精品解析：北京德胜中学2025-2026学年上学期九年级数学开学调研试卷

初三数学开学调研 考试时间：100分钟 满分：100分 2025.09 一．选择题(共8小题，每小题2分，共16分) 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果是关于的方程的一个根，那么实数的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 3. 某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 如图，的对角线相交于点，是的中点．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，边在轴上，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向右平移3个单位，当点恰好落在直线上时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是； ③将该函数图象向左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原点； ④该函数图象上有且只有一个横坐标与纵坐标之和是的点． 其中正确的结论有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题(共8小题，每小题2分，共16分) 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 方程的解是______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 12. 已知一条直线经过坐标原点和点，当时，有，则这条直线的解析式可以是___________（写出一个即可）． 13. 一组数据的平均数为，方差为．再添加一个数据，得到一组新数据．若记这组新数据的方差为，则__________（填“”“”或“”）． 14. 如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，．则图中两块阴影部分的面积和为______． 15. 如图，矩形中，，为边上一点，沿将折叠，点正好落在边上的点．则折痕的长为________． 16. 如图，边长为2的正方形中，点E是边上一个动点，以为边在直线左侧作正方形，Q是其对角线交点，取中点M，连接． （1）当E是的中点时，的长为________； （2）的最小值为________． 三．解答题(共8小题) 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，矩形的对角线，交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，并在上截取，连接． （2）求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程． 证：四边形是平行四边形． ，① ． ． ， ，即． ∵， 四边形是平行四边形． 平分， ② ． ． ③ ． 平行四边形是菱形． 通过进一步探究发现：若平行四边形的一条对角线④ ，则这个平行四边形是菱形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 21. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米； （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长； （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 23. 纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形． （1）请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 24. 如图1，四边形是平行四边形，为对角线，，过点D作的垂线，分别交直线，于E，F，连接． （1）若，求的度数(用含的式子表示)； （2）过点B作的垂线，分别交直线，于点M，N． ①依题意补全图形； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，对于相交的直线，和图形W，给出如下定义：如果在图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线l1的距离与点N到直线l2的距离相等，则称图形W是直线，的“等距图形”． （1）已知点，线段上任一点到x轴的距离为 ，若线段是x轴，y轴的“等距图形”，写出一个m的值为 ； （2）点C，D在直线上，点C在点D左侧且，若线段是直线，x轴的“等距图形”，直接写出点C的横坐标的取值范围； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形Γ的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T在直线上，若在线段上存在点，使得正方形Γ是直线的“等距图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学开学调研 考试时间：100分钟 满分：100分 2025.09 一．选择题(共8小题，每小题2分，共16分) 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数； 而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个或多个交点，从而不能表示y是x的函数； 故选：C． 2. 如果是关于的方程的一个根，那么实数的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：D． 3. 某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计量的性质．原始数据去掉最高分和最低分后，分析各统计量是否变化．中位数在去掉对称的两个极值后保持不变，而平均数、众数、方差均可能改变． 【详解】解：平均数：总和减少，故平均数可能变化． 众数：若被去掉的最高分或最低分是原众数，则众数改变． 中位数：原始6个数据的中位数为第3、4位数的平均值；去掉最高和最低分后，剩余4个数据的中位数为第2、3位数的平均值．由于原第3、4位数仍位于剩余数据中间，故中位数不变． 方差：数据分布改变，方差可能变化． 故选C． 4. 如图，的对角线相交于点，是的中点．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由勾股定理可得，进而由三角形中位线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 5. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：把代入得，解得， 所以点坐标为， 所以关于，的二元一次方程组的解是， 故选：． 6. 某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题． 设年平均增长率为，根据题意得． 【分析】解：设年平均增长率为，则2023年的营业收入为亿元，2024年的营业收入在2023年的基础上再增长一次， ， 故选：A． 7. 如图，在等边中，边在轴上，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向右平移3个单位，当点恰好落在直线上时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质求得B点坐标，然后根据平移的性质求得B′坐标，代入解析式求解． 【详解】解：过点B作BE⊥x轴， ∴在等边△ABC中，点的坐标为 ∴，， ∴B点坐标为，点的对应点的坐标为 将代入中， ，解得： ∴的坐标为 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像特点及等边三角形的性质，利用数形结合思想解题是关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是； ③将该函数图象向左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原点； ④该函数图象上有且只有一个横坐标与纵坐标之和是的点． 其中正确的结论有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，平移的性质，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键．通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后，可判断④． 【详解】解：①当时，的取值范围是，故①正确； ②由图象可知，当时，或，故②错误； ③由图象可知，函数图象经过点，将该函数图象左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原点，故③正确；； ④令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点， 则该函数图象上有三个横坐标与纵坐标之和是的点，故④错误； ∴正确的有①③，共2个， 故选：B． 二．填空题(共8小题，每小题2分，共16分) 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程根的判别式；根据题意得出，解方程，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 已知一条直线经过坐标原点和点，当时，有，则这条直线的解析式可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．设这条直线的解析式是，先根据这条直线经过坐标原点可得，再根据一次函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：设这条直线的解析式是， ∵这条直线经过坐标原点， ∴， 又∵这条直线经过点，且当时，有， ∴， ∴这条直线的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 一组数据的平均数为，方差为．再添加一个数据，得到一组新数据．若记这组新数据的方差为，则__________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方程的计算方法，掌握方差的计算方法是解题的关键． 根据方差公式即可求解． 【详解】解：根据题意， ， 添加一个数据后的平均数为， ∴ ， ∵，即， 故答案为： ． 14. 如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，．则图中两块阴影部分的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，依据题意，先由三个正方形的面积分别是，，，求出三个正方形的边长分别是，从而可得长方形的长为，宽为，进而可得长方形的面积为：，最后可得两块阴影部分的面积和，进而可以得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积分别是，，， ∴三个正方形的边长分别是， ∴长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为：． ∴两块阴影部分的面积和． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，为边上一点，沿将折叠，点正好落在边上的点．则折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质和折叠的性质可得 ，由勾股定理可求的长，即可得由勾股定理可求的长，可得的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 由折叠得： ， 在中， ， ，在中， ， ， 故答案为： ． 16. 如图，边长为2的正方形中，点E是边上一个动点，以为边在直线左侧作正方形，Q是其对角线交点，取中点M，连接． （1）当E是的中点时，的长为________； （2）的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称图形的性质求最短路径，掌握正方形的性质，轴对称图形的性质，构造合理的辅助线是关键． （1）根据正方形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质即可得到； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线的性质，得到，结合，得到，如图所示，延长到点，使得，连接，作点关于的对称点，连接，得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， ∵以为边在直线左侧作正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴； （2）解：如图所示，延长到点，使得，连接，作点关于的对称点，连接， 在中，是中点，则， 又， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，点在线段上运动， ∵作点关于的对称点， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：①；② ． 三．解答题(共8小题) 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握这些方法是解题的关键． （1）先移项、然后再运用因式分解法求解即可； （2）直接用因式分解法求解即可； （3）直接用公式法求解即可； （4）直接利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 解：， ， ， 所以． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：， ， ， 所以． 18. 如图，矩形的对角线，交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握相关判定和性质，是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分，得到，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，勾股定理求得，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵ ∴ 在中， ∴． ∴菱形的面积是． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，并在上截取，连接． （2）求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程． 证：四边形是平行四边形． ，① ． ． ， ，即． ∵， 四边形是平行四边形． 平分， ② ． ． ③ ． 平行四边形是菱形． 通过进一步探究发现：若平行四边形的一条对角线④ ，则这个平行四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示： ． （2）①；②；③；④平分了它所连接的两个内角 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握尺规作图和菱形的判定是解题关键． （1）根据角平分线的尺规作图、作线段的尺规作图即可得； （2）先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据角平分线的定义可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可得．通过进一步探究发现：若平行四边形的一条对角线平分了它所连接的两个内角，则这个平行四边形是菱形．理由：如图（见解析），先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可得． 【小问1详解】 解：作的角平分线交于点，并在上截取，连接； 【小问2详解】 理由：如图，平行四边形的对角线平分和， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ∵，， ∴， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程两根均不小于1，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程可化为，即 解得：，， ∵方程两根均不小于1， ∴， ∴． 21. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米； （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长； （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）24 （2）10米 （3）不能， 理由如下：设CD＝y（0＜y≤15）米， 则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米， 依题意得：y（48﹣3y）＝210， 整理得：y2﹣16y+70＝0． ∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到210平方米． 【解析】 【分析】（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【小问1详解】 解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）． 故答案为：24． 【小问2详解】 设CD＝x（0＜x≤15）米， 则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米， 依题意得：x（48﹣3x）＝180， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10． 当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米）， 30＞27，不合题意，舍去； 当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意． 答：边CD的长为10米． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，当时，有函数，，，由当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，可得，进而解不等式组即可解答． 【小问1详解】 解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴ 将点、代入，得 解得 答：的值为1，的值为． 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，，， ∵当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值， ∴，解得． 故答案为：． 23. 纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形． （1）请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 拼剪方法如图所示： （2） i．证明：如图中，连接，，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分； ii．， 证明：设，（）． 由题意，， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接正方形的对角线，再把四个等腰直角三角形拼成矩形即可； （2）i、证明四边形是正方形即可； ii、设，（）．根据图形面积建立方程，解一元二次方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 i、略 ii、略 24. 如图1，四边形是平行四边形，为对角线，，过点D作的垂线，分别交直线，于E，F，连接． （1）若，求的度数(用含的式子表示)； （2）过点B作的垂线，分别交直线，于点M，N． ①依题意补全图形； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ①如图： ② 解：，证明如下： 过点作交于点， 由（1）知， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴； 在和中， ， ∴≌， ∴； 设，，那么， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质、三角函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）①根据题意作图即可； ②过点作交于点，证明为等腰三角形，得到，证明≌， 得到，设，，那么，分别表示出、、，进而探究出数量关系． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②略 25. 在平面直角坐标系中，对于相交的直线，和图形W，给出如下定义：如果在图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线l1的距离与点N到直线l2的距离相等，则称图形W是直线，的“等距图形”． （1）已知点，线段上任一点到x轴的距离为 ，若线段是x轴，y轴的“等距图形”，写出一个m的值为 ； （2）点C，D在直线上，点C在点D左侧且，若线段是直线，x轴的“等距图形”，直接写出点C的横坐标的取值范围； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形Γ的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T在直线上，若在线段上存在点，使得正方形Γ是直线的“等距图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 【答案】（1）3；4（答案不唯一） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴，到x轴的距离为3，由线段是x轴，y轴的“等距图形”，得到，则或，由，m的值可取4； （2）设直线分别交x轴、y轴于点E、F，求出，证明，且C、D的水平距离与垂直距离相等为1，设x轴、直线的交点为，直线与直线交点为A，可证明点在的角平分线上，利用待定系数法可得经过点和点的直线解析式为；设直线与直线于点M， 可证明要使存在两点满足题意，则点C在点M的左下方，点D在点M的右上方，据此列出不等式求解即可； （3）求出，，设边长为2的正方形的中心，正方形边有两点由线段上的点，使得正方形是直线的等距图形，得到或，分类讨论：①，②， ③，④，逐个求解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴轴，到x轴的距离为3， ∵线段是x轴，y轴的“等距图形”， ∴， ∴或， ∵， ∴m的值可取4．（答案不唯一）， 故答案为：3，4； 【小问2详解】 解：如图， 设直线分别交x轴、y轴于点E、F， 在中，令，则，解得； 令，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点C，D在直线上， ∴，， ∵， ∴C、D的水平距离与垂直距离相等， 设C、D的水平距离为d， 则，即； 设x轴、直线的交点为，直线与直线交点为A， ∵点到x轴的距离为1，到直线的距离也为1， ∴点在的角平分线上， 设经过点和点的直线解析式为， ∴， ∴， ∴经过点和点的直线解析式为； 设直线与直线于点M， ∵在直线的左下方的点到x轴的距离小于到直线的距离；在直线的右上方的点到x轴的距离大于到直线的距离； ∴要使存在两点满足题意，则点C在点M的左下方，点D在点M的右上方， 联解得 ∴ 则， 解得． 【小问3详解】 解：如图 当时，， ∴， 当时， ∴， 设边长为2的正方形的中心， 正方形边有两点 ∴， ∵线段上的点，使得正方形是直线的等距图形， ∴或，且， ， ∴或 ①， ， 由，得 ， 则 即； ②， ， 由，得 ， ， 即， ③， ， ，，， ， ， 即； ④， ， ，，， ， ， 即． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义——“等距图形”．熟练掌握新定义性质，点到坐标轴的距离，不等式，点到平行坐标轴的直线的距离，等腰直角三角形性质，角平分线的性质，正方形性质，分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $