精品解析：河北省石家庄市东南实验中学2021-2022学年下学期5月月考九年级数学试题

初三数学测试卷 考生须知: 1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(　　) A. 1 B. C. D. 2 4. 在中，点、分别在边、上，若，，，则的长为（ ） A B. C. D. 5. 已知方程的两根分别为与的半径，且，那么这两个圆的位置关系是（　 　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 6. 如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形的三边长分别为，，，则它的边与半径为的圆的公共点个数的所有可能情况是（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（　　） A. 3，6 B. 2，﹣6 C. 2，6 D. ﹣2，6 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 使有意义的x的取值范围是______． 10. 如图，的直径，，则为__________度． 11. 将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为__________； （2）的取值范围是__________． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算： 14. 解方程：． 15 先化简，再求值：，其中 16. 在中，为斜边上的高，若，，求的长． 17. 如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）． （1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标； （2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标． 18. 如图，在中，，D是上的一点，且满足，以为直径的与、分别相交于点E、F． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，若，，求的长． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 如图7， 某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆， 设矩形的宽为，面积为． （1）求与的函数关系式，并求自变量的取值范围； （2）生物园的面积能否达到210平方米，说明理由． 20. 如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转，试解决下列问题： （1）画出四边形ABCD旋转后的图形； （2）求点C旋转过程事所经过的路径长； （3）设点B旋转后的对应点为B’，求tan∠DAB’的值． 21. 第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分： （1）第九届园博会植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为 平方千米； （2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）． 第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游客量（万人次） 单日最多接待游客量（万人次） 停车位数量（个） 第七届 0.8 6 约3 000 第八届 2.3 8.2 约4 000 第九届 8（预计） 20（预计） 约10 500 第十届 19（预计） 7.4（预计） 约 . 22. 阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ; （2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题： ①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）; ②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知：关于的一元二次方程 （1）若此方程有实根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，且取最小的整数，求此时方程的两个根； （3）在（2）的前提下，二次函数与轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在轴的上方作半圆，设直线l的解析式为，若直线l与半圆只有两个交点时，求出的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，满足．点是轴上的动点，点是轴上的动点． （1）求的值； （2）若是以为顶角的等腰三角形，求的取值范围． （3）抛物线经过点，若等腰直角三角形，则 ． 25. （1）如图，四边形是菱形，，当时，则的周长为． （2）如图2，若四边形不是菱形，，，判断的周长是否变化，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，直接写出的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学测试卷 考生须知: 1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项的计算错误； B、，所以B选项的计算正确； C、，所以C选项的计算正确； D、，所以D选项的计算正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握法则是解题的关键 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式知识是解题的关键； 本题直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标是， 故选：B 3. 如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(　　) A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°; Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=4;∴AC=AB=2． 故选D． 考点：圆周角定理． 4. 在中，点、分别在边、上，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． 根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在中，点分别在边上，若， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 已知方程的两根分别为与的半径，且，那么这两个圆的位置关系是（　 　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断方法．先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系． 【详解】解：解方程得： ， ∵，， ∴与内切． 故选：C． 6. 如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题先证得，得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由图可得：，，，，为直角三角形，，，，，，，，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 已知三角形的三边长分别为，，，则它的边与半径为的圆的公共点个数的所有可能情况是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段与圆的交点的情况，需要考虑所有的可能情况，先求出内切圆半径是解题的关键． 根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个． 【详解】解：∵，即， ∴三角形为直角三角形， 设内切圆半径为，则， 解得， ∴应分为五种情况： 当一条边与圆相离时，有0个交点， 当一条边与圆相切时，有1个交点， 当一条边与圆相交时，有2个交点， 当圆与三角形内切圆时，有3个交点， 当两条边与圆同时相交时，有4个交点， ∴公共点个数可能0、1、2、3、4个， 故选：A． 8. 对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（　　） A 3，6 B. 2，﹣6 C. 2，6 D. ﹣2，6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数y=2x2可知此函数的对称轴为y轴，由于函数关于直线x=3对称，所以函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图像即为y=a（x-t）2的图像，据此解答即可. 【详解】解：∵y＝2x2中a＝2， ∴y＝a（x﹣t）2，中，a＝2， ∵二次函数y＝ax2+bx+c都可以化成y＝a（x﹣m）2+n形式，其中m＝﹣，n＝， ∵图象开口向上，即a＞0，那么a＝2，点（3，y）为这两个函数的交点， ∴2×32＝a（3﹣t）2，解得t＝6． 故选C． 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，难度大，学生们需要认真分析. 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 10. 如图，的直径，，则为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理与垂径定理．由的直径，根据垂径定理可得，又由，利用圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：∵的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为__________； （2）的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形、勾股定理、圆周角定理应用及三角形外心的性质， （1）先求出，得出为外接圆直径，则点C为线段中点，进而求出结论； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，分两种情况：当点C在y轴右侧时或点C在y轴左侧时，分别求出即可． 【详解】解：（1）点恰在轴的正半轴上，如下图： ，， ， ， ， 在中，， ∴为外接圆直径， 则点C为线段中点， ， 故答案为：； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，如图，当点C在y轴右侧时， ∴， 由垂线段最短得：， 在中，， 即， ； 同理，当点C在y轴左侧时，； 综上所述，的取值范围是或． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、二次根式、零次幂、特殊角的三角函数值的意义进行计算即可求出代数式的值． 【详解】解： 【点睛】本题考查负整数指数幂；二次根式；零次幂；特殊角的三角函数值． 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先计算，再利用公式法解方程即可； 【详解】解：， ，，， ∴， ∴， ∴，． 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 在中，为斜边上的高，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．根据勾股定理可得的长，再证明，即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵在中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 即， ∴． 17. 如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）． （1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标； （2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x，B（﹣1，1）；（2）P1（﹣3，﹣3），P2（1，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）把A（-2，0）、O（0，0）代入解析式y=-x2+bx+c，可得出二次函数解析式，即可得出B的坐标； （2）利用三角形的面积可得出P点的纵坐标，可求出点P的横坐标，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）将A（-2，0）、O（0，0）代入解析式y=x2+bx+c，得c=0，-4-2b+c=0， 解得c=0，b=-2， 所以二次函数解析式：y=-x2-2x， 顶点B坐标 （-1，1）； （2）∵AO=2，S△AOP=3， ∴P点的纵坐标为：±3， ∴-x2-2x=±3， 当-x2-2x=3是此方程无实数根， ∴当-x2-2x=-3时， 解得：x1=1，x2=-3， ∴P1 （-3，-3），P2（1，-3）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式与图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求出二次函数的表达式． 18. 如图，在中，，D是上的一点，且满足，以为直径的与、分别相交于点E、F． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，正切的定义，勾股定理，余角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等边对等角可得，然后得到，再证得，然后即可求解； （2）连接，求得，再根据等量变换可得，然后在中，设，则，求得，然后根据，即可求解 【小问1详解】 证明：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴直线是的切线． 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， 设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 如图7， 某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆， 设矩形的宽为，面积为． （1）求与的函数关系式，并求自变量的取值范围； （2）生物园的面积能否达到210平方米，说明理由． 【答案】（1）y= -2x2+40x；0＜x≤；（2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设矩形的宽为x，则长为40-2x，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式； （2）令y=210，看函数方程有没有解． 【详解】解：（1）设矩形的宽为x，则长为40-2x， y=x（40-2x）=-2x2+40x又要围成矩形， 则40-2x≥x，x≤ x的取值范围：0＜x≤ （2）令y=210，则-2x2+40x=210变形得： 2x2-40x+210=0， 即x2-20x+105=0， 又∵△=b2-4ac=（-20）2-4×1×105＜0， ∴方程无实数解， ∴生物园的面积达不到210平方米． 【点睛】本题考查的是函数关系式的求法及最值的求法，同学们应该掌握． 20. 如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转，试解决下列问题： （1）画出四边形ABCD旋转后的图形； （2）求点C旋转过程事所经过的路径长； （3）设点B旋转后的对应点为B’，求tan∠DAB’的值． 【答案】（1）略 （2） （3） 【解析】 【详解】(1) (2)易知点C的旋转路径是以O为圆心，OC为半径的半圆. ∵OC＝，∴半圆的长为. （3） , ， ∴ ∴ 是直角三角形，且． ∴tan． 21. 第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分： （1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为 平方千米； （2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）． 第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游客量（万人次） 单日最多接待游客量（万人次） 停车位数量（个） 第七届 0.8 6 约3 000 第八届 2.3 8.2 约4 000 第九届 8（预计） 20（预计） 约10 500 第十届 1.9（预计） 7.4（预计） 约 . 【答案】（1）003 （2）图形见解析，1.5 （3）3700 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据月季园和牡丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可； （2）先算出植物花园的总面积，然后可求出第九届园博会会园区陆地面积，根据图象求出第七、八界园博会的水面面积之和，补全条形统计图即可； （3）根据图表所给的信息，求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，算出比值，求出大约需要设置的停车位数量． 【小问1详解】 解：∵第九届园博会月季园面积为0.04平方千米，占植物花园区面积的， ∴植物花园区面积为（平方千米）． ∵牡丹园面积占植物花园区面积的， ∴牡丹园面积为（平方千米）． 【小问2详解】 解：第九届园博会会园区陆地面积为：（平方千米）， 第七、八界园博会的水面面积之和为：（平方千米）， 则第九届园博会水面面积为1.5平方千米， 如图： ． 【小问3详解】 解：从统计表可知，园博会园区周边设置的停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500， ∴估计第十届园博会大约需要设置的停车位数量为（个）． 22. 阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ; （2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题： ①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）; ②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长． 【答案】(1)PA+PB+PC的最小值为；(2)①图形见解析；②当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 【解析】 【分析】（1）先由旋转的性质得出△APC≌△EDC,则∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,再证明∠BCE=90°,然后在Rt△BCE中,由勾股定理求出BE的长度,即为PA+PB+PC的最小值; （2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD即为PA+PB+PC最小值的线段; ②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC,则CP=CE,再证明△PCE是等边三角形,得到PE=CE=CP,然后根据菱形.三角形外角的性质,等腰三角形的判定得出BP=CP,同理,得出DE=CE,则BP=PE=ED=BD． 【详解】解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC, ∴△APC≌△EDC, ∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°, ∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB, ∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°, ∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°． 在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=6,CE=5, ∴, 即PA+PB+PC的最小值为; （2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段; ②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC, ∴△APC≌△DEC ∴CP=CE,∠PCE=60°, ∴△PCE是等边三角形, ∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°． ∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°, ∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°, ∴∠PCB=∠CBP=30°, ∴BP=CP, 同理,DE=CE, ∴BP=PE=ED． 连接AC交BD于点O,则AC⊥BD． 在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4, ∴BO=BC•cos∠OBC=, ∴BD=2BO=, ∴BP=BD=． 即当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知：关于的一元二次方程 （1）若此方程有实根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，且取最小的整数，求此时方程的两个根； （3）在（2）的前提下，二次函数与轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在轴的上方作半圆，设直线l的解析式为，若直线l与半圆只有两个交点时，求出的取值范围． 【答案】（1）且 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数，一次函数和等腰三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据关于的一元二次方程有实根得，且，从而得到，求得的取值范围即可； （2）在（1）的条件下，当取最小的整数时，于是原方程化为：，然后求解即可； （3）根据当直线经过原点时与半圆有两个交点，即，当直线与半圆相切于点时有一个交点时得到，从而得到当时，直线l与半圆有两个交点． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实根， ∴，且， ∴， 解得：， ∴当，且时，此方程有实根； 【小问2详解】 解：∵在（1）的条件下，当取最小的整数， ∴， ∴原方程化为：， ∴，； 【小问3详解】 解：如图： ∵直线l的解析式为， ∴直线l与轴夹角为， ①当直线经过原点时与半圆有两个交点，即， ②当直线与半圆相切于点时有一个交点，如图由题意可得、是等腰直角三角形， ∵，为等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴， ∴， 即， ∴当时， 直线与半圆只有两个交点； 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，满足．点是轴上的动点，点是轴上的动点． （1）求的值； （2）若是以为顶角的等腰三角形，求的取值范围． （3）抛物线经过点，若是等腰直角三角形，则 ． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用正切函数的定义求出的值． （2）根据等腰三角形的性质，结合圆与直线的位置关系确定的取值范围． （3）分不同直角顶点的情况，结合抛物线经过点求出相关表达式，进而得出结果． 【小问1详解】 解：过点作轴于．（如图） ∴在中，， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是以为顶角的等腰三角形 ∴以点为圆心作圆 ∵点是轴上的动点，点是轴上的动点 ∴要使与轴相交 当与轴相切时，半径为点的横坐标 ∴的取值范围为或 【小问3详解】 解：过点作轴，轴，垂足为、，则四边形是矩形， ， 情况一：点为直角顶点的直角三角形，如图①，图②： ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 情况二：点为直角顶点的直角三角形，如图③，图④，图⑤， 由垂线段最短可得图③④中，不符合情况，图⑤同情况一可证． 情况三：点为直角顶点的直角三角形，如图⑥，图⑦． 图⑥同情况一可证． 图⑦若满足条件， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系、三角函数、等腰三角形、等腰直角三角形以及抛物线的综合应用，熟练掌握相关图形的性质和函数的特点是解题的关键． 25. （1）如图，四边形是菱形，，当时，则的周长为． （2）如图2，若四边形不是菱形，，，判断的周长是否变化，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，直接写出的周长为． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质和已知角度，判断三角形形状，结合菱形对角线性质求边长，进而求周长． （2）通过作轴对称图形，构造等腰三角形，利用角度关系和等腰三角形性质，得出周长与相关线段的关系，判断其是否变化． （3）类似（2）的方法，通过作轴对称图形，结合角度和等腰三角形性质求周长． 【详解】解：（1）如图，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，平分和，，， ∵， ∴，和都是等边三角形． ∵，， 在中，， ∴，由勾股定理， 即， 解得， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：． （2）的周长不变，理由如下： 以为对称轴，画出的轴对称图形，以为对称轴，画出的轴对称图形，连接，作于， ∵轴对称， ∴，，，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点、在线段上， ∴的周长等于的长度． ∵，， ∵于， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴的周长不变． （3）以为对称轴，作出的轴对称图形；以为对称轴，作出的轴对称图形，连接． ∵轴对称的性质， ∴，，． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴，，，． ∴点、在线段上， ∵， ∴． ∴的周长等于的长度，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $