精品解析：四川省德阳市广汉市2020—2021学年下学期第一次诊断考试九年级数学试卷

广汉市2020—2021学年度下期第一次诊断考试 九年级数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，由第Ⅰ卷选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卷上，考试结束后只交答题卷． 2．本试卷满分150分钟，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 据某市统计局公布的第七次全国人口普查数据，某市常住人口为万人，其中万人用科学记数法表示为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 5. 平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是（ ） A. B. C. D. 6. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为（　　） A. 57° B. 60° C. 63° D. 123° 8. 已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（　　） A. 3，2 B. 3，4 C. 5，2 D. 5，4 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是一元二次方程的两根，则等于（ ） A. 2 B. C. 6 D. 11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（　　） A. B. 2 C. D. 12. 如图，是二次函数（是常数，）的图象，下列结论中①；②；③；④；⑤．其中正确结论为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把答案填在答题卡的相应位置上． 13. 因式分解：________． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是______． 15. 有一个底面半径为、侧面积是的圆锥，则其母线长______cm． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，，点E，F分别是BM，CM的中点，若，则AM的长为______． 17. 如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．那么使得M=1的x值为______． 18. 如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点E，F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 21. 2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿（如图1）．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ． （3）请把图2的条形统计图补充完整； （4）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 22. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，连结AO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 23. 某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元． （1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件． ①求m的取值范围． ②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式. 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）求证：＝． （3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积． 25. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广汉市2020—2021学年度下期第一次诊断考试 九年级数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，由第Ⅰ卷选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卷上，考试结束后只交答题卷． 2．本试卷满分150分钟，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算法则，熟练掌握积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式等相关运算法则是关键． 根据积的乘方，同底数幂乘法，单项式乘单项式的运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，正确，该选项符合题意； D、，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 3. 不等式在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴表示不等式的解集时的“两定”．根据数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于解集为实心点，不含等于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．即可解答． 【详解】解：，开口向数轴的正方向（向右），且x大于等于1，所以要实心． 故选：D． 4. 据某市统计局公布的第七次全国人口普查数据，某市常住人口为万人，其中万人用科学记数法表示为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的形式． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可，表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：万， 故选：A． 5. 平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为原来的相反数是解此题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为原来的相反数，即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：B． 6. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面、左面、上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：A、主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意； B、主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； C、主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意． D、主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，熟记常见几何体的三视图及简单组合体的三视图是解决问题的关键． 7. 如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为（　　） A. 57° B. 60° C. 63° D. 123° 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠AMC=∠A ∵∠AMC =∠C+∠E， ∵∠E=37°，∠C=20°， ∴∠A=57°， 故选A． 8. 已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（　　） A. 3，2 B. 3，4 C. 5，2 D. 5，4 【答案】B 【解析】 【详解】解：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3； 原来的方差：； 新的方差：， 故选B． 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 10. 已知是一元二次方程的两根，则等于（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：C． 11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，则，根据矩形的性质得，，根据旋转的性质得到，，，，推出△为等腰直角三角形，得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 将绕点顺时针方向旋转后得△， ，，，， △△， ， △为等腰三角形， △为等腰直角三角形， ， 设，则，， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 12. 如图，是二次函数（是常数，）的图象，下列结论中①；②；③；④；⑤．其中正确结论为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线和系数的关系，抛物线和坐标的交点等内容，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①利用抛物线的对称轴在纵轴的右侧，抛物线与纵轴交于正半轴进行判定即可； ②利用对称轴进行判断即可； ③利用抛物线和横轴的交点求解即可； ④利用②的结论和抛物线开口方向即可求解； ⑤利用对称轴求出抛物线和横轴的交点坐标，然后求解即可． 【详解】解：①∵对称轴在纵轴的右侧，抛物线与纵轴交于正半轴， ∴，， ∴， 故①正确，符合题意； ②由对称轴得，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③∵抛物线与直线有两个交点，即， ∴， 故③错误，不符合题意； ④抛物线开口向下， ∴， 由②得， ∴， 故④正确，符合题意； ⑤∵抛物线的对称轴，且抛物线与横轴的一个交点横坐标在和0之间， ∴另一个交点横坐标在2和3之间， 当时，， 故⑤正确，符合题意； 正确选项为①②④⑤， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把答案填在答题卡的相应位置上． 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 利用一元二次方程根的判别式列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， 故答案为：． 15. 有一个底面半径为、侧面积是的圆锥，则其母线长______cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式． 利用圆锥的侧面积的计算公式，其中r为底面半径，l为母线长，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，母线长为， 故答案为：10． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，，点E，F分别是BM，CM的中点，若，则AM的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：点，点分别是，中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题的关键熟练掌握平行四边形的性质． 17. 如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．那么使得M=1的x值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵y1=-2x2+2， ∴抛物线与坐标轴的交点是：（-1，0），（1，0），（0，2）． ∵直线y2=2x+2， ∴该直线与坐标轴的交点是：（-1，0），（0，2）． 即A（-1，0），B（1，0），C（0，2）． 根据图示知，①当-1＜x＜0时，y1＞y2， ∴使得M=1时，y2=2x+2=1，解得：x=-； ②当x＞0时，y2＞y1， 使得M=1时，即y1=-2x2+2=1，解得：x1=，x2=-（舍去）， ∴使得M=1的x值是-或． 故答案是：-或． 【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 18. 如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】作直径AC，连接CP，得到△APC∽△PBA，得到，得到，所以，得到当时，有最大值是1． 【详解】解：如图，作直径AC，连接CP， ∵AC为直径， ∴∠CPA=90°， ∵AB为切线， ∴CA⊥AB， 又∵PB⊥l， ∴AC∥PB， ∴△APC∽△PBA， ∴， ∵PA=x，PB=y，r=2， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 19. 计算：． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，去绝对值等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，去绝对值的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点E，F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，再由角平分线的定义得到，从而得出答案； （2）先由平行四边形的性质得到，，，求得，再证，然后由全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． 21. 2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿（如图1）．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ． （3）请把图2的条形统计图补充完整； （4）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）180 （2）126° （3） 补全统计图如下： （4） 【解析】 【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数； （2）用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可； （3）用总人数乘以篮球人数所占的百分比，求出篮球的人数，从而补全统计图； （4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 54÷30%＝180（人）， 答：这次被调查的学生共有180人； 故答案为：180； 【小问2详解】 根据题意得： 360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°， 答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°， 故答案为：126°； 【小问3详解】 篮球的人数有：180×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝63（人）； 【小问4详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 一 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） 一 （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） 一 （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一 ∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲， ∴P（选中甲、乙）＝＝． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，连结AO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【答案】（1）反比例函数关系式为y=−，一次函数关系式为y=−3x−2；（2）C(0,)或（0，）或（0，1）或（0，2）. 【解析】 【分析】（1）将点A（-1，a）、B（，-3）代入反比例函数y=中得：-3×=（-1）×a=k1，可求k1、a；再将点A（-1，a）、B（，-3）代入y2=k2x+m中，列方程组求k2、m即可； （2）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标． 【详解】(1)∵反比例函数y=的图象经过B(,−3)， ∴k1=3××(−3)=−3， ∵反比例函数y=的图象经过点A(−1,a)， ∴a=1. 由直线y2=k2x+m过点A，B得： ， 解得 ∴反比例函数关系式为y=−，一次函数关系式为y=−3x−2； (2)点C在y轴上,且与点A. O构成等腰三角形,点C的坐标为：(0,−)或(0, )或(0,2)或(0,1). 如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个； 以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个； 以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个. 以上四个点为所求. 23. 某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元． （1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件． ①求m的取值范围． ②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式. 【答案】（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）①，②． 【解析】 【分析】（1）根据题意应用分式方程即可； （2）①根据条件中可以列出关于m的不等式组，求m的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y与m的函数关系，通过讨论所含字母n的取值范围，得到w与n的函数关系． 【详解】（1）设型丝绸的进价为元，则型丝绸的进价为元, 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 答：一件型、型丝绸的进价分别为500元，400元． （2）①根据题意得： ， 的取值范围为：， ②设销售这批丝绸的利润为， 根据题意得： ， ， （Ⅰ）当时，， 时， 销售这批丝绸的最大利润； （Ⅱ）当时，， 销售这批丝绸的最大利润； （Ⅲ）当时， 当时， 销售这批丝绸的最大利润． 综上所述：． 【点睛】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）求证：＝． （3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积． 【答案】 （1）证明：连接OE，OP， ∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点， ∴AB垂直平分EP， ∴PB＝BE， ∵OE＝OP，OB＝OB， ∴△BEO≌△BPO（SSS）， ∴∠BEO＝∠BPO， ∵BP为⊙O的切线， ∴∠BPO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． （2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∴． （3）45 【解析】 【分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论． （2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论． （3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点， ∴EP⊥AB， ∵CG⊥AB， ∴CG∥EP， ∵∠ACB＝∠BEO＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠EAQ＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AQE（AAS）， ∴CE＝QE， ∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°， ∴∠CEH＝∠AHG， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CHE＝∠CEH， ∴CH＝CE， ∴CH＝EQ， ∴四边形CHQE是平行四边形， ∵CH＝CE， ∴四边形CHQE是菱形， ∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝， ∵AC＝15， ∴AG＝9， ∴CG＝＝12， ∵△ACE≌△AQE， ∴AQ＝AC＝15， ∴QG＝6， ∵HQ2＝HG2+QG2， ∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62， 解得：HQ＝， ∴CH＝HQ＝， ∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45． 【点睛】此题考查了圆的综合问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用． 25. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）. 【解析】 【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t. 【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得： ×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1， 所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1； (2)∵AC∥x轴，A(0，1)， ∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)， ∵点A(0，1)，点B(-9，10)， ∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)， ∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m. ∵AC⊥PE，AC＝6， ∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF ＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP ＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m. ∵-6<m<0， ∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()； (3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2， P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3， ∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘， 同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直线AC上存在满足条件的点Q， 设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝， ∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)； ②当△CQP∽△ABC时， CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1). 综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1). 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $