正方形纸，从四个角各剪掉一个相同的正方形，做成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积是多少立方厘米？ （1）画一画：尝试画出折成后的长方体草图，并标上长、宽、高的数据。 （2）算一算。 【分析】（1）根据图示可知，无盖长方体的长宽高分别为5cm，5cm，3cm，据此画出图示即可； （2）根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出容积。 【解答】解：（1）画一画：尝试画出折成后的长方体草图，并标上长、宽、高的数据。如下图所示： 长和宽：11﹣2×3＝5（cm） 高：3cm （2）5×5×3＝75（cm3） 答：这个纸盒的容积是75立方厘米。 【点评】本题考查了长方体体积计算的应用。 3．一个长方体容器，长15厘米，宽9厘米，高9厘米。容器里面装着水，水面高度是6厘米（如图1）。 （1）如果把容器竖起来放（如图2），水面高度是多少厘米？ （2）竖起来后，打开顶盖，浸没一块体积500cm3的石块，水会不会溢出来？ 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，也就是用水的体积除以容器竖放时的底面积即可。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出容器内无水部分的体积，然后与这块石块的体积进行比较，如果容器内无水部分的体积大于或等于石块的体积，水不会溢出来，否则水就会溢出来。 【解答】解：（1）15×9×6÷（9×9） ＝135×6÷81 ＝810÷81 ＝10（厘米） 答：如果把容器竖起来，水面高度是10厘米。 （2）15×9×（9﹣6） ＝135×3 ＝405（立方厘米） 405立方厘米＜500立方厘米 答：水会溢出来。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点四：简单的立方体切拼问题 【例4】搭积木。 聪聪用一些相同的小正方体搭了一个长方体，如图所示，他一共用了多少个小正方体？下面是他想到的两种方法： 方法一：2×5×3＝30（个） 方法二：3×5×2＝30（个） （1）下面的选项中，图 　B　 表示的是方法一的思路；图 　A　 表示的是方法二的思路（选填序号）。 （2）还有不同的思考方法吗？请你先想象一下，再列一个连乘的算式解决这个问题。 【分析】聪聪用一些相同的小正方体搭了一个长方体，如图所示，他一共用了多少个小正方体？下面是他想到的两种方法： 方法一：2×5×3＝30（个） 方法二：3×5×2＝30（个） （1）图B表示的是先求出一行有2×5＝10（个）小正方体，然后求出3行有10×3＝30（个）小正方体，所以图B表示的是方法一2×5×3＝30（个）的思路； 图A表示的是先求出一层又3×5＝15（个）小正方体，在求出2层有15×2＝30（个）小正方体，所以图A表示的是方法二的思路。 （2）根据题意，还可以先求出一列有3×2＝6（个）小正方体，然后求出5列有6×5＝30（个）小正方体，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：聪聪用一些相同的小正方体搭了一个长方体，如图所示，他一共用了多少个小正方体？下面是他想到的两种方法： 方法一：2×5×3＝30（个） 方法二：3×5×2＝30（个） （1）下面的选项中，图B表示的是方法一的思路；图A表示的是方法二的思路（选填序号）。 （2）还可以先求出一列有3×2＝6（个）小正方体，然后求出5列有6×5＝30（个）小正方体，再列一个连乘的算式3×2×5＝30（个）解决这个问题。 故答案为：B，A。 【点评】本题考查了立体图形的拼组知识，结合长方体的体积公式解答即可。 1．看一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？ 【分析】切完三刀之后，表面积之和是原来大长方体表面积的2倍，所以原来的大长方体的表面积是：752÷2＝376， 切完第一刀，增加的两个面的面积是472﹣376＝96平方厘米，一个面的面积是96÷2＝48平方厘米； 切完第二刀，又增加的两个面的面积是632﹣472＝160，一个面的面积是160÷2＝80平方厘米； 切完第三刀，又增加两个面的面积是752﹣632＝120平方厘米，一个面的面积是120÷2＝60平方厘米，然后比较即可。 【解答】解：752÷2＝376（平方厘米） （472﹣376）÷2＝48（平方厘米） （632﹣472）÷2＝80（平方厘米） （752﹣632）÷2＝60（平方厘米） 48＜60＜80 答：在原来长方体的6个面中，面积最小的面是48平方厘米。 【点评】弄清楚每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切一刀，表面积之和就多了两个这样的切面是关键。 2．有一个长方体，如图。 （1）如果将这个长方体“切成”完全一样的小正方体，小正方体的棱长最大可以是多少？可以切成多少个？ （2）如果将这个长方体“切成”两个完全一样的长方体，怎样切可以使增加的表面积最多？画出切痕，并求出表面积增加了多少。 【分析】（1）确定出这个长方体长、宽和高的最大公因数，即可确定切成的小正方体的棱长最大是多少，然后用长方体的体积除以小正方体的体积，即可求出切成的小正方体的个数； （2）从长方体高的中点沿与高垂直的方向切，可以切成两个完全一样的长方体，并且使增加的表面积最多，据此画出切痕，并求出表面积增加了多少即可。 【解答】解：（1）15、6、9的最大公因数是3，所以小正方体的棱长最大是3。 15×9×6÷（3×3×3） ＝810÷27 ＝30（个） 答：小正方体的棱长最大可以是3，可以切成多少个。 （2） 15×9×2 ＝135×2 ＝270 答：表面积增加了270。 【点评】解答本题需熟练掌握求几个数的最大公因数的方法，熟记长方体和正方体的体积公式，明确怎样切才能使增加的表面积最大是关键。 3．用若干个棱长1dm的小正方体在墙角搭成几何体。（如图） （1）这个几何体漏在外面的面积是 　12　 dm2，如果要把它补搭成一个大的正方体，至少还需要 　22　 个这样的小正方体。 （2）如果将①号小正方体移动到②号的前方，漏在外面的面积与原来相比将会 　减小　 ；如果将④号小正方体移动到 　①　 号的 　上　 方，漏在外面的面积与原来相比，将会增加。 【分析】（1）数一数，数出露在外面的面数，用面数乘每面的面积即可；如果要把它补搭成一个大的正方体，则大正方体的棱长为3，即3×3×3的正方体，用大正方体一共需要的小正方体个数减去现有的个数即可求解； （2）根据图示可知，如果将①号小正方体移动到②号的前方，漏在外面的面数将减少1面，即面积与原来相比将会减小；如果将④号小正方体移动到①号的上方，漏在外面的面数将会增加1面，即面积与原来相比，将会增加。据此解答。 【解答】解：（1）（4+4+4）×（1×1）＝12（dm2） 这个几何体漏在外面的面积是12dm2， （3×3×3）﹣5＝22（个） 即如果要把它补搭成一个大的正方体，至少还需要22个这样的小正方体。 （2）如果将①号小正方体移动到②号的前方，漏在外面的面数将会减少1个面，即面积与原来相比将会减小； 如果将④号小正方体移动到①号的上方，漏在外面的面数将会增加1个面，即面积与原来相比，将会增加。 故答案为：（1）12，22；（2）减小，①，上方。 【点评】本题考查了立体图形表面积计算的应用。 一．选择题（共7小题） 1．一个正方体如图，切掉一个长方体，剩下的表面积与原来的表面积比较（　　） A．原来大 B．现在大 C．不变 D．无法确定 【分析】将原正方体切去一个小长方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，据此判断即可。 【解答】解：由分析可知，一个正方体从顶点上切掉一个长方体，剩下的表面积与原来的表面积比较不变。 故选：C。 【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体表面积的意义及应用。 2．将四个长12cm，宽8cm，高5cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（　　） A． B． C． D． 【分析】只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸． 【解答】解：A、表面积减少了：（12×5+8×5）×4＝100×4＝400（平方厘米）； B、表面积减少了：12×8×6＝576（平方厘米）； C、表面积减少了：（12×8+8×5）×4＝136×4＝544（平方厘米）； D、表面积减少了：（12×5+8×12）×4＝156×4＝624（平方厘米） 所以表面积减少最多的是D，最省包装纸． 故选：D． 【点评】解决此类问题时，要抓住规律：要使拼组后的表面积最小，则把最大的面相粘合． 3．如图，一个长2米的长方体钢材截成两段，表面积比原来增加36平方分米，这根钢材原来的体积是（　　）立方米。 A．3.6 B．36 C．72 D．0.36 【分析】长方体钢材截成两段，表面积增加了2个截面，增加的表面积÷2＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式计算即可。注意统一单位。 【解答】解：36平方分米＝0.36平方米 0.36÷2×2 ＝0.18×2 ＝0.36（立方米） 答：这根钢材原来的体积是0.36立方米。 故选：D。 【点评】本题考查了长方体体积公式的应用。 4．如图所示的长方体，如果高增加2cm，则变成一个正方体，表面积就比原来增加了32cm2，原来这个长方体的体积是（　　）cm3。 A．96 B．64 C．32 D．16 【分析】分析题目，长方体如果高增加2cm，则变成一个正方体，说明长方体的长和宽是相等的，表面积增加的32cm2是4个长等于长方体的长、宽等于2cm的长方形的面积之和，据此用32除以4求出一个面的面积，再除以2即可求出长方体的长，再用长方体的长减去2即可得到长方体的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高列式求出体积即可。 【解答】解：32÷4＝8（cm2） 8÷2＝4（cm） 4﹣2＝2（cm） 4×4×2 ＝16×2 ＝32（cm3） 答：原来这个长方体的体积是32cm3。 故选：C。 【点评】本题考查的是长方体体积计算公式的灵活运用，熟记公式是解答本题的关键。 5．用同样的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（　　）个． A．4 B．8 C．27 D．10 【分析】用同样大小的小正方体拼成一个新的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答． 【解答】解：用同样大小的小正方体拼成一个新的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体， 所以一共需要：2×2×2＝8（个）， 故选：B． 【点评】此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用，小正方体的个数等于大正方体每条棱长上小正方体的个数的3次方． 6．妈妈购买了一台电器，它的尺寸是434×330×242（单位：mm），这台电器可能是（　　） A．烤箱 B．洗衣机 C．冰柜 D．手机 【分析】先把电器尺寸的单位毫米换算成厘米（因为日常生活中对这些电器大小的认知常用厘米作单位 ），再结合各电器大概的尺寸大小来判断。1厘米＝10毫米。 【解答】解：434mm＝43.4cm，330mm＝33cm，242mm＝24.2cm。 分析各选项：烤箱有小型台式烤箱，尺寸大概几十厘米的长宽高，该尺寸符合小型烤箱的大小，所以可能是烤箱，A 选项符合。 洗衣机和冰柜的尺寸通常很大，洗衣机高度一般几十厘米到一米多，冰柜更甚，这个尺寸远小于它们，B、C 选项排除。 手机尺寸一般在长十几到二十几厘米，宽几到十几厘米，厚几厘米以内，这个尺寸远大于手机，D 选项排除。 答：这台电器可能是烤箱。 故选：A。 【点评】本题考查长度单位的认识。 7．下面图形中，能折成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】正方体的展开图有如下类型：第一类，1—4—1型，中间一行4个正方形，两侧各1个正方形，共六种；第二类，1—3—2型，中间3个正方形，两侧一边有1个正方形、一边有2个正方形，共三种；第三类，2—2—2型，每行2个正方形，共3行，只有一种；第四类，3—3型，每行3个正方形，共2行；根据正方体展开图的特征，有“田”字格的展开图不能折成正方体；据此解答。 【解答】解：根据分析可得： A．中间3个小正方形，左边有2个正方形、右边有1个正方形，符合1—3—2型，能折成正方体； B．下面4个正方形，上面2个正方形，不符合正方体展开图的类型，不能折成正方体； C．上面4个正方形，下面2个正方形，不符合正方体展开图的类型，不能折成正方体； D．下面5个正方形，上面1个正方形，不符合正方体展开图的类型，不能折成正方体。 所以能折成一个正方体的是。 故选：A。 【点评】此题考查了正方体的展开图的灵活运用。 二．填空题（共7小题） 8．一个棱长1分米的大正方体，可以切成　1000　 个棱长1厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排，长　10　 米． 【分析】（1）1立方分米＝1000立方厘米，由此可以得出能够分成1000个1立方厘米的小正方体； （2）1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米，把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000＝1000厘米． 【解答】解：1立方分米＝1000立方厘米， 所以：1000÷1＝1000（个）， 1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米； 则总长度是1×1000＝1000（厘米）＝10（米）， 答：1立方分米的1个正方体可以分成1000个1立方厘米的小正方体，把这些小正方体排成一排，一共长10米． 故答案为：1000；10． 【点评】（1）利用大正方体的体积除以小正方体的体积即可求出切割出的小正方体的总个数； （2）先求出小正方体的棱长，再乘小正方体的总个数即可解决问题． 9．用下列五块玻璃粘接成一个无盖的金鱼缸，这个金鱼缸最多装水 　105　 升。（玻璃厚度不记） 【分析】根据长方体特征可知，这个无盖的长方体的长是7分米，宽是5分米，高是3分米，根据长方体容积＝长×宽×高，据此求出装水的容积，注意单位名数的换算。 【解答】解：长方体鱼缸的长是7分米，宽是5分米，高是3分米。 7×5×3 ＝35×3 ＝105（立方分米） 105立方分米＝105升 答：这个金鱼缸最多装水105升。 故答案为：105。 【点评】此题主要考查了长方体的体积公式。 10．如图是用若干个棱长为1厘米的小正方体搭建的大正方体。美术老师要求从它正面的中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是（ 　58　 ）平方厘米。 【分析】通过观察可知，大正方体的棱长由3个小正方体的棱长组成，小正方体棱长为1厘米，1×3＝3（厘米），所以大正方体棱长为3厘米。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出原来大正方体的表面积；从正面中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体，原来大正方体的表面减少了1个小正方形的面，但同时又增加了5个小正方形的面，所以实际上表面积增加了（5﹣1）个小正方形的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，求出表面积增加的面积，再加上原来大正方体的表面积，求出剩下部分的表面积。 【解答】解：1×3＝3（厘米） 3×3×6+1×1×（5﹣1）＝58（平方厘米） 答：美术老师要求从它正面的中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是58平方厘米。 故答案为：58。 【点评】本题考查了正方体表面积计算的应用。 11．如图长方体，它的底面周长是2分米，这个长方体如果截去2厘米高度的话，就得到一个正方体。这个长方体的体积是（　175　 ）立方厘米。 【分析】先根据“1分米＝10厘米”统一单位为厘米。将长方体截去2厘米的高度，能得到一个正方体，这说明长方体的底面是一个正方形。将底面周长除以4，求出底面的边长。底面的边长也就是长方体的长和宽。将长加上2厘米，求出长方体的高。长方体体积＝长×宽×高，据此列式求出这个长方体的体积。 【解答】解：2分米＝20厘米 20÷4＝5（厘米） 5+2＝7（厘米） 5×5×7＝175（立方厘米） 答：长方体的底面周长是2分米，如果截去2厘米高度的话，就得到一个正方体，这个长方体的体积是175立方厘米。 故答案为：175。 【点评】熟练掌握长方体体积计算公式是解题的关键。 12．一个长方体的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm。如果高增加5cm，那么体积增加 　5ab　 cm3。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，高增加了，它的长和宽没变，增加的体积就是长×宽×增加的高，由此解答。 【解答】解：增加的体积是：5×a×b＝5ab（立方厘米）； 故答案为：5ab。 【点评】此题主要考查长方体的体积计算方法．直接根据体积公式解答。 13．要制作一个棱长是8cm的正方体框架，至少需要 　96　 cm长的铁丝。 【分析】正方体的12棱长度相等，利用棱长乘12求出棱长总和即可。 【解答】解：8×12＝96（厘米） 答：至少需要96cm长的铁丝。 故答案为：96。 【点评】本题考查了正方体的特征及棱长总和的计算方法。 14．爸爸在做手工时，把图中的长方体木块平均切成两个小正方体。原来长方体木块的体积是　250　 cm3，切好的两个小正方体的表面积之和比原来的长方体木块的表面积增加了　50　 cm2。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh即可求出原来长方体木块的体积，切好的两个小正方体的表面积之和比原来的长方体木块的表面积增加了两个正方形面的面积；据此解答即可。 【解答】解：10×5×5＝250（立方厘米） 5×5×2＝50（平方厘米） 答：原来长方体木块的体积是250cm3，切好的两个小正方体的表面积之和比原来的长方体木块的表面积增加了50cm2。 故答案为：250；50。 【点评】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 三．判断题（共5小题） 15．表面积相等的两个正方体，体积也一定相等。 　√　 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，因为两个正方体的表面积相等，则每个面的面积相等，也就可以判定棱长相等，所以体积也相等。 【解答】解：根据正方体的表面积公式可知，表面积相等的两个正方体的棱长相等，根据正方体的体积公式可知，棱长相等的两个正方体的体积相等，所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题主要考查正方体表面积和体积公式的灵活应用以及正方体的特点。 16．用铁丝制作一个棱长10cm的正方体框架，至少需150cm的铁丝。 　×　 【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和＝棱长×12，把数据代入棱长总和公式解答即可判断。 【解答】解：10×12＝120（cm） 所以用铁丝制作一个棱长10cm的正方体框架，至少需120cm的铁丝，原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了正方体的特征。 17．一个正方体切成8个小正方体，那么大正方体是小正方体表面积的8倍。　×　 【分析】 设每个小正方体的棱长是1，则大正方体的棱长就是2，然后分别求出大正方体和小正方体的表面积，再判断即可。 【解答】解：设每个小正方体的棱长是1，则大正方体的棱长就是2， （2×2×6）÷（1×1×6）＝4 即大正方体是小正方体表面积的4倍，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了正方体表面积计算公式的灵活运用。 18．长方体的展开图中，最多可以出现4个正方形。 　×　 【分析】长方体有6个面，其中只可能有两个相对的面是正方形，据此解答。 【解答】解：若长方体有两个相对的面是正方形时，它仍是长方体，它的展开图中会有两个正方形。若长方体有两对相对的面都是正方形，则这个长方体就成了正方体。所以说长方体的展开图中不可能有4个面是正方形。故原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查长方体展开图的认识。 19．8个可以拼成一个大的正方体。 　√　 【分析】用完全相同的小正方体拼成大正方体，大正方体的每条棱长上至少需要2个小正方体，据此解答即可。 【解答】解：2×2×2＝8（个） 即至少需要8个完全相同的小正方体可以拼成大正方体；所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题考查了小正方体拼组大正方体的方法：每条棱长上至少需要2个小正方体。 四．计算题（共1小题） 20．求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【分析】这是个由一个正方体和一个长方体组成的组合体，它的表面积等于下面长方体的表面积加上上面正方体的4个面的面积；先分别求出正方体、长方体的体积再相加，即可求出组合体的体积。长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3。 【解答】解：表面积： 3×3×4+（4×3+9×4+3×9）×2 ＝36+150 ＝186（平方厘米） 体积：3×3×3+4×3×9 ＝27+108 ＝135（立方厘米） 答：图形的表面积是186平方厘米，体积是135立方厘米。 【点评】此题需要学生熟练掌握长方体、正方体表面积和体积公式，并灵活运用。 五．应用题（共5小题） 21．一个正方体，六个面上分别写有六个连续的整数（如图所示），且每两个相对面上的数字和相等．本图所能看到的三个面所写的数字分别是3，6，7，求这六个数的和． 【分析】从3，6，7三个数字看出可能是2，3，4，5，6，7或3，4，5，6，7，8，因为相对面上的数字和相等，所以第一种情况必须3和6处于邻面，所以这六个数字只能是3，4，5，6，7，8，所以3与8，6与5，7与4处于对面位置． 【解答】解：由题意可知，这6个连续整数是3，4，5，6，7，8 3+4+5+6+7+8＝33 答：这六个数的和是33． 【点评】解答此题的关键是根据题意求出这6个连续整数分别是多少． 22．小雪买了一盒盒装牛奶，量得外包装长10厘米、宽6厘米、高12厘米，盒身上标有“净含量：750毫升”的字样。根据以上数据，你认为净含量的标注真实吗？请说明理由。 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，1立方厘米＝1毫升，求出盒装牛奶的容积，与净含量比较即可。 【解答】解：10×6×12＝720（立方厘米） 720立方厘米＝720毫升 720＜750 答：净含量的标注不真实，因为实际含量比净含量少。 【点评】本题考查的是长方体体积计算公式的运用。 23．制作一个如图所示的长方体灯笼框架，至少需要多少厘米长的木条？ 【分析】求至少需要多少厘米长的木条就是求长方体的棱长和，根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答． 【解答】解：（15+8+8）×4 ＝31×4 ＝124（厘米） 答：至少需要124厘米的木条． 【点评】此题主要考查长方体的棱长总和的应用和计算方法． 24．模拟太空舱模型长1.2m、宽0.8m、高1m（底面不刷防护漆，防止和地面粘连），刷防护漆的面积是多少平方米？ 【分析】本题中刷防护漆的面积＝长×宽+（长×高+宽×高）×2，把数据代入公式计算即可。 【解答】解：1.2×0.8+（1.2×1+0.8×1）×2 ＝0.96+4 ＝4.96（平方米） 答：刷防护漆的面积是4.96平方米。 【点评】本题考查的是长方体表面积计算公式的运用。 25．同学们用一些棱长为1厘米的小正方体搭长方体，其中一个长方体如图1所示。 （1）这个长方体的体积是多少立方厘米？ （2）把这个长方体沿虚线竖直切一刀，得到一个新的几何体，如图2所示。笑笑和刚刚结合之前体积的学习经验，找到了它的体积的计算方法。 我想先求出一层小正方体的个数，再数出层数。一层是10个，也就是10立方厘米，有这样的3层，所以体积是30立方厘米。 我发现图2中一层小正方体的个数是图1中一层个数的一半，层数相同，所以图2体积是图1体积的一半。 请你认真思考，以上两位同学的方法正确吗？（填“正确”或“不正确”） 笑笑：（　正确　 ） 刚刚：（　正确　 ） （3）上面两位同学的想法一定给你带来了启发，请你计算图3的体积。（图3是由另一个长方体竖直切一刀得到的） 【分析】（1）根据图可知，长是1×5＝5厘米，宽是1×4＝4厘米，高是1×3＝3厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答； （2）结合图示和两个同学的算法进行判断。笑笑的方法：图形的体积＝一层的小正方体个数×层数；其中一层的形状是一个底为5厘米、高为4厘米的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高，即求出一层的面积，即图形的底面积；层数即是图形的高；刚刚的方法：补全成长方体的体积的一半，据此判断； （3）根据体积＝底面积×高，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，求出底面积。再乘高，即可求出物体的体积（方法不唯一）。 【解答】解：（1）长：1×5＝5（厘米） 宽：1×4＝4（厘米） 高：1×3＝3（厘米） 5×4×3＝60（立方厘米） 答：这个长方体的体积是60立方厘米。 （2）笑笑：1×1×1×10×3＝30（立方厘米） 刚刚：60÷2＝30（立方厘米） 所以两个同学的算法都正确。即： 笑笑：正确； 刚刚：正确。 （3）2×4÷2×5＝20（立方厘米） 答：体积是20立方厘米。 故答案为：正确；正确。 【点评】本题考查了长方体体积计算以及简单图形的折叠问题的应用。 一．选择题（共7小题） 1．如图，用丝带捆扎一种礼品盒，结头处长25cm，要捆扎这种礼品盒，准备（　　）分米的丝带比较合理． A．10 B．15 C．20 D．22.5 【分析】由图形可知：丝带的长度等于长方体的两条长+两条宽+4条高，然后再加上打结用的25厘米就是所需要的长度，列式解答即可． 【解答】解：30×2+20×2+25×4+25 ＝60+40+100+25 ＝225（厘米） ＝22.5（分米 答：准备22.5分米的丝带比较合理． 故选：D． 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，相对棱的长度相等，关键是弄清如何捆扎的，进而确定是求哪几条棱的长度和． 2．计算如图的表面积。下面算式正确的是（　　） A．10×15×2+10×（28﹣15）×2+15×（28﹣15）×2 B．10×15×2+10×（28﹣10）×2+15×（28﹣10）×2 C．10×15×（28﹣10） D．（10+28）×4 【分析】由图可知，这是个长方体的展开图，长方体的长为（28﹣10）分米，宽为15分米，高为10分米。长方体的表面积由6个面面积组成，分别是2个“长×宽”的面面积、2个“长×高”的面面积、2个“宽×高”的面面积，代入数据计算，即可求出表面积，据此解答。 【解答】解：根据题意列式为： （28﹣10）×15×2+（28﹣10）×10×2+15×10×2 ＝18×15×2+18×10×2+15×10×2 ＝1200（平方分米） 表面积是1200平方分米。 故选：B。 【点评】本题考查长方体表面积的计算。注意计算的准确性。 3．用棱长1cm的小正方体拼成棱长是2cm的大正方体，这个大正方体的体积是（　　） A．2cm3 B．4cm3 C．60cm3 D．8cm3 【分析】根据题意，大正方体的棱长是2cm，然后根据正方体体积公式V＝a3解答即可。 【解答】解：2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方厘米） 答：这个大正方体的体积是8立方厘米。 故选：D。 【点评】本题考查了正方体体积公式V＝a3的灵活运用。 4．下面三个图形中不能拼成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体展开图的11种特征，即可确定哪个图形是正方体展开图，能拼成正方体，哪个图形不是正方体展开图，不能拼成正方体。 【解答】解：A．是正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能拼成正方体； B．是正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能拼成正方体； C．是正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能拼成正方体； D．不是正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，不能拼成正方体。 故选：D。 【点评】此题是考查正方体展开图的认识。正方体展开图分四种类型，11种情况，要掌握每种情况的特征。 5．在阅读节颁奖典礼上，学校为获奖同学准备了奖品（如图），每盒奖品长8cm、宽7cm、高2cm。要将4盒包装在一起，最省包装纸的方法是（　　） A． B． C． D． 【分析】要想最省包装纸，就要把最大的面拼在一起，这样表面积减少得最多。每盒奖品的长8cm、宽7cm、高2cm，最大的面是长为8cm、宽为7cm的面。我们需要分别分析每个选项中拼接后大长方体的长、宽、高，再计算表面积，比较得出最小表面积的拼接方式。 【解答】解：选项A：拼接后大长方体的长8×2＝16（厘米），宽7cm，高2×2＝4（厘米）。表面积为：（16×7+16×4+7×4）×2＝（112+64+28）×2＝（176+28）×2＝204×2＝408（平方厘米）。 选项B：拼接后大长方体的长8×4＝32（厘米），宽7cm，高2cm。表面积为：（32×7+32×2+7×2）×2＝（224+64+14）×2＝（288+14）×2＝302×2＝604（平方厘米）。 选项C：拼接后大长方体的长8×2＝16（厘米），宽7×2＝14（厘米），高2cm。表面积为：（16×14+16×2+14×2）×2＝（224+32+28）×2＝（256+28）×2＝284×2＝568（平方厘米）。 选项D：拼接后大长方体的长8cm，宽7cm，高2×4＝8（厘米）。表面积为：（8×7+8×8+7×8）×2＝（56+64+56）×2＝（120+56）×2＝176×2＝352（平方厘米）。 因为352＜408＜568＜604，所以最省包装纸的是选项D。 故选：D。 【点评】本题考查长方体表面积的实际应用，关键是理解把最大的面拼接在一起时，表面积减少最多，最省包装纸，需要分别计算不同拼接方式下长方体的表面积并比较。 6．在一张正方形纸板的四角分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖纸盒。按下面的方法做出来的纸盒中，体积最大的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知：四个角各剪去边长4厘米、3厘米、2厘米、1厘米的正方形，那么折成的纸盒都是长方体，其长、宽分别为：（12﹣4×2）厘米、（12﹣3×2）厘米、（12﹣2×2）厘米、（12﹣1×2）厘米，高分别为：4厘米、3厘米、2厘米、1厘米．根据长方体的容积公式分别求出它们的容积，然后进行比较即可。 【解答】解：A：（12﹣4×2）×（12﹣4×2）×4 ＝4×4×4 ＝64（立方厘米） B：（12﹣3×2）×（12﹣3×2）×3 ＝6×6×3 ＝108（立方厘米） C：（12﹣2×2）×（12﹣2×2）×2 ＝8×8×2 ＝128（立方厘米） D：（12﹣1×2）×（12﹣1×2）×1 ＝10×10×1 ＝100（立方厘米） 128＞108＞100＞64， 答：容积最大的是四个角各剪去边长2厘米折成的长方体。 故选：C。 【点评】本题关键是根据正方形的纸板找出折成的纸盒的长、宽、高是多少，进而求解。 7．如图，在一个长方体盒子里装了一些棱长为1dm的正方体，这个盒子的容积是（　　） A．15dm3 B．20dm3 C．30dm3 D．无法确定 【分析】通过观察图形可知，沿盒子的长摆了5个正方体，沿盒子的宽摆了3个正方体，沿高摆了2个（2层），根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：5×3×2 ＝15×2 ＝30（立方分米） 答：这个盒子的容积是30立方分米。 故选：C。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 二．填空题（共7小题） 8．用棱长1厘米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要　8　 个小正方体． 【分析】用小正方体拼成一个较大的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答问题． 【解答】解：用小正方体拼成一个较大的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体， 所以拼成一个大正方体至少需要的小正方体的块数为：2×2×2＝8（个）． 答：至少需要8个小正方体． 故答案为：8． 【点评】此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用． 9．如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48cm2，原来的正方体表面积是 　72　 平方厘米。 【分析】根据图意可得，两个小长方体的表面积之和是48×2＝96（平方厘米），把正方体分成两个大小相等的小长方体后，表面积是增加了两个正方体的面的面积，所以这两个小长方体的表面积之和正好是8个原正方体的面的面积，由此先求出原正方体的一个面的面积，再进一步解答即可。 【解答】解：48×2÷8×6 ＝96÷8×6 ＝12×6 ＝72（平方厘米） 答：原来的正方体表面积是72平方厘米。 故答案为：72。 【点评】明确一个正方体切成两个完全相同的长方体后，表面积增加了两个横截面即原正方体的面的面积，由此完成本题。 10．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心打一个相通的洞．洞口是边长为1cm的正方形．每个面与正方体相对的面平行（如图）．挖洞后正方体木块的体积是　20　 cm3． 【分析】由于3个洞在中心重合，所以用正方体的体积减去3个底面边长是1厘米，高是3厘米的长方体的体积再加上棱长是1厘米的两个正方体的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答． 【解答】解：3×3×3﹣1×1×3×3+1×1×1×2 ＝27﹣9+2 ＝20（立方厘米） 答：挖洞后正方体木块的体积是20立方厘米． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．重点是明确：3个洞在中心重合． 11．用一根6米长的铁丝恰好可以焊成一个正方体框架。这个正方体框架的棱长是 　0.5　 米（接头不计）。 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12。已知正方体的棱长总和，求正方体的棱长，可用正方体的棱长总和除以12来计算。 【解答】解：6÷12＝0.5（米） 答：这个正方体框架的棱长是0.5米。 故答案为：0.5。 【点评】此题主要考查正方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．如图是某长方体的一个顶点处的三条棱。（单位：cm） 从下面图形中选择哪6个面（可重复选择）可以围出上面的长方体？写一写：　2个①，2个③，2个⑤　 。 【分析】长方体的特征：长方体有12条棱，其中4条长，4条宽，4条高，长、宽、高相交于一个顶点，4条长互相平行且相等，4条宽互相平行且相等，4条高互相平行且相等；观察可知，长方体的长是6，宽2，高是3，据此解答。 【解答】解：据分析可知，2个①，2个③，2个⑤可以围出上面的长方体。 故答案为：2个①，2个③，2个⑤。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用。 13．笑笑把6个小正方体摆放在长方体盒子里（如图），如果要摆满整个长方体盒子，一共需要 　18　 个小正方体。 【分析】根据图示，把6个小正方体摆放在长方体盒子里，长需要3个，宽需要3个，高需要2个，结合长方体的体积公式解答即可。 【解答】解：3×3×2 ＝9×2 ＝18（个） 答：一共需要18个小正方体。 故答案为：18。 【点评】本题考查了立体图形的拼组知识，结合长方体的体积公式解答即可。 14．把一根1m长的方木锯成三段后（如图所示），表面积比原来增加了16cm2，原来这根方木的体积是 　400　 cm3。 【分析】方木锯成3段后，表面积是增加了4个横截面的面积，由此求出一个横截面的面积，再利用方木的体积＝横截面面积×长即可解答。 【解答】解：横截面面积： 16÷（2×2） ＝16÷4 ＝4（平方厘米） 1米＝100厘米 方木的体积： 4×100＝400（立方厘米） 答：原来这根方木的体积是400立方厘米。 故答案为：400。 【点评】根据切割特点得出表面积增加的面是4个横截面，这是解决本题的关键。 三．判断题（共5小题） 15．王师傅要用铁丝做一个棱长6厘米的正方体框架，至少需要216cm的铁丝。 　×　 【分析】一个正方体有12条棱，棱长总和为12条棱的长度和，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：6×12＝72（厘米） 答：王师傅要用铁丝做一个棱长6厘米的正方体框架，至少需要72cm的铁丝。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了正方体的特征，结合几何体棱长和公式解答即可。 16．如图是一个长方体的展开图，将它围成长方体后，与①相对的面是⑤。 　×　 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成长方体后，数字“1”与“4”相对，“2”与“5”相对，“3”与“6”相对。 【解答】解：如图是一个长方体的展开图，将它围成长方体后，与①相对的面是④，所以本题说法错误。 故答案为：×。 【点评】长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图分“1﹣4﹣1”型，有27种；“1﹣3﹣2”型，18种；“2﹣2﹣2”型，6种；“3﹣3”型，3种，共计54种。每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 17．一个正方体的表面积是96平方厘米，它的棱长是16厘米。 　×　 【分析】正方体表面积的面积的计算公式是棱长×棱长×6，用表面积除以6可求出一个面的面积，再分解质因数，确定棱长是多少，即可判断。 【解答】解：96÷6＝16（平方厘米） 16＝4×4，所以正方体的棱长是4厘米，原题解答错误。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查了学生对正方体的表面积计算方法和正方体特征的掌握。 18．若正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的6倍。 　×　 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么体积扩大到原来的（3×3×3）倍，据此判断。 【解答】解：3×3×3＝27，所以正方体的体积扩大到原来的27倍。 原题说法是错误的。 故答案为：×。 【点评】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用，关键是熟记公式。 19．用3个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体后，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和减少了50平方厘米。 　×　 【分析】用3个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体后，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和，减少了4个边长是5厘米的正方形的面积。据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 答：用3个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体后，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和减少了100平方厘米。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了立体图形的拼组知识，结合题意分析解答即可。 四．计算题（共1小题） 20．计算下面各立体图形的表面积和体积。 【分析】①正方体表面积S＝6a2，正方体体积V＝a3，代入数值计算即可； ②长方体表面积S＝2（ab+ah+bh），长方体体积V＝abh，代入数值计算即可。 【解答】解：①表面积：6×6×6＝216（cm2） 体积：6×6×6＝216（cm3） ②表面积：（3×3+3×7+3×7）×2＝102（dm2） 体积：3×3×7＝63（dm3） 【点评】熟练运用长方体和正方体的表面积与体积公式是解答本题的关键。 五．应用题（共5小题） 21．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【分析】明确问题是计算除底面外糊纸所需的面积，由于是制作正方体灯笼框架，而正方体的特征是有12条长度相等的棱。已知铁丝的总长度，要先确定每条棱的长度；因为铁丝是用来构成正方体框架的，所以将铁丝总长平均分配到12条棱上，就能得出每条棱的长度； 分析需要糊纸的面。正方体原本有6个面，但题目要求除底面外，所以实际上需要糊纸的是5个面；计算每个面的面积。由于每个面都是正方形，其面积取决于边长，而正方体的棱就是面的边长；得出每个面的面积后，将其乘5，就能得到5个面的总面积，也就是所需安全阻燃纸的面积。注意单位的换算。 【解答】解：48÷12＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×5＝80（平方分米） 80平方分米＝0.8平方米 答：至少需要0.8平方米的安全阻燃纸。 【点评】在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 22．《三国演义》与《西游记》《水浒传》《红楼梦》并称为中国古典四大名著某文学出版社出版的少儿版《三国演义》，分为上、中、下三册（如图）笑笑想要把这三册书用包装纸包在一起，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【分析】要想使用的包装纸最少，那么应该把三册书最大的面拼在一起，这样就会减少最大面的面积。先确定拼合后新长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式计算包装纸的面积。长方体表面积公式为S＝（ab+ah+bh）×2（a为长，b为宽，h为高 ）。 【解答】解：三册书最大的面（22×14的面）拼在一起，此时新长方体的长22厘米、宽14厘米、高3×3＝9（厘米）。 （22×14+22×9+14×9）×2 ＝（308+198+126）×2 ＝（506+126）×2 ＝632×2 ＝1264 （平方厘米） 答：至少需要1264平方厘米的包装纸。 【点评】本题考查长方体表面积在实际生活中的应用，关键是要明确如何拼合能使表面积最小，掌握长方体表面积公式的运用。 23．如图，在一张长14cm、宽10cm的长方形纸板的四个角各剪去一个边长为2cm的小正方形，然后做成一个无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 【分析】通过观察图形可知，做成的长方体盒子的长是（14﹣2×2）厘米，宽是（10﹣2×2）厘米，高是2厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：（14﹣2×2）×（10﹣2×2）×2 ＝（14﹣4）×（10﹣4）×2 ＝10×6×2 ＝120（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是120立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 24．妈妈要给客厅的立式空调缝一个布罩（四周和顶部都要罩住），空调的样式是一个长方体，如图所示，做这个布罩至少需要多少平方米布？ 【分析】根据生活经验可知，这个空调的布罩只有5个面，缺少下面，根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。 【解答】解：0.4×0.2+0.4×1.7×2+0.2×1.7×2 ＝0.08+1.36+0.68 ＝2.12（平方米） 答：做这个布罩至少需要2.12平方米布。 【点评】此题主要考查无底长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的长方体容器和A、B两种型号的零件各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计） 步骤一：往长方体容器中加入一定量的水，水面高度为60毫米，保证容器内的水能够淹没所有的零件。 步骤二：先放入3个A型号零件，经过测量，水面的高度上升了15毫米；再把3个A型号零件捞出，放入5个B型号零件，水面的高度恰好也上升了15毫米。计算可得，一个A型号零件可以使水位上升 　5　 毫米，一个B型号零件可以使水位上升 　3　 毫米。 步骤三：把之前的零件全部捞出，然后再放入A型号与B型号零件共10个，水面高度上升到104毫米。 （1）把“步骤二”中的数据填写完整。 （2）步骤三中，放入水中的A、B两种型号零件各有多少个？ 【分析】（1）根据放入3个A型号零件，经过测量水面的高度上涨了15毫米；再把3个A型号零件捞出，放入5个B型号零件，水面的高度恰好也上升了15毫米。由此可得一个A型号零件可以使水位上升5毫米，一个B型号零件可以使水位上升3毫米。据此解答即可； （2）设放入水中的A型号零件有x个，B型号零件（10﹣x）个，然后根据题意列方程解答即可。 【解答】解：（1）15÷3＝5（毫米） 15÷5＝3（毫米） 答：一个A型号零件可以使水位上升5毫米，一个B型号零件可以使水位上升3毫米。 （2）设放入水中的A型号零件有x个，B型号零件（10﹣x）个。 5x+（10﹣x）×3＝104﹣60 5x﹣3x+30＝44 2x＝14 x＝7 10﹣7＝3（个） 答：放入水中的A型号零件有7个，B型号零件3个。 故答案为：5，3。 【点评】本题考查了不规则物体的体积测量知识以及用方程解决问题知识，结合题意分析解答即可。 一．选择题（共7小题） 1．如图是产品包装截图，根据标注的信息，请你联系生活，想象一下它可能是（　　） A．冰箱 B．微波炉 C．笔记本电脑 D．空调室内挂机 【分析】根据长方体的特征及生活中的物品解答。 【解答】解：根据标注的信息，请你联系生活，想象一下它可能是微波炉。 故选：B。 【点评】本题考查了长方体的特征。 2．如图是一个正方体展开图，要把这个展开图重新折叠成正方形，折叠后与E点重合的是（　　） A．F点 B．G点 C．H点 D．Ⅰ点 【分析】根据正方体展开图知识，本图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，把这个展开图重新折叠成正方形，折叠后与E点重合的是G点，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：本图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，把这个展开图重新折叠成正方形，折叠后与E点重合的是G点。 故选：B。 【点评】本题考查了正方体展开图知识，结合题意分析解答即可。 3．包装4个长、宽、高分别是10cm、8cm、1cm的长方体盒子、最节省包装纸的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据长方体表面积的意义可知，将4个长10cm、宽8cm、高1cm的长方体盒子用彩纸包在一起，要想最节省包装纸，也就是把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。据此解答即可。 【解答】解：要想最节省包装纸，也就是把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。 故选：B。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。 4．把一块长方体橡皮切成两个小长方体，有下面三种切割方式。切割后，表面积之和分别比原来增加12cm2、8cm2、24cm2。原来这块长方体橡皮的表面积是（　　）cm2。 A．22 B．44 C．88 D．无法确定 【分析】通过观察图形可知，每切一次就增加两个切面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。 【解答】解：12+8+24＝44（平方厘米） 答：原来这块长方体橡皮泥的表面积是44平方厘米。 故选：B。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高是10厘米，如果它的长与宽都是整厘米数且都是合数，那么这个长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．120 B．240 C．360 D．540 【分析】先根据公式：长方形的周长＝（长+宽）×2，可得：长+宽＝周长÷2，代入数据计算，求出长和宽的和为：30÷2＝15（厘米）；合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。小于15的合数有4、6、8、9、10、12、14，只有6+9＝15，所以长方体底面长方形的长是9厘米，宽是6厘米。再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个长方体的体积。 【解答】解：30÷2＝15（厘米） 小于15的合数有4、6、8、9、10、12、14。 6+9＝15，长方体底面长方形的长是9厘米，宽是6厘米 9×6×10＝540（立方厘米） 故选：D。 【点评】此题考查长方体体积的计算。 6．如图是官官和渡渡用同样大小的小正方体拼搭的立体图形。图①和图②相比，下列说法正确的是（　　） A．体积相等，表面积相等。 B．体积相等，表面积不相等。 C．体积不相等，表面积相等。 D．体积不相等，表面积不相等。 【分析】表面积是由露在外面的面决定的，图①露在外面的面是24个小正方形的面，图②露在外面的面是24个小正方形的面；体积是由小正方体的个数决定的，图①是由8个小正方体组成的，图②是由7个小正方体组成的，组成图①和图②的小正方体个数不同，所以它们体积不同，据此解答即可。 【解答】解：根据分析可得：图①和图②露在外面的面都是24个小正方形的面，所以表面积相同；图①是由8个小正方体组成的，图②是由7个小正方体组成的，组成图①和图②的小正方体个数不同，所以它们体积不同。 故选：C。 【点评】此题考查正方体体积和表面积的计算及运用。 7．如图是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，没被切到的小正方体有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】如图，是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，可以看到切到的小正方体有4个，因为该正方体是由8个小正方体组成，所以没切到的有：8﹣4＝4（个）；据此解答即可． 【解答】解：如图：该正方体是由8个小正方体组成，设AB的中点为D点，从D点切到C点一定经过3号正方体上面的正方体，所以被切到的正方体有4个，没被切到的也是4个； 故选：B． 【点评】解答此题应认真分析，也可以结合题意，进行实际操作，进而得出结论． 二．填空题（共7小题） 8．如图，芳芳把棱长为1cm的小正方体放在一个长方体盒子里，这个盒子里最多可以摆　30　 个这样的小正方体。（盒子厚度忽略不计） 【分析】根据图示，长可以放5个，宽可以放3个，高可以放2个，然后结合长方体的体积公式V＝abh解答即可。 【解答】解：5×3×2 ＝15×2 ＝30（个） 答：这个盒子里最多可以摆30个这样的小正方体。 故答案为：30。 【点评】本题考查了立体图形的拼切知识，结合长方体的体积公式V＝abh解答即可。 9．如图是一个　正方体　 ，棱长是　5　 厘米，它的棱长总和是　60　 厘米。 【分析】一个正方体有12条棱，每条棱长度相等，棱长总和为12条棱的长度和。据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：5×12＝60（厘米） 答：如图是一个正方体，棱长是5厘米，它的棱长总和是60厘米。 故答案为：正方体，5，60。 【点评】本题考查了正方体的特征，结合题意分析解答即可。 10．一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图单位：cm）。图中涂色部分的面积是（　21　 ）cm2。 【分析】观察长方体展开图可知，这个长方体的长是（10﹣3）厘米，宽是5厘米，高是3厘米；那么涂色部分是一个长（10﹣3）厘米，宽3厘米的长方形；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出涂色部分的面积。 【解答】解：（10﹣3）×3 ＝7×3 ＝21（平方厘米） 答：图中涂色部分的面积是21平方厘米。 故答案为：21。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方形的面积公式及应用，关键是熟记公式。 11．一个无盖长方体盒子的长是18厘米、宽是5厘米、高是9厘米，制作这个长方体盒子的框架至少需要（ 　128　 ）厘米长的铁丝，覆盖四周和底面至少需要（ 　504　 ）平方厘米的纸板。（接头处忽略不计） 【分析】求长方体框架所需铁丝长度，就是求长方体的棱长总和，根据公式：长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，代入数据计算即可解答；对于覆盖四周和底面的纸板面积，就是求无盖长方体的表面积。再根据无盖长方体的表面积＝长×宽+长×高×2+宽×高×2，把数据代入公式即可求出覆盖四周和底面至少需要多少平方厘米的纸板。 【解答】解：（18+5+9）×4 ＝32×4 ＝128（厘米） 18×5+18×9×2+5×9×2 ＝90+324+90 ＝504（平方厘米） 答：制作这个长方体盒子的框架至少需要128厘米长的铁丝，覆盖四周和底面至少需要504平方厘米的纸板。 故答案为：128；504。 【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、长方体的表面积公式的灵活运用，熟记公式是解答本题的关键。 12．把一个长方体木块切成两个完全相同的小长方体木块，有三种切法（如图），表面积分别增加40cm2、24cm2、30cm2，原来长方体木块的表面积是 　94　 cm2。 【分析】通过观察图形可知，每切一次就增加两个切面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。 【解答】解：40+24+30＝94（平方厘米） 答：原来长方体木块的表面积是94平方厘米。 故答案为：94。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．将一个棱长为6厘米的实心正方体铝块熔化后，铸造成一个长为9厘米、宽为4厘米的实心长方体，则长方体的高为（　6　 ）厘米。 【分析】由题意可知，长方体的体积与正方体体积相等，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长可求出体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高的逆运算，用体积除以长方体的长再除以宽，即可得解。 【解答】解：（6×6×6）÷9÷4 ＝216÷9÷4 ＝6（厘米） 故答案为：6。 【点评】此题考查长方体、正方体体积的计算及运用。 14．一块长26cm，宽21cm的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子，这个盒子的容积是 　900　 立方厘米。 【分析】盒子的长为：26﹣3×2＝20（厘米）；盒子宽为：21﹣2×3＝15（厘米），盒子高是3厘米，盒子体积＝长×宽×高，据此列式计算即可解答。 【解答】解：盒子的长为：26﹣3×2 ＝26﹣6 ＝20（厘米） 盒子宽为：21﹣2×3 ＝21﹣6 ＝15（厘米） 盒子高是3厘米， 20×15×3＝900（立方厘米） 故答案为：900。 【点评】此题考查长方体体积的计算及应用。 三．判断题（共5小题） 15．从正方体的一个顶点引出的三条棱，它们的长度一定相等．　√　 ．（判断对错） 【分析】在长方体中，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长、宽、高都相等的长方体叫做正方体．据此判断即可． 【解答】解：因为长、宽、高都相等的长方体叫做正方体，所以从正方体的一个顶点引出的三条棱，它们的长度一定相等． 故答案为：√． 【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，明确：正方体是特殊的长方体． 16．沿虚线折叠后的立体图形中有2个面是正方形。　√　 （判断对错） 【分析】要判断沿虚线折叠后的立体图形中正方形面的数量，需先明确折叠后立体图形（长方体）的长、宽、高，再看哪些面是正方形。 【解答】解：折叠后形成一个长方体，这个长方体的长是5、宽是3、高是3。因为宽和高都是3，所以左右两个侧面（由宽和高组成的面 ）是正方形，共2个正方形的面。原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查长方体的展开图与折叠后立体图形特征。 17．把两块棱长是2分米的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是42平方分米。 　×　 （判断对错） 【分析】根据正方体、长方体表面积的应用可知，把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的2个面的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把数据代入公式求出这个长方体的表面积，然后与42平方分米进行比较即可。 【解答】解：2×2×6×2﹣2×2×2 ＝24×2﹣4×2 ＝48﹣8 ＝40（平方分米） 40平方分米≠42平方分米 所以拼成的长方体的表面积是40平方分米。 故答案为：×。 【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．两个体积相等的盒子，它们的容积不一定相等。 　√　 （判断对错） 【分析】根据体积、容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，某容器所能容纳别的物体的体积叫做容器的容积。因为盒子壁的厚多不一定相同，所以两个体积相等的盒子，它们的容积不一定相等。据此判断。 【解答】解：因为盒子壁的厚多不一定相同，所以两个体积相等的盒子，它们的容积不一定相等。 因此，题干中的结论是正确的。 故答案为：√。 【点评】此题考查的目的是理解掌握体积、容积的意义及应用。 19．把一个长方体切成两个正方体，每个正方体的表面积是原来长方体表面积的一半． 　×　 ．（判断对错） 【分析】因为把一个长方体切成两个正方体，表面积就增加原来长方体的两个切面的面积，所以每个正方体的表面积是原来长方体表面积的一半，说法错误；由此判断即可． 【解答】解：把一个长方体切成两个正方体，表面积就增加原来长方体的两个切面的面积，所以把一个长方体切成两个正方体，每个正方体的表面积是原来长方体表面积的一半说法错误，应大于原来长方体表面积的一半； 故答案为：×． 【点评】解答本题的关键是明确：把一个长方体切成两个相等正方体，表面积就增加原来长方体的两个切面的面积． 四．计算题（共1小题） 20．计算下面图形的表面积或体积。（单位：cm） （1）计算如图图形的表面积。 （2）根据如图展开图计算立体图形的体积。 【分析】（1）图形的表面积等于长是16厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的表面积加上4个边长是4厘米的正方形的面积，由此解答本题； （2）长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是[（28﹣10﹣10）÷2]厘米，利用长方体的体积公式计算即可。 【解答】解：（1）（16×8+16×3+8×3）×2+4×4×4 ＝（128+48+24）×2+64 ＝400+64 ＝464（平方厘米） 答：图形的表面积是464平方厘米。 （2）高：（28﹣10﹣10）÷2＝4（厘米） 10×6×4＝240（立方厘米） 答：图形的体积是240立方厘米。 【点评】本题考查的是长方体、正方体的表面积、体积公式的应用。 五．应用题（共5小题） 21．妈妈买了一套图书给张明当“六一”节礼物，她准备用彩带捆扎图书（如图），已知这套图书摞起来是一个长是30厘米，宽是20厘米，高25厘米的长方体，彩带接头处需35厘米。捆扎这套图书至少需要多长的彩带？ 【分析】彩带全长包括2条长、2条宽及4条高和接头处的长度。 【解答】解：30×2+20×2+25×4+35 ＝60+40+100+35 ＝235（厘米） 答：捆扎这套图书至少需要235厘米长的彩带。 【点评】本题考查了长方体的特征。 22．为了防止运输磕碰，运输公司给桌子粘贴防撞包条，只需要粘贴桌腿和桌面四周，每张桌子需要贴多少米防撞包条？ 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答。 【解答】解：（3.5+1.6+1.2）×4 ＝6.3×4 ＝25.2（米） 答：每张桌子至少需要25.2米的防撞条。 【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用。 23．李伯伯打算做一根通风管（如图），它的横截面是长0.5m、宽0.3m的长方形，如果每平方米铁皮150元，那么李伯伯做这根通风管需要花费多少元？ 【分析】首先求出需要铁皮的面积，需要铁皮的面积即是通风管的侧面积，通风管的侧面积＝（长×高+宽×高）×2，据此求出这根通风管的侧面积，再乘每平方米铁皮的钱数，据此列式计算即可求出需要花的总钱数。 【解答】解：（0.5×4+0.3×4）×2 ＝（0.5+0.3）×4×2 ＝0.8×4×2 ＝6.4（平方米） 6.4×150＝960（元） 答：李伯伯做这根通风管需要花费960元。 【点评】此题考查运用长方体表面积计算公式解决实际问题。 24．一个长方体木块，长8厘米、宽5厘米、高6厘米。把这个木块削成了一个最大的正方体，削去部分的体积是多少立方厘米？ 【分析】长方体木块的长、宽、高分别为8厘米、5厘米、6厘米。要削成最大的正方体，正方体的棱长最大只能等于长方体的长、宽、高中最短的那个，也就是5厘米，因为如果棱长大于5厘米，就超出了长方体的宽度，无法削成。根据长方体体积公式V＝a×b×h（其中a、b、h分别为长方体的长、宽、高），这里a＝8厘米，b＝5厘米，h＝6厘米，把数据代入公式即可计算出长方体的体积。根据正方体体积公式V＝a3（其中a为正方体的棱长），这里a＝5厘米，把数据代入公式即可计算出正方体体积。削去部分体积等于长方体体积减去正方体体积。 【解答】解：8×5×6﹣5×5×5 ＝40×6﹣25×5 ＝240﹣125 ＝115（立方厘米） 答：削去部分的体积是115立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．兰溪黄蜡石因其质地细腻、色泽温润如黄蜡而得名，在赏石文化中具有较高的知名度。张师傅把一块不规则的黄蜡石加工成一个棱长为6分米的正方体底座，上面摆放一株高度为8分米的黄蜡石刻兰花，就是一件极具观赏价值的艺术品。如果1立方分米黄蜡石的质量在2.6～2.8千克之间，这块正方体黄蜡石底座最多重几千克？ 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出这个底座的体积，然后再乘每立方分米黄蜡石的质量即可。 【解答】解：6×6×6×2.8 ＝36×6×2.8 ＝216×2.8 ＝604.8（千克） 答：这块正方体黄蜡石底座最多重604.8千克。 【点评】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $