15.3 第1课时 角的平分线的作法- 【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(沪科版2024)安徽专版

15.3 角的平分线 第1课时 角平分线的作法 课题 角平分线的作法 课型 新授课 教学内容 教科书第137-139页的内容 教学目标 1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，并能证明它的正确性. 2.能够运用尺规过一点作已知直线的垂线. 教学重难点 教学重点：会用尺规作已知角的平分线并证明它的正确性. 教学难点：过一点作已知直线的垂线. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入新课 【问题】怎样得到一个角的平分线？ 方法一：用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线. 【学生活动】先画一个角，量出它的度数，再求出它一半的度数，再用量角器以已知角的一边为边，画一半度数的角，再与同伴交流画图过程. 【教师活动】对学生的画法作出肯定. 方法二：通过折纸可以饿到一个角的角平分线. 【教师提问】请同学们自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 【师生活动】教师和学生一起动手按照折纸的顺序折出如图15-16所示的折痕OP. 【教师提问】按照折纸的顺序画出一个角的一条折痕，思考∠AOP与∠BOP的大小关系？ 【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，利用折纸的方法作出一个角的角平分线，边活动，边观察. 【归纳】（1）∠AOP＝∠BOP； （2）对折后的折痕是这个角的平分线； （3）角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 【教师提问】如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 由教师提出的问题引入新课. 2.类比探究，学习新知 1.方法三：用尺规作图的方法作一个角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（1）如图15-17（1），以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N. （2）如图15-17（2），分别以点M，N为圆心，大于,MN长为半径在角的内部作弧，两弧交于点P. （3）如图15-17（3），作射线OP，则OP,为所求作的∠AOB的平分线. 【思考】 1.根据图15-17中的作图，你能证明所作射线OP，就是∠AOB的平分线吗？ 2.当∠AOB的两边成一直线时（即∠AOB=180°），你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？ 【教师活动】提示学生平角是特殊的角，所以角平分线的作法不变，巡视学生作图，及时纠正不正确的作法. 【学生活动】按照角平分线的作图，猜测OP与直线AB的位置关系，小组交流答案. 师生共同总结：这时的角平分线与直线AB垂直. 【教师提问】1.在上面作法的第（2）步中，去掉“大于MN长”这个条件行吗？ 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？ 【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，得出结论. 1.去掉“大于MN长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线. 2.若分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制条件缺一不可. 4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明. 【思考】如何用尺规经过一点作已知直线的垂线？ 【探究1】经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 已知：如图15-18（1），直线AB和AB上一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法： 如图15-18（1），作平角ACB的平分线，则直线CF就是所求作的垂线. 【探究2】经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知：如图15-18（2），直线AB和AB外的一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法： （1）如图15-18（2），任取一点K，使K和C在AB的两旁； （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E ； （3）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F； （4）作直线CF. 则直线CF就是所求作的垂线. 【追问】为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说道理吗？ 证明：连接CD，CE，FD，FE. 由作法知，CD＝CE， ∴点C在线段DE的垂直平分线上. 由作法知，FD＝FE， ∴点F在线段DE的垂直平分线上， ∴CF是线段DE的垂直平分线， 即CF⊥AB. 【教师活动】根据点与直线的位置关系，提示学生分情况讨论,当点在直线外时，提示学生作图方法并说明作图的依据. 【学生活动】根据老师的提示，分组作出图形，小组内交流，并证明作出的直线就是已知直线的垂线. 3.学以致用，应用新知 【例1】用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 答案：A 【例2】如图，请在图中作出线段AD，使其平分∠BAC且长度等于m. 要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论． 解：已知：线段m，∠BAC. 求作：线段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m. 如图所示． 考点2 过一点作已知直线的垂线 【例3】如图，分别过点P作线段MN的垂线． 解：如图， （1）延长NM，过点P作NM所在直线的垂线； （2）延长NM，过点P作NM所在直线的垂线； （3）延长MN，过点P作MN所在直线的垂线； （4）延长NM，过点P作NM所在直线的垂线． 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 解：如图，点P即为所求. 2.已知等腰三角形底边是a，底边上的高是b，求作：等腰三角形. 已知：线段a,b,如图. 求作：△ABC,使底边BC＝a,BC边上的高AD＝b. 解：作法： （1）作线段BC＝a； （2）分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N； （3）作直线MN交线段BC于点D； （4）以点D为圆心，以b为半径画弧，交直线MN于点A； （5）连接AB，AC，则△ABC为所求作的三角形. 5.课堂小结，自我完善 （1）如何用尺规作角的平分线？ （2）如何用尺规经过已知直线上或已知直线外的一点作这条直线的垂线？ 6.布置作业 教科书第139页练习第1题. 给出作角的平分线的方法. 通过尺规作图感受作角的平分线的过程. 作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤． 由尺规作图可知，OM=ON，NP=MP，进而可证△NOP≌△MOP，可得∠AOP=∠BOP，即可得出答案． 用尺规分别经过直线上一点和直线外一点作已知直线的垂线. 利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线． 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识. 加深认识，深化提高. 板书设计 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.用尺规作一个角的平分线. 3.经过一点作已知直线的垂线. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 角的平分线的作法，教科书介绍了折纸法、量角器法和尺规法三种作法.角的平分线的相关内容，教科书都是用与线段的垂直平分线类似的方法展开的，教学时可采用类比的方法进行教学. 关于角是轴对称图形，教学时应该让学生自己操作折叠、思考发现，并用自己的语言归纳总结，因为角的平分线是射线，所以不能说角的平分线是它的对称轴. 讲解尺规法作一个已知角的平分线时，首先要求学生根据作法或教师的示范按步骤作图，并分析、思考每步作法的理由，然后要求学生探究、证明这种作法的正确性. 教后反思，累积经验. 1 学科网（北京）股份有限公司 $