第5章一 次 函 数　同步练习　2025--2026学年苏科版（2024））八年级数学上册

第5章一 次 函 数

5.1变量与函数

第1课时 函数的概念

目标要求：①了解常量和变量的意义 ② 理解并掌握函数和函数值的概念

基础过关提优

1.新趋势 学科融合(2025·江苏徐州模拟)在行驶路程 s、速度 v 和时间 t 的相关计算中.若保持行驶路程不变，则下列说法正确的是              (   )

A.变量只有速度v

B.变量只有时间t

C.速度 v 和时间t 都是变量

D.速度 v，时间 t，行驶路程 s 都是常量

2.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，周长为C，则C 与r之间的关系式为C=2πr.下列判断正确的是   ()

A.2是变量 B.π是变量

C. r是变量 D. C 是常量

3.亮点原创·谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个过程，则该过程中的变量是              .

4. 有下列各式:① y=0.5x-2;② y=|2x|;③3y+5=x;④y²=2x+8.其中 y 是x 的函数的是      .(填序号)

5.(教材 P139 例1 变式)电表的计数器上先后两次读数的差就是这段时间内的用电量.上月初小亮家电表显示的读数为 300 千瓦时，本月初电表显示的读数为n千瓦时.

(1)小亮家上月用电多少千瓦时?

(2)如果每千瓦时的电费为0.52元，全月的电费为 y(元)，那么上月小亮家应交电费与本月初电表显示读数之间的关系式是什么?

(3)在(2)中，哪些量是常量?哪些量是变量?y是哪个变量的函数?

能力拓展提优

6.下列图象中，表示 y 是x 的函数的为

(   )

7.新素养 几何直观(2025·江苏宿迁模拟)如图,长方形 ABCD 的长 AB=10 cm,宽AD=6 cm,正方形 PQRH 的四个顶点分别在边 AB,CD 上,将正方形 PQRH 向右平移.在这个运动过程中，下列结论正确的是              (   )

A.正方形 PQRH 的边长是变量

B. BQ的长是常量

C.长方形 QBCR 的面积随AP 的长的变化而变化

D. 长方形 QBCR 与长方形 APHD 的面积之和随AP 的长的变化而变化

8.已知梯形的上底长是 5cm ，下底长是13 cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.

(1)在该变化过程中，自变量是        ；

(2) 梯形的面积y(cm²)与高x(cm)之间的关系可以表示为            ；

(3) 当梯形的高由10cm变化到1 cm时,梯形的面积由         cm² 变化到        cm².

9.如图，用灰、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案，则第 n 个图案中白色地板砖的总块数 N 与n 之间的关系可以表示为          ，其中自变量是          ，当n 为10时,对应的函数值 N 为        .

10.新趋势 综合实践如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为12 cm,AC 与MN 在同一条直线上,开始时点 A 与点 M 重合,当△ABC向右运动时(点A 与点 N 重合时运动停止)，重叠部分的面积发生了变化.

(1)指出在这个运动过程中的常量和变量；

(2)试写出重叠部分的面积 y(cm²)与MA 的长度x(cm)之间的关系式；

(3) 当 MA=4 cm时,重叠部分的面积是多少?

延伸探究提优

11.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，其体温(℃)与时间(h)之间的关系如图①所示.小清同学根据图①绘制了图②，则图②中的变量y 最有可能表示的是              (   )

A.骆驼在t 时刻的体温与0 时体温的绝对差(即差的绝对值)

B.骆驼从O 时到 t 时刻之间的最高体温与当日最低体温的差

C.骆驼在t 时刻的体温与当日平均体温的绝对差

D.骆驼从0 时到t 时刻之间的体温最大值与最小值的差

12.如图，下列三角形中的三个数之间具有相同的规律，则最后一个三角形中y 与n之间的关系为        .

第2课时 函数的表示

目标要求：①掌握函数的三种表示方法 ② 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围 ③ 能从函数图象中获取信息

f(90)=                   .

能力拓展提优

6.甲、乙两地相距8k m，如图表示往返于两地的公交车离甲地的距离 y(km)与从早晨7 时开始经过的时间x(min)之间的关系.小明早晨7 时从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在途中与迎面而来的公交车相遇3次，被同向行驶的公交车超越2 次，则小明的速度可能是              (   )

A. 0.2km/ min B. 0.15 km/ min

C. 0.12 km/ min D. 0.1 km/ min

7.春耕期间，市农资公司连续 8 天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售.若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，公司的化肥存量s(吨)与时间t(天)之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动(从开始进货到销售完毕)所用的时间是  天.

8.*甲、乙两个小朋友在一条笔直的小区道路AB 上玩耍，他们都从 A 地出发，匀速步行到 B 地.甲出发半分钟后，乙从

延伸探究提优

10.新素养 运算能力 已知动点 P 以每秒2cm的速度沿如图①所示的边框(每个角都是直角)按 B→C→D→E→F→A 的路线运动，相应的△ABP 的面积S 关于时间t 的函数图象如图②所示.若AB=6 cm，试回答下列问题：

(1)动点 P 在线段             上运动时,△ABP 的面积S 保持不变;

(2) BC=          cm,CD=       cm,DE=           cm,EF=     cm;

(3)求出图②中a 与b 的值;

(4)在上述运动过程中，求出△ABP 面积的最大值.

5.2一次函数的概念

第1课时 一次函数的概念

目标要求：①理解一次函数和正比例函数的概念 ② 能根据实际意义写出两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数

6. 已知△ABC 的三边长分别为a=3,b=6,c=x,化简: 并判断y是否是x的一次函数.

能力拓展提优

7.新素养 推理能力甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为 4 m/s和 6 m/s.若甲先跑 100m,乙再追赶,则从乙出发到追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离s(m)与乙跑步所用时间t(s)之间的函数表达式为              (    )

A. s=-10t+100(0≤t≤10)

B. s=-2t+100(0≤t≤50)

C. s=-2t+150(25≤t≤75)

D. s=2t-150(0≤t≤75)

8.若y+2与x+3成正比例，则下列说法一定正确的是 (   )

A. y是x的正比例函数

B. y是x的一次函数

C. y与x没有函数关系

D.以上都不正确

延伸探究提优

13. 如图①,正方形 ABCD 的边长为 4 cm,E 为边AD 的中点,F 为边AB 上一点,动点 P 从点 B 出发,沿 B→C→D→E向终点 E 以a cm/s 的速度运动，设运动的时间为 t s,△PBF 的面积记为S,S与t 的部分函数图象如图②所示，且M(1, ),N(5,6)而两点都在 S 与 t 的函数图象上.

(1)求线段 BF 的长及a 的值;

(2)写出 S 关于t 的函数表达式；

(3)当 t 为多少时,△PBF 的面积为

第 2 课时 求一次函数表达式

能力拓展提优

6.亮点原创·小青乘飞机去旅游，从放置在座椅后背的一本杂志上看到如下的一个表格：

若某时刻飞机机舱外面的温度显示为—34 ℃,地面的温度为8 ℃(t 是h 的一次函数)，则小青所乘坐的飞机此时距离地面              (   )

A. 8km B. 7 km

C. 6 km D. 5k m

7.(2025·江苏连云港模拟)如果y 是x 的正比例函数，x是 z 的一次函数，那么()

A. y是z的正比例函数

B. y是z 的一次函数但不一定是正比例函数

C. y是z的一次函数但不是正比例函数

D. y与z 不构成函数关系

8.设f(x)为关于 x 的一次函数，满足f(0)=-1,f(f(0))=-2,则 f(2025)=        。

9.下表给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的若干信息.

请你根据表格中的相关数据计算：m+2n=        .

(3)当输出的 y 值为 0 时，求输入的x值.

延伸探究提优             

13.新素养 抽象能力某工厂投入生产一种机器.当该机器生产数量不少于 10 台，但不超过70台时，每台机器的成本y(万元)与生产数量x(台)之间是一次函数关系，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：

(1)求y 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；

(2)市场调查发现，这种机器每月的销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足z=-a+90的函数关系.根据投入的总成本计算可得，每台这种机器的成本为40万元，该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25 台，求该厂第一个月销售这种机器的利润.

5.3一次函数的图象与性质

第 1课时 正比例函数的图象与性质

目标要求：①会画正比例函数的图象 ② 熟练掌握正比例函数的图象特征和性质··········

(3)若A( ,yᵢ),B(-2,y₂),C(1,y₃)三点都在该正比例函数的图象上，试比较y₁,y₂,y₃的大小.

能力拓展提优

7. 已知三个正比例函数 y= ax、y= bx 和y=cx的图象如图所示，则a、b 和c 之间的大小关系为              (    )

A. a<b<c B. c<a<b

C. c<b<a D. a<c<b

8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(1,1),B(4,1),C(2,3).若直线 y= k x 与△ABC 的三边有两个公共点，则k 的取值范围为              (    )

延伸探究提优

14.(2025·江苏连云港期末)如图，在平面直角坐标系中，直线 l₁⊥x 轴于点(1，0),直线 l₂⊥x 轴于点(2,0),直线 l₃⊥x 轴于点(3,0),…,直线ln⊥x 轴于点(n，0).正比例函数y=x的图象与直线l₁,l₂,l₃,…, ln 分别交于点 A₁,A₂,A₃,…, An;正比例函数 y=3x 的图象与直线l₁,l₂,l₃,…, ln分别交于点 B₁,B₂,B₃,…, Bn.若把△OA₁B₁ 的面积记作S₁,四边形A₁A₂B₂B₁的面积记作 S₂,四边形A₂A₃B₃B₂的面积记作 S₃,…,四边形 An-₁AnBnBn-₁ 的面积记作 Sn，则

15.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2,0),在直线 y=x 上取点 P,使△OPA 是等腰三角形，求所有满足条件的点 P 的坐标.

第 2 课时 一次函数的图象与性质

图象与 y 轴的交点在x 轴的下方?

(3)当m，n分别满足什么条件时，函数图象经过原点?

(4) 当m=-1,n=2时,求此函数的图象与两个坐标轴的交点坐标；

(5)若函数图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围.

能力拓展提优

7.(2024·内蒙古通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 (其中 k₁k₂≠0,k₁,k₂,b₁,b₂均为常数)的图象分别为直线l₁，l₂，则下列结论正确的是              (    )

8.在平面直角坐标系中，过点(-2，3)的直线l 经过第一、二、三象限.若点(0，a)，(-1,b),(c,-1)都在直线l上,则下列判断正确的是              (    )

A. a<b B. a<3

C. b<3 D. c<-2

延伸探究提优

13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别交x轴、y 轴于A,B 两点，将直线 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点 C，则直线 BC 对应的函数表达式是          .

14.新趋势 综合实践(2025·江苏苏州模拟)如图，在平面直角坐标系中有 A(0，1)，M(3,2),N(4,4)三点.动点 P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动,且过点 P 的直线l:y=-x+b 也随之移动.设点 P 移动的时间是t 秒.

(1) 当t=2时,AP=         ,此时点P 的坐标是        ；

(2) 当 t =3 时,求过点 P 的直线 l:y=-x+b对应的函数表达式；

(3)当直线l:y=-x+b从经过点M到经过点 N 时，求点 P 向上移动的时间.

专项提优4 求一次函数的表达式

4. 如图,正方形ABOD 的边长是2,C 为AB的中点,直线 CD 交x 轴于点 F.

(1)求直线 CD 对应的函数表达式；

(2) 在 x 轴上取一点 E,连接CE,DE,使∠1=∠2.求证:EC⊥CD;

(3)在(2)的条件下,求点 E 的坐标.

类型2平移型

5. (2023·江苏无锡)将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为              (    )

A. y=2x-1 B. y=2x+3

C. y=4x-3 D. y=4x+5

6.将直线 y=2x-1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线对应的函数表达式为         .

7. 在平面直角坐标系中有A(a,b)和B(1— b,c)1两点,且a,b,c满足 将线段 AB 进行平移得到线段CD，点A 的对应点为点C(m,3m—8),点 B 的对应点为点 D,且点 D 的纵坐标为 3a+b,且a+3m=1,!，则线段 CD 所在直线对应的函数表达式为                        .

10.(2025·江苏扬州期末)如图，在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-3,0),B为 y 轴的正半轴上一点，将线段 AB 绕点 B 旋转 90°至 BC 处,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D.若四边形 ABCD 的面积为36，则直线 AC 对应的函数 表 达式为                     .

11.新趋势 推导探究如图，在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为 A(0,4),B(-3,0),C( ,₀),一次函数 y= 的图象经过点 B，且分别与线段AC 和y 轴交于E，F 两点.

(1)△ABC 是  三角形;

(2) 当 BE 恰好平分∠ABC 时,求点 E的坐标；

(3)是否存在实数 k,使△AEF 是等腰三角形?若存在，请直接写出 k 的值；若不存在，请说明理由.

5.4用一次函数解决问题

第 1课时 建立一次函数模型解决实际问题

目标要求：能通过建立一次函数模型解决实际问题

5.(2024·四川广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买 2 株 A 种花卉和 3 株 B 种花卉共需要 21元,购买 4 株 A 种花卉和5 株 B 种花卉共需要37元.

(1)求A，B两种花卉的单价；

(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共10 000 株，其中采购 A 种花卉的株数不超过 B 种花卉株数的 4 倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少?并求出最少总费用.

能力拓展提优

6.(2025·江苏淮安模拟)小明用刻度不超过100℃的温度计来估计某食用油的沸点温度.将该食用油倒入锅内，均匀加热，每隔10 s测量一次锅内的油温，得到如下表所示的数据.

当加热 100 s时，油沸腾了，则小明估计该食用油的沸点温度是 (    )

A. 190℃ B. 210℃

C. 230 ℃ D. 250℃

第 2 课时 用一次函数的图象解决问题

目标要求：能通过函数图象解决实际问题

4.(2023·吉林长春)甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行 15 min 到缆车站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(m)与甲登山的时间x(min)之间的函数图象如图所示.

(1) 当15≤x≤40时,求乙距山脚的垂直高度 y 与x 之间的函数表达式；

(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.

能力拓展提优

5.“一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y(km)与慢车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示，则两车先后两次相遇的间隔时间是              (   )

A.  B.  h C.  D.

(3)当小明离家2k m时，求他离家的时间.

延伸探究提优

9.(2023·浙江绍兴)一条笔直的路上依次有 M,P,N 三地,其中 M,N 两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从 M,N 两地同时出发，目的地分别为 N，M，匀速而行.图中OA，BC 分别表示甲、乙两机器人离M 地的距离y(m)关于行走时间x(min)的函数关系.

(1)求OA 所在直线对应的函数表达式；

(2)出发后甲机器人行走多长时间与乙机器人相遇?

(3)甲机器人到 P 地后,再经过1 min乙机器人也到 P 地，求P，M两地间的距离.

5.5一次函数与二元一次方程

目标要求：①理解一次函数与二元一次方程的关系 ② 会用一次函数的图象求二元一次方程组的解

y=ax+b与正比例函数y=kx 的图象交于点 P(-2,-1),则

5.如图，直线l₁:y=x+1与直线l₂:y=mx+n 相交于点P(1,b).

(1) 求b的值;

(2)关于x,y 的方程组 的解为        ;

(3)当n=3时,求直线l₁、直线l₂与y轴所围成的三角形的面积.

能力拓展提优

6.在同一平面直角坐标系中，直线 y=-x+4 与y=2x+m 相交于点 P(3,n),则关于x，y的方程组 的解为

(   )

积大5?若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

延伸探究提优             

12. (2025·江苏苏州模拟)如图,直线 l₁ 的函数表达式为 直线l₂的函数表达式为 直线 l₁ 和直线l₂的交点为B.

(1)求点 B 的坐标;

(2)平行于y轴的直线 l交x轴于点 M，交直线l₁于点 E，交直线l₂于点 F.

① 分别求当直线l 为直线x=2和直线x=4时EF 的值;

② 写出线段 EF 的长y与x 之间的函数表达式，并画出函数图象 L；

③ 在(2)②的条件下,如果直线 y=kx+3(k≠0)与 L 始终都有2个公共点，直接写出k 的取值范围.

专项提优5 一次函数的综合运用

后，反射光线又照到竖立在 y 轴上的镜面，经y 轴上的镜面再反射的光线恰好通过点A，求点 D 的坐标.

类型2 一次函数中的面积问题

5.(2025·江苏苏州期末)已知直线 l 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且直线l 还经过点C(3,-10).若直线 l 分别与x 轴、y轴交于A,B 两点,点 P 在x轴上,且S△PAB=6S△OAB,则点 P 的坐标是       .

6. 如图,直线y=-x+10与x 轴、y轴分别交于 B,C 两点,点 A 的坐标为(8,0),P(x,y)是直线 y=-x+10在第一象限内的一个动点，连接OP，AP.

(1)求△OPA 的面积S 与x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；

(2) 当△OPA 的面积为 24时,求点 P 的坐标.

9.如图，一次函数y=x+4的图象与x 轴、y轴分别交于A,B 两点,C(-2,0)是x轴上一点,E,F 分别为直线 y=x+4 和 y 轴上的两个动点，当△CEF 的周长最小时，点E 的坐标为         ，点F 的坐标为        .

10. 如图①,在正方形 ABCD 中,M 是 AD的中点,点 P 从点 A 出发沿 A→B→C→D 的路线匀速运动，到点 D 停止，点Q 从点 D 出发,沿 D→C→B→A 的路线匀速运动，P，Q两点同时出发，点P的速度是点Q 速度的m倍(m>1)，当点P 停止时，点Q 也同时停止运动.设t s时,正方形 ABCD 与∠PMQ 重叠部分的面积为y cm²，y 关于t 的函数关系如图②所示.

(1)求正方形的边长AB；

(2)求 m 的值;

(3)求图②中线段 EF 所在直线的函数表达式.

高频考点培优

考点② 一次函数的实际应用

5.一个容器有进水管和出水管各1根，每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始 4 min 内只进水不出水，从第4m in到第 24 min 内既进水又出水,从第24 min 开始只出水不进水，容器内水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系如图所示，则图中a 的值是              (   )

A. 32 B. 34 C. 36 D. 38

6. (2024·四川资阳)小王前往距家2 000 m的公司开会，先以v₀(m/min)的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距离会议开始还有 14 min，小王距家的路程s(m)与时间t(min)之间的函 数 关 系 如 图 所 示.若小 王 全程以v₀(m/min)的速度步行，则他到达时距会议开始还有         min.

7.新素养运算能力如图，直线 y=2x+4与x 轴交于点A,与 y 轴交于点B,D 为OB的中点,四边形 OCDE 的顶点 C 在x 轴上,顶点 E 在直线AB 上,且 DE=OC,DE∥x 轴,则四边形 OCDE 的面积为        .

亮点给力 提优课时作业本 |数学八年级 上册 SK

y=3x+5m 的图象与一次函数 y=-5x+4的图象的交点不 可能在第        象限.

12.*在平面直角坐标系中，若一点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点.设k为整数,当直线y=x-2与y= kx+k的交点为整点时，k的值为          .

13.新素养 推理能力如图，在平面直角坐标系中,直线l:y=-x+m与x轴交于点A,点 B 在 x 轴的负半轴上,且 OB =

(1)求直线l的函数表达式；

(2)P 是直线l 上一点，连接BP，将线段BP 绕点B 按顺时针方向旋转 90°得到BQ.

① 当点 Q 落在 y 轴上时,连接AQ,求点 P 的坐标及四边形APBQ的面积；

② 作直线 BP，AQ，两条直线在第一象限内相交于点 C，记四边形APBQ 的面积为 S₁,△ABC 的面积为S₂.若 求点 Q的坐标.

学霸拓展园地

5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1 和x 轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形(图中所示的阴影部分)，其中一条直角边在x 轴上，另一条直角边与x 轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是        .

6.新趋势 推导探究如图①，直线 AB：y=-x+6分别与x轴、y轴交于A,B 两点,过点 B 的直线交x轴负半轴于点 C(-3,0).

(1)直线 BC 的函数表达式是         ；

(2)在直线 BC 上是否存在点 D，使得S△ABD =S△AOD? 若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 如图②,点 D 的坐标为(11,0),P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形 BPQ,连接 QA,QD,则QB-QD 的最大值为        .

中考新趋势

新趋势1 传统文化问题

亮记录的部分数据，其中有一个h 值错误，请排除后利用正确的数据确定当 h 为5.6时,对应的时间t 为  .

4.如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙.如图②，伞圈 D 沿着伞柄AP 滑动时,总有伞骨 BD=CD,AB=AC，从而使得伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.为了说明这种制作方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.

已知:如图②,A,B,C,D,P 五点在同一平面内,             ,           .

求证:               .

新趋势2 阅读理解问题

后得到点的坐标为        .

4. 如图,将△ABC 沿∠BAC 的平分线AB₁ 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B₁A₁C 的平分线A₁B₂折叠,剪掉重叠部分……将余下部分沿 的平分线 An  ₁Bn折叠,直至点 Bn-₁与点C重合,此时∠BAC 就是△ABC 的“好角”.若经过 n 次折叠后发现∠BAC 是△ABC 的“好角”,则∠B 与∠C(∠B>∠C)之间的数量关系为            ，

5.如图①，A，B 是直线 l 同侧的两个定点.若要在直线l上确定一点 P，使PA+PB 的值最小，我们可以作点 A 关于直线l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点P,连接 PA,则此时 PA+PB 的值最小.

(1) 如图②,∠AOB=30°,P 是∠AOB 内部一点,OP=10,Q,R 分别是 OA,OB上的动点，求△PQR 周长的最小值；

(2) 如图③,∠AOB=20°,M,N 两点分别在边OA,OB 上,且OM=ON=2,P,Q 两点分别在 OB,OA 上,求MP+PQ+QN白的最小值.

中考新趋势

新趋势3 新定义运算问题

|5-2|=9.

(1)已知点 则在这四个点中，与原点O 的“直角距离”等于1的点是        ；

(2)如图，A，B两点的坐标分别为(1，0)和(0,1),根据定义可知线段 AB上的任意一点与原点 O 的“直角距离”都等于1.若点 P 与原点O 的“直角距离” dop=1,请在图中将所有满足条件的点 P 组成的图形补全；

(3) 已知直线 y= kx+2,C(t,0)是x轴上的一个动点.当t=3时，若直线y= kx+2上存在点 D,满足dcD=1,求k 的取值范围.

新趋势4 规律探究问题

B',O'三点,依次连接A',B',O'三点,画出△A'B'O',并说明△A'B'O'与△ABO在大小、形状、位置上有什么关系；

(2)仔细观察，探究规律：如图②，第一次将△OAB 变换成△OA₁B₁,第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂,第三次将 △OA₂B₂变 换 成 △OA₃B₃,且A(1,4),A₁(2,4),A₂(4,4),A₃(8,4),B(2,0),B₁(4,0),B₂(8,0),B₃(16,0)……

① 按此图形变化规律将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄,则点 A₄的坐标是       ,点B₄ 的坐标是       ;

② 按此图形变化规律将△OAB 进行n(n为 正 整数)次变 换，得到△OAnBn,求 An, Bn两点的坐标;

③ 猜想:△OAₙBₙ的面积是△OAB面积的多少倍?

第5章 一 次 函 数

 所以

第 2 课时 函数的表示

1. A 2. D 3. y=180°-2x 0°<x<90°

4. y=-x+2 5. 4 186 6. B 7. 10

8. 40

9.(1)由题图①,得甲、乙两地相距36 km,小丽从甲地到乙地需要2.25 h，所以小丽骑车的速度是36÷2.25=16(km/h).由题图②,得小丽和小明在t=1时相遇.设小明骑车的速度是 x km/h，则(16+x)×1=36,解得x=20.所以小明骑车的速度是 20 km/h.

(2)由题图①②，得点 F 的横坐标表示小丽到达乙地的时间.因为 DE 的倾斜度大于EF，所以点E 的横坐标表示小明到达甲地的时间，且这个时间为36÷20=1.8(h).此时小丽与小明相距16×1.8=28.8(km).所以点 E 的坐标为(1.8,28.8).则点 E 的实际意义是两人出发1.8 h后,小明与小丽相距28.8km.

10. (1) CD 和EF

(2) 8 4 6 2

(3) 由题图,得 a 是点 P 运动 4s 时△ABP 的面积，所以 因为 b 为点 P 走完全程所用的时间,所以b=(8+6+6+8+6)÷2=17.

(4)因为点 P 在边 EF 上运动时,△ABP 的面积最大，所以 AF.由(2),得BC=8cm ,DE=6 cm,且AB=6cm,AF=BC+DE,所以 42(cm²),即△ABP 面积的最大值为 42cm².

12. (1) 30 46

(2) 由题意,得当0≤x≤4时,y 关于x 的函数表达式为y=10x;当x>4时,y关于x 的函数表达式为y=4×10+10×0.6(x-4)=6x+16.综上,y 关于 x 的函数表达式为 y =

(3)设在乙超市购买苹果 x 千克，需付费y'元.则y'=10×0.8x=8x.由(2),得当x>4时,y=6x+16.令 x=10,得 y=6×10+16=76,y'=8×10=80,,且76<80,所以在甲超市购买更划算.

13. (1) 设 BF 的长为x cm.由题意,得BC=4cm,AB⊥BC,当点 P 在边 CD 上时,△PBF 的面积为6 cm²,则 解得x=3.则BF=3cm.当t=1时 则 即 解得 a=1.则线段 BF的长为3cm,a 的值为1.

(2)因为正方形 ABCD 的边长为 4 cm,所以AB=BC=CD=AD=4 cm,∠A=∠B =∠C= 90°. 所以∠B +∠C =180°,即 AB∥CD.又 E 是 AD 的中点,所以 2cm.由(1),得 BF=3 cm,a=1,所以当0<t≤4 时, 点 P 在边 BC 上运动,S△PBF = 则 当4<t≤8时,点 P 在边 CD上运动, 则 当8<t≤10时,点 P 在线段 DE 上运动, 则 综上，S关于t

的函数表达式为

12. (1) 8

(2) 由题表,得当x=-4时,y=-2;当x=0时,y=6,所以 解得 则k的值为2，b的值为6.

(3) 由 (2), 得 k = 2, b = 6. 所 以 y =当x<1时,令 y=0,得2x+6=0,解得x=-3;当x≥1时,令y=0,得8x=0,解得x=0,舍去.综上,输入的x 的值为-3.

13. (1) 设 y 与x 之间的函数表达式为y= kx+b.由题意，得 解得 所以 y 与x 之间的函数表达式为 65(10≤x≤70).

(2)当z=25时,25=-a+90,解得a=65.又y=40,所以总利润为(65-40)×25=625(万元),即该厂第一个月销售这种机 器的利润为625万元.

5.3一次函数的图象与性质

第 1课时 正比例函数的图象与性质

1. D 2. A 3. B 4. 减小 5. 2

6. (1) 由题意,将点(2,—4)的坐标代入y= kx 中,得2k=-4,解得k=-2.则k 的值为-2.

(2)由(1),得k=-2,所以y=-2x.将点(-1,m)的坐标代入 y=-2x中,得m=2.则m的值为2.

(3) 由(2),得 y=-2x,且-2<0,所以 y 的值随x的增大而减小.又 所以 y₃<

7. B 8. C 9. D 10. m<  11. >

12. 1 解析:因为无论a 取什么实数,点 P(a+1,2a+2)都在直线l上,且2(a+1)=2a+2,所以直线 l 的函数表达式为 y=2x.又 Q(m,

得 y=1,所以点 P 的坐标为(1,1).综上,点 P的坐标为( 或 )或(2,2)或(1,1).

第 2 课时 一次函数的图象与性质

1. A 2. A 3. - 5 4. - 6 5. 5

6. (1) 因为y随x的增大而增大,所以m>0,n为任意实数.

(2)因为函数图象与y 轴的交点在x轴的下方，所以-3n<0，解得n>0.又该函数为一次函数，所以m≠0.

(3)因为一次函数的图象经过原点，所以 m≠0且n=0.

(4) 因为m=-1,n=2,所以函数表达式为y=-x-6.令y=0,得-x-6=0,解得x=-6;令x=0，得y=-6.所以此函数图象与x轴的交点坐标为(-6,0),与y 轴的交点坐标为(0,-6).

(5)因为函数图象经过第一、二、三象限，所以m>0且-3n>0,解得m>0且n<0.所以m的取值范围为m>0，n的取值范围为n<0.

7. A 8. D 9. y=-2x-2

 解析:将点 A(-4,0)和点 B(0,2)分别向右平移2 个单位长度，得点 A′(-2，0)和点 B'(2,2).再将点 A'(-2,0)和点 B'(2,2)分别绕原点旋转 180°,得点 A"(2,0)和点B'(-2,-2),则点 A"和点 B"都在原一次函数 y=kx+b的图象上.将A"，B"两点的坐标分别代入 y=kx+b中,得 解得 则原一次函数的表达式是

12. (1) 由题意,把(5,m)代入 y=-x+3中,得m=-5+3=-2,所以点 A 的坐标为(5,

EA=OB=1.所以 又点 D在第四象限，所以点 D 的坐标是 设直线 BC 对应的函数表达式是 y=kx+b.把B,D 两点的坐标分别代入 y=kx+b 中，得 解得 所以直线 BC 对应的函数表达式是

14. (1) 2 (0,3)

(2)当t=3时,AP=1×3=3.又点 A 的坐标是(0,1),所以OA=1.所以 OP=OA+AP=4.所以点 P 的坐标是(0,4).又点 P 在直线l:y=-x+b上,所以把 P(0,4)代入y=-x+b中，得b=4.所以直线l对应的函数表达式是y=-x+4.

(3) 由(2),得OA=1.当直线 l 经过点 M(3,2)时,把M(3,2)代入y=-x+b中,得2=-3+b，解得b=5.所以直线l 对应的函数表达式是y=-x+5.令x=0,得y=5.所以此时点 P 的坐标是(0,5),即 OP=5.所以 AP=OP-OA=4,所以 (秒);当直线 l 经过点N(4,4)时,把 N(4,4)代入y=-x+b中,得4=-4+b,解得b=8.所以直线l 对应的函数表达式是y=-x+8.令 x=0,得 y=8.所以此时点 P 的坐标是(0,8),即OP =8.所以AP=OP-OA=7.所以 (秒).又7-4=3(秒)，所以点 P 向上移动的时间为3秒.

8.(1)设直线l 对应的函数表达式为y=kx+b,由题意, 把 A (6,0), B(0,8)分别代入, 得 解得 所以直线 l 对应的函数表达式为

(2)   解析:因为点 A 的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),所以 OA =6,OB = 8. 在Rt△AOB 中,由勾股定理,得 ,所以 AB=10.由题意,得 BC=t,AD=2t,则 BD=AB-AD=10-2t.当 BC=BD 时,t=10-2t,解得 所以当 时，BC=BD.

(3)由(1)(2)，得直线 l 对应的函数表达式为 所以直线 EF 对应的函数表达式为 令 x =0,得 y =12;令 y=0,得 解得x=9，所以点 E 的坐标为(9,0),点 F 的坐标为(0,12),即 OE=9,OF=12.又四边形 BAEF 的面积为S△EFO-S△ABO,所以

(4)存在.由(2),得OA=6,OB=8.因为以A,B，P三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，所以分情况讨论如下:① 当∠ABP=90°,AB=BP 时,如图①.过点 P 作 PM⊥y轴于点 M,易证△AOB≌△BMP(AAS). 所以 OA =MB.OB=MP,即MB=6,MP=8.所以OM=14.所以点 P 的坐标为(8,14);② 当∠BAP =90°,AB=AP 时,如图②.过点 P 作 PN⊥x轴于点N,易证△AOB≌△PNA(AAS).所以 OA =NP,OB=NA,即 NP=6,NA=8.所以ON=14.所以点 P 的坐标为(14,6);③ 当∠APB=90°,BP=AP 时,如图③.过点 P 分别作 PG⊥

OD=BF,BO=DF,S长方形OBFD=BF·BO.易证△BCF≌△BAO(AAS),所以S△BCF=S△BAO,CF= AO = 3, BF = BO. 所以S长方形OBFD =BO². 所以 又四边形 ABCD的面积为 36,所以 S长方形OBFD =36.所以. 36.所以 BO=6,即 DF=6,OD=BF=BO=6.所以 CD = DF +CF = 9. 所以点 C 的 坐标为(-6,9).设直线 AC 对应的函数表达式为 y=mx+n,则 解得 所以直线 AC 对应的函数表达式为y=-3x-9.综上，直线 AC 对应的函数表达式为 1或 y=-3x-9.

11.(1)直角 解析:因为A,B,C 三点的坐标分别为(0,4),(-3,0),( ,0),所以 所以 即△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.

(2) 过点 E 作 ED⊥BC 于点 D. 由(1),得AB²=25,∠BAC=90°,所以 AB=5,EA⊥AB.因为 BE 平分∠ABC,所以 ED=EA.又BE = BE, 所 以 Rt △ABE ≌ Rt △DBE(HL).所以AB=DB,即 DB=5.又点 B 的坐标为(-3,0),所以OB=3,即OD=2.所以点E 的横坐标为 2.设直线 AC 的函数表达式为y= mx+n.把A(0,4),C( 分别代入，得

由勾股定理，得 所以(4- 解得 同理，得k 的值为 ·综上，当k的值为 或 或 时,△AEF 是等腰三角形.

5.4用一次函数解决问题

第 1课时 建立一次函数模型解决实际问题

1. B

2. C

3. y=200+120t4. 32英寸

5.(1)设A 种花卉的单价为x 元/株，B种花卉的单价为y 元/株.由题意，得 解得 所以 A 种花卉的单价为 3元/株，B种花卉的单价为5元/株.

(2)设A 种花卉采购a 株，总费用为ω元，则B 种花卉采购(10 000-a)株.由题意,得ω=3a+5(10 000-a)=-2a+50000.又a≤4(10000-a),所以a≤8000.因为-2<0,所以当a=8000时,ω取最小值,且最小值为-2×8 000+50 000=34 000,此时10 000-a=2 000.所以当 A 种花卉采购8000株,B 种花卉采购2 000 株时,总费用最少，且最少总费用为34 000元.

6. B 7. B 8. 212 9. 20

10.(1)设乙种头盔的价格为x 元/只，则甲种头盔的价格为(x+11)元/只.由题意,得 20(x+11)+30x=2 920,解得 x =54.则x+11=65.所以甲、乙两种头盔的价格分别是65元/只、54元/只.

(2)设购进m只甲种头盔，总费用为 w元，则购进(40-m)只乙种头盔.由题意，得

间的函数表达式为y=4x+60(25≤x≤60).由(1),得当15≤x≤40时,乙距山脚的垂直高度 y与x之间的函数表达式为y=12x-180，且由题图，得在缆车上升的过程中，甲、乙处于同一高度时，25≤x≤40，此时，两函数的纵坐标相等，即12x-180=4x+60,解得x=30.则 y=4x+60=180.所以乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180 m.

5. B

6. C 解析:由题图,得学校与 A 城相距300 km,乙队比甲队晚出发1h，却早到1h.故①②正确；设甲队离开学校的距离与行驶时间之间的函数表达式为 . 将(5,300)代入,得 300,解得 所以 设乙队离开学校的距离与行驶时间之间的函数表达式为 将(1,0) 和(4,300)分别代入,得 解 得 所 以 100t-100.令. ,得60t=100t-100,解得t=2.5,所以乙队出发2.5-1=1.5(h)后追上甲队.故③错误；当乙队未出发时，令 得60t=50,解得 符合题意；令 50,得 60t—(100t—100)=50,解得 令 得 100t-100-60t=50,解得 t= 当乙队到达A 城后,60t+50=300,解得t= 符合题意.所以甲、乙两队相距50 km时， ·或 或 或 .故④错误.综上，正确的有2个.

7.29/3

8. (1)2.5

P 地.所以 P 地与M 地的距离为[-100(t+1)+1 000]m. 由题意,得 200t =-100(t+1)+1 000,解得t=3.则200t=600.所以 P,M 两地间的距离为 600 m.

5.5一次函数与二元一次方程

1. D 2. B 3. 2 4. - 2

5. (1) 因为点 P(1,b)在直线 上，所以b=2.

(3)当n=3时,直线 l₂ 的函数表达式为 y=mx+3.令x=0,得y=3.在y=x+1中,令x=0,得y=1.所以直线l₁、直线l₂与y 轴所围成的三角形的面积为

6. C 7. B 8. (2,5) 9. 1

  解析:因为 y=(k-1)x+4-5k=k(x-5)+4-x,所以当x=5时,y=-1,即定点 P 的坐标为(5,-1).因为动点Q(5m-1,5m+1)满足y-x=2,即动点Q(5m-1,5m+1)在直线 y=x+2 上.如图,过点 P 作直线y=x+2的垂线,当 Q 为垂足时,PQ 最短.易得A,B 两点的坐标分别为(0,2),(-2,0),所以OA=OB=2.所以△ABO 为等腰直角三角形.过点A 作直线y=x+2的垂线交x轴于点C，易证△AOC 为等腰直角三角形.所以OC=OA=2.设直线 AC 的函数表达式为y= mx+n(m≠0),代入 A(0,2),C(2,0),可求得m=-1,n=2,即直线 AC 的函数表达式为y=-x+2.因为 AC∥PQ,所以可设直线 PQ的函数表达式为y=-x+b,代入 P(5,-1),解得b=4.所以直线 PQ 的函数表达式为 y=一x+4.联立 方 程 组,得 解得 所以点 Q 的坐标为(1，3).所以距离的

2=0.则点 E 的坐标为(2,2),点 F 的坐标为(2,0).所以 EF=2.当x=4时, .则点 E 的坐标为(4,0),点 F的坐标为(4,2).所以EF=2.

② 由(1),得点 B 的坐标为(3,1),所以当x=3时,直线l₁ 与直线 l₂相交.当x≤3时,y=-x+4-(x-2)=-2x+6;当x>3时,y=x-2-(-x+4)=2x-6.所以线段EF 的长y与x之间的函数表达式为 函数图象 L 如图：

③k的取值范围为-1<k<2,且 k≠0.  解析:对于y= kx+3,令x=0,得y=3.所以直线 y= kx+3(k≠0)与y 轴的交点坐标为(0,3).由图象L,得当x=3时,y=0.把(3,0)代入 y= kx+3中,得3k+3=0,解得k=-1.所以当-1<k<0 时,直线 y= kx+3 与 L 有2个公共点.由图象 L，得当0<k<2时，直线y=kx+3与L 有2 个公共点.综上,k 的取值范围为-1<k<2,且k≠0.

专项提优5 一次函数的综合运用

1. B 2. 1 或 3 3. - 2≤m≤2

4.如图，作点O 关于直线AB 的对称点O'，点 A 关于 y轴的对称点A',连接 OO',O'A',O'A,则∠O'AB=∠OAB,O'A=OA.易得点 D 在直线O'A'上.设直线 AB 对应的函数表达式为 y=mx+n.因为点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(0,1),所以 解得 所以直线 AB 对应的函数表达式为y=-x+1.由题意,得OA=OB=1,∠AOB=90°,所以 O'A=1,△AOB 是等腰直角三角形,即∠OAB =45°. 所 以. 2∠OAB=90°,即O′A⊥x 轴, 所以点 O′的坐标

联立方程组，得 解得 则点E 的坐标是(2,-2).

(2) 对于 令x=0,得y=-3;令y=0,得 解得 x=6.又直线 y= 与坐标轴交于C，D两点，所以点 C 的坐标为(0,-3),点 D 的坐标为(6,0).所以OC=3,OD=6.又点 B 的坐标是(1,0),所以OB=1,即 BD=OD-OB=5.过点 E 作EH⊥x轴于点H.由(1),得点 E 的坐标为(2,-2),所以EH=2.所以

(3) 过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F.由(1),得点 E的坐标为(2,-2),所以 EF=2,OF=2.因为点A 的坐标为(0,2),所以OA=2.由(2),得OC=3,所以AF=OA+OF=4,CF=OC-OF=1,AC=OA+OC=5.在 Rt△AEF 和 Rt△CEF中，由勾股定理，得 又 所以 所以△ACE 是直角三角形，且∠AEC=90°.所以 AB⊥CD.

8. B

 解析：如图，作点C 关于直线 AB 的对称点C₁，关于y轴的对称点C₂，连接C₁C₂,CC₁,AC₁.易得当 C₁,E,F,C₂四点共线时,△CEF 的周长最小.对于 y=x+4,令x=0,得y=4;令y=0,得x+4=0,解得x=-4,所以点 B 的坐标为(0，4)，点A 的 坐标为(-4,0),即 OB=4,OA=4.所以OB=OA.因为∠AOB=90°,所以△AOB 为等腰直角三角形, 即 ∠OAB = 45°. 由 对 称 的 性 质, 得∠C₁AB = ∠OAB = 45°, AC₁ = AC,所以∠C₁AC=90°,即 AC₁⊥OA.又点 C 的坐标为

(3) 由(2),得a=1,m=3,则点 P 的速度为3c m/s,点 Q 的速度为 1 cm/s.所以点 P 运动到点C 时,所需的时间为12×2÷3=8(s),点 Q 运动到点 C 时所需的时间为 12÷1=12(s).所以当 t=8时,DQ=8cm ,即 PQ=CQ=4 cm.此时 所以点 E的坐标为(8,12).当 y=0时,P,Q 两点相遇,所以3t+t=12×3,解得t=9.则点 F 的坐标为(9，0).设线段 EF 所在直线的函数表达式为y= kt+b,则 解得 所以线段 EF 所在直线的函数表达式为 y=-12t+108.

高频考点培优

1. A 2. C 3. k≤-2或 且k≠0

4. (1) 函数y=x+1(-4≤x≤2)是有界函数.因为k=1>0,所以函数y=x+1的函数值y随x的增大而增大.当x=-4时,y=-4+1=-3;当x=2时,y=2+1=3,所以-3≤y≤3.所以函数y=x+1(-4≤x≤2)是有界函数,且边界值为3.

(2) 因为k=-1<0,所以函数y=-x+1的函数值 y 随x 的增大而减小.所以当x=a时，y=-a+1=2;当x=b时,y=-b+1.由题意,

得 解得 a=-1,-1<b≤

3.所以b 的取值范围为-1<b≤3.

5. C 6. 5 7. 2

8. (1) 60

(2)设y甲 与 x 之间的函数表达式为y甲=k₁x.将(5,300)代入,得 解得 60.所以y甲与x 之间的函数表达式为y甲=60x(0≤x≤5),设 yz 与x之间的函数表达式为 将(1,0)和(4,300)分别代入,得 解得 所以 yz 与x之

象限.由(1),得点 B 的坐标为(-2,0),点 A 的坐标为(4,0),直线 l 的函数表达式为 y =-x+4,所以可设点 P 的坐标为(n,-n+4).过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,过点 Q 作QE⊥x轴于点 E,同(2)①可证 PD = BE,QE=BD.因为 PD=-n+4,BD=n+2,所以BE=-n+4,QE=n+2,即点 Q 的坐标为(-n+2,-n-2).由(2)①,得 AB=6,所以 又 所以 .则点C 的纵坐标为2.设直线AQ 的函数表达式为 y= kx+b,把 A(4,0),Q(-n+2,-n-2)分别代入 y= kx+b中,得 解得 所以直线 AQ的函数表达式为y=x-4.所以点 C 的坐标为(6，2).同理可得直线 BC 的函数表达式为 联立方程组，得 解得 所以点 P 的坐标为 即 所以点 Q 的坐标为

学霸拓展园地

1. D 2. A 3. 2

  解析：如图，设直线l 和八个小正方形的最右边的交点为A，过点 A 分别作AB⊥x 轴,AC⊥y轴,垂足分别为 B,C.因为小正方形的边长为 1，所以每个小正方形的面积为 1，OB=3.因为经过原点的一条直线 l 将这八个小正方形分成面积相等的两部分，所以三角形ABO 的面积是8×1÷2+1=5,即 5，解得 所以点 A 的坐标为(,(3, ).设

0).所以 分类讨论如下:①当点 D 在线段 BC 上,即-3<a<0时,0<a+3<3,所以 S△ABD =S△ABC-S△ADC= 27-9(α+3)= - 9a. 若 S△ABD =S△AOD,!,则-9a=6(a+3),解得 则点 D的坐标为 ② 当点 D 在 BC 的延长线上,即 a<-3 时,a +3<0,所以 S△ABD =S△ABC+ S△ADC = 27 - 9(a + 3) = - 9a. 若S△ABD=S△AOD,D则-9a=-6(a+3),解得a=6(舍去);③ 当点 D 在CB 的延长线上,即 a>0时,a+3>0,所以S△ABD =S△ADC—S△ABC =9(a+3)-27=9a.若S△ABD=S△AOD,则 9a=6(a +3),解得 a = 6.则点 D 的坐标为(6,18).综上，当点 D 的坐标为 或(6,18)时,、S△ABD=S△AOD.

   解析:由(1),得点 A 的坐标为(6,0),点 B 的坐标为(0,6),则 OA=OB=6.又点 D的坐标为(11,0),所以OD=11,即 AD=OD-OA=5.由题意,设点 P 的坐标为(m,0)(m>0),则OP=m.因为△BPQ是等腰直角三角形,∠BPQ=90°,所以 BP=QP.如图,过点 Q 作QT⊥x轴于点 T,则∠BOP=∠PTQ=90°.所以. .又∠QPT + ∠PQT = 90°, 所 以 ∠BPO =∠PQT.所以 Rt△BOP≌Rt△PTQ(AAS).所以OP=TQ,OB=TP,即 TQ=m,TP=6.所以AT=OP+PT-OA=m+6-6=m.所以AT= TQ. 所以△ATQ 是等腰直角三角形,∠QAT=45°.所以点 Q 在与x 轴所夹锐角为45°的射线 AQ 上运动.作点 D 关于直线 AQ 的对称点 R,连接 QR,BR,AR.由对称的性质,得∠QAR=45°,AR=AD=5,QR =QD. 所以∠RAT=90°,即 RA⊥x 轴.所以点 R 的坐标为(6,5).因为 QB-QD=QB-QR≤BR,所以当

新趋势2 阅读理解问题

1. C 2. D 3. (-1,-1)

4. ∠B=n∠C    解析:由题意,得△ABB₁≌△AA₁B₁.所以∠B=∠AA₁B₁.又. 所以 同理，得， ∠C……因为经过 n 次折叠后发现∠BAC 是△ABC 的“好角”,所以∠An-₁Bn-₁Bn=∠C,即∠B=n∠C.

5. (1) 如图①,作点 P 关于OB 的对称点 P',点 P关于OA 的对称点 P",连接 P'P"交OB 于点 R,交 OA 于点 Q,连接 OP',OP",PP',PP".所以OP=OP',OP=OP",RP=RP',QP=QP",即OP'=OP''.所以△PQR 的周长为RP+RQ+QP=RP'+RQ+QP''=P'P''.此时△PQR 的周长最小，且最小值为 P'P"的长.因为OB 垂直平分 PP',OA 垂直平分 PP",所以∠1=∠2,∠3=∠4.所以, ∠4= 2(∠2 +∠3) = 2∠AOB = 60°. )所以△P'OP"为等边三角形.所以P'P''=OP'=OP=10,即△PQR 周长的最小值为 10.

(2) 如图②,作点 M 关于OB 的对称点M',点 N关于 OA 的对称点 N',连接 M'N'交OB 于点P,交 OA 于 点 Q, 连 接 ON', OM', MM',NN'. 所以 OM'= OM = 2,ON'= ON =2,MP=M'P,QN=QN',即(OM'=ON'=2.所以MP+PQ+QN=M'P+PQ+QN'=M'N'.此时 MP+PQ+QN 的值最小,且最小值为 M'N'的长.因为 OB 垂直平分 MM',OA 垂直平分NN',所以∠M'OB=∠AOB=20°,∠N'OA=∠AOB=20°.所以 .所以△M'ON'为等边三角形.所以M'N'=OM'=2,,即 MP+PQ+QN 的最小值为2.