12.3 第3课时 双一次函数图象问题-【绿卡初中创新题】2026-2027学年八年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦双一次函数图象问题，通过宽带网收费情境引入，引导学生发现上网费与时间的函数关系，关联比较函数大小的旧知，搭建从实际问题到函数模型的学习支架。 以旅游费用、通讯收费等真实问题驱动，运用图象法、作差法等多种策略解决方案决策，培养抽象能力与推理意识，归纳解题步骤强化模型观念，助力学生提升用数学解决实际问题的能力，为教师提供结构化教学流程。

12.3 一次函数与二元一次方程 第3课时 双一次函数图象问题 课题 双一次函数图象问题 课型 新授课 教学内容 教科书第52-54页的内容 教学目标 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式． 2.能将简单的实际问题转化为数学问题(建一次函数)，从而解决实际问题. 3.在应用—次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性． 教学重难点 教学重点：运用函数知识选择最佳方案. 教学难点：从实际问题情境中，建立数学模型，选择最佳方案. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题】下表给出A,B两种宽带网的收费方式. 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 选取哪种方式能节省上网费？ 【师生活动】学生观察思考，给出结论：在方式A，B中，上网时间是影响上网费的变量.教师作出引导，指出：上网费可以看成是上网时间的函数，可以设月上网时间为x h,则方案A，B的收费金额y1，y2都是x的函数. 教师追问：怎么比较两种宽带网的收费方式哪种更节省呢？ 师生活动：学生进行讨论，教师引导学生结合前面学习的比较函数大小的方法思考：要比较它们，需在x＞0的条件下，考虑何时(1)y1=y2,(2)y1＜y2,(3)y1＞y2. 带着问题开始今天的课题. 2.类比探究，学习新知 【探究】选择最佳方案——双一次函数图象问题 例 某单位想在节假日期间组织职工到外地H处旅游，当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基木相同，到H地旅游的价格都是每人100元，经联系协商，中旅行社表示可给予每位游客8折优惠；乙旅行社表示单位先交1 000元后，给予每位游客6折优惠.该单位应选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？ 【师生活动】教师带领学生读题，然后以下列问题的形式引导学生逐步求解.鼓励学生独立解决，遇到问题小组内交流讨论，最后由教师引导指正. 【问题1】影响甲、乙旅行社费用的因素是什么？ 学生回答：参加旅游的人数. 【问题2】在这个问题中有几个变量？自变量是什么？变量之间是函数关系吗？ 学生回答：这个问题中存在两个变量：人数和费用.自变量是人数，它们之间是函数关系. 【问题3】你能用适当的方法表示出甲、乙两个旅行社各需要多少费用吗？ 教师引导学生设未知数，共同分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用为80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用为(60x+1 000)元. 【问题4】如何比较甲、乙两种收费方式？ 【师生活动】教师引导学生用函数表示出甲、乙两种收费方式的收费，然后鼓励学生独立比较大小，遇到问题教师给予帮助，最后总结点评. 设选择甲旅行社支付的总费用为y1元，则y1=80x； 选择乙旅行社支付的总费用为y2元，则y2=60x+1 000. 接下来比较y1与y2的大小. 方法一：在同一平面直角坐标系中，作出两个函数的图象，y1与y2的图象交于点（50，4 000）.观察图象，可得： 当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样； 当人数为0-49时，选择甲旅行社费用较少； 当人数为50以上时，选择乙旅行社费用较少. 方法二：作差，令y=y1-y2=80x-(60x+1 000)=20x-1 000. 画一次函数y=20x-1000的图象，它与x轴交点为（50，0）.由图可知： （1）当x=50时，y=0，即y1=y2，甲、乙两家旅行社的费用一样； （2）当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，乙旅行社的费用较低； （3）当0＜x＜50时，y＜0，即y1＜y2，甲旅行社的费用较低. 方法三：当80x-(60x+1 000)=0，即x=50时，选甲或乙旅行社都一样，都是80×50=4 000(元)； 当80x-(60x+1 000)＞0，即x＞50时，选乙旅行社费用较少； 当80x-(60x+1 000)＜0，即x＜50时，选甲旅行社费用较少.归纳总结：解决方案决策问题的一般步骤 （1）从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； （2）列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案. 3.学以致用，应用新知 【例】某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系式如图． (1)有月租时的收费方式是_______(选填“①”或“②”)，月租费是_______元； (2)分别求出①②两种收费方式中y与x之间的函数表达式； (3)请你根据用户通讯时间，给出经济实惠的选择建议． 解：(1)① 30 （2）设y①＝k1x＋30(k10)，y②＝k2x(k20)， 将(500，80)代入y①=k1x＋30(k10)，得500k1＋30=80，所以k1=0.1. 将(500，100)代入y②=k2x(k20)，得500k2=100，所以k2=0.2. 故①②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式分别为y①＝0.1x＋30，y②＝0.2x. (3)由y①=y②，得0.1x＋30=0.2x，解得x=300.当x=300时，y=60. 由图可知， 当通讯时间在300分钟以内时，选择收费方式②实惠； 当通讯时间超过300分钟时，选择收费方式①实惠； 当通讯时间等于300分钟时，选择收费方式①②一样实惠． 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图像判断该公司盈利时的销售量 （ ） A.小于4件 B.大于4件 C.等于4件 D.大于或等于4件 （2）某中学要添置某种教学仪器. 方案一：到商店购买，每件需要8元； 方案二：每件需要4元，另外需要制作工具的租用费120元. 方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元，购买的教学仪器为x件． ①直接写出y1,y2关于x的关系式； ②购买仪器多少件时，两种方案的费用相同； ③若学校需要仪器50件，采用哪种方案便宜？ 解：①y1=8x,y2=4x+120. ②依题意y1=y2，即8x=4x+120，解得x=30， 所以当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同； ③把x=50分别代入y1=8x,y2=4x+120中， 得y1=8×50=400，y2=4×50+120=320. 因为y1＞y2， 所以当需要的仪器为50件时，选择第2种方案费用便宜． 5.课堂小结，自我完善 (1)本节课学习了哪几种解决方案决策问题的解法？ (2)解决方案决策问题的一般步骤是什么？ 6.布置作业 教科书第54页练习第1-2题． 引导学生在实际问题中发现数学关系，发现上网费和上网时间之间存在函数关系，引导学生探究问题解决的方法. 让学生感知本题中费用随人数的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，并不是自动生成的，需要经过构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程. 强调函数图象对方案选择问题的重要意义，巩固强化学生对于函数图象的理解，进一步感知利用一次函数解决实际问题的步骤. 通过例题，让学生归纳、交流解决方案决策问题的一般步骤，让学生亲身体验探索的乐趣，在探究中不知不觉获得知识． 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括利用函数关系选择方案. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 板书设计 利用一次函数进行方案决策的一般步骤： （1）从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； （2）列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本节课的例题当中所讲的三种方法都是在用函数知识解决实际问题时常用的方法，要求学生学会运用这些方法来解决实际问题.相比较而言，第一种解法对识图的能力要求高；第二种解法由两函数表达式相减得到一个新的函数表达式的方法要让学生理解其中的意义.附注中方法是比较两个实数大小常用的方法. 教后反思，累积经验. 学科网（北京）股份有限公司 $