专题01 待定系数法求二次函数表达式（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题01 待定系数法求二函数的表达式 题型一：利用一般式求二次函数的表达式 题型二：利用顶点式求二次函数的表达式 题型三：利用交点式求二次函数的表达式 题型四：利用平移变换求二次函数函数的表达式 题型五：利用对称变换求二次函数函数的表达式 题型六：利用旋转变换求二次函数函数的表达式 题型七：待定系数法与二次函数性质的综合 题型八：结合几何图形求二次函数的表达式 题型一：利用一般式求二次函数的表达式 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．将点代入二次函数解析式，建立方程组求解b和c的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过两点， ∴将代入中得： ，解得：， ∴二次函数表达式为：， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江西上饶·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，由函数图象可知，二次函数的图象经过点，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B． 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 … 则这个二次函数的表达式为 　 　． 【答案】y＝x2﹣4x+3． 【分析】利用待定系数法解答，将表格中的x，y的对应值分别代入得到三元一次方程组，解三元一次方程组即可得出结论． 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法的一般步骤是解题的关键． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)指出图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点，分别代入中，解得、，即可作答； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2） ， 对称轴为直线，顶点坐标为． 5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线 经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把，，分别代入进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，即可得出顶点坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 则， ∴抛物线的顶点坐标为． 题型二：利用顶点式求二次函数的表达式 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，准确计算是解题的关键．根据待定系数法求解即可． 【详解】解：由表可知，二次函数顶点坐标为，设解析式为（）， 将点代入得： ， ， ， 解得， 故二次函数解析式为， 验证其他点均符合表格数据， 故答案为：（或）． 8．（23-24九年级上·广西钦州·期中）一个二次函数的对称轴为直线，该函数的图象与y轴的交点到原点的距离为1，则该函数的解析式为 ．（写出一个符合题意要求的答案即可） 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查求二次函数的解析式，设二次函数为顶点式，利用对称轴确定顶点横坐标，再根据与y轴交点到原点的距离求参数． 【详解】解：设二次函数的解析式为． 当时，． 由于与y轴的交点到原点的距离为1，所以，即或． 因此，该函数的解析式可以为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】(1) (2)在这条抛物线的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【详解】（1）解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ （2）解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与x轴、y轴的交点坐标的求法． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）令，即可得到关于x的方程，即可得解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， 则抛物线的解析式是，即； （2）解：在中令，则， 解得：或， 则函数与x轴的交点坐标为，． 题型三：利用交点式求二次函数的表达式 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得，图象过，可设抛物线解析式为. 由图可知，对称轴为直线，可确定顶点坐标为. 将顶点坐标代入方程，从而求得a的值，得到解析式. 【详解】解：由图可知：设抛物线解析式为. 代入顶点坐标得：. . 所以抛物线方程为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数图象性质及二次函数表达式的求解. 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解一元一次方程，整式的混合运算，熟练掌握用待定系数法求二次函数的表达式是解题关键． 根据题意，设抛物线的表达式为，求得点坐标，将点坐标分别代入，求出的值，即可求解抛物线的表达式． 【详解】解：抛物线经过点和， 设抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点，且， 点坐标为或， 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即； 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即． 综上所述，抛物线的表达式为或． 故选：D． 13．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数图像经过点，对称轴为直线，抛物线与轴两交点距离为4，求这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由二次函数的对称性可得抛物线与轴的两交点的坐标为，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴两交点距离为4，且以直线为对称轴， ∴抛物线与轴的两交点的坐标为． 设二次函数的表达式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：． ∴二次函数的表达式为，即二次函数的表达式为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若点在二次函数图像上，求出的面积； 【答案】(1)，顶点 (2)在该二次函数的图象上，理由见解析；的面积为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设抛物线解析式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意， 设抛物线， 代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； （2）在该二次函数的图象上，理由如下， 当时，， ∴在该二次函数的图象上， ∵ ∴ ∴ 15．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 题型四：利用平移变换求二次函数函数的 16．（2024春•大余县月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x﹣1）2+5 C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2+5 【答案】C． 【分析】根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝2（x+1）2﹣5， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律． 17．（2025九年级·全国·专题练习）将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握函数图象平移的逆过程，通过顶点坐标的逆向平移确定原函数表达式是解题的关键． 根据函数图象平移的规律，将新函数的顶点坐标逆向平移即可得到原函数的顶点坐标，从而确定原函数的表达式． 【详解】解：新函数的顶点坐标为， 由于图象是由原函数向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， 因此将新函数的顶点先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到原函数的顶点坐标为， 故原二次函数的表达式为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·天津静海·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得到的抛物线的解析式； (3)若是抛物线上一点，直线轴于点，，沿轴平移抛物线，使之过点，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，解题的关键是正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的平移规律． （1）利用待定系数法求二次函数解析式，再利用二次函数平移规律得出答案； （2）利用二次函数平移规律得出答案． （3）由题意可知，抛物线相当于向上平移5个单位长度或向下平移5个单位长度，再根据二次函数平移规律得出答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ． （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 将抛物线向上平移个单位长度， 所得到的抛物线的解析式． （3）解：由题意知，抛物线向上平移5个单位长度， 平移后所得抛物线的解析式． 20．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用顶点式可将抛物线变成，可求得值； （2）根据平移性质，得到抛物线，将交点代入两个抛物线解析式，解方程得值，可求解析式． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）的顶点坐标为， ，， 解得，． （2）解：将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线 ； 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线． 由 ，得． 抛物线与的交点坐标为， ，解得． 把代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求解析式． 题型五：利用对称变换求二次函数函数的 21．（2024•蒲城县二模）将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（　　） A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．，b＝﹣1 C．，b＝﹣1 D．a＝1，b＝2 【答案】C． 【分析】先根据平移的特征得到将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线为y＝ax2+bx﹣4， ∵得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称， ∴a，， 解得a，b＝﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键． 22．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的翻折问题．先求出原抛物线的顶点坐标为，可得沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线表达式为． 故答案为：. 23．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据旋转的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，设折叠后得到的函数解析式为，将代入得，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴设折叠后得到的函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴折叠后得到的函数解析式为， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的性质以及点的平移和翻折变换． （1）先求出点A的坐标，再根据点的平移规律得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入抛物线的解析式中，求解m的值； （2）先将抛物线的解析式化为顶点式，得到其顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：对于抛物线，令， 可得， ∴点A的坐标为， ∵点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得． （2）解：由（1）可知，则抛物线的解析式为， 将其化为顶点式：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线是抛物线沿x轴翻折得到的， ∴抛物线的顶点坐标为． 25．（2024秋•无为市月考）将抛物线y＝2x2先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度，所得到的新抛物线经过点（1，3）． （1）求新抛物线的表达式； （2）求新抛物线关于y轴对称的图象所对应的函数表达式． 【答案】（1）y＝2（x+1）2﹣5； （2）y＝2（x﹣1）2﹣5． 【分析】（1）根据平移的规律：左加右减，上加下减得到y＝2（x+a）2﹣5，代入点（1，3）求得a的值即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论． 【详解】解：（1）将抛物线y＝2x2先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度得到y＝2（x+a）2﹣5， 代入点（1，3）得，3＝2（1+a）2﹣5，解得a＝1或a＝﹣3（舍去）， ∴新抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣5； （2）∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴抛物线y＝2（x+1）2﹣5关于y轴对称的图象解析式为y＝2（﹣x+1）2﹣5，即y＝2（x﹣1）2﹣5． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，掌握平移的性质是解本题的关键． 题型六：利用旋转变换求二次函数函数的 26．（24-25九年级上·广东江门·期中）与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于原点对称的点的坐标特征．由关于原点对称的点的特点是：横、纵坐标都变为相反数，可直接得出答案． 【详解】解：∵抛物线的图象上的点关于原点对称后横、纵坐标都变为相反数， ∴得到的抛物线的解析式是， 整理得：， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）将抛物线绕原点旋转后的图象的解析式 为 （写成一般式） 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，该抛物线的顶点坐标为，由题意可知，关于原点对称的点坐标为，由于原图象开口向上，绕原点旋转后得到的图象开口必定向下，且图象形状不变，从而可求出旋转后的解析式． 【详解】解：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵绕原点旋转后的点与关于原点对称，即绕原点旋转后的点坐标为， ∴当将抛物线绕原点旋转后得到的图象开口必定向下，且图象形状不变，且顶点坐标， ∴解析式为 故答案为：． 28．（25-26九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，过作轴于点，则，由题意可知，所以，则，从而求得，然后代入即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， 由题意可知， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知抛物线分别交轴于两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)将该抛物线绕点旋转，求旋转后的抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式及顶点坐标即可； （2）首先利用旋转的性质求得旋转后抛物线的顶点的坐标为，然后利用待定系数法求得解析式即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将代入，得， ， 抛物线的表达式为． 故抛物线的顶点的坐标为． （2）解：设旋转后的抛物线的顶点坐标为． 为和的中点， 点的坐标为． 设旋转后的抛物线的表达式为． 旋转前后图形的形状不变，开口相反， ． 故旋转后的抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式和旋转的性质，解题关键是灵活运用待定系数法求二次函数解析式，并熟练掌握旋转的性质． 30．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在对称轴上且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C恰好落在抛物线上的点P处． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴及与x轴的另一个交点E的坐标． (3)求线段的长． 【答案】(1) (2)对称轴为直线， (3)2 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）利用抛物线的对称轴为直线，进行计算，再根据对称性求出点关于对称轴对称的点的坐标，即为E的坐标； （3）先求出抛物线的顶点坐标，设，求出点坐标，根据旋转得到点坐标，代入到解析式，求出的值，即可得解． 【详解】（1）把点和点，代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴抛物线关于直线对称， ∴点关于直线的对称点为：， ∴； （3）解：当时， ， ∴的顶点坐标为：，即：； 设，则D， ∵将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C恰好落在抛物线上的点P处， ∴， ∴， 将代入得： ， 整理得：， 解得：（舍去） ∴线段的长为2． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．利用待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 题型七：待定系数法与二次函数性质的综合 31．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用待定系数法求出函数解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （）把代入函数解析式求出的所有值，进而根据二次函数的图象和性质得出符合题意的值即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为，函数的最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴． 32．（2024•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）． （1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值． 【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为（2，﹣1）； （2）a＝2，m＝3． 【分析】（1）利用二次函数性质直接将点代入求解参数即可求出表达式，再根据二次函数的顶点公式求出顶点即可； （2）根据二次函数最值只能在顶点或两侧端点分类计算，由范围找到对应关系，列式计算，最后验证即可． 【详解】解：（1）将点（﹣1，8）代入二次函数y＝ax2﹣4x+3中得： 8＝a+4+3 ∴a＝1 ∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3， ∴y＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）； （2）∵二次函数最值只能出现在端点或顶点， x＝0时，y＝0+0+3＝3， 时，， x＝m时，y＝am2﹣4m+3； ∵a＞0， ∴， ∴y＝9时，只有x＝m时，y＝am2﹣4m+3＝9成立， ∴时，， 解得a＝2， 代入am2﹣4m+3＝9得： 2m2﹣4m+3＝9， 解得m＝3或﹣1， ∵0≤x≤m， ∴m≥0， ∴m＝3 检验a＝2，对称轴为， 0≤x≤3时，顶点处函数值最小为1，x＝3时，函数值最大为9，符合要求， 故a＝2，m＝3． 33．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)用配方法求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若点是抛物线上的一动点，当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质． 设抛物线交点式解析式为，把点的坐标代入解析式，待定系数法求函数的解析式； 把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，根据顶点坐标式解析式可得抛物线的顶点坐标和对称轴； 根据抛物线中，可知抛物线开口向上，顶点为最低点，所以可知当时，取最小值，最小值为，又因为抛物线与轴交于、两点，当或时，，可知的最大值为，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， 设抛物线表达式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：把配方， 可得：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：抛物线中， 抛物线开口向上，顶点为最低点， 当时，取最小值，最小值为， 抛物线与轴交于、两点， 当或时，， 当时，． 34．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围______． (3)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于二次函数的值，直接写出n的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的综合问题等知识． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式． （2）画出二次函数的图象，利用数形结合的思想求解即可． （3）利用数形结合的方法求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为∶， 将代入得∶， 解得∶， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）可知， 函数图象如图所示： 根据函数图象可知：当时，． （3）解：∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于二次函数的值， ∴把函数看作函数向下移动个单位满足题意， 则． 35．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，求该抛物线中y的取值范围． (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． (4)当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)且 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：根据题意得； （4）解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 题型八：结合几何图形求二次函数的表达式 36．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点A在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】设直线交y轴于点M，过F作轴于N；由可求得与x轴的两个交点坐标，由为等腰直角三角形，则可得点M的坐标，从而求出直线解析式，联立直线解析式与解析式可求得点F的坐标，则可求得点E的坐标，由二次函数图像的平移则可求得的解析式． 【详解】解：如图，设直线交y轴于点M，过F作轴于N； 令，解得：， 即， ∴； ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为，把A、M的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； 联立直线解析式与解析式得， 解得：（舍去）， 当时，， ∴点F的坐标为， ∴，， ∴点E的坐标为； ∵抛物线由抛物线向右平移后得到，抛物线顶点的纵坐标不变， ∴， 把点E坐标代入得：， 解得：，， 即或； 当时，，， 即点F不在图像上，不符合题意， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数图象的平移，等腰三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解答本题的关键． 37．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，已知，，抛物线经过O，C，B三点．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，解题的关键是求出点，坐标． 过点C作于点H，通过解三角函数求得、的坐标，由菱形的性质得出点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式． 【详解】解：如图，过点C作于点H． 四边形是菱形，，， ，点A的坐标为． 在中，，， 点C的坐标为， 由菱形的性质可知，点B的坐标为． 设抛物线的表达式为． 把，，代入， 得，解得， 抛物线的表达式为． 38．（25-26九年级上·广东湛江·期中）如图，已知抛物线 的顶点坐标为，且与轴交，与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作直线于点D． 求该抛物线的解析式及A，B两点的坐标； 【答案】；， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点式，抛物线与x轴的交点问题，根据题意利用抛物线的顶点式求得抛物线的解析式是解题的关键．根据抛物线顶点坐标列出顶点式，再将点C代入，即可得到抛物线解析式，然后令，即可得到A、B两点坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入中， 得：， 解得： ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， ∵点A在点B的右侧， ∴，． 39．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是x轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把点坐标代入求出，从而得到抛物线解析式，然后把一般式通过配方化为顶点式即可得到顶点的坐标； （2）若的周长最小，因为长度为定值，即最小，先求出点关于轴的对称点的坐标，利用待定系数法求函数解析式直线的解析式，然后令求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， 点的坐标为， ∴长度为定值， ∴若的周长最小，即最小， 作点关于轴的对称点的坐标为， 连接与轴的交点即为所求的的值最小时的点， 设直线的解析式为，代入和 则， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则．    40．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求的值并写出抛物线的解析式； (2)求点，顶点的坐标； (3)判断的形状，证明你的结论. 【答案】(1)， (2)， (3)直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出函数解析式； （2）化为顶点式即可求解顶点D，令，即可求解点； （3）先求出抛物线与轴交点，再由勾股定理以及勾股定理逆定理判断即可得解． 【详解】（1）解：将代入二次函数， 得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， （2）解：∵， ∴， 在中，令，则，即； （3）解：是直角三角形，证明如下： 令，则， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 待定系数法求二函数的表达式 题型一：利用一般式求二次函数的表达式 题型二：利用顶点式求二次函数的表达式 题型三：利用交点式求二次函数的表达式 题型四：利用平移变换求二次函数函数的表达式 题型五：利用对称变换求二次函数函数的表达式 题型六：利用旋转变换求二次函数函数的表达式 题型七：待定系数法与二次函数性质的综合 题型八：结合几何图形求二次函数的表达式 题型一：利用一般式求二次函数的表达式 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则这个二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西上饶·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 … 则这个二次函数的表达式为 　 　． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)指出图象的对称轴和顶点坐标． 5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线 经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 题型二：利用顶点式求二次函数的表达式 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为 ． 8．（23-24九年级上·广西钦州·期中）一个二次函数的对称轴为直线，该函数的图象与y轴的交点到原点的距离为1，则该函数的解析式为 ．（写出一个符合题意要求的答案即可） 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在这条抛物线的图象上． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标． 题型三：利用交点式求二次函数的表达式 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 13．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数图像经过点，对称轴为直线，抛物线与轴两交点距离为4，求这个二次函数的表达式为 ． 14．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若点在二次函数图像上，求出的面积； 15．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 题型四：利用平移变换求二次函数函数的 16．（2024春•大余县月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x﹣1）2+5 C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2+5 17．（2025九年级·全国·专题练习）将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是 ． 18．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 19．（25-26九年级上·天津静海·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得到的抛物线的解析式； (3)若是抛物线上一点，直线轴于点，，沿轴平移抛物线，使之过点，求平移后所得抛物线的解析式． 20．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 题型五：利用对称变换求二次函数函数的 21．（2024•蒲城县二模）将抛物线y＝ax2+bx﹣2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则a、b的值为（　　） A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．，b＝﹣1 C．，b＝﹣1 D．a＝1，b＝2 22．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为 ． 23．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为 ． 24．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 25．（2024秋•无为市月考）将抛物线y＝2x2先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度，所得到的新抛物线经过点（1，3）． （1）求新抛物线的表达式； （2）求新抛物线关于y轴对称的图象所对应的函数表达式． 题型六：利用旋转变换求二次函数函数的 26．（24-25九年级上·广东江门·期中）与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 27．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）将抛物线绕原点旋转后的图象的解析式 为 （写成一般式） 28．（25-26九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 29．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知抛物线分别交轴于两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)将该抛物线绕点旋转，求旋转后的抛物线的表达式． 30．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在对称轴上且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C恰好落在抛物线上的点P处． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴及与x轴的另一个交点E的坐标． (3)求线段的长． 题型七：待定系数法与二次函数性质的综合 31．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 32．（2024•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）． （1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值． 33．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)用配方法求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若点是抛物线上的一动点，当时，求的取值范围． 34．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围______． (3)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于二次函数的值，直接写出n的取值范围______． 35．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，求该抛物线中y的取值范围． (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． (4)当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 题型八：结合几何图形求二次函数的表达式 36．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点A在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 37．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，已知，，抛物线经过O，C，B三点．求抛物线的表达式． 38．（25-26九年级上·广东湛江·期中）如图，已知抛物线 的顶点坐标为，且与轴交，与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作直线于点D． 求该抛物线的解析式及A，B两点的坐标； 39．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是x轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 40．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求的值并写出抛物线的解析式； (2)求点，顶点的坐标； (3)判断的形状，证明你的结论. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $