广西壮族自治区崇左市扶绥县渠黎镇第三初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年渠黎三中九年级数学上册10月月考试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，用数学的眼光观察下列垃圾分类标识的图案，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（ ）． A．（2，－3） B．（－2，3） C．（2，3） D．（－2，－3） 4．为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费7000万元，预计到2020年投入2.317亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．7000（1+x2）＝23170 B．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170 C．7000（1+x）2＝23170 D．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝2317 5．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝（   ） A．35° B．45° C．60° D．70° 6．如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3 8．关于x的方程的两根为－2和3，则m＋n的值为 A．1 B．－7 C．－5 D．－6 9．如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（  ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（    ）    A．（1，0） B．（0，0） C．（-1，2） D．（-1，1） 12．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13．已知点，那么它关于原点的对称点坐标为____________． 14．如果（a﹣1）x|a|+1+6＝0是关于x的一元二次方程，那么a＝_____ 15．建设美图城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，则所列方程为______． 16．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ____________________．    三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17．（8分）用适当的方法解方程： (1)； (2)； 18．（10分）如图所示，的三个顶点在格点上，分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转度的； (3)求（2）中，点旋转到经过的路径长． 19．（10分）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． (1)求证：； (2)若，，．求的度数． 20．（10分）如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线： (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积． 21．（10分）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 22．（12分）定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”： ； (2)求证：关于的“经典方程”必有实数根； (3)如下图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 23．（12分）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年渠黎三中九年级数学上册10月月考试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C C C B B B B 题号 11 12 答案 C B 1．A 【分析】根据中心对称图形的定义即可选出答案． 【详解】根据在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．可得A正确，符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟记定义并会看图． 2．D 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答：一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、不是整式方程，故错误； B、方程含有两个未知数，故错误； C、方程二次项系数可能为0，故错误； D、符合一元二次方程的定义，正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．D 【详解】试题分析：已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴． 解：是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-2，-3）． 故答案为（-2，-3）． 考点：二次函数的性质． 4．C 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），如果设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，再根据“2018年投入7000万元”可得出方程． 【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则2020年的投入为7000（1+x）2＝23170 由题意，得7000（1+x）2＝23170. 故选C． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1＋x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 5．C 【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是90°可求得∠CAD，从而求出∠BAD，再根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接AD． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）； 在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠1=30°， ∴∠DAB=60°； 又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等）， ∴∠2=60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理．解答此题的关键是借助辅助线AD，得出△ACD是直角三角形，然后根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DAB=60°． 6．C 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，然后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数是解题的关键． 7．B 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；利用y随x的增大而增大，可判断y2＜y3，根据二次函数图象的对称性可判断y1＞y3；于是y1＞y3＞y2． 【详解】解：A（，y2），B（2，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵＜2，故y2＜y3， 根据二次函数图象的对称性可知，C（﹣，y1）中，|﹣﹣1|＞|2﹣1|， 故有y1＞y3； ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 8．B 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可求出m和n的值，然后代入到m＋n计算即可． 【详解】解∶ ∵-2+3=-m， ∴m=-1． ∵-2×3=n， ∴n=-6， ∴m+n=-1+(-6)=-7． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：， ． 9．B 【分析】设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设行车通道的宽度为． 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 10．B 【分析】本题考查的是一次函数图象与二次函数图象共存问题，根据一次函数与二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵当时，， ∴一次函数的图象过定点，故A，C不符合题意； B、由二次函数的图象可得：，顶点在y轴的负半轴上，由一次函数的图象可得：，图象与y轴的正半轴相交，，故此选项符合题意； D、由二次函数的图象的开口可得： ，由一次函数的图象可得： ，的范围不一致，故此选项不符合题意 故选B． 11．C 【分析】根据其中一个三角形是由另一个三角形绕着某点旋转一定的角度得到的，那么对应点到旋转中心的距离相等，找出这个点即可． 【详解】解：如图所示，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只有（-1，2）点到三角形的三顶点距离相等，故（-1，2）是图形的旋转中心， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转中心到对应点的距离相等，是解决问题的关键． 12．B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据抛物线的对称轴即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，则①正确； 抛物线与x轴没有交点， ，则②错误； 由图得：抛物线的对称轴为：， 即：，故③错误； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有2个， 故选B． 13． 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标变为原坐标的横坐标和纵坐标的相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟知该特征是解题的关键． 14．-1 【分析】直接利用绝对值的性质以及一元二次方程的定义分析得出答案． 【详解】∵（a﹣1）x|a|+1+6＝0是关于x的一元二次方程， ∴|a|+1＝2，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键． 15． 【分析】根据利用2021年投入资金金额=2019年投入资金金额，即可得出关于x的一元二次方程 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 16． 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，把求的最值转化为求的最值是关键；确定点M的运动路径；延长到E，使，连接，交于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本性质即可求得线段长度的取值范围． 【详解】解：∵， ∴在以B为圆心4为半径的圆上运动； ∵四边形为矩形， ∴； 延长到E，使，连接，交于点F、G； ∵N为的中点， ∴； 当M与F重合时，最小，且最小值为长；当M与G重合时，最大，且最大值为长； ∵，， ∴； ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， 则线段长度的取值范围是．    故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）用直接开方法解决即可； （2）用公式法解决即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 18．(1) 如图所示：即为所求： (2) 如图所示：，即为所求： (3)点旋转到经过的路径长为 【分析】（1）分别作出的三个顶点关于原点成中心对称的对称点，再顺次连接即可． （2）分别作出的三个顶点绕点逆时针旋转度的点，再顺次连接即可． （3）由题意可得旋转到经过的路径长为：以为圆心，和为半径，圆心角为的扇形弧长，再由勾股定理可得，代入弧长公式即可． 【详解】（1）解：∵的三个顶点分别为，，， ∴的三个顶点分别为，，； （2）略 （3）解：由题意可得旋转到经过的路径长为：以为圆心，和为半径，圆心角为的扇形弧长， 结合网格和图形，由勾股定理可得， ∴， ∴点旋转到经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查关于原点中心对称，旋转作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．(1) 证明：是等边三角形， ， 由旋转可知， ， ， 在和中， ， ∴， ； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由旋转可知，，结合等边三角形的性质，证明，可得结论； （2）连接，作垂直于，交的延长线于，由旋转可知，是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形，则， ， ， ，， ， ， ∴， ， ∴． 20．(1) 证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． (2)阴影部分面积为 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接，可证明四边形是正方形，则，，设，则，，由勾股定理得，求得，则． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， 设， ，，， ，且，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 阴影部分面积为． 21．(1) (2)将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量(售价进价)，列出平均每天的销售利润 (元)与销售价 (元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】（1）解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意得 ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元． 22．(1)或 (2) 证明：∵， ∴， ∴关于的“经典方程”必有实数根； (3) 【分析】（1）根据“经典方程”直接求解即可得到答案； （2）根据结合判别式化简为完全平方公式直接证明即可得到答案； （3）过作的垂线，分别交、于点E、F，根据得到，，从而得到即可得到，得到，最后结合圆周角定理即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵， ∴， 故答案为：或； （2）略 （3）解：过作的垂线，分别交、于点E、F， ∵，， ∴，，，， ∵关于的方程是“经典方程”， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义，是解决问题的关键． 23．(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $