精品解析：2021年广东省广州市黄埔区华南师范大学附属初级中学中考一模数学试卷

2021年广东省广州市黄埔区华南师范大学附属初级中学中考一模数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 自2019年底，由新型冠状病毒引发的新冠肺炎席卷全球，截至2020年4月10日，全球共有185个国家或地区报告发现了确诊者，累积确诊约1600000人．将1600000科学记数法表示应为（ ） A. 160万 B. C. D. 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 经过长期努力学习，你会成为一名工程师 B. 抛出的篮球会下落 C. 打开电视机，正在直播 D. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 4. 在下列运算中，计算正确的是（ ） A. m2+m2＝m4 B. （m+1）2＝m2+1 C. （3mn2）2＝6m2n4 D. 2m2n÷（﹣mn）＝﹣2m 5. 如图，为的直径，为的弦，于E，下列说法错误的是（　　　） A. B. C. D. 6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 7. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 两实数根的和为2 C. 两实数根的差为 D. 两实数根的积为﹣4 9. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　) A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ． 13. 把抛物线y=2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______. 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝__°． 15. 已知扇形的圆心角为120°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，则扇形面积为____． 16. 如图，在中，，，点C 关于直线的对称点为D，E为边上不与点A，C重合的动点，连接，过点D作的垂线交于点F，则的值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：. 18. 先化简再从1，0，这三个数中选个合适的数作为的值代入求值． 19. 小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度． 20. 2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有________人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有________人． （2）请补全条形统计图． （3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）点为轴上一动点，试确定点并求出它的坐标，使最小； （3）利用函数图象直接写出关于的不等式的解集． 22. 如图，、是两座现代化城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，且城与城相距千米，城在城的正东方向，以为圆心，以千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物，现要在、两城市修建一条笔直的高速公路． （1）请你计算公路的长度（保留根号）； （2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁，并说明理由． 23. 已知，如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦AD的长． 24. 抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（xD，yD）为抛物线上一个动点，其中1＜xD＜3．连接AC，BC，DB，DC． （1）求该抛物线的解析式； （2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF． （1）求线段AE的长； （2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值； （3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年广东省广州市黄埔区华南师范大学附属初级中学中考一模数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 自2019年底，由新型冠状病毒引发的新冠肺炎席卷全球，截至2020年4月10日，全球共有185个国家或地区报告发现了确诊者，累积确诊约1600000人．将1600000科学记数法表示应为（ ） A. 160万 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：1600000＝1.6×106． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 经过长期努力学习，你会成为一名工程师 B. 抛出的篮球会下落 C. 打开电视机，正在直播 D. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、经过长期努力学习，你可能会成为一名工程师，也可能不会成为一名工程师，是随机事件，不符合题意； B、抛出的篮球会下落，是必然事件，符合题意； C、打开电视机，可能正在直播，也可能不在直播，是随机事件，不符合题意； D、从一批灯泡中任意拿一个灯泡，可能正常发光，也可能不正常发光，是随机事件，不符合题意； 故选B． 4. 在下列运算中，计算正确的是（ ） A. m2+m2＝m4 B. （m+1）2＝m2+1 C. （3mn2）2＝6m2n4 D. 2m2n÷（﹣mn）＝﹣2m 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算及完全平方公式即可计算并判断. 【详解】A. m2+m2＝2m2，故错误； B. （m+1）2＝m2+2m+1，故错误； C. （3mn2）2＝9m2n4，故错误； D. 2m2n÷（﹣mn）＝﹣2m，正确 故选D. 【点睛】此题主要考查整式的乘除运算，解题的关键是熟知运算法则及完全平方公式. 5. 如图，为的直径，为的弦，于E，下列说法错误的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理解题. 【详解】为的弦，于E， ，， 故选项A、B、D正确， 无法判断，故选项C错误， 故选：C 【点睛】本题考查垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可求得． 【详解】∵与点关于原点对称的点为， ∴点的坐标是：． 故选D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的对称性，掌握关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数是解题关键． 8. 关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 两实数根的和为2 C. 两实数根的差为 D. 两实数根的积为﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和根的判别式进行解答． 【详解】解：、△，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意． 、设方程的两个跟为，，则，故本选项符合题意． 、设方程的两个为，， 则， 故本选项不符合题意． 、设方程的两个根为，，则，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　) A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC=AB，又OA=OB=OC， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB为等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF=∠AOF=30°， 由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15° 故选B 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ， ∴b＝2a＜0， ∴abc＞0，故①abc＜0错误； 当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0， ∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确； ∵x＝﹣1时，y有最大值， ∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数）， 即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2）， 即x1＝1，x2＝﹣3， ∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确． 所以正确的是②④； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 13. 把抛物线y=2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______. 【答案】y＝2（x＋2）2﹣1 【解析】 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知,二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2−1， 由“上加下减”的原则可知,将二次函数y＝2x2−1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2(x＋2)2−1， 故答案是：y＝2(x＋2)2−1. 【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握规律是解题的关键. 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝__°． 【答案】140 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°， ∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BOD＝2∠C＝140°． 故答案为：140． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角与圆心角的关系定理，熟练掌握两个性质是解题的关键． 15. 已知扇形的圆心角为120°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，则扇形面积为____． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：设扇形半径为r,根据题意得：弧长 ,解得：r=15.所以扇形面积为： 故答案为. 考点：扇形． 16. 如图，在中，，，点C 关于直线的对称点为D，E为边上不与点A，C重合的动点，连接，过点D作的垂线交于点F，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，涉及正弦、相似三角形的判定与性质、轴对称等知识．设交于点M，交于点N，交于点J，设，利用等积法解得的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例解题即可． 【详解】解：如图， ∵，， 设， ∵点C 关于直线的对称点为D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算：. 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝2﹣2×++1 ＝3． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18. 先化简再从1，0，这三个数中选个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，0． 【解析】 【分析】先按照分式运算法则进行化简，再选一个使分式有意义的数代入求值即可． 【详解】解：， =， =， =， =， 当的值为1和0时，原分式无意义，故， 把代入，原式==． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值时要使原分式有意义． 19. 小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度． 【答案】金色纸边的宽度为5cm． 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm， 根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400， 解得：x1=-70（不符合题意，舍去），x2=5． 答：金色纸边的宽度为5cm． 考点：一元二次方程的应用． 20. 2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有________人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有________人． （2）请补全条形统计图． （3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）40；320； （2）补全条形统计图如下： （3）恰好抽到2名男生的概率为 【解析】 【分析】（1）根据“不了解”的人数除以其所占调查人数的百分比即可求出调查人数，求出“比较了解”的人数，然后求出“比较了解”人数所占百分比再乘800即可； （2）根据“比较了解”的人数补全条形统计图即可； （3）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式求概率即可． 【详解】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷10%=40（人） “比较了解”的人数有40－14－6－4=16 估计该校800名学生中“比较了解”的学生有×800=320（人） 故答案为：40；320； （2）略 （3）树状图如下所示 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的可能有6种 ∴恰好抽到2名男生的概率为6÷12=． 【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息并掌握利用树状图求概率是解题关键． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）点为轴上一动点，试确定点并求出它的坐标，使最小； （3）利用函数图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入即可求出，把代入即可求出得到，把，代入即可求得一次函数解析式； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长度就是的最小值，求出直线与轴的交点即为点的坐标； （3）由函数的图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， 反比例函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ， 把，代入得：， 解得：， 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 由轴对称的性质可得：，，则的长度就是的最小值， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ； 【小问3详解】 解：观察图象可得： 关于的不等式的解集为：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式、轴对称的性质、一次函数与反比例函数综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 22. 如图，、是两座现代化城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，且城与城相距千米，城在城的正东方向，以为圆心，以千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物，现要在、两城市修建一条笔直的高速公路． （1）请你计算公路的长度（保留根号）； （2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁，并说明理由． 【答案】（1）； （2）不可能，因为，所以不可能对文物古迹造成损毁． 【解析】 【分析】（）根据题意知中，，，，求长； （）作于点，通过解直角三角形求解，比较与的大小得出结论； 本题考查了方位角和解直角三角形，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 【小问1详解】 解：作于点， 在中， ，， 在中，， ∴（）； 【小问2详解】 不可能， ∵， ∴不可能对文物古迹造成损毁． 23. 已知，如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦AD的长． 【答案】 （1）证明：如图连接OA． ∵，OC＝CB， ∴AC＝OC＝CB， ∴∠OAB＝90°， ∴AB是⊙O的切线． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接OA，由，OC＝CB，证明，再证明 即可得到结论； （2）连接OD，由 证明 结合 利用勾股定理可得答案． 【详解】（1） 略 （2）解：连接OD． ∵∠DOA＝2∠DCA，∠DCA＝45°， ∴∠DOA＝90°， ∵OD＝OA＝OC＝2， ∴ 【点睛】本题考查的是圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的定义与性质，三角形的内角和定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 24. 抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（xD，yD）为抛物线上一个动点，其中1＜xD＜3．连接AC，BC，DB，DC． （1）求该抛物线的解析式； （2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点D坐标（2，3）；（3）M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据解析式先求出△AOC的面积，设点D（xD，yD），由直线BC的解析式表示点E的坐标，求出DE的长，再由△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍，列出关于xD 的方程得到点D的坐标； （3）设点M（m，0），点N（x，y），分两种情况讨论：当BD为边时或BD为对角线时，列中点关系式解答. 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，过点D作DH⊥x轴，与直线BC交于点E， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，与y轴交于点C， ∴点C（0，3）， ∴OC＝3， ∴S△AOC＝×1×3＝， ∵点B（3，0），点C（0，3） ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3， ∵点D（xD，yD）， ∴点E（xD，﹣xD+3），yD＝﹣xD2+2xD+3， ∴DE＝﹣xD2+2xD+3﹣（﹣xD+3）＝﹣xD2+3xD， ∴S△BCD＝3＝×DE×3， ∵△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍 ∴2＝﹣xD2+3xD， ∴xD＝1（舍去），xD＝2， ∴点D坐标（2，3）； （3）设点M（m，0），点N（x，y） 当BD为边，四边形BDNM是平行四边形， ∴BN与DM互相平分， ∴， ∴y＝3， ∴3＝﹣x2+2x+3 ∴x＝2（不合题意），x＝0 ∴点N（0，3） ∴， ∴m＝1， 当BD为边，四边形BDMN是平行四边形， ∴BM与DN互相平分， ∴， ∴y＝﹣3， ∴﹣3＝﹣x2+2x+3 ∴x＝1±， ∴， ∴m＝±， 当BD为对角线， ∴BD中点坐标（，）， ∴， ， ∴y＝3， ∴3＝﹣x2+2x+3 ∴x＝2（不合题意），x＝0 ∴点N（0，3） ∴m＝5， 综上所述点M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，动线、动图形与抛物线的结合问题，在（3）使以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，要分情况讨论：当BD为边时或BD为对角线时，不要有遗漏，平行四边形的性质：对角线互相平分，列中点坐标等式求得点M的坐标. 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF． （1）求线段AE的长； （2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值； （3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值． 【答案】（1）4 （2） （3）4或8 【解析】 【分析】（1）由AAS证得△ABE≌△ABO，即可得出结果； （2）设BO＝x，则AB＝x＋2，在Rt△ABO中，由AO2＋OB2＝AB2，解得x＝3，则OB＝BE＝3，AB＝5，证明△BFA∽△AFC，得出＝＝，设EF＝x，则AF＝4＋x，BF＝（4＋x），由在Rt△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，解得x＝，即EF＝，由tan∠AFC＝即可得出结果； （3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，则∠ADE＝∠FDE，得出BD垂直平分AF，则EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，证明∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，得出AG＝AE＝4，则EF＝FH＝OG＝AO＋AG＝8． 【小问1详解】 解：∵点A（0，4）， ∴AO＝4， ∵AD是⊙Q的直径， ∴∠AEB＝∠AED＝90°， ∴∠AEB＝∠AOB＝90°， ∵BA垂直平分CD， ∴BC＝BD ∴∠ABO＝∠ABE 在△ABE和△ABO中， ， ∴△ABE≌△ABO（AAS） ∴AE＝AO＝4； 【小问2详解】 解：设BO＝x，则AB＝x+2， 在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2， 解得：x＝3， ∴OB＝BE＝3，AB＝5， ∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠EAB＝∠ACB， ∵∠BFA＝∠AFC， ∴△BFA∽△AFC ∴＝＝， 设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x）， ∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2， ∴32+x2＝[（4+x）]2， 解得：x＝，即EF＝， ∴tan∠AFC＝＝＝； 【小问3详解】 解：①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE， ∴∠ADE＝∠FDE， ∴BD垂直平分AF， ∴EF＝AE＝4； ②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE， ∴AB∥DF， ∴∠ADF＝∠CAB＝90°， ∴DF相切⊙Q， ∴∠DAE＝∠FDE， 设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示： 则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形， ∴OG＝FH， ∵△ABE≌△ABO， ∴∠OAB＝∠EAB， ∵AB⊥AD， ∴∠DAE＝∠CAO， ∵∠CAO＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH， ∴AG＝AE＝4， ∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8， 综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8． 【点睛】本题是圆综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质、勾股定理等知识；是一道常见中考几何综合题和几何压轴题，熟练掌握并运用所学性质定理和判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $