12.3 第2课时 二元一次方程组的图象解法- 【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(沪科版2024)安徽专版

课题

二元一次方程组的图象解法

课型

新授课

教学内容

教科书第50-52页的内容

教学目标

1.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
2.学生初步理解二元一次方程组无数组解和无解的情况，知道二元一次方程组解的三种情况与x，y的系数及常数项的联系．

教学重难点

教学重点：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.

教学难点：会根据x，y的系数及常数项判定二元一次方程组的解的情况.

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【问题】已知1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都上升了1 h．用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系.

【师生活动】教师鼓励学生独立解决问题：

气球上升时间x满足0≤x≤60.

1号气球：y＝x＋5，2号气球：y＝0.5x＋15.

追问：在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？

师生活动：教师引导学生思考在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（O≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决．

教师追问：上面的说法也可以转化为二元一次方程y=x+5和y=0.5x+15有相同的x和y，你能联想到什么？

师生活动：教师引导学生想到解二元一次方程组.

2.类比探究，学习新知

以实际问题为背景得出两个气球对应的函数，通过研究自变量和函数值分别相等的情况，转化为解二元一次方程组的问题.通过实际问题引入课题，能很好的调动学生探究新知的欲望.

【问题1】（1）在平面直角坐标系中，画出直线1：y=-x+1与直线2：y=2x+6.

【师生活动】预留时间，让学生利用前面学习的知识独立作图.最后教师课件展示所作图.

（2）如果直线1与2相交于点P，写出点P的坐标.

（师生共同从坐标系中直接观察到点P的坐标为（-2,2））

（3）说明点P的坐标是否为下面方程组的解？

【师生活动】教师引导学生利用上节“一次函数与二元一次方程的关系”分析，该方程组中的两个方程分别可以转化成哪两个一次函数.再结合“二元一次方程的解与对应一次函数图象上的点之间的关系”说明即可.

点P的坐标是二元一次方程组的解.

最后师生共同总结：二元一次方程组中两个二元一次方程所对应的两个一次函数图象的交点坐标即为该方程组的解.

【问题2】利用函数图象解方程组：

【师生活动】教师预留时间，让学生先作出两个二元一次方程对应函数的图象，等学生发现问题，教师引导解答并总结.

发现问题：学生作图后发现，方程①②作出的直线重合了.这种情况方程组的解是什么呢？

教师带领学生一起总结：这两条直线重合，说明直线上点的坐标即满足方程①，也满足方程②，也就是说直线上每一点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解.

追问：请仔细观察一下这个方程组的两个方程，它们之间存在什么关系呢？

学生回答：方程②中x，y的系数及等号右边的常数项都是方程①中对应数字的2倍.    

带着这个发现，继续探究.

【问题3】利用函数图象解方程组：

【师生活动】教师预留时间，让学生先作出两个二元一次方程对应函数的图象，等学生发现问题，教师引导解答并总结.

发现问题：学生作图后发现，方程①②作出的直线没有交点.

联系一次函数图象，体现一次函数与二元一次方程组之间的联系.并将该关系推广到一般情况.

这样,解二元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了.

以例题的形式，让学生自己探索，并发现问题，最后得到原方程组有无穷多组解.