13.2 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1,2- 【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(沪科版2024)安徽专版

13.2 一次函数 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1，2, 课题 三角形内角和定理的证明及推理1，2 课型 新授课 教学内容 教科书第78-80页的内容 教学目标 1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用. 2.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处. 3.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2. 教学重难点 教学重点：掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用. 教学难点：理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析因果关系，找出证明途径；最后有调理地写出证明过程. 提示：有些几何题目，已经画好了图形，写出了已知、求证，这时只要写出证明过程. 2.类比探究，学习新知 【问题】试着证明三角形的内角和等于180°. 【师生活动】学生先独立思考，再分组讨论，之后分组回答问题，让尽可能多的学生参与到问题中来，活跃课堂气氛，集中学生的注意力. 分析：以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却给我们以启发.现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明. 证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA.（同位角相等，两直线平行） ∴ ∠A=∠1.（两直线平行，内错角相等） ∵B，C，D在同一条直线上，（所作） ∴∠1+∠2+∠ACB=180°，（平角的定义） ∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.（等量代换） 【追问1】在上面的证明过程中所画的线是什么？ 在上面的证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.注意：辅助线通常画成虚线. 【追问2】在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.由此你能得到什么结论？ 如果三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另两个角的和应为90°. 【归纳】推论1 直角三角形的两锐角互余. 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论. 【追问3】在△ABC中，∠A+∠B=90°，判断△ABC的形状.由此你能得到什么结论？ 在△ABC中,∠A+∠B=90°,则∠C=90°,△ABC是直角三角形. 【归纳】推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形内角和定理的证明 【例1】如图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180°的原理是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 答案：B 考点2 三角形内角和定理的推论 【例2】如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于点H，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？ 解：△AHC是直角三角形．理由如下： ∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠DCA＝180°. 又∵AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA， ∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠DCA， ∴∠1＋∠2＝(∠BAC＋∠DCA)， ∴∠1＋∠2＝90°，∴△AHC为直角三角形． 4.随堂训练，巩固新知 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC． （1）猜想：∠BPC与∠ABP，∠ACP，∠A存在怎样的等量关系？证明你的猜想． （2）若∠A=69°，PB，PC分别是∠ABC，∠ACB的三等分线，直接利用（1）中结论，可得∠BPC的度数为 . 解：（1）猜想：∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP.证明如下： 由题意，得∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°. ∵∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP， ∴∠BPC+∠ABC-∠ABP+∠ACB-∠ACP=180°， ∠BPC+（∠ABC+∠ACB）-（∠ABP+∠ACP）=180°， ∠BPC+180°-∠A-（∠ABP+∠ACP）=180°， ∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP. （2）∵∠A=69°，PB，PC分别是∠ABC，∠ACB的三等分线， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=111°， ∠ABP=∠ABC，∠ACP=∠ACB， ∴∠BPC=∠A+（∠ABC+∠ACB）=69°+37°=106°． 5.课堂小结，自我完善 （1）本节学习了哪些内容？ （2）你还有什么疑惑？ 6.布置作业 教科书第80页练习第1-2题，第86页复习题A组第6，9题. 引出证明的一般步骤. 在回答问题的过程中，选择不同程度的学生来回答培养大部分学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，为新课的学习做好铺垫. 根据题意，得EF∥BC，则∠EAB=∠CBA， ∠FAC=∠BCA， 根据平角的性质，得 ∠EAB+∠BAC+∠CAF =180°，即可． 判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定． 明确三角形的内角和为180°． 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识. 板书设计 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 “三角形内角和定理”学生在小学已经熟悉，但是用综合法证明这是首次，教科书中的证法及辅助线的作法皆由13.1问题中拼法得到.证明三角形的内角和定理，添加辅助线的方法有多种，其基本思路相同，都是通过作辅助线达到将三个内角转化到一个顶点处构成一个平角的目的.教学中应该结合三角形内角和定理的证明让学生了解什么是辅助线，以及添加辅助线的作用，对学有余力的学生，可鼓励他们找出不同的添加辅助线的方法证明三角形的内角和定理. 教后反思，累积经验. 1 学科网（北京）股份有限公司 $