第26章 二次函数 学情评估卷　2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章 学情评估卷 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是(　　) A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝(x－5)2－x2 C．y＝x2＋1 D．y＝ 2．用配方法将二次函数y＝－x2－2x－3化为y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　) A．y＝－(x－1)2＋3 B．y＝(x＋1)2－4 C．y＝－(x＋1)2－2 D．y＝(x－1)2＋2 3．某商场第一年销售电脑5 000台，设平均每年的销售量增长率为x，第三年的销售量为y台，则y关于x的函数表达式为(　　) A．y＝5 000(1＋2x) B．y＝5 000(1＋x)2 C．y＝5 000(1－2x) D．y＝5 000(1－x)2 4．将抛物线y＝2(x－1)2－3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为(　　) A．(－2，－1) B．(－2，－5) C．(4，－1) D．(4，－5) 5．点P1(－2，y1)，P2(2，y2)，P3(4，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＝y3 C．y1＝y3＞y2 D．y1＝y2＞y3 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过第一、三、四象限，则直线y＝ax＋bc不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是(　　) x … －3 －2 －1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 －11 … A．抛物线与y轴交点的纵坐标为－6 B．当x＝－4时，y＝－11 C．当x>－2时，y随x的增大而减小 D．抛物线开口向下 8．如图，抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点在△AOB的边OA所在的直线上运动，点A、B的坐标分别为(－2，1)、(0，2)，若抛物线与△AOB的边AB、OA都有公共点，则h的取值范围是(　　) A．－≤h≤ B．－2≤h≤0 C．－1≤h≤ D．－2≤h≤ 二、填空题(每小题3分，共18分) 9. 已知点P在二次函数y＝2x2的图象上，则a等于________. 10．若二次函数y＝x2－6x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是________. 11．如图，已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为y＝－x2，当水面宽度AB为20 m时，水面与桥拱顶的高度CO等于__________m. (第11题) (第12题) (第14题) 12．如图，抛物线y1＝ax2－2ax(a>0)和直线y2＝kx(k>0)交于点O和点A，点A横坐标为3，则－kx＋2k>ax2－2ax的解集为__________. 13．已知二次函数y＝mx2－2mx＋2(m≠0)，当－1≤x≤2时，函数的最大值为4，则m的值是__________. 14．抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，与x轴有个交点(－1，0)，有以下结论：①abc<0；②b<a＋c；③4a＋2b＋c>0；④a＋b>m(am＋b)(其中m≠1)．其中正确结论的序号是________. 三、解答题(本题共10小题，共78分) 15. (6分)教材P33复习题T6变式已知二次函数y＝m(x－1)2＋4的图象经过点(0，3). (1)该函数表达式为______________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出图象； (3)当y>0时，x的取值范围为________． 16．(6分)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和点B(0，－5)． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当y≤－2时，请直接写出x的取值范围. 17．(6分)若二次函数图象的顶点坐标为M(3，－2)，且与y轴交于点N. (1)该二次函数的表达式为________________； (2)若该图象与x轴交于A、B两点，求线段AB的长度. 18．(7分)如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(7－x)2上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线的一段．平移该胶片，使平移后抛物线所对应的函数为y＝－x2＋8x－16，求点P移动的最短路程. 19．(7分)某网店正在热销一款电子产品，其成本为每件10元，销售过程中发现，该商品每天的销量y(件)与每件的销售价格x(元)之间存在如图所示的函数关系． (1)y与x之间的函数关系式为______________； (2)该款电子产品每件的销售价格为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 20．(7分)现有一面12 m长的墙，某农户计划用28 m长的篱笆靠墙围成一个如图所示的矩形养鸡场ABCD． (1)若矩形养鸡场的面积为90 m2，则AD的长为________m； (2)求矩形养鸡场的最大面积. 21．(8分)如图，抛物线y＝ax2＋bx与x轴交于O，A两点，C(2，5)是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)作CD⊥x轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连结OP，OC，若OP恰好平分△COD的面积，求点P的坐标. 22．(9分)二次函数y＝x2－bx＋c的图象经过(－2，y1)，(1，y2)两点． (1)当b＝1时，判断y1与y2的大小； (2)当y1<y2时，求b的取值范围； (3)若此函数图象还经过点(m，y1)，且1<b<2.求证：3<m<4. 23．(10分)莲莲和宸宸在玩沙包游戏．某同学借此情境编了一道数学题：如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m．莲莲在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，宸宸恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分． (1)抛物线C1的最高点坐标为________； (2)求出a，c的值； (3)若莲莲在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求出符合条件的n的整数值. 24．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2－2x＋c(c是常数)经过点A(2，－2)，点P在抛物线上，横坐标为m，点Q的横坐标为3m，点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，点P、Q不重合． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)当点Q在抛物线上时，求PQ的长度； (3)该抛物线与y轴的交点为B，当抛物线在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点和最低点的纵坐标之差为3m－4时，求m的值； (4)已知M(m，m＋1)，连结PM、PQ、MQ，当抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围. 答案 1．C　2.C　3.B　4.D　5.B　6.A　7.B　8.D　9.或－　10.m＜9　11.4 12．－1＜x＜2　13.或－2　14.①③④ 15．解：(1)y＝－(x－1)2＋4 (2)图略．　(3)－1<x<3 16．解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和点B(0，－5)， ∴解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴图象的顶点坐标为(－1，－6)． (2)当y≤－2时，－3≤x≤1. 17．解：(1)y＝(x－3)2－2 (2)当y＝0时，(x－3)2－2＝0，解得x1＝1，x2＝5， ∵该图象与x轴交于A、B两点， ∴A、B两点的坐标分别为(1，0)，(5，0)，∴AB＝5－1＝4. 18．解：(1)y＝4－(7－x)2＝－(x－7)2＋4，把P(a，3)的坐标代入，得－(a－7)2＋4＝3，解得a＝6或a＝8， ∵点P(a，3)在C的对称轴右侧，且易知C的对称轴为直线x＝7， ∴a＝8. (2)∵y＝－x2＋8x－16＝－(x－4)2， ∴y＝－(x－4)2是由y＝－(x－7)2＋4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的，平移距离为＝5，即点P移动的最短路程为5. 19．解：(1)y＝－10x＋300 (2)设该款电子产品每天的销售利润为w元，根据题意，得w＝(x－10)(－10x＋300)＝－10x2＋400x－3 000＝－10(x－20)2＋1 000. ∵－10＜0，∴当x＝20时，w最大，最大值为1 000. 答：该款电子产品每件的销售价格为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是1 000元． 20．解：(1)10 (2)设AB为a m，矩形养鸡场的面积为S m2， 则S＝a(28－2a)＝－2(a－7)2＋98， ∵0＜28－2a≤12，∴8≤a＜14， ∵－2<0，∴当a＞7时，S随a的增大而减小， ∴当a＝8时，S取得最大值，此时S＝96. 答：矩形养鸡场的最大面积是96 m2. 21．解：(1)∵C(2，5)是抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴A(4，0)， ∵点A(4，0)，C(2，5)在抛物线y＝ax2＋bx上， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋5x. (2)∵OP恰好平分△COD的面积， ∴易知OP经过CD的中点. 设直线OP的表达式为y＝kx， 则2k＝，解得k＝， ∴直线OP的表达式为y＝x， 联立 解得或 ∴点P的坐标为. 22．(1)解：当b＝1时，y＝x2－x＋c， ∴y1＝(－2)2－(－2)＋c＝6＋c，y2＝12－1＋c＝c，∵6＋c>c，∴y1>y2. (2)解：y1＝4＋2b＋c，y2＝1－b＋c， ∵y1<y2，∴4＋2b＋c<1－b＋c，解得b<－1. (3)证明：∵二次函数y＝x2－bx＋c的对称轴为直线x＝，且经过(－2，y1)，(m，y1)两点， ∴－(－2)＝m－，即m＝2＋b， ∵1<b<2，∴3<m<4. 23．解：(1)(3，2) (2)∵点A(6，1)在抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2上， ∴1＝a×(6－3)2＋2，解得a＝－， ∴抛物线C1的表达式为y＝－(x－3)2＋2， 令x＝0，则c＝－×(0－3)2＋2＝1. (3)∵莲莲在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，∴可接到沙包的点的坐标范围是(5，1)～(7，1)． 当C2经过点(5，1)时，由1＝－×52＋×5＋1＋1，解得n＝， 当C2经过点(7，1)时，由1＝－×72＋×7＋1＋1，解得n＝， ∴n的取值范围是≤n≤， ∵n是整数，∴符合条件的n的整数值为4和5. 24．解：(1)将A(2，－2)的坐标代入抛物线y＝x2－2x＋c，得－2＝4－4＋c，即c＝－2，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－2， ∵y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3， ∴顶点坐标为(1，－3)． (2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵点P，Q纵坐标相同，且均在抛物线上，∴＝1，解得m＝， ∴PQ＝|3m－m|＝1. (3)将x＝0代入y＝x2－2x－2，则y＝－2，∴B(0，－2)， 根据题意，设P(m，m2－2m－2)． 当m<0时，则在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点为点P，最低点为点B，∴m2－2m－2－(－2)＝3m－4，即m2－5m＋4＝0， 解得m＝4(舍去)或m＝1(舍去)； 当0<m≤1时，则在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点为点B，最低点为点P， ∴－2－(m2－2m－2)＝3m－4， 即m2＋m－4＝0， 解得m＝(舍去)或m＝(舍去)； 当1<m≤2时，则在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点为点B，最低点为(1，－3)， ∴(－2)－(－3)＝3m－4，即3m＝5，解得m＝； 当m>2时，则在点P和点B之间的部分(包括P、B两点)的最高点为点P，最低点为(1，－3)， ∴m2－2m－2－(－3)＝3m－4， 即m2－5m＋5＝0，解得m＝或m＝(舍去)． 综上，m的值为或. (4)<m<或<m<0. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $