第4章 三角形课件 2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的概念、按边分类（等腰三角形、等边三角形）及三边关系，课堂导入从基础概念辨析（如火柴组成三角形）切入，通过图形识别（以AD为边的三角形）过渡到按边分类（小椭圆圈选等边三角形），再到三边关系的判断与计算，形成由具体到抽象的递进式学习支架。 其亮点在于分层训练与核心素养深度融合，基础题（如概念辨析）夯实抽象能力，中档题（中考真题）强化推理意识，拓展题（细绳围等腰三角形）培养应用意识。通过实际情境与分类讨论，学生用数学眼光观察问题，教师可借分层设计提升教学针对性，助力学生发展几何直观与创新意识。

第4章 三角形 教材回归（七） 等腰三角形中的分类讨论（针对教 材P135习题 ） 1 【教材母题】 （教材P135习题 ） 若等腰三角形的一个内角是 ,求这个等腰三角形的其他内角. 解:①当这个角为该等腰三角形的顶角时,则底角的度数为 . ②当这个角是该等腰三角形的底角时,则底角为 ,顶角的度数 为 . 综上所述，其他两个内角的度数为 , 或 , . 分层训练 构建学科思维 2 ▶ 类型1 顶角或底角不确定时进行分类讨论 1.若一个等腰三角形的一个外角等于 ,则这个等腰三角形的 底角为( ) D A. B. C. 或 D. 或 分层训练 构建学科思维 3 2.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为 ,求这个等腰三角 形顶角的度数. 解:设已知的两个内角的度数分别是, ,分两种情况讨论: ①当 是底角的度数时,根据三角形内角和定理,得 ,解得 ,则 ,即底角的度数 为 ,顶角的度数为 ; ②当 是顶角的度数时,根据三角形内角和定理，得 ,解得 ,即顶角的度数为 . 综上所述,该等腰三角形顶角的度数为 或 . 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 类型2 腰或底边不确定时进行分类讨论 3.已知等腰三角形的一边长是,另一边长为 ,则该等腰三 角形的周长为_______. 【变式】 若等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角 形的周长是________. 10或11 分层训练 构建学科思维 5 4.如图,在中,, ,点在线段 上运动 （不与,重合）,连接,作 ,交于点 .若 是等腰三角形,求 的度数. 分层训练 构建学科思维 6 解:因为, , 所以 . 又因为 是等腰三角形,分三种情况讨论: ①当 时, 因为 ,所以 . 所以 . ②当 时, 分层训练 构建学科思维 7 因为 ,所以 , 所以 . ③当 时, 因为 ,所以 . 所以 . 因为 , 所以此时点与点 重合,不符合题意. 综上所述,若是等腰三角形,则的度数为 或 . 分层训练 构建学科思维 ▶ 类型3 高的位置不确定时进行分类讨论 5.学习了等腰三角形的内容后,李老师布置了一道题:等腰三角形 一腰上的高与另一腰的夹角为 ,求顶角的度数.下面是两位学 生的探讨过程:小王说:“顶角的度数应为 .”小张说:“应该等于 吧!”这时许多同学一起来讨论…… 假如你也参加了讨论,你的意见如何?为什么? 分层训练 构建学科思维 9 图1 解:分两种情况讨论: ①如图1,当高在三角形内部时,顶角的度数是 ; 由题意，知 , , 所以 .即顶角的度数为 . 分层训练 构建学科思维 10 图2 ②如图2,当高在三角形外部时,顶角 的度数是 .由题意，知 , , 所以 ,所以 , 即顶角的度数为 . 综上所述，顶角的度数为 或 . 分层训练 构建学科思维 11 6.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线相交所 得的锐角为 ,求该等腰三角形底角的大小. 图1 解:分两种情况讨论: ①当为锐角时,如图1,在中,, 垂 直平分,垂足为,交于点 .由题意,知 . 因为 ,所以 . 因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 12 图2 ②当为钝角时,如图2,在 中, ,垂直平分交 的延长线 于点,垂足为.由题意,知 . 因为 ,所以 . 因为 ,所以 . 综上所述,该等腰三角形底角的度数为 或 . 分层训练 构建学科思维 13 ▶ 类型4 已知等腰三角形的一边,确定另一个顶点的个数时 进行分类讨论 第7题图 7.如图,在的网格中,已知点, 是网 格顶点（也称格点）,若点 也是图中的 格点,且使得 为等腰三角形,则满足 条件的点 的个数为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 分层训练 构建学科思维 14 第8题图 8.如图,在 中 , ,以 为 边作等腰,使点 落在 的边上,则点 的位置有 ( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 分层训练 构建学科思维 15 9.如图,在平面直角坐标系中,点在第一象限,点 在 轴上.若以,,为顶点的三角形是等腰三角形,求满足条件的点 的个数. 分层训练 构建学科思维 16 解:如图,以点为圆心, 的长为半径 画弧交轴于点和 , 此时与 是等腰三角形; 以点为圆心,的长为半径画弧交 轴于点（ 除外）, 此时 是等腰三角形; 作，边交轴于点 ， 则 , 此时 是等腰三角形. 综上所述,满足条件的点共有 （个）. 分层训练 构建学科思维 17 $第4章 三角形 章末复习 1 ▶ 复习点1 三角形的有关概念和性质 1.（福建中考）若某三角形的三边长分别为3，4，，则 的值 可以是( ) B A.1 B.5 C.7 D.9 2.如图,若 , ,则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 3.下列说法错误的是( ) D A.三角形的高、中线、角平分线都是线段 B.三角形的三条中线都在三角形内部 C.锐角三角形的三条高一定交于同一点 D.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点 分层训练 构建学科思维 3 4.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形 类型的是( ) C A. B. C. D. 5.在中, , ,则 _____. 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 复习点2 命题与证明 6.（岳阳中考改编）下列命题是真命题的是( ) B A.一个角的补角一定大于这个角 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线 D.旋转改变图形的形状和大小 分层训练 构建学科思维 5 7.用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角. 已知:在中, . 求证:, 必定为锐角. 分层训练 构建学科思维 6 证明:假设等腰三角形的底角,都不是锐角,即, 为直角 或钝角, 因为,所以 . 当,都是直角时, , 即 . 这与三角形内角和定理相矛盾; 当,都是钝角时, , 分层训练 构建学科思维 7 即 . 这与三角形内角和定理相矛盾. 综上所述,假设不成立. 故等腰三角形的底角必定是锐角. 分层训练 构建学科思维 ▶ 复习点3 全等三角形的性质与判定 第8题图 8.如图, ,那么下列结论错误的是 ( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 第9题图 9.如图,在和中,已知 ,还需 添加两个条件才能使 ,不能添加的 一组条件是( ) D A., B., C., D., 分层训练 构建学科思维 10 10.如图,已知,,垂足分别为,,, 相交于点 ,.若,,则 ___. 6 分层训练 构建学科思维 11 11.如图,在中, , ,是 的平分 线,延长至点,使.求证: . 分层训练 构建学科思维 12 证明:如图,在上截取,连接 . 因为是的平分线, ， 所以 . 在和 中, 所以 （边角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 13 又因为 , , 所以 , . 所以 . 因为 , 所以 . 又因为， ， 分层训练 构建学科思维 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 ▶ 复习点4 全等三角形的性质与判定的实际应用 12.如图，王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块垒 了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角 三角板,点在上,点和点 分别与木 墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离. 分层训练 构建学科思维 16 解:由题意,得, , , , 所以 . 所以 , . 所以 . 在和 中, 分层训练 构建学科思维 17 所以 （角角边）. 所以, . 所以 . 答:两堵木墙之间的距离为 . 分层训练 构建学科思维 ▶ 复习点5 尺规作图 13.（贵港中考）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段，．求作，使 ， ， ． 分层训练 构建学科思维 19 解：如图， 即为所求． 分层训练 构建学科思维 20 14.（金昌中考节选）如图,在中,是 边上一点,且 .尺规作图（保留作图痕迹,不写作法）: （1）作的角平分线交于点 ; （2）作线段的垂直平分线交于点 . 分层训练 构建学科思维 21 解:（1）如图, 即为所求. （2）如图,直线 即为所求. 分层训练 构建学科思维 22 ▶ 复习点6 等腰三角形的性质和判定 15.（金昌中考）如图，是等边 的边 上的高，以点为圆心， 长为半径作弧 交的延长线于点，则 ( ) C A. B. C. D. 16.（阜新中考）如图,直线, 过等边三角形 的顶点和,且, ,则 的度 数为______. 分层训练 构建学科思维 23 17.如图,在中,,是边上任意一点, , ,,则四边形的周长是____ . 10 分层训练 构建学科思维 24 ▶ 复习点7 线段的垂直平分线 18.（宜昌中考）如图,点,,,, 在一条直线 上,且,我们知道按如图所作的直线 为 线段 的垂直平分线.下列说法正确的是 ( ) A A.是线段的垂直平分线 B.是线段 的垂直平分线 C.是线段的垂直平分线 D.是 的垂直平分线 分层训练 构建学科思维 25 19.（凉山州中考）如图，在等腰 中， ，分别以点、点为圆心，大于 为 半径画弧，两弧分别交于点和点，连接 ，直 线与交于点，连接，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 26 $第4章 三角形 教材回归（五） 证明三角形全等的基本思路 （针对教材110练习 3） 1 【教材母题】（教材110练习 3） 如图，已知，，分别是，的中点.求证： 分层训练 构建学科思维 2 证明：因为点E，F分别为AC，AB的中点， 所以 ， 因为 ， 所以 在和 中， 分层训练 构建学科思维 3 所以 （边角边）. 所以 分层训练 构建学科思维 类型1 已知两边对应相等 基本思路： 1.寻找第三边也对应相等，根据“边边边”证明全等； 2.寻找两边的夹角对应相等，根据“边角边”证明全等（注意“边边 角”不能证明三角形全等）. 分层训练 构建学科思维 5 1.（云南中考）如图，已知 ， 求证： 证明：在和 中， 所以 （边边边）. 所以 分层训练 构建学科思维 6 2.（无锡中考）如图，已知，， 求证： （1） ； 分层训练 构建学科思维 7 证明：因为 ， 所以 因为 ， 所以，即 在和 中， 所以 （边角边）. 分层训练 构建学科思维 8 （2） [答案] 由（1），知 ， 所以 所以 所以 分层训练 构建学科思维 9 类型2 已知一边及其邻角对应相等 基本思路： 1.寻找对应相等角的另一邻边也相等，根据“边角边”证明全等； 2.寻找另外一个角对应相等，根据“角边角”或者“角角边”证明全等. 3.如图，已知平分，点， 分别在射 线，上，且 求证： 分层训练 构建学科思维 10 证明：因为平分 ， 所以 在和 中， 所以 （边角边）. 分层训练 构建学科思维 11 4.（铜仁中考）如图，，， ，且 求证： 分层训练 构建学科思维 12 证明：因为， ， 所以 ， . 所以 在和 中， 所以（角边角）.所以 分层训练 构建学科思维 13 类型3 已知一边及其对角对应相等 基本思路： 寻找另外一个角对应相等，根据“角角边”证明全等. 5.（长沙中考节选）如图，， ， ，垂足分别为， ． 求证： ． 分层训练 构建学科思维 14 证明：因为 ， ， 所以 ， 在和 中， 所以 （角角边）． 分层训练 构建学科思维 15 6.（镇江中考）如图，在四边形中，，点， 分 别在，上，，过点，分别作 的垂线，垂足为 ， 求证： 分层训练 构建学科思维 16 证明：因为， ， 所以 . 因为 ， 所以 因为， ， 所以 在和 中， 分层训练 构建学科思维 17 所以 （角角边）. 分层训练 构建学科思维 类型4 已知两角对应相等 基本思路： 寻找另外一边对应相等，根据“角角边”或“角边角”证明全等. 7.已知：如图，， 求证： 分层训练 构建学科思维 19 证明：在和 中， 所以 （角角边）. 所以 分层训练 构建学科思维 20 8.（乐山中考）如图，已知， 求证： 分层训练 构建学科思维 21 证明：因为 ， ， ， 所以 在和 中， 所以 （角边角）. 所以 分层训练 构建学科思维 22 $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.1 认识全等三角形 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 全等图形与全等三角形 1.下列图形中是全等图形的是( ) D A. B. C. D. 2.全等三角形是( ) D A.周长相等的两个三角形 B.面积相等的两个三角形 C.三个角相等的两个三角形 D.能完全重合的两个三角形 分层训练 构建学科思维 3 3.一个图形经过下列变换得到的图形与原图形不全等的是( ) D A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.放大 4.如图,,, 是对应点,则下列结论错误的是( ) C A.与 是对应角 B.与 是对应角 C.与 是对应边 D.与 是对应边 分层训练 构建学科思维 4 5.如图,若把绕点旋转一定的角度得到 ,则图中全等 的三角形记为________________,的对应角为_______, 的 对应边为____. 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点2 全等三角形的性质 6.已知图中的两个三角形全等,则 等于( ) C A. B. C. D. 7.（成都中考）如图，已知 ， 点，，， 依次在同一条直线上．若 ，，则 的长为___． 3 分层训练 构建学科思维 6 8.已知,点与点,点与点 分别是对应顶点, , ,,则_____,___, _____. 5 9.如图,,,,求 的长. 解:因为,, , 所以, . 所以 . 分层训练 构建学科思维 7 10.如图,点为边上一点,连接,将沿 翻折后, 得到 ,则图中的全等三角形的对数是( ) C A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 分层训练 构建学科思维 8 11.如图,若与 全等, 请根据图中提供的信息,得出 的 值为( ) A A.20 B.18 C.60 D.50 第12题图 12.如图,,点的对应点 在 线段上,若, ,则 的 度数是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 13.如图,,则下列结论:; ; ; ,其中正确的有________（填序号）. ①②④ 第13题图 分层训练 构建学科思维 10 14.如图,,点在边上,求证: . 分层训练 构建学科思维 11 证明:因为 , 所以, . 所以 . 即 . 因为 , 所以 . 因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 12 15.如图,点,,, 在同一直线上, . （1）求证: ; 证明:因为 , 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 13 （2）若与相交于点,,,求 的长. 解:因为 , 所以 . 因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 14 $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 用“角边角”判定两个三角形全等 1.（甘孜州中考改编）如图，与相交于点， ，若 用“角边角”判定 ，则需要添加的条件是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图,已知,平分 ,下列结论错 误的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.如图,, ,则判定两个三角形全等的依据是______ ___. 角边角 第3题图 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点2 用“角角边”判定两个三角形全等 第4题图 4.如图,已知 ,若要用“角角边”判定 ,则需要添加的条件是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.如图,已知,, ,下列结论错误的是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.如图,,, ,则 的度数是 _____. 分层训练 构建学科思维 8 7.（宜宾中考）如图,已知,,求证: . 分层训练 构建学科思维 9 证明:因为 , 所以 . 在和 中, 所以 （角角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 10 ▶ 知识点3 “角边角”与“角角边”的实际应用 8.如图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形 被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 完全相同的三角形，下 列说法正确的是( ) B A.只有Ⅰ可以 B.只有Ⅰ、Ⅱ可以 C.作出三角形Ⅱ的依据是角角边 D.作出三角形Ⅲ的依据是边角边 分层训练 构建学科思维 11 9.（教材P119习题 变式）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如 图所示的四块（图中所标1,2,3,4）,你认为将其中的哪一块带去, 就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带第___块去,这利 用了三角形全等中的________原理. 2 角边角 分层训练 构建学科思维 12 第10题图 10.如图,已知,,与交于 点,过点并分别交,于, ,则图中的全等 三角形共有( ) B A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 第11题图 11.如图,, ,有下列3个结论: ,,③点 在 的平分线上,其中正确的结论是_______ （填序号）. ①②③ 分层训练 构建学科思维 13 12.如图，已知,相交于点,, ,求证: . 分层训练 构建学科思维 14 证明:在和 中, 所以（角角边）.所以 . 过点作于点 . 则 . 分层训练 构建学科思维 15 在和中， 所以 （角角边）. 所以 . 所以 , 即 . 分层训练 构建学科思维 13.如图,,,点在边上,,和 相交 于点 . （1）求证: ; 分层训练 构建学科思维 17 证明: 因为,所以 , 即 . 在和 中, 所以 （角边角）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）若平分， ,求 的度数. 解：由（1），知,又因为平分 ， 所以，所以 . 因为 ，所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 19 14.如图，小刚站在河边的 点处,在河的对 面（小刚的正北方向）的 处有一电线塔, 他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西 方向走了20步到达一棵树 处,接着再向前 走了20步到达处,然后他左转 直行,当 小刚看到电线塔、树与自己现处的位置 在 一条直线时,他共走了100步. 分层训练 构建学科思维 20 （1）根据题意,画出示意图; 解:画出示意图如图所示. 分层训练 构建学科思维 21 （2）如果小刚一步大约为50厘米,估计小刚在点 处时他与电线 塔的距离是多少,并说明理由. 分层训练 构建学科思维 22 解:由题意，知, . 在和 中, 所以（角边角）.所以 . 又因为小刚共走了100步,其中用了40步,所以走完 用了60步. 因为一步大约50厘米,所以 （米）. 答:小刚在点 处时他与电线塔的距离为30米. 分层训练 构建学科思维 $第4章 三角形 专题训练（八） 线段垂直平分线的性质的运用 1 类型1 求长度 1.如图,在中,是的垂直平分线,, 的周 长为,则 的周长为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.如图,在中,, ,点,分别为, 的中点,,,若,求 的长. 分层训练 构建学科思维 3 解:如图,连接, . 因为为的中点, ,所以 . 同理，可证 . 所以 为等腰三角形. 因为, , 分层训练 构建学科思维 4 所以 ,所以 . 所以 . 同理,可证 . 所以为等边三角形.所以 . 又因为,,所以 . 又因为 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 类型2 求角度 3.如图,在中, , ,的垂直平分线交 于 点,交于点,连接,求 的度数. 解:因为, , 所以 . 因为垂直平分,所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 6 4.如图,在中, ,和分别垂直平分 和 . （1）若,则 的度数是_____; （2）若,求 的度数. 分层训练 构建学科思维 7 解:因为垂直平分 , 所以.所以 . 因为垂直平分 , 所以.所以 . 因为 ,所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 8 类型3 与垂直平分线有关的作图 5.在国家精准扶贫政策的指导下,某县有两个 村庄, 种植了大量猕猴桃,现在正是丰收的 季节.为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地, 当地准备在两个村庄的公路 旁建立公用移 B A.处 B.处 C.处 D. 处 动通信基站（点，，，在直线 上）, 要使基站到两个村庄 的距离相等,基站应该建立在( ) 分层训练 构建学科思维 9 6.如图,河边有一块三角形菜地 ,要分给两人使用,为了分 配合理,要求每块菜地面积相等,而且都要靠近河边,便于取水.请想 办法把菜地合理分配. 分层训练 构建学科思维 10 解:如图,取的中点,连接 , 则 . 分层训练 构建学科思维 11 $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边） 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 ▶ 知识点1 用“边角边”判定两个三角形全等 1.下图中全等的三角形有( ) D A.图1和图2 B.图2和图3 C.图2和图4 D.图1和图3 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.（成都中考改编）如图，在 和 中，点，，， 在同一直线上， ， ，若用“边角边”判定 ，则还需要添加的条件为 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 第3题图 3.如图,已知点,,, 在同一条直线上, ,, ,则判定 的理论依据是________. 边角边 4.如图, ,若要用“边角边”证明 ，则需要添加的条件是 _________. 分层训练 构建学科思维 5 5.如图,在和中,与 相交于 点,, ,求证: . 证明:在和 中, 所以 （边角边）. 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点2 “边角边”判定的应用 6.如图,有一池塘,要测量池塘两端, 的 距离,可先在平地上取一个点,从点 不 经过池塘可以直接到达点和.连接 并延长到点,使.连接 并延 长到点,使.连接,那么量出的长就是, 的距离.请 在横线上补全证明过程和依据. 分层训练 构建学科思维 7 证明:在和 中, 所以 （边角边）. 所以 .（ _____________ ） [答案] ; 全等三角形的对应边相等 分层训练 构建学科思维 8 7.（广州中考）如图，是的中点，， ．求 证： 分层训练 构建学科思维 9 证明：因为是 的中点， 所以 ． 因为 ， 所以 ． 在和 中， 所以（边角边），所以 ． 分层训练 构建学科思维 10 8.（福建中考）如图，， ， ．求证： ． 分层训练 构建学科思维 11 证明：因为 ， 所以 ， 即 ． 在和 中， 所以（边角边），所以 ． 分层训练 构建学科思维 12 第9题图 9.如图,要用“边角边”证明 ,若已知 , ,则需要添加的条件是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 10.如图,平分,为上一点,若 ,则下列结论错误 的是( ) D 第10题图 A. B. C.平分 D.图中共有两对全等三角形 分层训练 构建学科思维 14 11.（北京中考）如图,在中,,点在 上 （不与点, 重合）.只需添加一个条件即可证明 ,这个条件可以是_______________（写出一个即 可）. 第11题图 分层训练 构建学科思维 15 12.如图,,, ,,则 _____. 第12题图 分层训练 构建学科思维 16 13.如图,在中,,点,,分别在,, 边上,且 , . 求证: . 分层训练 构建学科思维 17 证明:因为,，所以 . 在和中, 所以 （边角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 18 14.如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸 制或布制伞.油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈 沿着伞 柄滑动时，伞柄 始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ，伞骨，的，点固定不动，且到点 的距离 .当点在伞柄 上滑动时，处于同一平面的两条伞骨 和 相等吗？请说明理由. 分层训练 构建学科思维 19 解：相等.理由如下： 因为伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ， 所以 在和中， 所以 （边角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 20 15.如图,在四边形中, ,.延长 到点,使.连接 . 分层训练 构建学科思维 21 （1）求证: ; 证明:因为 , , 所以 . 在和中, 所以 （边角边）. 分层训练 构建学科思维 22 （2）若,,求 的长. 解:由（1），知 , 所以 . 因为, , 所以 . 所以的长为 . 分层训练 构建学科思维 23 $第4章 三角形 4.6 线段的垂直平分线 第2课时 作线段的垂直平分线 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 作线段的垂直平分线 题图 1.如图,一辆汽车在笔直的公路上由向 行驶,,分别是位于公路 两侧的村庄,当 汽车行驶到哪个位置时,与村庄, 的距离相 等.（保留作图痕迹,不写作法） 分层训练 构建学科思维 3 解:如解图,当汽车行驶到点时，与村庄， 的距离相等. 解图 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 过一点作已知直线的垂线 2.如图,已知直线是一条笔直的公路,现有一个村庄 要修一条公 路与 相通,要使其造价最低,请在图中画出要修的公路.（保留作图 痕迹，不写作法） 分层训练 构建学科思维 5 题图 解:如解图,线段 即为所要修的 公路. 解图 分层训练 构建学科思维 6 3.如图,在中,过点作交于点 .（保留作图痕迹, 不写作法） 解:如图, 即为所求. 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 已知底边及底边上的高线作等腰三角形 4.如图,已知线段, ,作等腰三角 形,使,且, 边上的高 .张红的作法是: ①作线段;②作线段 的 垂直平分线,与 相交于 C A.① B.② C.③ D.④ 点;③在直线上截取线段; ④连接,, 即为所求的 等腰三角形.上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是 ( ) 分层训练 构建学科思维 8 知识点4 作角平分线 5.（岳阳中考）如图，①在， 上分别截取线 段，，使；②分别以， 为圆心， 以大于的长为半径画弧，在 内两弧交于 30 点；③作射线．若 ，则____ ． 分层训练 构建学科思维 9 6.（柳州中考）通过如下尺规作图,能确定点是 边中点的是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 7.如图,已知:,射线上有一点 . 求作:等腰三角形,使线段为等腰三角形的底边,点 在 的平分线上. 解:如图, 即为所求. 分层训练 构建学科思维 11 $第4章 三角形 4.5 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的对称轴是( ) D A.中线 B.底边上的中线 C.中线所在的直线 D.底边上的中线所在的直线 2.（福建中考）如图,是等腰三角形 的顶角 平分线,,则 等于( ) B A.10 B.5 C.4 D.3 分层训练 构建学科思维 3 3.（宿迁中考）若等腰三角形有一个内角为 ，则这个等腰 三角形的底角是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.如图,在中， . （1）若平分,则___,___ ; （2）若,则___,___ ; （3）若,则___ , ___ . 分层训练 构建学科思维 5 5.如图,在中,,是 内一点,且 .求证: . 证明:因为 , 所以 . 因为 , 所以 . 所以 , 即 . 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点2 等边三角形的性质 第6题图 6.如图,是等边三角形,点在 上, ,则 的度数为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 第7题图 7.如图,过等边三角形的顶点 作射线,若 ,则 的度数是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.如图,在等边三角形中,点是边的中点,则 _____. 分层训练 构建学科思维 9 9.如图,在等边三角形中,和分别为边和 上的高,且 相交于点,求 的度数. 分层训练 构建学科思维 10 解:因为 是等边三角形, 所以 . 因为和分别是边和 上的高, 所以 , . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 11 10.（青海中考）等腰三角形的一个内角为 ,则另外两个内角 的度数分别是( ) D A. , B. , 或 , C. , D. , 或 , 11.如图,,等边三角形的顶点 在直 线上, ,则 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 12.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ,则该三角形 的底角为( ) C A. B. C. 或 D. 或 分层训练 构建学科思维 13 第13题图 13.（新疆中考）如图，在 中，若 ，， ，则 ____ . 52 第14题图 14.如图,已知是等边三角形,点, , ,在同一直线上,且, , 则 ____度. 15 分层训练 构建学科思维 14 15.如图,在等边中,在边上,点在 外, , ,,与相交于点 ,求 和 的度数. 分层训练 构建学科思维 15 解:因为 是等边三角形, 所以 . 因为 , 所以 . 因为 , 所以 . 因为, , 分层训练 构建学科思维 16 所以 . 又因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 16.如图,在中,,点在上,且 ,求 的度数. 分层训练 构建学科思维 18 解:设,因为 , 所以 , 所以 . 因为 , 所以 . 因为,所以 . 在中, ,即 , 解得 .所以 . 分层训练 构建学科思维 19 17.三个等边三角形的摆放位置如图所示,若 ,求 的度数. 题图 分层训练 构建学科思维 20 解图 解:如解图，设三个等边三角形相交的点分别为 , , ， 因为图中是三个等边三角形, , 所以 , , . 因为 , 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 21 $第4章 三角形 教材回归（八） 构造等腰三角形的常用方法 （针对教材P131例2） 1 【教材母题】（教材P131例2） 如图,在中,,,分别是, 上的点, 且.求证: 为等腰三角形. 证明:因为 , 所以 . 又因为 , 所以, . 所以 . 于是 为等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 2 类型1 过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等 腰三角形.如图1,若,过点作的平行线,可得到 为等腰三角形;如图2，若，过点作 的平行线可得到 为等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 3 图1 图2 分层训练 构建学科思维 4 1.如图,在中,,点在上,点在 的延长线上,且 ,交于点 . 求证: . 分层训练 构建学科思维 5 证明:如图，过点作交于点 , 则, . 因为,所以 . 所以,所以 . 因为,所以 . 在和 中, 分层训练 构建学科思维 6 所以 （角角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 2.如图,点在等边三角形的边上,点在边 上,连接并延长交的延长线于点, .求 证: . 证明:如图,过点作,交于点 ,则 . 在和 中, 分层训练 构建学科思维 8 所以 （角边角）. 所以 . 因为是等边三角形,且 , 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 类型2 利用角平分线 平行线构造等腰三角形 当三角形中出现角平分线时,可 作平行线构造等腰三角形, 为 的角平分线.如图1,过点 作,交的延长线于点, 则 为等腰三角形;如图2, 过点作,则为等腰三角形;如图3,过点作 , 交的延长线于点,则 为等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 10 3.如图,在中,平分,,分别在 , 上,且, . 求证: . 分层训练 构建学科思维 11 证明:如图,过点作,交 的延长线于点 ,则 , . 在和 中， 所以 （角角边）. 分层训练 构建学科思维 12 所以 . 又因为 , 所以 . 所以 . 因为平分 , 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 类型3 运用倍角关系构造等腰三角形 4.如图,在中,平分交于点,且 ,求 证: . 分层训练 构建学科思维 14 证明:如图，在上截取,连接 . 因为平分 , 所以 . 在和 中, 所以 （边角边）. 分层训练 构建学科思维 15 所以, . 又因为 , 所以 . 又因为 ， 所以 . 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 $第4章 三角形 教材回归（九） “手拉手”模型问题——共顶点的 等腰三角形（针对教材P118习题 ） 1 【教材母题】（教材P118习题 ） 如图,已知,, ,且 . 求证: . 分层训练 构建学科思维 2 证明:因为, , 所以 , 所以 , 即 . 在和 中, 所以 （角边角）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 3 类型1 共顶点的等边三角形 在两个共顶点的等边三角形中, 一般需要找出一组全等的三角形 解决问题,如图,和 为等边三角形,则根据边角边可得 . 分层训练 构建学科思维 4 第1题图 1.如图,点,,在同一直线上, 和 均是等边三角形,与交于点 , ,分别与,交于点, ,有如下结 论:; ; ;; 为等边三 角形.其中正确的结论有( ) A A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 分层训练 构建学科思维 5 2.如图,已知是等边三角形内一点,是线段 延长线上一点, 且, ,连接,,那么 _____. 第2题图 分层训练 构建学科思维 6 3.如图,,均为等边三角形,连接 , 交于点,与交于点 . 求证: . 分层训练 构建学科思维 7 证明:因为和 都是等边三角形, 所以, , . 所以 , 即 . 在和 中, 分层训练 构建学科思维 8 所以 （边角边）. 所以 . 因为 , 且 , 所以 , 即 . 分层训练 构建学科思维 类型2 共顶点的等腰直角三角形 在两个共顶点的等腰直角三角形中,一般需要找出一组全等的三 角形解决问题,如图,和 均为等腰直角三角形,则根据 边角边可得 . 分层训练 构建学科思维 10 4.已知和 都是等腰直角三角形, ,连接,交于点与交于点, 与交于点 . 分层训练 构建学科思维 11 （1）如图1,求证: ; 证明:因为和 都是等腰直角三角形, 所以 ,, , 所以 , 即 . 在和 中, 分层训练 构建学科思维 12 所以 （边角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 （2）如图2,若 ,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写 出图2中四对全等的 直角三角形. 解:, , , . 分层训练 构建学科思维 14 $第4章 三角形 全国视野+核心素养专练 1 1.【几何直观、应用意识】（益阳中考）如图1所示，将长为6的 矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若 要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中 的值可以是 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 分层训练 构建学科思维 2 2.【应用意识、模型观念】（德阳中考）八一中学九年级2班学 生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和 .那么杨 冲、李锐两家的直线距离不可能是( ) A A. B. C. D. 第3题图 3.（深圳中考）如图所示，一个含有 角的 三角形纸片，剪去这个 角后，得到一个四 边形，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 4.【模型观念、应用意识、几何直观】（河北中考）平面内，将 长分别为1，5，1，1， 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形 （如图），则 可能是( ) C 第4题图 A.1 B.2 C.7 D.8 分层训练 构建学科思维 4 5.【抽象能力、几何直观、应用意识】在测量一个小 口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“ 型转动 钳”按如图所示的方法进行测量，其中 ， ，测得厘米， 厘米，则圆形容 器的壁厚是( ) D A.2厘米 B.1.5厘米 C.1厘米 D.0.5厘米 分层训练 构建学科思维 5 6.（株洲中考）如图所示，已知 ，正五边形 的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 ____度. 48 分层训练 构建学科思维 6 7.【传统文化】（巴中中考）如图，是中国象棋残局图的一部分， 请用线段将图中棋子所在的格点按指定方向顺次连接，组成一个 多边形.连接顺序为：将 象 炮 兵 马 車 将，则组 成的多边形的内角和为_____度. 720 分层训练 构建学科思维 7 8.【创新题】（北京中考）下面是证明三角形内角和定理的两种 添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.#3 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 已知：如图，，求证： . __________________________________________ 分层训练 构建学科思维 8 方法一 证明：如图，过点 作 . _______________________________________________________ 方法二 证明：如图，过点作 . _______________________________________________________________ 续表 分层训练 构建学科思维 证明：方法一：因为 ， 所以， . 因为 ， 所以 . 方法二：因为 ， 所以， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 10 9.【数学文化】【模型观念、几何直 观、应用意识】莆仙戏是现存最古老 的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏 的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家 舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”.该剧中“油纸伞”无疑 是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲 美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌.“油纸伞”的制作工艺十分巧 妙. 如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨， ， 从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的 .为什 么？#4 分层训练 构建学科思维 11 解：伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ，理由如 下： 在和中， 所以 （边边边）. 所以，即平分 . 分层训练 构建学科思维 12 10.【几何直观、应用意识】在等边的顶点， 处各有一 只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向 爬 行，经过后，它们分别爬到了，处.和交于点 .蜗 牛在爬行过程中，和所成的 的大小有无变化？请证明 你的结论. 分层训练 构建学科思维 13 解：和所成的 的大小不变. 证明：由题意，得， ，两只 蜗牛速度相同，且同时出发， 所以 . 在和中， 所以 （边角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 14 11.【推理能力】（牡丹江中考节选）如图，和 ，点 ，在直线上，，， . 如图1，易证： .请解答下列问题： 图1 图2 图3 分层训练 构建学科思维 15 （1）如图2，如图3，请猜想，， 之间的数量关系，并 直接写出猜想结论； 解：图2：，图3： . 分层训练 构建学科思维 16 （2）请选择（1）中任意一种结论进行证明. 证明：若选图2：因为，， ， 所以.所以 . 所以 . 若选图3：因为，， ， 所以.所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 17 $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边） 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 用“边边边”判定两个三角形全等 第1题图 1.如图，， ，判定 的依据是( ) A A.边边边 B.角边角 C.边角边 D.角角边 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，在中，点在边上，点在线段 上， ， ，则依据“边边边”可以判定( ) D 第2题图 A. B. C. D.以上都对 分层训练 构建学科思维 4 第3题图 3.如图，，， ，则 等于( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 第4题图 4.如图，已知 ，若要用“边边边”判定 ，则应添加的条件是__________. 5.如图，已知，， ，若 ，，则___ 4 分层训练 构建学科思维 6 6.（云南中考）如图，是 的 中点，， ．求 证： ． 证明：因为C是BD的中点，所以 ． 在和中， 所以 （边边边）． 分层训练 构建学科思维 7 7.（教材115练习1变式）如图， 与 相交于点，且， ， 连接求证： 证明：在和 中， 所以 （边边边）， 所以 分层训练 构建学科思维 8 知识点2 三角形的稳定性 8.三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的 形状和大小就确定了，其理论依据是( ) D A.边角边 B.角边角 C.角角边 D.边边边 9.下列选项中，不是利用三角形稳定性的是( ) D A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三脚架 D.学校的栅栏门 分层训练 构建学科思维 9 10.如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条， 这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是______________ ___. 三角形的稳定性 分层训练 构建学科思维 10 11.如图，点在线段上，若 ， ，则图中的全等三角形共有( ) C A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 分层训练 构建学科思维 11 第12题图 12.工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做 法如下：如图，已知 是一个任意角，在 边，上分别取 ，移动角尺，使 角尺两边相同的刻度分别与点， 重合，则 过角尺顶点的射线便是 的平分线.在 A A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边 证明 时运用的判定定理是 ( ) 分层训练 构建学科思维 12 第13题图 13.如图，已知，，点 ， ，， 在同一条直线上，要利用“边边边”推 理得出 ，还可以添加的条件是 ________. ②或④ ； ； ； 分层训练 构建学科思维 13 14.如图，点，在线段上，，， 求证： 分层训练 构建学科思维 14 证明：因为 ， 所以 ， 即 在和 中， 所以 （边边边）. 所以 分层训练 构建学科思维 15 15.如图，点，，，在直线上（点，点 之间不能直接测 量），点，在异侧，测得，， 求 证：， 分层训练 构建学科思维 16 证明：因为，所以 ， 即 ， 在和中， 所以 （边边边）. 所以， 所以， 分层训练 构建学科思维 17 16.如图，，，是上两动点，且有 分层训练 构建学科思维 18 （1）若点，运动至如图1所示的位置，且有 ，求证： ； 证明：因为 ， 所以，即 在和中， 所以 （边边边）. 分层训练 构建学科思维 19 （2）若点，运动至如图2所示的位置，仍有 ，则 还成立吗？为什么？ 解： 仍成立.理由如下： 因为 ， 所以，即 在和中， 所以 （边边边）. 分层训练 构建学科思维 20 $第4章 三角形 4.1 认识三角形 第1课时 三角形 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 三角形的有关概念 1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，点在的边上，连接 （1）图中以 为边的三角形分别是 ________________； ， （2） 是________________的内角； ， （3）图中共有___个三角形，它们分别是 ________________________； 3 ，， （4）在中，的对边是____，在中， 的对角是 _______. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 等腰三角形与等边三角形 3.如图，将三角形按边分类，图中 小椭圆圈里的 表示( ) D A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，在中，若，则 是______三角形， 腰是_________，是______， 是______，底角是_________； 若，则 是______三角形. 等腰 ， 底边 顶角 ， 等边 分层训练 构建学科思维 6 5.如图，已知， ，则图中有 ___个等腰三角形，有___个等边三角形. 4 1 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 三角形的三边关系 6.（长沙中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) C A.1，3，4 B.2，2，7 C.4，5，7 D.3，3，6 7.（2024·淮安）用一根小木棒与两根长度分别为、 的 小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.判断下列各组线段能否组成三角形. （1），， ； 解：因为， ， 所以，故线段，， 能组成三角形. （2），， 解：因为， ， 所以，故线段，， 不能组成三角形. 分层训练 构建学科思维 9 9.如图，以 为边的三角形共有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 10 10.已知一个等腰三角形的两边长分别为， ，则该三角 形的周长是( ) C A. B.或 C. D. 11.下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是( ) C A.2，2，4 B.2，3，4 C.4，2，4 D.3，3，7 分层训练 构建学科思维 11 12.（绍兴中考）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连， 围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角 形的最长边长为( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 13.已知，，是 的三边，则化简 的结果是____________. 分层训练 构建学科思维 12 14.已知三角形的三条边长为互不相等的整数，且有两边长分别 为7和9，另一条边长为偶数. 解：两边长分别为9和7，设第三边长是 ，则 ，即 [答案] 第三边长是4（答案不唯一）. [答案] 第三边长是4（答案不唯一）. （1）请写出一个符合上述条件的第三边长； 分层训练 构建学科思维 13 （2）若符合上述条件的三角形共有个，求 的值. [答案] 因为，且 为偶数， 所以的值可能为4，6，8，10，12，14共6个，所以 的值是6. 分层训练 构建学科思维 14 15.用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果底边长是腰长的一半，求各边长； 解：设底边长为，则腰长为 ，由题意，得 ，解得 ， 故 答：各边长分别为，， 分层训练 构建学科思维 15 （2）能围成其中一条边长为 的等腰三角形吗？如果能，请 求出它的另外两条边长；如果不能，请说明理由. 解：能围成.理由如下： 若腰长为，设底边长为 ， 则，解得 此时三边长分别为，， 因为 ，所以不能围成三角形； 分层训练 构建学科思维 16 若底边长为，设腰长为 ， 则，解得 此时三边长分别为，， ，能围成三角形. 所以它的另外两条边长分别为， 分层训练 构建学科思维 16.已知的三边长分别为，， （1）若，，满足，试判断 的 形状； 解：因为 ， 所以且 所以所以 为等边三角形. 分层训练 构建学科思维 18 （2）若，，且为整数，求 的周长. 解：因为，，且 为整数， 所以，即 ， 所以 的值为3或4或5， 所以 的周长为9或10或11. 分层训练 构建学科思维 19 $第4章 三角形 4.1 认识三角形 第3课时 三角形的内角与外角 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 三角形的内角和 1.在中, 的度数为( ) C A. B. C. D.不确定 2.在中,如果 , ,那么 等于( ) C A. B. C. D. 3.在中,,则 的度数为( ) B A. B. C. D.无法确定 分层训练 构建学科思维 3 4.若三角形的三个内角的度数之比为 ,那么这个三角形的最 大内角的度数为______. 5.（教材P90例3变式）在中,,求, , 的度数. 解:设的度数为.则的度数为的度数为 ,从而有 .解得 . 因此 , , . 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 三角形按角分类 6.在中, , ,则 的形状是( ) B A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 7.如图,一个三角形只剩下一个角,这个三角形为( ) B A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 分层训练 构建学科思维 5 8.（遂宁中考）若三角形三个内角的比为 ，则这个三角形 是______三角形． 直角 分层训练 构建学科思维 6 知识点3 三角形的外角 第9题图 9.如图,下列说法中正确的是( ) C A.是 的外角 B.是 的外角 C.是 的外角 D. 分层训练 构建学科思维 7 10.如图,在中, , ,则 为( ) 第10题图 C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 11.一副三角板,按如图所示的方式叠放在一 起,则图中 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 12.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是( ) D A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 分层训练 构建学科思维 10 第13题图 13.（聊城中考）如图，分别过的顶点， 作 ．若 ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 第14题图 14.如图,若 , , ,则 的度数是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 15.将一副三角板按图中方式叠放,那么两条最长边所夹锐角 的 度数是_____. 分层训练 构建学科思维 13 16.已知:如图,在中,为上一点,, , ,求 的度数. 分层训练 构建学科思维 14 解:因为 ， 所以 因为,，且 ， 所以 .② 把②代入①,得 ,所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 15 17.如图,的外角和的平分线交于点 , ,求 的度数. 分层训练 构建学科思维 16 解:因为在中, , 所以 . 因为,分别是与 的平分线, 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 17 18.（1）探究:如图1,试说明与,, 之间的数量关系； 图1 分层训练 构建学科思维 18 图1 解:如图1,连接,并延长到点 . 因为是 的外角, 所以 .① 因为是 的外角, 所以 .② ,得 , 即 . 分层训练 构建学科思维 19 （2）应用:如图2, , ,求 的度数. 图2 分层训练 构建学科思维 20 图2 解:如图2,连接 ,由（1）,得 , .④ ④, 得 , 即 . 分层训练 构建学科思维 21 $第4章 三角形 教材回归（三） 与三角形角平分线有关的计算 （针对教材P94习题 ） 1 【教材母题】（教材P94习题 ） 如图,在中, ,与 的平分线相 交于点,求 的度数. 解:因为 ， 所以 . 因为点是和 的平分线的交点, 所以 . 分层训练 构建学科思维 2 类型1 三角形两内角平分线的夹角问题 基本模型: 分层训练 构建学科思维 3 1.已知 分层训练 构建学科思维 4 （1）如图1,若和的角平分线交于点 . ①当 时,试求 的大小; 解:因为 ,且 , 所以 . 因为点是与 的平分线的交点, 所以 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 5 ②当时,试求的大小;（用含 的代数式表示） 解:因为 , 所以 , 因为点是与 的平分线的交点, 所以 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 6 （2）如图2,若,且和 的三等分线（即将一个角 平均分成三等分的射线）相交于点,,试求 的大小; [答案] 因为点是与 的三等分线的交点, 所以 , 则 . 拓展: 分层训练 构建学科思维 （3）如此类推,如图3,若,且和的 等分线自下 而上依次相交于点,,, ,试探求的大小与 的关系是 _ __________________. 分层训练 构建学科思维 8 类型2 三角形两外角平分线的夹角问题 基本模型: 分层训练 构建学科思维 9 2.如图,,分别平分的外角和 . （1）若 ,求 的度数; 分层训练 构建学科思维 10 解:因为,分别是的外角和 的平分线， 所以 , , 所以 . 又因为 , 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 11 （2）试判断与 之间的数量关系，并说明理由. 解: .理由如下: 因为,分别是的外角和 的平分线, 所以 , . 所以 . 分层训练 构建学科思维 12 所以 . 又因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 类型3 三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角问题 基本模型: 分层训练 构建学科思维 14 3.如图1,是的外角,平分,平分 ,且 ，交于点 . 图1 备用图 分层训练 构建学科思维 15 （1）试说明: ; 解图1 解：如解图1,因为平分,平分 ， 所以， . 因为 , 所以 . 又因为 , 分层训练 构建学科思维 16 所以 . 因为平分,所以 , 所以 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 （2）若，是两个外角的平分线且交于点,则 与 又有什么关系?请说明理由. 解图2 解： .理由如下:如解图2,因为 ， 是 两个外角的平分线, 所以, , 而 , 分层训练 构建学科思维 18 , 所以, . 因为 , 所以, 即 . 因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 $第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.1 定义，命题 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 ▶ 知识点1 定义 1.下列语句中，属于定义的是( ) B A.直线和 垂直吗 B.两边相等的三角形是等腰三角形 C.过线段的中点作 的垂线 D.同位角相等，两直线平行 分层训练 构建学科思维 3 2.下列描述不属于定义的是( ) B A.三角形三条中线的交点叫作重心 B.三角形任意两边之和大于第三边 C.在同一平面内三条线段首尾顺次连接得到的图形叫作三角形 D.含有未知数的等式叫作方程 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 命题 3.下列语句中，是命题的是( ) A A.两个相等的角是对顶角 B.在直线上任取一点 C.用量角器量角的度数 D.直角都相等吗 分层训练 构建学科思维 5 4.写出下列命题的条件和结论： （1）命题“等角的补角相等”的条件是____________，结论是 ____________________； （2）命题“平行于同一直线的两条直线平行”的条件是_________ _________________，结论是________________. 两个角相等 这两个角的补角相等 两条直线 平行于同一条直线 这两条直线平行 分层训练 构建学科思维 6 5.将下列命题改写成“如果 ，那么……”的形式. （1）能被4整除的数也能被2整除； 解：如果一个数能被4整除，那么这个数也能被2整除. （2）两直线平行，同旁内角互补； 解：如果两直线平行，那么同旁内角互补. （3）两点确定一条直线. 解：如果在平面内有两个点，那么过这两个点有且只有一条直线. 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点3 真命题与假命题 6.下列命题中，是真命题的是( ) B A.两直线平行，同旁内角相等 B.全等三角形的面积相等 C.如果，那么， D.三角形的一个外角大于任何一个内角 分层训练 构建学科思维 8 7.下列命题中，是假命题的是( ) C A.两点之间，线段最短 B.角的平分线是一条射线 C.三角形的高都在三角形内部 D.三角形的三条中线交于三角形内一点 分层训练 构建学科思维 9 ▶ 知识点4 互逆命题 8.下列命题中，其逆命题是真命题的是( ) A ①两直线平行，同位角相等； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④无理数是无限小数. A.① B.② C.③ D.④ 分层训练 构建学科思维 10 9.命题“对顶角相等”的原命题是____________；逆命题是_______ ___________；这两个命题称为__________. 对顶角相等 相等的 角是对顶角 互逆命题 分层训练 构建学科思维 11 10.写出下列命题的逆命题. （1）等边三角形是等腰三角形； 解：逆命题是等腰三角形是等边三角形. （2）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等. 解：逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数. 分层训练 构建学科思维 12 11.下列描述中不属于定义的是( ) D A.分母中含有未知数的方程叫作分式方程 B.大于 而小于 的角是钝角 C.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式 D.两数相乘，同号得正 分层训练 构建学科思维 13 12.下列语句中，不是命题的是( ) C A.如果，那么， 互为相反数 B.内错角相等 C.已知， 的值是多少 D.负数大于正数 分层训练 构建学科思维 14 13.命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是__________________ _____________. 两边相等的三角形 是等腰三角形 14.阅读以下句子，按要求完成填空：①同角的补角相等；②有 一个内角是钝角的三角形叫作钝角三角形；③如果 ， ，那么， ； 是偶数；⑤若，则 ，其中定义是____，命题是 ____________.（填序号） ② ①②③④⑤ 分层训练 构建学科思维 15 15.判断下列语句是不是命题，如果是命题，请写出它的条件和 结论，并把该命题改写成“如果 ，那么……”的形式. （1）同旁内角互补； 解：是命题，条件是两个角是同旁内角，结论是这两个角互补. 改写成“如果 ，那么……”的形式为如果两个角是同旁内角， 那么这两个角互补. （2）画一个 的角； 解：不是命题. 分层训练 构建学科思维 16 （3）两个负数的积是正数. 解：是命题，条件是两个数是负数，结论是这两个数的积是正数， 改写成“如果 ，那么……”的形式为如果两个数是负数，那 么这两数的积是正数. 分层训练 构建学科思维 17 16.写出下列命题的逆命题，并判断其真假. （1）如果，那么 ； 解：逆命题是如果，那么 ，是假命题. （2）若分式的分子为零，则分式的值为零； 解：逆命题是若一个分式的值为零，则它的分子为零，是真命题. （3）互补的两个角一个是钝角，一个是锐角. 解：逆命题是一个锐角和一个钝角互补，是假命题. 分层训练 构建学科思维 18 17.（1）如图，，， 于 点，猜想与 的位置关系，并说明理由； 分层训练 构建学科思维 19 解： 理由如下：因为，所以 所以 因为，所以 所以 又因为，所以 分层训练 构建学科思维 20 （2）在（1）的说明理由过程中，你应用了哪两个互为逆命题的 命题？ 解：在（1）的说明理由过程中，应用了“两直线平行，同位角相 等”和它的逆命题“同位角相等，两直线平行”. 分层训练 构建学科思维 21 $第4章 三角形 教材回归（六） 全等三角形的基本模型（针对教材 P115练习T2） 1 【教材母题】 （教材P115练习T2） 如图,点,,,在同一条直线上,,, .求 证:, . 分层训练 构建学科思维 2 证明:因为 , 所以,即 . 在和 中, 所以 （边边边）. 所以, . 所以, . 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 类型1 平移模型 如图，可看成是由对应相等的边在同一方向上移动所构成的，故 对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段的和、差求得. 分层训练 构建学科思维 4 1.（衢州中考）已知：如图，在和中，，， ， 在同一条直线上．下面四个条件： ；；； ． 分层训练 构建学科思维 5 （1）请选择其中的三个条件，使得 （写出一种 情况即可）； 解：由题，知选择的三个条件是①②③. 或者选择的三个条件是①③④． 分层训练 构建学科思维 6 （2）在（1）的条件下，求证： 证明：当选择条件是①②③时， 因为 ， 所以，即 ． 在和中， 所以 （边边边）． 分层训练 构建学科思维 7 当选择条件是①③④时， 因为 ， 所以，即 ． 在和 中， 所以 （边角边）． 分层训练 构建学科思维 ▶ 类型2 对称模型 如图，图形沿着某一条直线折叠，这条直线两侧的部分能够完全 重合，重合的顶点即为全等三角形的对应点. 分层训练 构建学科思维 9 分层训练 构建学科思维 10 2.（长沙中考）如图，平分，， ，垂 足分别为， . （1）试说明： ； 分层训练 构建学科思维 11 解：因为平分，所以 . 因为， ， 所以 . 在和 中， 所以 （角角边）. 分层训练 构建学科思维 12 （2）若，，求四边形 的面积. 解：由（1）,知 ， 所以， . 因为 ， 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 13 ▶ 类型3 旋转模型 如图，可看成是三角形绕着某个顶点旋转而成的，故一般有一对 相等的角隐含在对顶角或某些角的和、差之中. 分层训练 构建学科思维 14 3.（西藏中考）如图，已知，， ．求 证： ． 分层训练 构建学科思维 15 证明：在和 中， 所以 （边边边）， 所以 ， 所以 ， 即 ． 分层训练 构建学科思维 16 ▶ 类型4 一线三等角模型 如图，若三个角相等，均为 ，则根据三角形内角和定理，可以 推导出 .解题过程中多数用到“同（等）角的余角相等”， 从而可求得相等的角. 分层训练 构建学科思维 17 4.已知是经过顶点的一条直线，，， 是直 线上的两点，且 . （1）如图1，若 ， ，则 ___ ;（填“ ”“ ”或“ ”） 图1 分层训练 构建学科思维 18 （2）如图2，若 ，则（1）中的结论是否 成立？请说明理由； 图2 分层训练 构建学科思维 19 解：成立.理由如下： 因为 ， , ， 所以 . 在和中， 所以（角角边），所以 . 分层训练 构建学科思维 20 （3）如图3，若，则线段，， 之 间有何数量关系？说明理由. 图3 分层训练 构建学科思维 21 解： .理由如下： 因为,且 ， , 所以 . 在和中， 所以 （角角边）. 所以， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 22 $第4章 三角形 4.4 尺规作图 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 已知三边作三角形 1.用尺规作图,已知三边作三角形,用到的基本作图是( ) C A.作一个角等于已知角 B.作已知直线的垂线 C.作一条线段等于已知线段 D.作角的平分线 分层训练 构建学科思维 3 2.作图:请你在图中作出一个以线段为一边的等边三角形 . （要求:用尺规作图,并写出已知、求作,保留作图痕迹,不写作法） 解:已知:线段 . 求作:,使 . 分层训练 构建学科思维 4 如图, 即为所求. 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点2 作一个角等于已知角 3.尺规作图“作一个角等于已知角”的依据是( ) C A.角边角 B.边角边 C.边边边 D.角角边 分层训练 构建学科思维 6 4.（陕西中考）如图,已知,, .请用尺规作 图法,在边上求作一点,使 .（保留作图痕迹,不写 作法,答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 7 解:如解图,点 即为所求. 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 知识点3 已知两边及夹角作三角形 5.已知 和线段,,求作,使, , .作法如下:①在射线 上截取线段 ;②作一条线段;③以为顶点,以 为 ②③①④ 一边,作 ;④连接,则 就是所求作的三角形.作 法的合理顺序为__________（填序号即可）. 分层训练 构建学科思维 9 6.已知：线段，和 （如图），利用直尺和圆规作 ， 使，， .（不写作法，保留作图痕迹）. 解：如图， 即为所求作的三角形. 分层训练 构建学科思维 10 ▶ 知识点4 已知两角及夹边作三角形 7.如图,已知 , ,线段 . 求作:,使得 , , . 分层训练 构建学科思维 11 作法: （1）作线段 ___; （2）在的同旁,作 ,作 ___,与 交 于点___. 就是所求作的三角形. 分层训练 构建学科思维 12 ▶ 知识点5 过直线外一点作这条直线的平行线 图1 8.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平 行线”的尺规作图过程. 已知：如图1，直线和直线外一点 . 求作：直线的平行直线，使它经过点 . 分层训练 构建学科思维 13 图2 作法：如图2. （1）过点作直线与直线 交于点 ； （2）以点为圆心，小于 的长度为半径画圆角弧，交 交于点，交于点 ； （3）以点为圆心， 长为 半径画弧，交直线于点 ； 分层训练 构建学科思维 14 （4）以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点 ； （5）连接，则直线 就是所求作的平行线. 请回答：该作图的依据是________________________. 同位角相等，两直线平行 分层训练 构建学科思维 15 9.用尺规作图,不能作出唯一的三角形的是( ) C A.已知三条边 B.已知两边及其夹角 C.已知三个角 D.已知两角及其夹边 分层训练 构建学科思维 16 10.如图,点在的边上,用尺规作出了 ,作图痕迹 中,弧 是( ) D A.以点为圆心, 为半径的弧 B.以点为圆心, 为半径的弧 C.以点为圆心, 为半径的弧 D.以点为圆心, 为半径的弧 分层训练 构建学科思维 17 11.如图，已知线段,用尺规作,使, （不写作法,保留作图痕迹）. 解:如解图, 即为所求. 分层训练 构建学科思维 18 12.（陕西中考）如图,已知,是边 延长线上一定点,请用 尺规作图法,在边的延长线上求作一点,使 . （保留作图痕迹,不写作法） 分层训练 构建学科思维 19 题图 解:如解图,点 即为所求. 解图 分层训练 构建学科思维 20 题图 13.在中，是 的角平分线. （1）过点作，交于点 （尺规作图， 保留作图痕迹）； 分层训练 构建学科思维 21 解：如解图，线段 即为所求. 解图 分层训练 构建学科思维 22 （2）若 ， ，求 的度数. 解：因为 ， ， 所以 ， 因为是 的角平分线， 所以 ， 因为 ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 23 $第4章 三角形 4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 线段的垂直平分线 1.如图,线段与直线相交于点,且点与点 关于直线 对称,则有( ) B A.垂直平分 B.垂直平分 C.与 互相垂直平分 D.以上都不对 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 知识点2 线段的垂直平分线的性质 第2题图 2.如图,已知直线垂直平分线段,是 上一点,已知 ,则 的长( ) A A.等于1 B.小于1 C.大于1 D.不能确定 分层训练 构建学科思维 4 第3题图 3.如图,垂直平分线段,若 , ,则四边形 的周长是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.（青海中考）如图，在中，是 的垂直平分线．若 ，，则 的周长是____． 13 5.（益阳中考改编）如图,在中, 的 垂直平分线交于点,平分 ,若 ,求 的度数. 分层训练 构建学科思维 6 解:因为垂直平分 , 所以 . 因为 ， 所以 . 又因为平分 , 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点3 线段的垂直平分线的判定 6.如图,, ,则下列说法正确的是( ) A A.垂直平分 B.垂直平分 C.与 互相垂直平分 D.平分 分层训练 构建学科思维 8 7.如图,在中, , ,是 的平分线,交 于点 . 求证:点在线段 的垂直平分线上. 分层训练 构建学科思维 9 证明:因为 , , 所以 . 又因为平分 , 所以 . 所以 . 所以 , 所以点在线段 的垂直平分线上. 分层训练 构建学科思维 10 8.若是所在平面内的点,且 ,则下列说法正 确的是( ) A A.点是 三边垂直平分线的交点 B.点是 三条角平分线的交点 C.点是 三边上高线的交点 D.点是 三边中线的交点 分层训练 构建学科思维 11 9.如图,直线是线段的垂直平分线,点在直线 外,且与点在直线的同一侧,点是直线 上的任 意点,连接,, ,则下列关系正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 第10题图 10.如图,在中,过直角边上的一点 ,作 直线交于点,交的延长线于点 ,若 ,则 点在( ) B A.的垂直平分线上 B. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上 D.以上答案都不对 分层训练 构建学科思维 13 第11题图 11.如图,在中，是 的平分 线,垂直平分交的延长线于点 , 连接,若 ,则 的度数为 _____. 分层训练 构建学科思维 14 12.如图,在中, ,是延长线上一点,是 的 垂直平分线与的交点,连接交于点.求证:点在 的 垂直平分线上. 分层训练 构建学科思维 15 证明:因为是线段 的垂直平分线, 所以 , 且 . 所以 . 因为 , 所以，所以 . 所以, . 所以,所以 ， 即点在 的垂直平分线上. 分层训练 构建学科思维 16 13.如图,直线与分别是边和的垂直平分线,与 分 别交边于点和点,连接, . 分层训练 构建学科思维 17 （1）若,则 的周长是多少? 解:因为直线与分别是边和 的垂直平分线, 所以, . 所以的周长为 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）若 ,求 的度数. 解:因为直线与分别是边和 的垂直平分线, 所以, , 所以, . 又因为 , 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 19 $第4章 三角形 专题训练（九） 全等三角形中常见辅助线的作法 1 ▶ 类型1 直接连接对应点,构造全等三角形 1.（鞍山中考）如图,在四边形中,,点, 分 别在,上,,,求证: . 分层训练 构建学科思维 2 证明:如图,连接 . 在和 中, 所以 （边边边）.所以 . 所以 , 分层训练 构建学科思维 3 即 . 在和中, 所以（角角边）.所以 . 分层训练 构建学科思维 2.如图,在四边形中, , ,延长 到点,使，连接 . 求证: 分层训练 构建学科思维 5 （1） ; 证明:由图可知，可将四边形分为与 个 三角形， 因为三角形的内角和为 ， 所以四边形的内角和为 , 所以 . 因为 , 所以 . 又因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 6 （2） . [答案] 由（1）,得 . 在和 中, 所以 （边角边）. 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 类型2 作垂线,构造全等三角形 3.如图,在四边形中,平分, ,求 证: . 分层训练 构建学科思维 8 证明:如图，过点作于点 , 交的延长线于点 . 所以 . 因为平分,所以 . 因为,所以 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 9 因为 , , 所以 . 在和中, 所以（角角边）,所以 . 分层训练 构建学科思维 ▶ 类型3 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 4.如图,在中,,平分交于点,是 上 一点,且,连接.求证: . 题图 分层训练 构建学科思维 11 解图 证明:如解图，过点作于点 , 因为,所以 . 因为,所以 . 因为平分 , 所以 . 在和中， 所以 （边角边）, 所以 .所以 . 分层训练 构建学科思维 12 ▶ 类型4 倍长中线,构造全等三角形 倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角 形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 5.（安顺中考） 分层训练 构建学科思维 13 （1）阅读理解:如图1,在四边形 中, ,是的中点,若是 的平分线, 试判断,, 之间的等量关系. 解决此问题可以用如下方法:延长交 的延长 线于点,易证,得到 ,从 而把,, 转化在一个三角形中即可判断 ,, 之间的等量关系为_______________; 分层训练 构建学科思维 14 （2）问题探究:如图2,在四边形中,,与 的延长 线交于点,是的中点,若是的平分线,试探究, , 之间的等量关系,并证明你的结论. 分层训练 构建学科思维 15 解： .证明如下： 如解图,延长交的延长线于点 . 因为是的中点,所以 . 因为,所以 . 在和中, 所以（角角边）.所以 . 分层训练 构建学科思维 16 因为是 的平分线, 所以 . 所以.所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 ▶ 类型5 截长补短,构造全等三角形 截长法:即在长线段上截取一段,使其长度等于其中一条短线段的 长度,然后证明剩下的线段长度等于另一条短线段的长度. 补短法:即延长短线段,使其等于长线段的长度,然后证明延长的部 分的长度等于另一条短线段的长度. 6.如图,,,分别是, 的 平分线,点在 上. 求证: . 分层训练 构建学科思维 18 证明:如图,在上截取，连接 . 因为,分别是, 的平分线, 所以 , . 在和中, 所以 （边角边）. 分层训练 构建学科思维 19 所以 . 因为,所以 . 所以 . 因为 , 所以 . 在和中, 所以（角角边）.所以 . 又因为,所以 . 分层训练 构建学科思维 $第4章 三角形 易错易混专练 1 ▶ 易错点1 数三角形的个数时，重数或漏数 1.图中三角形的个数是( ) C A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 分层训练 构建学科思维 2 ▶ 易错点2 对三角形外角的相关性质理解不透彻 2.下列说法正确的是( ) C A.三角形的外角大于它的内角 B.三角形的一个外角等于它两个内角的和 C.三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D.三角形的外角和为 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 易错点3 没有验证是否满足三角形的三边关系致错 3.已知等腰三角形的底边，且 ，则腰 的长为( ) B A.4或12 B.12 C.4 D.8或12 4.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则该等腰三角形 的周长为____. 20 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 易错点4 未进行分类讨论，出现漏解 5.在中，，边上的高，且 ，则 的面积为_______. 6.在中，已知是边上的高， ， ，则 ____________. 8或16 或 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 易错点5 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解 7.（哈尔滨中考）在中， ， ，点 在 边上，连接.若为直角三角形，则 的度数为 ___________. 或 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 易错点6 对全等三角形的概念理解有误致错 8.下列命题是真命题的是( ) D A.等底等高的两个三角形全等 B.周长相等的直角三角形都全等 C.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 分层训练 构建学科思维 7 9.如图，在正方形网格中，的三个顶点及点，， ， ，都在格点上，现以，，，， 中的三点为顶点画三角 形，则下列与 面积相等但不全等的三角形是( ) D 第9题图 A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 易错点7 对角的平分线的性质理解有误致错 第10题图 10.如图，是的角平分线 上的一点， 于点，于点， 于点 ，交于点 ，则下列结论正确的是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 ▶ 易错点8 对应边不确定引起的分类讨论 11.已知的三边长分别为3，5，7， 的三边长分别为 3，，.若这两个三角形全等，则 等于( ) C A. B.4 C.3 D.3或 分层训练 构建学科思维 10 ▶ 易错点9 误用“边边角”判定三角形全等 12.如图，平分，，则与 相等吗？为什么？ 分层训练 构建学科思维 11 解：相等.理由如下： 因为平分 ， 所以 . 在和 中， 所以.所以 . 分层训练 构建学科思维 12 以上解答是否正确？若不正确，请说明理由. 解：不正确.理由如下： 错用“边边角”来证明两个三角形全等，不是与 的夹 角，不是与 的夹角. 分层训练 构建学科思维 $第4章 三角形 4.5 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 等腰三角形的判定 1.在三角形中已知两个内角,能判定这个三角形是等腰三角形的是 ( ) B A. , B. , C. , D. , 2.如图，在中， ， ，则 的长为( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 分层训练 构建学科思维 3 3.在中,的外角是 ,要使为等腰三角形,则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 或 分层训练 构建学科思维 4 4.（桂林中考）如图,中, ,, 平分 ,则图中等腰三角形的个数是___. 3 分层训练 构建学科思维 5 5.如图,平分, . 求证: 是等腰三角形. 证明:因为平分 , 所以 . 因为 , 所以 . 所以 . 所以 是等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点2 等边三角形的判定 6.根据下列条件不能判定 是等边三角形的是( ) D A. B., C. , D.,且 7.在中, ,要使 是等边三角形,则需要添加一 个条件是________________________. （答案不唯一） 8.如图,在中,点在边上,且 , .求证: 是等边三角形. 分层训练 构建学科思维 7 证明:因为, , 所以 . 又因为 , 所以 . 又因为 , 所以 是等边三角形. 分层训练 构建学科思维 8 9.如图,在中, ,过点作,若 , 求证: 是等边三角形. 分层训练 构建学科思维 9 证明:因为, , 所以 . 在中,因为 , 所以 . 所以 . 所以 是等边三角形. 分层训练 构建学科思维 10 10.在中,若,则 是( ) A A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 11.下列说法不正确的是( ) C A.有两个外角为 的三角形是等边三角形 B.有一个外角是 的等腰三角形是等边三角形 C.有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 D.三个外角都相等的三角形是等边三角形 分层训练 构建学科思维 11 12.在一次夏令营活动中,小明同学从营地出发,要到 地的北偏东 方向的处,他先沿正东方向走了到达 地,再沿北偏东 方向走,恰能到达目的地（如图）,那么由此可知,， 两地 相距_____ . 200 第12题图 分层训练 构建学科思维 12 13.如图，在中, , ,在射线 上找一点 ,使为等腰三角形,则 的度数为_________________. 或 或 第13题图 分层训练 构建学科思维 13 14.如图,在四边形中,,平分, . 求证: 是等边三角形. 分层训练 构建学科思维 14 证明:因为, , 所以 . 因为平分 , 所以 . 所以 . 所以 是等边三角形. 分层训练 构建学科思维 15 15.如图，在中， ，是边上的高， 是 的平分线，与交于点，求证： 是等腰三角形． 分层训练 构建学科思维 16 证明：因为在中， ， 所以 . 因为是 边上的高， 所以 ， 所以 . 因为是 的平分线， 所以 . 分层训练 构建学科思维 17 所以 . 即 . 所以 . 所以 是等腰三角形． 分层训练 构建学科思维 图1 16.（1）如图1,在中,, 的平分线相交于点,过点作 分 别交,于点,.试猜想,, 之 间有怎样的数量关系,并说明理由; 分层训练 构建学科思维 19 解: .理由如下: 因为平分 , 所以 . 因为 , 所以 . 所以 . 所以 . 同理，得 . 因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 20 （2）如图2,若将图1中的的平分线改为外角 的平分线, 其他条件不变,请直接写出,, 之间的数量关系. 图2 解: . 分层训练 构建学科思维 21 $第4章 三角形 综合与实践 1 1.综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度 的 实践运动．测量方案如下表：#1 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 __________________________________________________________________ 分层训练 构建学科思维 2 测量步骤 ①在体育馆外，选定一点 ； ②测量体育馆顶点视线与地面夹角 ； ③测量 的长度； ④放置一根与长度相同的标杆， 垂直于 地面； ⑤测量标杆顶部视线与地面夹角 测量数据 ， ， ， ． 续表 分层训练 构建学科思维 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算体育馆高度 的值．#1.2 分层训练 构建学科思维 4 解：由题意,得， ， 所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 所以 ， 所以体育馆高度的值为 ． 分层训练 构建学科思维 5 2.一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事,在一次战役中，我 军阵地与敌军阵地隔河相望,为了炸掉碉堡，需要知道碉堡与我 军阵地的距离 ,在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下, 一位战士想出来了一个办法:如图,他站在 处面向碉堡方向，调整 帽子,使视线通过帽檐刚好落在碉堡底部 ,然后转过一个角度，和 刚才一样的姿势,视线落在自己所在岸的某一点 ,然后用脚步测出 长，这刚好就是他到碉堡的距离 .#1 分层训练 构建学科思维 6 （1）①战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？ （结合图形写出） 解：已知条件是，, 的长． 战士要测的是 的长． 【想一想】#2 分层训练 构建学科思维 7 ②请用所学的数学知识说明战士这样测的理由． 解：理由如下：因为 ， 所以 . 在和 中， 所以 （角边角）. 所以 ． 分层训练 构建学科思维 8 【做一做】 （2）选择你所在学校里的花坛,通过测量计算出花坛的宽度; [答案] 略 （3）测量计算得到结果后,用皮卷尺对花坛的宽度进行实际测量， 比较计算结果与实际测量结果的误差，思考造成误差的原因. [答案] 略. 分层训练 构建学科思维 9 3.综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的 研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究（新定义： 顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”）. 图1 图2 图3 分层训练 构建学科思维 10 操作判断： （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点 为重合的 顶角顶点.请直接写出线段与 之间的数量关系为__________； 分层训练 构建学科思维 11 性质探究： （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点 为重合的 顶角顶点，，均在外，连结，，则（1）中 和 之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程； 分层训练 构建学科思维 12 解：和 之间的数量关系仍然成立，理由如下： 因为和互为“兄弟三角形”，点 为重合的顶角顶点， 所以，， ， 所以 ， 所以 . 在和 中， 所以（边角边），所以 . 分层训练 构建学科思维 13 拓展应用： （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点 为重合的 顶角顶点， ，点，， 在同一条直线 上，为的高，连结，请直接写出线段，， 之间的数量关系为_ _________________. 分层训练 构建学科思维 14 解：因为和互为“兄弟三角形”，点 为重合的顶角 顶点， ， 所以，， ， 在和 中， 所以（边角边），所以 . 分层训练 构建学科思维 15 因为点，， 在同一条直线上， 所以 . 因为为的高，所以 . 因为，所以 . 因为 ， 所以，所以 . 故答案为 . 分层训练 构建学科思维 $第4章 三角形 教材回归（四） 与三角形有关的角度的计算 （针对教材P93习题 ） 1 题图 【教材母题】（教材P93习题 ） 如图,, , ,求 的度数. 解图 解:如解图，因为，所以 . 因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 2 类型1 与平行线的性质综合求角度 第1题图 1.如图,在中,，分别在，上, , 若 , ,则 的度数为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图,在中,,是 的平分线, 其中 ,则 的度数是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 类型2 学具中的角度问题 3.将一副直角三角板按如图所示的位置放 置,使两直角重合,则 的度数为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 4.将一副三角板按如图所示的位置摆放,则 的度数为______. 分层训练 构建学科思维 6 类型3 三角形同一顶点的角平分线与高线形成的夹角问题 基本模型： 分层训练 构建学科思维 7 5.如图1,在中,为边上的高,为 的平分线,已知 , . 分层训练 构建学科思维 8 （1）求 的度数; 解:因为 , . 所以 . 又因为为 的平分线, 所以 . 因为为 边上的高, 所以 , , 所以 . 分层训练 构建学科思维 9 （2）你发现与, 之间有何关系? 解:因为 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 10 （3）若将题中的条件 改为 ,如图2,其他 的条件不变,则与, 之间又有何关系?请说明理由. 解: . 理由如下:由三角形内角和,知 . 因为为 的平分线, 所以 分层训练 构建学科思维 11 . 因为为 边上的高, 所以 . 又因为 , 所以 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 类型4 裁剪和折叠中的角度计算 6.如图,中, ,若沿 图中虚线截去,则 ______. 分层训练 构建学科思维 13 7.一个三角形纸片沿折叠,使点落在点 处. （点在 的内部） 图1 图2 （1）如图1,若 ,则____ ; 90 分层训练 构建学科思维 14 （2）利用图1,探索,与 之间的数量关系,并说明理由; 解: . 理由如下:因为,是 的两个外角, 所以, , 所以 . 由折叠性质，得 , . 分层训练 构建学科思维 15 所以 , , 所以 , 即 . 分层训练 构建学科思维 （3）如图2,把折叠后,平分,平分 ,若 ,利用（2）中得出的结论求 的度数. 解:由（2），知,得 , 所以 . 因为平分,平分 , 所以 分层训练 构建学科思维 17 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 $第4章 三角形 专题训练（七） 三角形中线段的相关应用 1 类型1 三角形的三边关系 1.一个三角形的两边长分别为5和2，若该三角形的第三边的长为 偶数，则该三角形的第三边的长为( ) D A.6 B.8 C.6或8 D.4或6 分层训练 构建学科思维 2 2.已知是 内任意一点， 连接， （1）如图1，延长交 于点 ，试说明： ； 解：在中，，即 在 中， ，所以 ，即 分层训练 构建学科思维 3 （2）如图2，连接，试比较与 的大小关系. 解：在中，同理 ， ，所以 ，即 分层训练 构建学科思维 4 类型2 三角形高的应用 3.如图，在中，，，， ， 垂足分别为，，试说明： 分层训练 构建学科思维 5 解：如图，连接 因为 ，所以 又因为 ， 所以 ， 所以 分层训练 构建学科思维 6 4.如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为12和16，已知 梯形的上底是下底的 ，求阴影部分的面积． 分层训练 构建学科思维 7 解：因为梯形的上底是下底的 ， 所以设上底为，则下底为 ． 因为两个三角形的面积分别为12和16， 所以两个三角形的高分别为， ， 所以梯形的高为 ， 所以梯形的面积为 ， 所以阴影部分的面积为 ． 分层训练 构建学科思维 8 类型3 三角形中线的应用 5.如图，已知，为 的 中线，， 的周长为24， 则 的周长为( ) A A.40 B.46 C.50 D.56 分层训练 构建学科思维 9 6.（广东中考改编）如图，的三边的中线，， 的 公共点为，且，若 ，则图中阴影部分 的面积是___. 4 分层训练 构建学科思维 10 7.在中，已知点，，分别为，， 的中点. 分层训练 构建学科思维 11 （1）如图1，若，求 的面积； 解：由中线平分三角形的面积，可得 ， ， 所以 ，所以 同理，可得 所以 分层训练 构建学科思维 12 （2）如图2，若，则___ （提示：对比 第（1）题，先作辅助线） 4 8.如图，是的中线，若， ， 于点，求 的长． 分层训练 构建学科思维 13 解：因为是 的中线， ， 所以 ． 因为， ， 所以 ， 所以 ， 解得 所以的长为 ． 分层训练 构建学科思维 14 类型4 三角形角平分线的应用 9.（1）如图，在中，，，是边 上的三点，且 ，以 为角平分线的三角形有____________ _______； 和 （2）如图，若已知平分，且 ，计 算的度数，并说明是 的角平分线. 分层训练 构建学科思维 15 解：因为AE平分 ， 所以 又因为 ， 所以 . 所以 ，即 . 又因为 ，所以 . 所以 .所以AE是 的角平分线. 分层训练 构建学科思维 16 类型5 三角形中线段的综合应用 10.如图，，分别是的高和中线， ， ，， ． 分层训练 构建学科思维 17 （1）求 的长； 解：因为，， ， ， 且AD是边BC上的高， 所以 ， 所以，即AD的长度为 ． 分层训练 构建学科思维 18 （2）求 的面积． 解：因为是直角三角形， ， ， ， 所以 ． 又因为AE是边BC上的中线，所以 ， 所以 ． 所以的面积是 ． 分层训练 构建学科思维 19 $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.5 全等三角形的应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 全等三角形的应用 1.如图是小明制作的风筝，他根据 ， ，不用度量，就知道 ，小明是 通过全等三角形的判定和性质得到的结论，请问小明 用的判定方法是( ) D A.角角边 B.角边角 C.边角边 D.边边边 分层训练 构建学科思维 3 2.跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用.小明与小敏到游乐 场玩跷跷板游戏，如图，支点 是跷跷板的中点，两人分别坐在 跷跷板两端.已知点到地面的距离是 ，当小敏从水平位置 下降时，小明离地面的高度是____ 90 分层训练 构建学科思维 4 3.某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开 后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿 和 的长相等， 是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将 撑开后的折叠凳宽度设计为，由以上信息能求出 的 长度吗？如果能，请求出 的长度；如果不能，请说明理由. 图1 图2 分层训练 构建学科思维 5 解：能. 因为 是AB，CD的中点， 所以， 在和中， 所以 （边角边）. 所以 分层训练 构建学科思维 6 4.如图，为了测量河两岸， 两点 的距离，过点作，在 上取两点，，使得 ，再 过点作的垂线，使得点 ， ， 在同一直线上，若 ， ， ，则， 两点的距离是 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 5.如图，为了测量一幢高楼的高度， 在木棍与高楼之间选定一点 ， 在点处用测角仪测得木棍顶端 的 视线与地面的夹角 ， 18 测得楼顶的视线与地面的夹角 ，量得点 到楼 底的距离与木棍高度相等，都等于 ，量得木棍与高楼之间 的距离，则高楼的高度是____ 分层训练 构建学科思维 8 6.【跨学科】小西在物理课上学习了发声物 体的振动实验后，对其作了进一步的探究： 在一个支架的横杆点 处用一根细绳悬挂一 个小球，小球可以自由摆动，如图， 表示小球静止时的位 置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到 位置，此时 过点作于点，当小球摆到位置时，与 恰好 垂直（图中的，，，在同一平面上），过点作 于 点，测得，求 的长. 分层训练 构建学科思维 9 解：因为，所以 . 又因为，，所以 . 所以 ，所以 在和中， 所以 （角角边）. 所以 因为 ， 所以 分层训练 构建学科思维 10 7.小丽与爸爸妈妈在操场上荡秋千.小丽坐在秋千上的起始位置 处，起始位置 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在 距地面高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在 处接住她. 若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离， 分别为 和， . 分层训练 构建学科思维 11 （1）与 全等吗？请说明理由； 解：与 全等.理由如下： 由题意，知 ， 因为 ， 所以 . 所以 ， 在和中， 所以 （角角边）. 分层训练 构建学科思维 12 （2）请直接写出爸爸在距离地面多高的地方接住小丽. 解：因为 ， 所以， ， 因为BF，分别为和 ， 所以 ， 因为，所以 ， 答：爸爸是在距离地面 的地方接住小丽的. 分层训练 构建学科思维 13 8.如图，小明想知道一堵墙上点 的高度 ，但又没有直接测量的工 具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案， 再说明理由. 第一步：找一根长度大于 的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端 与点重合，记下直杆与地面的夹角 ； 分层训练 构建学科思维 14 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到_______ _______.标记 此时直杆的底端点 ； 第三步：测量____的长度，即为点 的高度. 分层训练 构建学科思维 15 解：理由如下： 因为 ， 所以 . 在和 中， 所以 （角角边）. 所以 分层训练 构建学科思维 16 $第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.2 证明，举反例 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 证明的理解与举反例 1.下面关于“证明”的说法正确的是( ) C A.“证明”是一种命题 B.“证明”是一种定理 C.“证明”是一种推理过程 D.“证明”就是举例说明 2.能说明命题“若，则 ”是假命题的反例是( ) A A.， B.， C.， D.， 分层训练 构建学科思维 3 3.请举反例说明下列命题是假命题. （1）相等的角是直角； 解：当 时，满足相等的角， 但和 不是直角，故原命题是假命题.（答案不唯一） （2）如果，那么， 解：当，时，满足，但， ，故 原命题是假命题.（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 反证法 4.（衡阳中考）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至 少有一个内角小于或等于 ”．假设三角形没有一个内角小于 或等于 ，即三个内角都大于 ，则三角形的三个内角的和 大于 ．这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾.所以 在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．上述推理使 用的证明方法是( ) A A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法 分层训练 构建学科思维 5 5.用反证法证明命题“若，则且 ”的第一步是假 设_______________. 6.用反证法证明命题“如果直线，，那么 ”的第一 步是____________________. 或 假设直线不平行于 分层训练 构建学科思维 6 7.小明在做“证明：在中，若是直角，那么 一定是锐 角”时，证明过程如下： 证明：假设 是直角，① 则 .② 所以 .③ 这与三角形的内角和等于 矛盾，④ 所以假设不成立.⑤ 所以 一定是锐角.⑥ 分层训练 构建学科思维 7 请完成下列各题： （1）找错：从第____步开始出错； ① 分层训练 构建学科思维 8 （2）请写出正确的证明过程. 分层训练 构建学科思维 9 证明：假设不是锐角，则 . 因为 ， ， 所以 ， 所以 . 这与三角形的内角和等于 矛盾， 所以假设不成立. 所以 一定是锐角. 分层训练 构建学科思维 10 8.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”时应先假设这 个三角形中( ) A A.至少有两个内角是直角 B.没有一个内角是直角 C.至少有一个内角是直角 D.每一个内角都不是直角 分层训练 构建学科思维 11 9.用反证法证明“已知，求证： 必为负数”时，第一步应 假设_______. 10.命题“如果一个整数能被3整除，那么这个数也能被6整除”是 ____（填“真”或“假”）命题，如果是假命题，举一反例为___. 假 9 分层训练 构建学科思维 12 11.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是真命题，请说明理 由；如果是假命题，请举出一个反例. （1）若，则 ； 解：假命题. 例如：，，，但 （2）如果，那么 ； 解：真命题.理由如下： 因为，所以，到原点的距离相等，即 分层训练 构建学科思维 13 （3）一个角的余角小于这个角. 解：假命题. 例如： ，它的余角是 ，但 . 分层训练 构建学科思维 14 12.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和. 已知：如图，是 的一个外角. 求证： 分层训练 构建学科思维 15 证明：假设 因为 ， ， 所以 ， 这与三角形的内角和是 相矛盾，所以假设不成立. 所以原命题成立，即 分层训练 构建学科思维 16 13.命题：若，则 请判断这个命题的真假，若是假命 题，请举一个反例，并适当修改命题的条件使其成为一个真命题. 解：这个命题是假命题，如：，但 修改命题为若 ，则 分层训练 构建学科思维 17 14.（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个 内角大于或等于 ； 证明：假设的三个内角，，全都小于 ， 则 ，这与三角形的内角和等于 相矛盾， 因此，假设不成立， 所以，三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）写出命题“一次函数，若， ，则它的 图象不经过第二象限.”的逆命题，并判断逆命题的真假.若为真命 题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明. 解：逆命题：“一次函数 的图象不经过第二象限，则 ， ” 逆命题为假命题，反例：当 时，一次函数图象也不过第二 象限 （不唯一）. 分层训练 构建学科思维 19 $第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.3 定理，推论 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 基本事实与定理 1.“两点确定一条直线”是( ) B A.定义 B.基本事实 C.定理 D.假命题 2.下列说法正确的是( ) A A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理 C.真命题的逆命题是真命题 D.真命题的逆命题是假命题 分层训练 构建学科思维 3 3.定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是“______________ ____________”. 同旁内角互补， 两直线平行 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 与图形有关的证明 4.如图，已知 ， ， ，求证： 现有下列步骤： ①因为 ；②所以 ；③所以 C A.①②③④⑤ B.③④⑤②① C.④②①⑤③ D.⑤②③①④ ；④因为，；⑤所以 那 么能体现规范的证明顺序的是( ) 分层训练 构建学科思维 5 5.如图，已知，点，， 在同一条直线 上， 求证： . 证明：因为 （已知）， 所以 （________________________）， （________________________）. 又因为 （____________）， 所以 （等量代换）. 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 平角的定义 分层训练 构建学科思维 6 6.如图，从 ， ， ，三个条件中选出两个作为题设，另 一个作为结论可以组成3个命题.从中选择一个真 命题，写出已知求证，并证明. （答案不唯一） ③（答案 不唯一） 已知____________________，求证：__________ _________.（填“①”“②”“③”） 分层训练 构建学科思维 7 证明：因为 ， 所以 ， 所以 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 （答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 8 7.关于“垂线段最短”有下列说法：①是命题；②是假命题；③是 真命题；④是定理.其中正确的说法是( ) B A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 分层训练 构建学科思维 9 8.如图，直线，相交于点， 下列说法错误的是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 9.写出你熟悉的一个定理：________________________，写出这 个定理的逆定理：________________________________________ _____________. 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行（答案不唯一，与 前一空对应） 10.下列说法：①真命题的逆命题是真命题；②定理都有逆定理； ③定理都是真命题；④“互逆定理”都是真命题.其中正确的有 _______（填序号）. ③④ 分层训练 构建学科思维 11 11.如图，添加一个你认为合适的条件： ________________________________________________________ ____________________，使 （或或 或 ） 分层训练 构建学科思维 12 12.如图，是的外角，平分 求证： 分层训练 构建学科思维 13 证明：因为BD平分 ， 所以 因为 ， 所以 分层训练 构建学科思维 14 13.图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙 无比. （1）如图， ，数学课上，老师请同学们根据图形特征添 加一个关于角的条件，使得 ，并给出证明过程.小 丽添加的条件： .请你帮小丽将下面的证明 过程补充完整； 证明：因为 （已知）， 分层训练 构建学科思维 15 所以 _______（________________________）. 因为 （已知）， 所以 ____（__________________________）. 所以 _______（________________________）. 所以 （等量代换）. 两直线平行，同位角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等 分层训练 构建学科思维 16 （2）拓展：如图，请你从三个选项， 平分 ， 中任选出两个作为条件，另一个作为结论， 组成一个真命题，并加以证明. 分层训练 构建学科思维 17 解：（答案不唯一）条件： ，结论：②. 证明：因为 ， 所以， 因为 ， 所以，即平分 分层训练 构建学科思维 18 $第4章 三角形 4.1 认识三角形 第2课时 三角形的高、角平分线和中线 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 三角形的高 1.作出中 边上的高，下列作法中正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.（杭州中考）如图，于点，已知 是钝角，则( ) B A.线段是的 边上的高线 B.线段是的 边上的高线 C.线段是的 边上的高线 D.线段是的 边上的高线 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，若是的边上的高，则 ，即 ___________， _ _________. 第3题图 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 三角形的角平分线 4.一个三角形的三条角平分线的交点在( ) A A.三角形内部 B.三角形外部 C.三角形的某条边上 D.以上三种情形都有可能 5.三角形的角平分线是( ) C A.直线 B.射线 C.线段 D.以上均不对 分层训练 构建学科思维 6 6.如图，是的角平分线，则平分 ______， ______ ______ ______. 分层训练 构建学科思维 7 知识点3 三角形的中线和重心 7.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) B A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 分层训练 构建学科思维 8 8.三角形的重心是( ) A A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点 分层训练 构建学科思维 9 第9题图 9.如图，是的中线，则________ ____，______ ______. 第10题图 10.如图，是的中线， ， ，则和的周长差为___ 2 分层训练 构建学科思维 10 11.如图，在中，，为 的 中点，延长交于点为 上一点， 于点 ，下面判断正确的有( ) B 是 的角平分线； 是边 上的中线； 是边 上的高； 是 的角平分线和高. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 11 12.如图，在中，平分交于点 ， 过点作交于点若 ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 13.（荆门中考）如图，点为的重心，，， 分别为 ，， 的中点，具有性质： ．已知 的面积为3，则 的面积为____． 18 分层训练 构建学科思维 13 14.如图，已知 （1）画出的中线 ； 解：如图，线段AD即为所求. 分层训练 构建学科思维 14 （2）画出的高及的高 解：如图，线段BE，CF即为所求. 分层训练 构建学科思维 15 15.如图，在中，， （1）若的长是整数，求 的长； 解：由题意，得 ， 所以 因为AC的长是整数， 所以 分层训练 构建学科思维 16 （2）已知是的中线，若的周长为10，求 的周长. 分层训练 构建学科思维 17 解：因为BD是 的中线， 所以 因为 的周长为10， 所以 因为 ， 所以 ， 所以 的周长为 分层训练 构建学科思维 18 16.如图，在中，是边上的中线， 的周长比 的周长多，与的和为，求 的长. 分层训练 构建学科思维 19 解：因为AD是BC边上的中线， 所以D为BC的中点， 因为的周长的周长 ， 所以 又因为，解得 ， 即AC的长是 分层训练 构建学科思维 20 $