第一单元 长方体和正方体（知识梳理+22个考点讲练+真题演练+难度分层练 共69题）-2025-2026学年苏教版数学六年级上学期举一反三培优精讲练

2025-2026学年数学六年级上学期举一反三培优精讲练（苏教版） 姓名： 班级： 学号： 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第一单元 长方体和正方体 （知识梳理+22个考点讲练+真题演练+难度分层练 共69题） 【解析版】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 目 录 资料简介 内容梳理 3 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 3 知识点梳理02：长方体和正方体的展开图 4 知识点梳理03：长方体、正方体的表面积计算 4 知识点梳理04：体积与体积单位 5 知识点梳理05：长方体和正方体的体积 5 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：长方体的认识及特征 5 高频考点讲练2：长方体有关棱长的应用 6 高频考点讲练3：正方体的特征 7 高频考点讲练4：正方体有关棱长的应用 8 高频考点讲练5：长方体的展开图 10 高频考点讲练6：正方体的展开图 11 高频考点讲练7：长方体表面积的计算 12 高频考点讲练8：长方体表面积的应用 13 高频考点讲练9：正方体表面积的计算 14 高频考点讲练10：正方体表面积的应用 15 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 16 高频考点讲练12：组合体的表面积（长方体、正方体） 17 高频考点讲练13：长方体的体积 18 高频考点讲练14：正方体的体积 20 高频考点讲练15：体积的等积变形（长方体、正方体） 21 高频考点讲练16：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 22 高频考点讲练17：组合体的体积（长方体、正方体） 23 高频考点讲练18：长方体、正方体的容积 24 高频考点讲练19：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 26 高频考点讲练20：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 28 高频考点讲练21：容积单位间的进率与换算（升和毫升） 29 高频考点讲练22：体积与容积单位间的进率及换算 30 升学真题 实战演练 31 能力分层 培优强化 35 基础夯实 能力提升 35 创新拓展 拔尖冲刺 39 同学你好，该份讲义用于苏教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5题小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 能力分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年长老易错真题、模拟题，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点梳理02：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点梳理03：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点梳理04：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点梳理05：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 高频考点讲练1：长方体的认识及特征 【典例精讲】（23-24五年级下·四川·课后作业）一个长方体的长是9dm，宽是8dm，高是6dm，它的下面的面的面积是( )dm2，表面积是( )dm2。 【答案】 72 348 【思路引导】长方体的底面积＝长×宽、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数值代入计算即可求得长方体的底面积和表面积。据此解答。 【规范解答】底面积： 9×8＝72（平方分米 ） 表面积： （9×8＋9×6＋8×6）×2 ＝（72＋54＋48）×2 ＝174×2 ＝348（平方分米 ） 一个长方体的长是9dm，宽是8dm，高是6dm，它的下面的面的面积是（72）dm2，表面积是（348）dm2。 【变式训练】（23-24六年级上·河南平顶山·期末）老师为同学们准备了5厘米长的小棒2根，3厘米长的小棒5根，4厘米长的小棒9根。用这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 44 80 【思路引导】长方体有12条棱，相对的棱长度相等，因此这12条棱可以分成3组，每组4条棱，5厘米长的小棒2根不能用，选择3厘米长的小棒4根，4厘米长的小棒8根，即这个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米、4厘米。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【规范解答】（3＋4＋4）×4 ＝11×4 ＝44（厘米） （3×4＋3×4＋4×4）×2 ＝（12＋12＋16）×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 这个长方体的棱长总和是44厘米，表面积是80平方厘米。 高频考点讲练2：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。 （1）那么正方体的棱长是多少分米？ （2）长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）5分米 （2）120立方分米 【思路引导】（1）已知长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此求出长方体的棱长总和； 已知一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这个长方体的体积。 【规范解答】（1）（6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（分米） 60÷12＝5（分米） 答：正方体的棱长是5分米。 （2）6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米） 答：长方体的体积是120立方分米。 【变式训练】（20-21六年级上·江苏无锡·期中）做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架，至少需要（    ）长的铁丝。 A．28厘米 B．56厘米 C．126厘米 D．90厘米 【答案】B 【思路引导】长方体棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【规范解答】（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 即，至少需要56厘米。 故答案为：B 高频考点讲练3：正方体的特征 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏连云港·期中）一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 【答案】5 【思路引导】根据题意，作图如下： 从“一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体”可知：这个长方体的高＋3厘米＝长＝宽＝正方体的棱长。高增加3厘米，就从长方体变成正方体，上下面不变，前后左右4个面共增加了96平方厘米，用96÷4＝24平方厘米求出一个面增加的面积。再用一个面增加的面积÷3即可得正方体的棱长，用棱长减去3就得长方体的高。 【规范解答】96÷4÷3－3 ＝8－3 ＝5（厘米） 原来长方体的高是5厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏·课后作业）长方体有( )个面，长方体的面是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面( )。长方体有( )条棱，相对的棱长度( )。长方体有( )个顶点。 【答案】 6 完全相同 12 相等 8 【思路引导】长方体的面：长方体是由六个面组成的立体图形，这六个面通常是长方形，但在特殊情况下可能有两个相对的面是正方形；相对的两个面的形状相同、面积相等，即完全相同。长方体的棱：长方体有12条棱，分为三组，分别是长、宽、高的各4条棱。 相对的棱是指在长方体中处于相同位置关系的棱，它们的长度相等。 长方体的顶点：长方体有8个顶点，即长方体的八个角的点。 【规范解答】长方体有6个面；长方体的面是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同；长方体有12条棱；相对的棱长度相等；长方体有8个顶点。 高频考点讲练4：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】至少用( )个棱长2厘米的小正方体才能拼成一个大正方体，拼成的正方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 8 48 96 64 【思路引导】根据正方体的特征：12条棱都相等，那么拼成的大正方体的棱长最少由2个同样的小正方体的棱长组成，则拼成的大正方体的棱长为2×2＝4厘米，再根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12；表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【规范解答】正方体的个数：2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 棱长：2×2＝4（厘米） 棱长总和：4×12＝48（厘米） 表面积：4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 至少用8个棱长2厘米的小正方体才能拼成一个大正方体，拼成的正方体的棱长总和是48厘米，表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 【考点剖析】本题考查正方体棱长总和公式、表面积公式、体积公式的应用，关键是熟记公式。 【变式训练】（22-23六年级上·江苏南通·期末）棱长总和6分米的正方体，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 1.5 0.125 【思路引导】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出棱长，再根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【规范解答】6÷12＝0.5（分米） 0.5×0.5×6 ＝0.25×6 ＝1.5（平方分米） 0.5×0.5×0.5 ＝0.25×0.5 ＝0.125（立方分米） 棱长总和6分米的正方体，表面积是1.5平方分米；体积是0.125立方分米。 【考点剖析】熟练掌握和灵活运用正方体棱长总和公式、表面积公式、体积公式是解答本题的关键。 高频考点讲练5：长方体的展开图 【典例精讲】（23-24六年级上·河南新乡·期末）下图是一个长方体展开图中的四个面，请你画出其余两个面，使它成为一个完整的展开图，并求出它的表面积。 【答案】图见详解；28平方厘米 【思路引导】由所给图形可知，这个长方体的长、宽、高分别为4厘米、2厘米、1厘米，根据长方体的展开图的特征，相对面的面积相等画出这个长方体展开图的另外2个面。根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高） ×2，用（4×2＋4×1＋2×1） ×2即可求出表面积。 【规范解答】根据分析，画图如下： （4×2＋4×1＋2×1） ×2 ＝（8＋4＋2）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 答：它的表面积是28平方厘米。 【变式训练】（23-24五年级下·广东清远·期中）如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。 【答案】98平方厘米 【思路引导】根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【规范解答】2＋5＋2＋5＝14（厘米） 2＋3＋2＝7（厘米） 14×7＝98（平方厘米） 答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。 高频考点讲练6：正方体的展开图 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）在图中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据正方体11种展开图，是正方体11种展开图里的情况即可。 【规范解答】A．不是正方体展开图； B．不是正方体展开图； C．1－4－1型正方体展开图； D．不是正方体展开图。 是一个正方体表面展开图的是。 故答案为：C 【变式训练】（22-23六年级上·河南平顶山·期末）一个正方体纸盒，每个面都写有一个汉字，下图是它的展开图，在这个正方体中，与“自”字相对的字是（    ）。    A．力 B．成 C．功 【答案】C 【思路引导】1－4－1型正方体展开图，将努当成下面，则信是左面，力是右面，自是后面，成是上面，功是前面，再根据左右相对，前后相对，上下相对，确定“自”字相对的字。 【规范解答】根据分析，如果自是后面，则功是前面，“自”字相对的字是功。 故答案为：C 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，熟悉正方体的展开图。 高频考点讲练7：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·假期作业）在一张长25厘米，宽19厘米的长方形纸片上，将纸片上的阴影部分裁去后，剩下的部分恰好能沿虚线折叠成一个体积为180立方厘米的长方体，那么该长方体的表面积为多少平方厘米？（请写出具体步骤） 【答案】216平方厘米 【思路引导】设折叠后的长方体的长、宽、高分别为、、，则（厘米），（厘米），（立方厘米），求出、和的值或者关系式，长方体表面积 长宽 长高 宽高，据此代入数据计算即可求出长方体表面积。 【规范解答】设折叠后的长方体的长、宽、高分别为、、，则 ① ② ③ 用②式减去①式得到（厘米） 将代入，得到（厘米） 将代入，可得，（平方厘米） （平方厘米） 答：该长方体的表面积为216平方厘米。 【变式训练】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）将三个完全相同的正方体拼成一个长方体（如图），表面积是84平方厘米，一个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】36 【思路引导】观察图形可知，三个正方体拼成一个长方体，减少了4个面；三个正方体一共有6×3＝18个面，减少4个面，还剩18－4＝14个面，14个面的面积是84平方厘米，用84÷14，求出一个面的面积，再乘6，即可求出一个正方体的表面积，据此解答。 【规范解答】84÷（6×3－4）×6 ＝84÷（18－4）×6 ＝84÷14×6 ＝6×6 ＝36（平方厘米） 一个正方体的表面积是36平方厘米。 高频考点讲练8：长方体表面积的应用 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个长方体食品盒（如图），长8厘米，宽8厘米，高15厘米。如果沿食品盒的四周贴满一圈商标纸，商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 【答案】480平方厘米 【思路引导】求商标纸的面积，就是求这个长方体食品盒的侧面积，根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】（8×15＋8×15）×2 ＝（120＋120）×2 ＝240×2 ＝480（平方厘米） 答：商标纸的面积至少有480平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体饼干盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米，现在要在它的四周贴上商标纸，至少需要商标纸多少平方分米？ 【答案】15平方分米 【思路引导】围着它的四周贴一圈商标纸就是贴这个长方体四个面，也就是左右和前后四个面。则这张商标纸的面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据解答即可。 【规范解答】（3×1.5＋2×1.5）×2 ＝（4.5＋3）×2 ＝7.5×2 ＝15（平方分米） 答：至少需要商标纸15平方分米。 高频考点讲练9：正方体表面积的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·湖南永州·期末）三个大小相同的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，求原来一个正方体的表面积是( )平方分米。 【答案】54 【思路引导】三个大小相同的正方体，拼成一个长方体，相当于减少了4个正方形面的面积，用减少的总面积除以4，求出正方体一个面的面积，再乘6即可解答。 【规范解答】36÷4×6 ＝9×6 ＝54（平方分米） 所以原来一个正方体的表面积是54平方分米。 【变式训练】（23-24六年级上·江苏·课后作业）下边的长方体和正方体都是用棱长1厘米的正方体摆成的。它们的表面积和体积各是多少？ 【答案】24平方厘米， 8立方米；52平方厘米， 24立方米。 【思路引导】长方体和正方体都是用棱长1厘米的正方体摆成，通过观察图可知，正方体的棱长是2厘米，长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式计算即可。 【规范解答】2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方厘米） 即正方体的表面积为24平方厘米，体积为8立方米； （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方米） 即长方体的表面积为52平方厘米，体积为24立方米。 高频考点讲练10：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·课后作业）用铁皮焊一个棱长3分米的正方体无盖铁桶，至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】45平方分米 【思路引导】无盖正方体铁桶只有5个面，用棱长×棱长×5计算铁皮面积即可。 【规范解答】3×3×5＝45（平方分米） 答：至少需要铁皮45平方分米。 【变式训练】（22-23五年级下·甘肃金昌·期末）如图是一个棱长为10分米的大正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 【答案】856平方分米 【思路引导】由图可知，可以将小正方体的上面借给大正方体用，这样大正方体的六个面就全了，而小正方体只剩下四个侧面，所以要求这个组合图形的表面积，就是要求大正方体的表面积加小正方体的四个侧面积，据此可解答。 【规范解答】大正方体表面积：10×10×6＝100×6＝600（平方分米） 小正方体四个侧面积：8×8×4＝64×4＝256（平方分米） 立体图形的表面：600＋256＝856（平方分米） 答：这个立体图形的表面积是856平方分米。 【考点剖析】解答本题关键利用正方体表面积公式：正方体表面积＝6×棱长×棱长。 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏南通·期中）把一根1.5米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加24平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】90 【思路引导】根据题意，把一个长方体材料锯成三段，那么表面积比原来增加4个截面的面积；用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；再根据长方体的体积＝长×宽×高＝横截面积×长，求出这根钢材原来的体积。 【规范解答】1.5米＝15分米 24÷4＝6（平方分米） 6×15＝90（立方分米） 原来这根木料的体积是90立方分米。 【变式训练】（23-24六年级上·安徽合肥·期中）把一个棱长8cm的正方体，切成3个体积相等且形状相同的小长方体，多了( )个面，表面积增加了( )。 【答案】 4 256 【思路引导】将正方体竖着切1次，可得到2个长方体，增加2个面的面积。竖着切2次，可得到3个长方体，增加4个面的面积。并且增加的每个面都是正方形，那么用“棱长×棱长×4”可求出表面积增加了多少cm2。 【规范解答】8×8×4＝256（cm2） 所以，多了4个面，表面积增加了256cm2。 高频考点讲练12：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。至少再添( )个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 【答案】 8 28 19 【思路引导】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，这个立体图形有几个小正方体体积就是几立方厘米。观察可知，一共有3层，最上层1个小正方体，中间1层3个小正方体，最下层4个小正方体，将3层个数相加即可确定体积； 边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，这个立体图形的表面有多少个小正方形，表面积就是多少平方厘米。从前面看有5个小正方形，从上面看有4个小正方形，从右面看有5个小正方形，前后面看到的个数一样，上下面看到的个数一样，左右面看到的个数一样，（前面看到的个数＋上面看到的个数＋右面看到的个数）×2＝表面积； 拼成的稍大正方体棱长上至少有3个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出稍大正方体需要的小正方体个数，减去已有小正方体个数，即可求出需要添上的小正方体的个数。 【规范解答】1＋3＋4＝8（立方厘米） （5＋4＋5）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 3×3×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 它的体积是8立方厘米，表面积是28平方厘米。至少再添19个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 【变式训练】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】296 【思路引导】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【规范解答】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 高频考点讲练13：长方体的体积 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏常州·期中）如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 700 1000 【思路引导】看图可知，正方形纸板的边长包含2条高和2条宽，宽是高的2倍，根据和倍问题的解题方法，正方形边长÷（1＋1＋2＋2）＝高，高×2＝宽，正方形边长－高×2＝长，据此确定长方体的长、宽、高。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【规范解答】高：30÷（1＋1＋2＋2） ＝30÷6 ＝5（厘米） 宽：5×2＝10（厘米） 长：30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 表面积：（20×10＋20×5＋10×5）×2 ＝（200＋100＋50）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 体积：20×10×5＝1000（立方厘米） 它的表面积是700平方厘米，体积是1000立方厘米。 【考点剖析】关键是掌握和倍问题的解题方法，先确定长、宽、高，再灵活运用长方体表面积和体积公式。 【变式训练】（2024五年级下·全国·专题练习）如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【思路引导】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 【规范解答】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【考点剖析】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 高频考点讲练14：正方体的体积 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·课后作业）张师傅用一条长96厘米的铁丝做成一个正方体框架，在这个框架的外面贴上一层彩色纸，至少需要( )的彩色纸。这个正方体的体积是( )。 【答案】 384平方厘米 512立方厘米 【思路引导】已知正方体框架长度为96厘米，根据正方体棱长总和＝棱长×12，可计算出棱长；要求贴纸的面积即求出正方体的表面积，运用棱长×棱长×6得出答案；正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算得出答案。 【规范解答】这个正方体的棱长为：96÷12＝8（厘米） 至少需要彩色纸：8×8×6＝384（平方厘米） 体积为：8×8×8＝512（立方厘米） 【变式训练】（24-25六年级上·江苏·课后作业）有一个正方体容器，从里面量棱长是20厘米，这个容器的容积是多少升？ 【答案】8升 【思路引导】1分米＝10厘米，低级单位转化为高级单位除以进率，把单位厘米转化为分米，根据，代入数据计算求出体积，再根据1立方分米＝1升，把体积转化为容积。 【规范解答】20厘米＝2分米 （立方分米） （升） 答：这个容器的容积是8升。 高频考点讲练15：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·全国·课后作业）一个长方体密闭玻璃容器，高20厘米，底面是边长为6厘米的正方形。 （1）竖着放时容器里的水的高度是15厘米，容器里的水有多少升？ （2）这个容器横着放时容器里的水又形成了一个长方体，这时水的高度是多少？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】（1）0.54升；（2）4.5厘米 【思路引导】（1）先根据长方体的体积＝底面积×高，用容器的底面积乘水深求出玻璃容器内水的体积；再根据1升＝1000立方厘米，求出容器里的容积。 （2）把玻璃容器横着放时水的体积不变，容器的底面积变为（20×6），根据“水面高度＝水的体积÷现在玻璃容器的底面积”，据此解答。 【规范解答】（1）6×6×15 ＝36×15 ＝540（立方厘米） 540立方厘米＝0.54升 答：容器里的水有0.54升。 （2）20×6＝120（平方厘米） 540÷120＝4.5（厘米） 答：这时水的高度是4.5厘米。 【变式训练】（22-23六年级上·湖南邵阳·期末）把一个棱长6分米的正方体容器里满容器的水倒入一个长8分米，宽5分米，高25分米的容器里，水深多少分米？ 【答案】5.4分米 【思路引导】水的体积看作是正方体的体积，把水倒入容器后，水的体积相当于长为8分米，宽为5分米，高未知的长方体体积。由水的体积不变，即长方体体积＝正方体体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高。据此求出未知的高。 【规范解答】6×6×6÷（8×5） ＝36×6÷40 ＝216÷40 ＝5.4（分米） 答：水深5.4分米。 高频考点讲练16：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·随堂练习）用1立方厘米的正方体摆成一些长方体（或正方体），说说它们的长、宽、高（或棱长）各是多少厘米，体积各是多少立方厘米？ 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，一个小正方体的体积是l立方厘米，则小正方体的棱长是1厘米，分别数出摆出的立体图形的长、宽、高或棱长，再根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【规范解答】1×1×1＝1（立方厘米） 棱长是1厘米的小正方体，体积是1立方厘米。 长是5厘米，宽是3厘米，高是3厘米， 体积是5×3×3 ＝15×3 ＝45（立方厘米） 答：体积各是45立方厘米。 长是8厘米，宽是2厘米，高是1厘米， 体积是8×2×1＝16（立方厘米） 答：体积各是16立方厘米。 【变式训练】（22-23六年级上·江苏盐城·期中）如图，在一个长8分米、宽5分米、高6分米的木盒内，最多可以放(    )个棱长为2分米的小正方体木块。 A．24 B．28 C．30 D．240 【答案】A 【思路引导】从题意可知：这个木盒的长是8分米，用8÷2＝4个，得长边可放4个棱长为2分米的正方体；宽5分米，用5÷2≈2个，得宽边最多可放2个正方体；用6÷2＝3个，得高边可放3个正方体，即可放3层。因此这个木盒可以放4×3×2＝24个正方体。 【规范解答】长：8÷2＝4（个） 宽：5÷2＝2（个）……1（分米） 高：6÷2＝3（个） 4×3×2＝24（个） 最多可以放24个棱长为2分米的小正方体木块。 故答案为：A 高频考点讲练17：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏连云港·期中）如图，一个底面是正方形的长方体被截去一段，已知底面正方形的边长是5厘米，求这个图形的体积。 【答案】300立方厘米 【思路引导】如图，将这个图形分成两部分，这个图形的体积＝下边长方体的体积＋上边立体图形的体积，而上边立体图形的体积＝上边长方体的体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】体积：5×5×10＋5×5×（14－10）÷2 ＝25×10＋25×4÷2 ＝250＋100÷2 ＝250＋50 ＝300（立方厘米） 这个图形的体积300立方厘米。 【变式训练】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A．增加了；没有变 B．没有变；减少了 C．减少了；增加了 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】从正方体顶点处挖去一个小正方体，看上去表面积减少了3个小正方形，又出现了同样的3个小正方形，因此表面积不变；现在的体积＝大正方体体积－小正方体体积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此分析。 【规范解答】原来正方体表面积：3×3×6＝54（cm2） 现在表面积：3×3×6＝54（cm2） 原来正方体体积：3×3×3＝27（cm3） 现在体积：3×3×3－1×1×1 ＝27－1 ＝26（cm3） 54＝54、26＜27 这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积没有变。体积和原来的正方体相比减少了。 故答案为：B 高频考点讲练18：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）刘林想做一个无盖的长方体观赏鱼缸，长8分米，宽6分米，高3分米。 (1)刘林需要选择 （写出序号），共需要 块玻璃。 (2)这个观赏鱼缸的容积是 立方分米。（玻璃厚度不计） 【答案】(1) ①③④⑥⑦ 5 (2)144 【思路引导】（1）做一个无盖长8分米，宽6分米，高3分米的长方体观赏鱼缸，共5个面，需要长为8分米、宽为6分米的一块玻璃作为底，长为8分米、宽为3分米的2块玻璃作为左右两个侧面，长为6分米、宽为3分米的2块玻璃作为前后两个侧面，所以选择①③④⑥⑦，共需要5块玻璃。 （2）根据长方体的体积公式V＝abh，代入公式进行解答。 【规范解答】（1）通过分析可得：需要长为8分米、宽为6分米的1块玻璃，长为8分米、宽为3分米的2块玻璃，长为6分米、宽为3分米的2块玻璃。则刘林需要选择①③④⑥⑦，共需要5块玻璃。 （2）8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） 则这个观赏鱼缸的容积是144立方分米。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏南通·期中）星期日，小明和小雨到小红家做客，小红拿出一瓶646毫升的饮料，分别倒入下边两个不同的杯子中（单位：厘米）。 【答案】8.5厘米；340毫升 【思路引导】根据长方体体积公式，体积÷底面积＝高，饮料体积÷小雨和小明杯子的底面积和＝饮料的高度；小雨杯子的长×宽×饮料的高度＝小雨杯子中饮料的体积，据此列式解答。 【规范解答】646毫升＝646立方厘米 646÷（8×5＋6×6） ＝646÷（40＋36） ＝646÷76 ＝8.5（厘米） 8×5×8.5＝340（立方厘米）＝340（毫升） 答：这个高度是8.5厘米，小雨杯子中有340毫升饮料。 高频考点讲练19：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）0.9升 （2）0.5立方分米 【思路引导】（1）观察左图，根据长方体体积公式，长方体玻璃容器的长×宽×水面高度＝水的体积，据此列式解答，注意统一单位； （2）观察右图，用竖起来的长方体玻璃容器底面积×现在水的高度，求出水和土豆的体积，再减去原来水的体积就是土豆的体积。 【规范解答】（1）30×10×3＝900（立方厘米）＝0.9（立方分米）＝0.9（升） 答：玻璃容器原来盛了0.9升水。 （2）10×10×14－900 ＝1400－900 ＝500（立方厘米） ＝0.5（立方分米） 答：该土豆的体积是0.5立方分米。 【变式训练】（23-24六年级上·江苏·课后作业）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）74平方分米； （2）2分米； （3）6立方分米 【思路引导】（1）求做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米，就是求鱼缸前、后、左、右、下，5个面的面积，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2解答即可。 （2）水的体积不变，根据长方体体积公式：V＝abh可得：h＝V÷a÷b，代入数据计算即可； （3）鹅卵石的体积等于上升的水的体积，将数据代入长方体体积公式：V＝abh计算即可。 【规范解答】（1）5×4＋（5×3＋4×3）×2 ＝20＋（15＋12）×2 ＝20＋27×2 ＝20＋54 ＝74（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米。 （2）40升＝40立方分米 40÷5÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：水深2分米。 （3）5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是6立方分米。 高频考点讲练20：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏南通·期末）在括号里填上合适的数或单位名称。 一个水桶的容积大约是12( )            5.8立方分米＝( )立方厘米 一张课桌的占地面积大约是24( )        720( )＝0.72( ) 【答案】 升/L 5800 平方分米/dm2 立方厘米 立方分米 【思路引导】根据对容积单位、面积单位的认识及数据的大小可知：计量一个水桶的容积用升作单位；计量一张课桌的占地面积用平方分米作单位；1立方分米＝1000立方厘米，高级单位换算成低级单位乘进率；720化为0.72相当于720÷1000，可填进率为1000的两个单位；据此解答。 【规范解答】一个水桶的容积大约是12升     5.8立方分米＝5.8×1000立方厘米＝5800立方厘米 一张课桌的占地面积大约是24平方分米     720立方厘米＝0.72立方分米（最后一题答案不唯一） 【考点剖析】本题考查面积单位、容积单位的选择及体积单位的换算。 【变式训练】（22-23六年级下·江苏淮安·期末）把1立方分米的正方体木块切成体积为1立方厘米的小正方体，然后把这些小正方体摆成一排，排成一个长方体，这个长方体的长是（    ）。 A．1分米 B．1米 C．10米 【答案】C 【思路引导】1立方分米＝1000立方厘米，由此用1000÷1可求出1立方分米的正方体能够分成多少个1立方厘米的小正方体，又因为1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米，用棱长乘小正方体的个数可得排成一个长方体的长。 【规范解答】由分析可得： 1立方分米＝1×1000＝1000立方厘米 1000÷1＝1000（个） 1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米 排成长方体的长为： 1×1000＝1000（厘米） 1000厘米＝1000÷100＝10米 即排成的长方体的长是10米。 故答案为：C 【考点剖析】本题利用大正方体的体积除以小正方体的体积可求出切割出的小正方体的总个数，据此求出小正方体的棱长，在解题的过程中，要注意单位之间的进率和换算。 高频考点讲练21：容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（20-21六年级下·江苏盐城·期末） 0.3m2＝( )dm2      4060毫升＝( )升      2时40分＝( )时 【答案】 30 4.06 【思路引导】0.3m2化成dm2数，用0.3乘进率1000； 4060毫升化成升数，用4600除以进率1000。 先把40分化成时数，用40除以进率60得时，再加2时即可。 【规范解答】0.3m2＝30dm2 ； 4060毫升＝4.06升； 2时40分＝时 【考点剖析】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率。 【变式训练】（21-22六年级上·安徽蚌埠·期末） 3.5立方米＝( )立方分米＝( )升；4800立方厘米＝( )升＝( )毫升。 【答案】 3500 3500 4.8 4800 【思路引导】高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000；立方分米与升是等量关系二者互化数值不变； 立方厘米与毫升是等量关系二者互化数值不变；低级单位毫升化高级单位升除以进率1000。 【规范解答】3.5立方米＝3500立方分米＝3500升；4800立方厘米＝4.8升＝4800毫升 【考点剖析】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻单位之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率。 高频考点讲练22：体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6.3升 （2）1970平方厘米 【思路引导】（1）已知长方体容器长35厘米、宽10厘米、水深18厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出水的体积，再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 （2）观察图形可知，水与容器接触的面是长方体的底面、前后面和左右面共5个面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是水与容器接触的面积。 【规范解答】（1）35×10×18 ＝350×18 ＝6300（立方厘米） 6300立方厘米＝6.3升 答：容器中水的体积是6.3升。 （2）35×10＋35×18×2＋10×18×2 ＝350＋1260＋360 ＝1970（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是1970平方厘米。 【变式训练】（23-24六年级上·江苏镇江·期末）小亮家有一个长方体玻璃鱼缸，从里面量长7分米，宽2分米，高5分米。 （1）一天，小亮不小心把鱼缸前面的玻璃打碎了。为了保护金鱼，需要把这个鱼缸倾斜一下盛水（如图所示），用这个坏的鱼缸，最多能盛水多少升？ （2）鱼缸修好后，妈妈重新注入了3.5分米深的水，小亮想往鱼缸里放入体积约20立方分米的鹅卵石、草等物体，鱼缸的水会不会溢出来？请计算说明理由。 【答案】（1）35升 （2）不会 【思路引导】（1）从图中可知，用这个坏的鱼缸，最多能盛水的体积是原来的一半；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出原来长方体玻璃鱼缸的容积，再除以2，即是用这个坏的鱼缸最多能盛水的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1升。 （2）根据题意可知，鱼缸高5分米，往鱼缸里注入3.5分米深的水，则鱼缸没有装满水，无水部分是一个长7分米，宽2分米，高（5－3.5）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出鱼缸无水部分的体积； 小亮想往鱼缸里放入体积约20立方分米的鹅卵石、草等物体，如果放入物体的体积等于或小于鱼缸无水部分的体积，那么水不会溢出；反之，如果放入物体的体积大于鱼缸无水部分的体积，那么水会溢出。 【规范解答】（1）7×2×5÷2 ＝70÷2 ＝35（立方分米） 35立方分米＝35升 答：最多能盛水35升。 （2）7×2×（5－3.5） ＝14×1.5 ＝21（立方分米） 20＜21 答：鱼缸的水不会溢出来。 【实战演练1】（2021·江苏无锡·小升初真题）如图，一块长方形的铁皮，长40厘米，宽30厘米。在其四个角上各剪去一个边长5厘米的正方形，然后将四周凸出部分折起，可以围成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子的容积是多少立方厘米？合多少升？ 【答案】3000立方厘米；3升 【思路引导】围成无盖的长方体盒子的长是40－5×2＝30厘米，宽是30－5×2＝20厘米，高是5厘米，再利用长方体的体积公式进行计算即可。据此解答。 【规范解答】40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 30×20×5 ＝600×5 ＝3000（立方厘米） 3000立方厘米＝3升 答：这个长方体盒子的容积是3000立方厘米，合3升。 【考点剖析】掌握长方体的体积计算公式是解答本题的关键。 【实战演练2】（2021·江苏无锡·小升初真题） 3千克60克＝ 千克        800平方千米＝ 公顷 5时45分＝ 时        4.5立方米＝ 立方分米 【答案】 3.06 80000 5.75 4500 【思路引导】根据1千克＝1000克，将60克换算成千克，除以进率1000，再加3千克； 根据1平方千米＝100公顷，将800平方千米换算成公顷，乘进率100； 根据1小时＝60分，将45分换算成小时，除以进率60，再加5时； 根据1立方米＝1000立方分米，将4.5立方米换算成立方分米，乘进率1000。 【规范解答】3千克60克＝3.06千克    800平方千米＝80000公顷 5时45分＝5.75时    4.5立方米＝4500立方分米 【考点剖析】熟练掌握质量单位，面积单位，时间单位，体积单位之间的换算，是解答此题的关键。 【实战演练3】（2021·江苏扬州·小升初真题）小刚在花鸟市场买了一个长方体鱼缸（无盖），他从前面测得长是4分米，宽是2分米，从右面测得长是3分米，宽是2分米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果在鱼缸内注入20升水，那么水的高度是多少分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】（1）40平方分米 （2）分米 【思路引导】（1）从前面测得长是4分米，宽是2分米，根据长方体的认识可知，前面的长方形的长对应长方体的长，长方形的宽对应长方体的高，即长方体的长是4分米，高是2分米，由于从右面测得长是3分米，宽是2分米，这个长方形的长对应长方体的宽，长方形的宽对应长方体的高，由此即可知道长方体的长是4分米，宽是3分米，高是2分米，鱼缸的表面积：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求解； （2）由于注入20升水，则水的体积是20升，1升＝1立方分米，即20升＝20立方分米，根据长方体的体积公式：底面积×高，把数代入即可求出水的高度。 【规范解答】（1）由分析可知：长方体的长是4分米，宽是3分米，高是2分米。 4×3＋（4×2＋3×2）×2 ＝12＋（8＋6）×2 ＝12＋14×2 ＝12＋28 ＝40（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要40平方分米的玻璃。 （2）20升＝20立方分米 20÷（4×3） ＝20÷12 ＝（分米） 答：水的高度是分米。 【考点剖析】本题主要考查长方体的表面积公式以及体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 【实战演练4】（2021·江苏无锡·小升初真题）下面是一个长方体的展开图。 （1）如果底面数字是1，那么数字( )在上面。 （2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字( )在上面。 （3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是( )。 【答案】 5 6 15 【思路引导】根据长方体的特点：相对的面完全相同，题干中，1和5相对，2和6相对，3和4相对；相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大则是相邻的三个面4、5、6之和，据此解答。 【规范解答】由分析得： （1）如果底面数字是1，那么数字5在上面。 （2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字6在上面。 （3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是： 4＋5＋6 ＝9＋6 ＝15 【考点剖析】此题考查的是长方体的展开图的应用，掌握长方体的展开图并能够根据展开图想象拼接是解题关键。 【实战演练5】（2023·江苏淮安·小升初真题）如果将下面的长方形铝片从四个角上分别剪去一个小正方形，剩下部分可以焊接成一个无盖的长方体容器．做成的长方体容器的容积最大是多少毫升？（正方形的边长取整厘米数，铝片的厚度不计） 【答案】192毫升 【规范解答】解：设剪去的小正方形边长为xcm，则焊接成的容器体积可表示为（20-2x）（10-2x）xcm3 当x=1时，体积=（20-2×1）（10-2×1）×1=144 cm3 当x=2时，体积=（20-2×2）（10-2×2）×2=192 cm3 当x=3时，体积=（20-2×3）（10-2×3）×3=168 cm3 当x=4时，体积=（20-2×4）（10-2×4）×4=96 cm3 综上，当正方形边长为2厘米时做成的长方体容器的容积最大．最大容积：192 cm3=192毫升． 答：做成的长方体容器的容积最大是192毫升． 基础夯实 能力提升 1．（2025六年级下·全国·专题练习）将下面形状的硬纸片沿虚线折叠，能围成一个正方体的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】正方体展开图有11种特征，分四种类型即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放 1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放了个正方形，第三行放2个正方形。我们需要根据这些特征来判断每个选项能否围成正方体。 【规范解答】A.不符合正方体展开图的11种特征中的任何一种。我们可以想象将其沿虚线折叠，会发现无法拼成一个完整的正方体。 B.看到选项B的图形，它属于“1－4－1”结构。按照正方体展开图的折叠方法，沿虚线折叠后可以围成一个正方体。 C.不符合正方体展开图的11种特征中的任何一种。现无法拼成一个完整的正方体。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·安徽合肥·期中）观察下图，如果拿走一个小正方体，下列表述正确的是（    ）。 A．体积和表面积都变小 B．体积变小，表面积变大 C．体积变小，表面积不变 【答案】C 【思路引导】本题考查的是体积和表面积的定义。体积是指物体所占空间的大小，表面积是指物体能摸到的所有面的面积和，依此来解答本题。 【规范解答】因为从长方体上挖去小正方体，物体所占空间的大小发生了改变，变小了； 因为是从一个顶点上挖去一个小正方体，虽然少了原来小正方体的3个面，但是增加了新的3个面，并且面积相等，所以表面积不变。 故答案为：C 3．（2021六年级上·江苏·专题练习）一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（    ）是6立方米。一个正方体木箱的占地面积是指木箱的（    ）。（    ） A．体积，表面积 B．容积，底面积 C．表面积，体积 D．底面积，容积 【答案】B 【思路引导】容器所能容纳物体体积的大小是容器的容积；占地面积指的是底面积的大小，据此选择。 【规范解答】由分析可知，一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的容积是6立方米。一个正方体木箱的占地面积是指木箱的底面积。 故选择：B 【考点剖析】此题主要考查对容积、体积、表面积和底面积的认识，掌握概念认真选择即可。 4．（24-25六年级上·海南海口·期末）将下图沿虚线折成一个正方体，这个正方体的6号面的对面是( )号面。 【答案】2 【思路引导】正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等。正方体的展开图折成正方体时，相对的面不相邻。想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【规范解答】把正方体展开图折成一个正方体，可以想象成：3是下面，2是后面，1是左面，4是右面，5是上面，6是前面。 所以，这个正方体的6号面的对面是2号面。 5．（24-25六年级上·江苏·课后作业）棱长1分米的正方体与棱长( )厘米的正方体体积相等。1立方分米＝( )立方厘米。 【答案】 10 1000 【思路引导】根据1分米＝10厘米，高级单位转化为低级单位乘进率。再根据正方体的体积＝，分别求出棱长1分米和棱长10厘米正方体的体积，进而得出立方分米与立方厘米的关系。 【规范解答】1分米＝10厘米 1×1×1＝1（立方分米） 10×10×10＝1000（立方厘米） 因此，棱长1分米的正方体与棱长10厘米的正方体体积相等。1立方分米＝1000立方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长和宽都是5分米，高4分米，在里面倒入高3分米的水，与水接触的玻璃的面积是( )平方分米。 【答案】85 【思路引导】求鱼缸玻璃和水的接触面积，实际上就是求由水组成的长5分米、宽5分米、高3分米的长方体的5个面的面积，再结合长方体表面积的计算公式即可求解。 【规范解答】（5×3＋5×3）×2＋5×5 ＝（15＋15）×2＋5×5 ＝30×2＋5×5 ＝60＋25 ＝85（平方分米） 则与水接触的玻璃的面积是85平方分米。 7．（24-25六年级上·江苏·课后作业）做一节长1.2米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮( )平方厘米。 【答案】4800 【思路引导】求铁皮的面积就是求长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此进行计算即可。 【规范解答】1.2米＝120厘米 10×4×120 ＝40×120 ＝4800（平方厘米） 则至少需要铁皮4800平方厘米。 8．（24-25六年级上·江苏·假期作业）如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，求它的体积。 【答案】 【思路引导】此图属于长方体展开图的“”型。 根据图中已知条件，高是11dm，长＋高＝18dm，即长＝18－高；同理长×2＋宽＝17dm，可以得出宽＝17－长×2；折成长方体的长、宽、高分别是7dm、3dm、11dm，根据长方体的体积计算公式即可解答。 【规范解答】 它的体积是。 9．（24-25六年级上·江苏·课后作业）波妞把送给外婆的礼物包装盒捆扎起来，如果打结处彩带长20厘米（如图）。一共需要彩带多少厘米？ 【答案】130厘米 【思路引导】观察上图可知，彩带的长度＝长方体的长×2＋长方体的宽×2＋长方体的高×4＋打结处彩带长度，代入数据进行解答即可。 【规范解答】25×2＋18×2＋6×4＋20 ＝（25＋18）×2＋6×4＋20 ＝43×2＋24＋20 ＝86＋24＋20 ＝110＋20 ＝130（厘米） 答：一共需要彩带130厘米。 10．（24-25六年级上·江苏苏州·阶段练习）体育馆要建一个长40米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在它的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）沿游泳池的内壁1.5米高处用白漆画一圈水位线，水位线全长多少米？ （4）当游泳池注入1600立方米的水时，水深多少米？ 【答案】（1）1000平方米 （2）1260平方米 （3）130米 （4）1.6米 【思路引导】（1）占地面积指的是底面积，占地面积＝长×宽，据此列式解答； （2）游泳池的深相当于长方体的高，贴瓷砖的面积＝底面积＋长×深×2＋宽×深×2，据此列式解答； （3）水位线全长等于游泳池底面周长，水位线全长＝（长＋宽）×2，据此列式解答； （4）水深相当于长方体的高，根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【规范解答】（1）40×25＝1000（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1000平方米。 （2）1000＋40×2×2＋25×2×2 ＝1000＋160＋100 ＝1260（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1260平方米。 （3）（40＋25）×2 ＝65×2 ＝130（米） 答：水位线全长130米。 （4）1600÷1000＝1.6（米） 答：水深1.6米。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）把一张A4纸（长约30厘米、宽21厘米）从四个角各剪去一个相同的正方形，可以折成一个无盖的长方体纸盒。下面哪一种剪法折成的纸盒容积最大？（    ） A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】B 【思路引导】在长方形纸的四个角上各剪去一个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒，那么这个无盖长方体纸盒的长等于长方形的长减去2个正方形的边长，长方体的宽等于长方形的宽减去2个正方形的边长，高等于正方形的边长；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，代入数据计算，即可求出纸盒的容积，再比较大小即可。 【规范解答】①（30－3－3）×（21－3－3）×3 ＝24×15×3 ＝1080（立方厘米） ②（30－4－4）×（21－4－4）×4 ＝22×13×4 ＝1144（立方厘米） ③（30－6－6）×（21－6－6）×6 ＝18×9×6 ＝972（立方厘米） 1144＞1080＞972 图②的剪法折成的纸盒容积最大。 故答案为：B 12．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个这样的小正方体。 A．4 B．27 C．8 D．64 【答案】C 【思路引导】要用小正方体拼成大正方体，那么大正方体的每条棱上至少有两个小正方体。可以从正方体体积公式的角度去考虑，小正方体体积为棱长的立方，大正方体体积也是棱长的立方，且大正方体体积等于小正方体体积之和，逐一分析各个选项，据此解答。 【规范解答】A．4个小正方体拼在一起，只能组成一个长方体，无法组成大正方体，不符合题目要求。 B．27个小正方体可以拼成一个大正方体，但不是至少需要的数量，至少需要的是8个小正方体，不符合题目要求。 C．8个小正方体时，大正方体棱长为小正方体棱长的2倍，此时可以拼成一个大正方体，且是满足拼成大正方体的最少数量，符合题目要求。 D．64个小正方体能拼成一个大正方体，但数量多于至少需要的8个小正方体，不符合题目要求。 故答案为：C 13．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）沛县中学百年校庆活动中，为嘉宾准备了棱长为2分米的正方体礼品盒，要把这些礼品盒放在一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体纸箱中，一个纸箱最多可以放（    ）个礼品盒。 A．30 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【思路引导】首先考虑长方体纸箱的长、宽、高与正方体礼品盒棱长的关系。分别计算长方体纸箱的长、宽、高分别能容纳几个正方体礼品盒的棱长。然后将三者容纳的个数相乘，即可得到一个纸箱最多能放的礼品盒数量。 【规范解答】长能容纳的正方体礼品盒数量：8÷2＝4 宽能容纳的正方体礼品盒数量：6÷2＝3 高能容纳的正方体礼品盒数量：5÷2＝2……1 4×3×2＝24（个） 一个纸箱最多可以放24个 故答案为：B 14．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一款电冰箱的冰冻室是一个长方体，从里面量长是40厘米，宽和高都是35厘米，冷冻室的容积是( )升。 【答案】49 【思路引导】根据题意，结合长方体的体积公式：长×宽×高，计算出冰冻室的体积，再换算单位即可。 【规范解答】40×35×35 ＝1400×35 ＝49000（立方厘米） 1升=1立方分米 1立方分米=1000立方厘米 49000立方厘米＝49立方分米＝49升 所以冷冻室的容积49升。 15．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一块高1.5m的长方体大理石，体积是30，它的底面积是( )。 【答案】2 【思路引导】根据题意，先换算单位，1.5m＝15dm，结合长方体的体积公式：底面积×高，代入数据计算即可。 【规范解答】1.5m＝15dm 30÷15＝2（） 所以它的底面积是2。 16．（24-25六年级上·江苏·课后作业）用4个完全相同的小长方体积木拼出不同的图形（如图），这些图形的( )不变，( )在发生变化。（填序号） ①表面积   ②体积     ③容积 【答案】 ② ① 【思路引导】根据体积、表面积容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积；长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积；能容纳物体的体积叫做容积。无论如何拼，所拼图形的体积都等于4个长方体的体积和，但4个长方体有的面会被挡住，所以表面积就会发生改变。由此可知：用4个完全相同的小长方体积木拼成不同的图形，体积不变，表面积变化了。据此解答。 【规范解答】据分析可知，用4个完全相同的小长方体积木拼成不同的图形，这些图形的②不变，①在发生变化。（填序号） ①表面积 ②体积 ③容积 17．（23-24五年级下·河南开封·期中）求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）     【答案】280平方厘米，300立方厘米； 232平方厘米，224立方厘米 【思路引导】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出第一个图形的表面积和体积；第二个图形的体积等于两个正方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入求解即可，第二个图形的表面积＝一个棱长为6厘米的正方体表面积＋一个棱长为2厘米的正方体表面积－2个边长为2厘米的小正方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可求出第二个图形的表面积。 【规范解答】（10×6＋10×5＋6×5）×2 ＝（60＋50＋30）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 10×6×5＝300（立方厘米） 长方体的表面积是280平方厘米，体积是300立方厘米； 6×6×6＋2×2×2 ＝216＋8 ＝224（立方厘米） 6×6×6＋2×2×6－2×2×2 ＝216＋24－8 ＝232（平方厘米） 第二个图形的表面积是232平方厘米，体积是224立方厘米。 18．（23-24六年级上·江苏常州·期中）妈妈买了一个四层书架，如图。书架外包装标明“书架尺寸：6分米×4分米×20分米”。做这个书架，至少需要木板多少平方分米？（木板材质相同，厚度忽略不计） 【答案】400平方分米 【思路引导】由图可知，需要木料的面积包含5个长×宽的面，2个宽×高的面，1个长×高的面，把这些面的面积全部相加即可。 【规范解答】6×4×5＋4×20×2＋6×20 ＝120＋160＋120 ＝400（平方分米） 答：至少需要木板400平方分米。 19．（23-24六年级上·安徽合肥·期中）中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯框架，棱长是多少分米？ 【答案】4分米 【思路引导】长方体花灯框架长、宽、高分别为4分米、3分米、5分米，则这个长方体花灯框架棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，计算出棱长总和；根据正方体棱长总和＝棱长×12，据此计算得出答案。 【规范解答】（4＋3＋5）×4÷12 ＝12×4÷12 ＝4（分米） 答：棱长是4分米。 20．（23-24六年级上·江苏常州·期中）“生鲜快递”APP运送海鲜时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱，从外面量，长是56厘米，宽是36厘米，高是29厘米。已知泡沫厚3厘米，这个泡沫箱的容积是多少立方分米？ 【答案】34.5立方分米 【思路引导】这个泡沫箱的容积是指从里面量长方体泡沫箱的体积，用从外面量的长、宽、高分别减去（3×2）厘米就是从里面量的长、宽、高，再根据长方体的体积＝长×宽×高解答即可。注意单位的换算。 【规范解答】56－3×2 ＝56－6 ＝50（厘米） 36－3×2 ＝36－6 ＝30（厘米） 29－3×2 ＝29－6 ＝23（厘米） 50×30×23 ＝1500×23 ＝34500（立方厘米） 34500立方厘米＝34.5立方分米 答：这个泡沫箱的容积是34.5立方分米。 $$2025-2026学年数学六年级上学期举一反三培优精讲练（苏教版） 姓名： 班级： 学号： 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第一单元 长方体和正方体 （知识梳理+22个考点讲练+真题演练+难度分层练 共69题） 【原卷版】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 目 录 资料简介 内容梳理 3 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 3 知识点梳理02：长方体和正方体的展开图 4 知识点梳理03：长方体、正方体的表面积计算 4 知识点梳理04：体积与体积单位 5 知识点梳理05：长方体和正方体的体积 5 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：长方体的认识及特征 5 高频考点讲练2：长方体有关棱长的应用 5 高频考点讲练3：正方体的特征 6 高频考点讲练4：正方体有关棱长的应用 6 高频考点讲练5：长方体的展开图 6 高频考点讲练6：正方体的展开图 7 高频考点讲练7：长方体表面积的计算 7 高频考点讲练8：长方体表面积的应用 8 高频考点讲练9：正方体表面积的计算 9 高频考点讲练10：正方体表面积的应用 9 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 10 高频考点讲练12：组合体的表面积（长方体、正方体） 10 高频考点讲练13：长方体的体积 10 高频考点讲练14：正方体的体积 11 高频考点讲练15：体积的等积变形（长方体、正方体） 12 高频考点讲练16：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 12 高频考点讲练17：组合体的体积（长方体、正方体） 13 高频考点讲练18：长方体、正方体的容积 13 高频考点讲练19：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 14 高频考点讲练20：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 15 高频考点讲练21：容积单位间的进率与换算（升和毫升） 15 高频考点讲练22：体积与容积单位间的进率及换算 16 升学真题 实战演练 17 能力分层 培优强化 18 基础夯实 能力提升 18 创新拓展 拔尖冲刺 20 同学你好，该份讲义用于苏教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5题小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 能力分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年长老易错真题、模拟题，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点梳理02：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点梳理03：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点梳理04：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点梳理05：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 高频考点讲练1：长方体的认识及特征 【典例精讲】（23-24五年级下·四川·课后作业）一个长方体的长是9dm，宽是8dm，高是6dm，它的下面的面的面积是( )dm2，表面积是( )dm2。 【变式训练】（23-24六年级上·河南平顶山·期末）老师为同学们准备了5厘米长的小棒2根，3厘米长的小棒5根，4厘米长的小棒9根。用这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 高频考点讲练2：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。 （1）那么正方体的棱长是多少分米？ （2）长方体的体积是多少立方分米？ 【变式训练】（20-21六年级上·江苏无锡·期中）做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架，至少需要（    ）长的铁丝。 A．28厘米 B．56厘米 C．126厘米 D．90厘米 高频考点讲练3：正方体的特征 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏连云港·期中）一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏·课后作业）长方体有( )个面，长方体的面是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面( )。长方体有( )条棱，相对的棱长度( )。长方体有( )个顶点。 高频考点讲练4：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】至少用( )个棱长2厘米的小正方体才能拼成一个大正方体，拼成的正方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练】（22-23六年级上·江苏南通·期末）棱长总和6分米的正方体，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 高频考点讲练5：长方体的展开图 【典例精讲】（23-24六年级上·河南新乡·期末）下图是一个长方体展开图中的四个面，请你画出其余两个面，使它成为一个完整的展开图，并求出它的表面积。 【变式训练】（23-24五年级下·广东清远·期中）如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。 高频考点讲练6：正方体的展开图 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）在图中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（22-23六年级上·河南平顶山·期末）一个正方体纸盒，每个面都写有一个汉字，下图是它的展开图，在这个正方体中，与“自”字相对的字是（    ）。    A．力 B．成 C．功 高频考点讲练7：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·假期作业）在一张长25厘米，宽19厘米的长方形纸片上，将纸片上的阴影部分裁去后，剩下的部分恰好能沿虚线折叠成一个体积为180立方厘米的长方体，那么该长方体的表面积为多少平方厘米？（请写出具体步骤） 【变式训练】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）将三个完全相同的正方体拼成一个长方体（如图），表面积是84平方厘米，一个正方体的表面积是( )平方厘米。 高频考点讲练8：长方体表面积的应用 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个长方体食品盒（如图），长8厘米，宽8厘米，高15厘米。如果沿食品盒的四周贴满一圈商标纸，商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 【变式训练】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体饼干盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米，现在要在它的四周贴上商标纸，至少需要商标纸多少平方分米？ 高频考点讲练9：正方体表面积的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·湖南永州·期末）三个大小相同的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，求原来一个正方体的表面积是( )平方分米。 【变式训练】（23-24六年级上·江苏·课后作业）下边的长方体和正方体都是用棱长1厘米的正方体摆成的。它们的表面积和体积各是多少？ 高频考点讲练10：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·课后作业）用铁皮焊一个棱长3分米的正方体无盖铁桶，至少需要铁皮多少平方分米？ 【变式训练】（22-23五年级下·甘肃金昌·期末）如图是一个棱长为10分米的大正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏南通·期中）把一根1.5米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加24平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。 【变式训练】（23-24六年级上·安徽合肥·期中）把一个棱长8cm的正方体，切成3个体积相等且形状相同的小长方体，多了( )个面，表面积增加了( )。 高频考点讲练12：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。至少再添( )个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 【变式训练】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 高频考点讲练13：长方体的体积 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏常州·期中）如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练】（2024五年级下·全国·专题练习）如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 高频考点讲练14：正方体的体积 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·课后作业）张师傅用一条长96厘米的铁丝做成一个正方体框架，在这个框架的外面贴上一层彩色纸，至少需要( )的彩色纸。这个正方体的体积是( )。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏·课后作业）有一个正方体容器，从里面量棱长是20厘米，这个容器的容积是多少升？ 高频考点讲练15：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·全国·课后作业）一个长方体密闭玻璃容器，高20厘米，底面是边长为6厘米的正方形。 （1）竖着放时容器里的水的高度是15厘米，容器里的水有多少升？ （2）这个容器横着放时容器里的水又形成了一个长方体，这时水的高度是多少？（玻璃厚度忽略不计） 【变式训练】（22-23六年级上·湖南邵阳·期末）把一个棱长6分米的正方体容器里满容器的水倒入一个长8分米，宽5分米，高25分米的容器里，水深多少分米？ 高频考点讲练16：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·随堂练习）用1立方厘米的正方体摆成一些长方体（或正方体），说说它们的长、宽、高（或棱长）各是多少厘米，体积各是多少立方厘米？ 答：体积各是16立方厘米。 【变式训练】（22-23六年级上·江苏盐城·期中）如图，在一个长8分米、宽5分米、高6分米的木盒内，最多可以放(    )个棱长为2分米的小正方体木块。 A．24 B．28 C．30 D．240 高频考点讲练17：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏连云港·期中）如图，一个底面是正方形的长方体被截去一段，已知底面正方形的边长是5厘米，求这个图形的体积。 【变式训练】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A．增加了；没有变 B．没有变；减少了 C．减少了；增加了 D．无法确定 高频考点讲练18：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）刘林想做一个无盖的长方体观赏鱼缸，长8分米，宽6分米，高3分米。 (1)刘林需要选择 （写出序号），共需要 块玻璃。 (2)这个观赏鱼缸的容积是 立方分米。（玻璃厚度不计） 【变式训练】（24-25六年级上·江苏南通·期中）星期日，小明和小雨到小红家做客，小红拿出一瓶646毫升的饮料，分别倒入下边两个不同的杯子中（单位：厘米）。 高频考点讲练19：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 【变式训练】（23-24六年级上·江苏·课后作业）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 高频考点讲练20：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏南通·期末）在括号里填上合适的数或单位名称。 一个水桶的容积大约是12( )            5.8立方分米＝( )立方厘米 一张课桌的占地面积大约是24( )        720( )＝0.72( ) 【变式训练】（22-23六年级下·江苏淮安·期末）把1立方分米的正方体木块切成体积为1立方厘米的小正方体，然后把这些小正方体摆成一排，排成一个长方体，这个长方体的长是（    ）。 A．1分米 B．1米 C．10米 高频考点讲练21：容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（20-21六年级下·江苏盐城·期末） 0.3m2＝( )dm2      4060毫升＝( )升      2时40分＝( )时 【变式训练】（21-22六年级上·安徽蚌埠·期末） 3.5立方米＝( )立方分米＝( )升；4800立方厘米＝( )升＝( )毫升。 高频考点讲练22：体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】（23-24六年级上·江苏镇江·期末）小亮家有一个长方体玻璃鱼缸，从里面量长7分米，宽2分米，高5分米。 （1）一天，小亮不小心把鱼缸前面的玻璃打碎了。为了保护金鱼，需要把这个鱼缸倾斜一下盛水（如图所示），用这个坏的鱼缸，最多能盛水多少升？ （2）鱼缸修好后，妈妈重新注入了3.5分米深的水，小亮想往鱼缸里放入体积约20立方分米的鹅卵石、草等物体，鱼缸的水会不会溢出来？请计算说明理由。 【实战演练1】（2021·江苏无锡·小升初真题）如图，一块长方形的铁皮，长40厘米，宽30厘米。在其四个角上各剪去一个边长5厘米的正方形，然后将四周凸出部分折起，可以围成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子的容积是多少立方厘米？合多少升？ 【实战演练2】（2021·江苏无锡·小升初真题） 3千克60克＝ 千克        800平方千米＝ 公顷 5时45分＝ 时        4.5立方米＝ 立方分米 【实战演练3】（2021·江苏扬州·小升初真题）小刚在花鸟市场买了一个长方体鱼缸（无盖），他从前面测得长是4分米，宽是2分米，从右面测得长是3分米，宽是2分米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果在鱼缸内注入20升水，那么水的高度是多少分米？（玻璃厚度忽略不计） 【实战演练4】（2021·江苏无锡·小升初真题）下面是一个长方体的展开图。 （1）如果底面数字是1，那么数字( )在上面。 （2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字( )在上面。 （3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是( )。 【实战演练5】（2023·江苏淮安·小升初真题）如果将下面的长方形铝片从四个角上分别剪去一个小正方形，剩下部分可以焊接成一个无盖的长方体容器．做成的长方体容器的容积最大是多少毫升？（正方形的边长取整厘米数，铝片的厚度不计） 基础夯实 能力提升 1．（2025六年级下·全国·专题练习）将下面形状的硬纸片沿虚线折叠，能围成一个正方体的是（    ）。 A． B． C． 2．（24-25六年级上·安徽合肥·期中）观察下图，如果拿走一个小正方体，下列表述正确的是（    ）。 A．体积和表面积都变小 B．体积变小，表面积变大 C．体积变小，表面积不变 3．（2021六年级上·江苏·专题练习）一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（    ）是6立方米。一个正方体木箱的占地面积是指木箱的（    ）。（    ） A．体积，表面积 B．容积，底面积 C．表面积，体积 D．底面积，容积 4．（24-25六年级上·海南海口·期末）将下图沿虚线折成一个正方体，这个正方体的6号面的对面是( )号面。 5．（24-25六年级上·江苏·课后作业）棱长1分米的正方体与棱长( )厘米的正方体体积相等。1立方分米＝( )立方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长和宽都是5分米，高4分米，在里面倒入高3分米的水，与水接触的玻璃的面积是( )平方分米。 7．（24-25六年级上·江苏·课后作业）做一节长1.2米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮( )平方厘米。 8．（24-25六年级上·江苏·假期作业）如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，求它的体积。 9．（24-25六年级上·江苏·课后作业）波妞把送给外婆的礼物包装盒捆扎起来，如果打结处彩带长20厘米（如图）。一共需要彩带多少厘米？ 10．（24-25六年级上·江苏苏州·阶段练习）体育馆要建一个长40米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在它的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）沿游泳池的内壁1.5米高处用白漆画一圈水位线，水位线全长多少米？ （4）当游泳池注入1600立方米的水时，水深多少米？ 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）把一张A4纸（长约30厘米、宽21厘米）从四个角各剪去一个相同的正方形，可以折成一个无盖的长方体纸盒。下面哪一种剪法折成的纸盒容积最大？（    ） A．① B．② C．③ D．无法确定 12．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个这样的小正方体。 A．4 B．27 C．8 D．64 13．（23-24六年级上·江苏徐州·期中）沛县中学百年校庆活动中，为嘉宾准备了棱长为2分米的正方体礼品盒，要把这些礼品盒放在一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体纸箱中，一个纸箱最多可以放（    ）个礼品盒。 A．30 B．24 C．25 D．26 14．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一款电冰箱的冰冻室是一个长方体，从里面量长是40厘米，宽和高都是35厘米，冷冻室的容积是( )升。 15．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一块高1.5m的长方体大理石，体积是30，它的底面积是( )。 16．（24-25六年级上·江苏·课后作业）用4个完全相同的小长方体积木拼出不同的图形（如图），这些图形的( )不变，( )在发生变化。（填序号） ①表面积   ②体积     ③容积 17．（23-24五年级下·河南开封·期中）求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）     18．（23-24六年级上·江苏常州·期中）妈妈买了一个四层书架，如图。书架外包装标明“书架尺寸：6分米×4分米×20分米”。做这个书架，至少需要木板多少平方分米？（木板材质相同，厚度忽略不计） 19．（23-24六年级上·安徽合肥·期中）中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯框架，棱长是多少分米？ 20．（23-24六年级上·江苏常州·期中）“生鲜快递”APP运送海鲜时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱，从外面量，长是56厘米，宽是36厘米，高是29厘米。已知泡沫厚3厘米，这个泡沫箱的容积是多少立方分米？ $$