12.3 第2课时 二元一次方程组的图象解法- 【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(沪科版2024)安徽专版

该教案聚焦“二元一次方程组的图象解法”核心知识点，以探测气球海拔问题创设情境，衔接一次函数与方程组的联系，搭建“一次函数图象→交点坐标→方程组解”的知识支架，梳理前后逻辑。 此教案特色鲜明，情境导入培养数学眼光，引导学生从现实问题抽象数量关系，类比探究环节通过作图分析相交、平行、重合三种情况，发展几何直观与推理意识，总结系数规律强化数学语言表达，助力学生形成数形结合思维，为教师提供可操作的探究式教学流程。

12.3 一次函数与二元一次方程 第2课时 二元一次方程组的图象解法 课题 二元一次方程组的图象解法 课型 新授课 教学内容 教科书第50-52页的内容 教学目标 1.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解． 2.学生初步理解二元一次方程组无数组解和无解的情况，知道二元一次方程组解的三种情况与x，y的系数及常数项的联系． 教学重难点 教学重点：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 教学难点：会根据x，y的系数及常数项判定二元一次方程组的解的情况. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题】已知1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都上升了1 h．用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系. 【师生活动】教师鼓励学生独立解决问题： 气球上升时间x满足0≤x≤60. 1号气球：y＝x＋5，2号气球：y＝0.5x＋15. 追问：在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？ 师生活动：教师引导学生思考在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（O≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决． 教师追问：上面的说法也可以转化为二元一次方程y=x+5和y=0.5x+15有相同的x和y，你能联想到什么？ 师生活动：教师引导学生想到解二元一次方程组. 2.类比探究，学习新知 【问题1】（1）在平面直角坐标系中，画出直线1：y=-x+1与直线2：y=2x+6. 【师生活动】预留时间，让学生利用前面学习的知识独立作图.最后教师课件展示所作图. （2）如果直线1与2相交于点P，写出点P的坐标. （师生共同从坐标系中直接观察到点P的坐标为（-2,2）） （3）说明点P的坐标是否为下面方程组的解？ 【师生活动】教师引导学生利用上节“一次函数与二元一次方程的关系”分析，该方程组中的两个方程分别可以转化成哪两个一次函数.再结合“二元一次方程的解与对应一次函数图象上的点之间的关系”说明即可. 点P的坐标是二元一次方程组的解. 最后师生共同总结：二元一次方程组中两个二元一次方程所对应的两个一次函数图象的交点坐标即为该方程组的解. 【问题2】利用函数图象解方程组： 【师生活动】教师预留时间，让学生先作出两个二元一次方程对应函数的图象，等学生发现问题，教师引导解答并总结. 发现问题：学生作图后发现，方程①②作出的直线重合了.这种情况方程组的解是什么呢？ 教师带领学生一起总结：这两条直线重合，说明直线上点的坐标即满足方程①，也满足方程②，也就是说直线上每一点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解. 追问：请仔细观察一下这个方程组的两个方程，它们之间存在什么关系呢？ 学生回答：方程②中x，y的系数及等号右边的常数项都是方程①中对应数字的2倍. 带着这个发现，继续探究. 【问题3】利用函数图象解方程组： 【师生活动】教师预留时间，让学生先作出两个二元一次方程对应函数的图象，等学生发现问题，教师引导解答并总结. 发现问题：学生作图后发现，方程①②作出的直线没有交点.这种情况方程组的解是什么呢？ 教师带领学生一起总结：这两条直线没有交点，即两条直线平行.说明直线1上点的坐标满足方程①，但不满足方程②，同理，直线2上点的坐标满足方程②，但不满足方程①.也就是说，方程①②没有公共解，故方程组无解. 追问：请仔细观察一下这个方程组的两个方程，它们之间存在什么关系呢？ 学生回答：方程②中x，y的系数是方程①中x，y系数的2倍，但等号右边的常数项不存在2倍关系. 【思考】上述三个问题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.比较每个例题里两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，你发现了怎样的规律？ 方程组记为（其中为常数）. 【师生活动】教师鼓励先学生独立思考，最后师生共同给出总结.（不妨设均不为0） (1)当≠时，两条直线相交，这时对应的二元一次方程组的解即为交点的横、纵坐标； (2)当=≠时，两条直线平行，无交点，这时对应的二元一次方程组无解； (3)当==时，两直线重合，有无数个交点，这时对应的二元一次方程组有无数个解． 3.学以致用，应用新知 考点 一次函数与二元一次方程组 【例】不解方程组，判断下列方程组的解的情况： (1) (2) (3) 解：(1)把方程②化为一般形式为y=2x+，与方程①对比：k相等，b不等，两直线平行，所以原方程组无解. (2)由≠可知，原方程组有唯一解. (3)将②变形为4x＋6y=8.由==知,原方程组有无数个解． 4. 随堂训练，巩固新知 (1)如图，如果一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2，相交于点P，则方程组的解是(　　) A. B. C. D. 答案：A （2）已知方程组的解是确定一次函数y=x+与y=x-m图象交点的坐标． 解：y=x+可变形为-3x+4y=6，y=x-m可变形为2x-3y=m，所以直线y=x+与y=x-m交点的坐标即是原方程组的解中x，y的对应值， 因此两个一次函数图象的交点坐标即是(2，3)． 5.课堂小结，自我完善 师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： (1）一次函数与二元一次方程组有什么关系？ (2）怎样判断二元一次方程组的解？ 6.布置作业 教科书第52页练习，第543页习题12.3第2-3题. 以实际问题为背景得出两个气球对应的函数，通过研究自变量和函数值分别相等的情况，转化为解二元一次方程组的问题.通过实际问题引入课题，能很好的调动学生探究新知的欲望. 联系一次函数图象，体现一次函数与二元一次方程组之间的联系.并将该关系推广到一般情况. 这样,解二元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了. 以例题的形式，让学生自己探索，并发现问题，最后得到原方程组有无穷多组解. 通过解三个不同解的方程组，让学生深刻认识到二元一次方程组解的三种情况，在解的过程中引导学生发现两个二元一次方程中x，y的系数及常数项之间的关系，并能对了总结规律.培养学生独立解决问题的能力与及时思考总结的学习习惯. 二元一次方程组的解有三种情况．当把二元一次方程组化为标准形式后，比较两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中可以发现规律. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息，通过方程与一次函数的适当形式变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的． 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对本节涵盖知识点的认识. 板书设计 图象法解二元一次方程组 解二元一次方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，相当于确定两条直线的交点坐标. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 引导学生自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识它们的关系，使学生真正掌握本节课的重点知识．在创设情境时营造氛围，引起学生的注意和学习兴趣，激发学生的求知欲．在知识的形成概念上，让学生有意识地用数形结合的思想解决相关问题． 教后反思，累积经验. 1 学科网（北京）股份有限公司 $