2.3.4 两平行直线间的距离（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.3.4 两平行直线间的距离 导学案 （1）理解两条平行线间的距离公式的推导. （2）掌握量平行线的距离公式,能应用两平行线距离公式解决两平行直线的有关距离问题. （3）通过两平行线距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 第一环节 情境引入 情境引入 七夕之夜，银河如一条璀璨的光带横亘在星空，牛郎与织女分别站在银河的两侧隔河相望。传说中，银河在坐标平面上可以看作是由两条平行直线构成的，牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎思念织女，他想知道自己和织女之间的最小距离是多少?​ 同学们，帮忙设计一下牛郎与织女之间的最小距离到底该怎么求呢？ 第二环节 新知探究 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 探究：直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 探究：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 解决:牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎与织女之间的最小距离是多少？ 归纳总结：“ ”求求两平行直线的距离 思路：将“两平行直线间的距离”转化为“点到直线的距离” 第一步： ：在两条平行直线中的一条上任取一点，比如：与坐标轴的交点等； 第二步：求 ：利用点到直线的距离公式求取的点到另一条平行直线上的距离，即可求解. 探究：求证：两条平行直线与间的距离为 ． 公式： 两条平行直线与的距离公式： ______________________ 总结该公式得特点及注意事项： （1）应用公式前，必须把直线方程要化成 ； （2）两直线方程中要求x，y的系数要对应 ，若不同要先 ，再应用公式求距离. 牛刀小试 练1：两平行直线和之间的距离为（     ） A． B．2 C． D．3 练2：两条直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 练3：平行线与之间的距离为（    ） A． B． C． D．5 练4：（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（     ） A． B． C． D． 例7已知两条平行直线，，求与间的距离． 跟踪练习：求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 师生：根据以上例题归纳总结：“ ”求求两平行直线的距离 第一步：准备直线 方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的 对应相等. 第二步：将 四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 题型一：求两平行直线的距离 例题：求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 方法总结：“公式法”求求两平行直线的距离 第一步：准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的A、B对应相等. 第二步：将A、B、C1、C2四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 题型二：求含参的两平行直线的距离 例题、已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（    ） A．2 B．4 C． D．不确定 方法总结：先利用 关系求出参数值，然后再利用“ ”求两平行直线间的距离. 题型三：利用两平行直线间的距离求参数值（范围） 例题、（1）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 （2）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 方法总结：利用两平行直线的距离公式建立关于参数的 （ ），解方程（不等式）即可得解. 题型四：两平行直线间的距离的最值问题 例题、（1）已知，且满足，则 的最小值为 A． B． C． D． 方法总结：两平行直线上两动点间的距离存在 ：最小值为 （2）已知两条直线，，且，则两平行线距离最大为_________. 方法总结：两过定点的直线平行，则两平行直线间距离存在 ：即为 . 1．（23-24高二上·全国·课后作业）两条平行直线之间的距离为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）两平行直线，的距离等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D．24 4．（23-24高二上·广东·期末）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知直线与直线间的距离为，则（    ） A．或 B． C．或11 D．6或 7．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 1．两条平行直线之间的距离 （1）两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 到另一条直线的 ． （2）两条平行直线：与：之间的距离： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 两平行直线间的距离 导学案 （1）理解两条平行线间的距离公式的推导. （2）掌握量平行线的距离公式,能应用两平行线距离公式解决两平行直线的有关距离问题. （3）通过两平行线距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 第一环节 情境引入 情境引入 七夕之夜，银河如一条璀璨的光带横亘在星空，牛郎与织女分别站在银河的两侧隔河相望。传说中，银河在坐标平面上可以看作是由两条平行直线构成的，牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎思念织女，他想知道自己和织女之间的最小距离是多少?​ 同学们，帮忙设计一下牛郎与织女之间的最小距离到底该怎么求呢？ 第二环节 新知探究 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 探究：直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 预设：A、B、C到直线l2距离分别为，；规律：距离均相等，平行线之间的距离处处相等． 探究：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 预设：根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 解决:牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎与织女之间的最小距离是多少？ 预设：在牛郎所在一侧的直线上取点P(0,4),则点P到织女所在一侧的直线的距离为： 牛郎与织女之间的最小距离是：. 归纳总结：“转化法”求求两平行直线的距离 思路：将“两平行直线间的距离”转化为“点到直线的距离” 第一步：取点：在两条平行直线中的一条上任取一点，比如：与坐标轴的交点等； 第二步：求点到直线距离：利用点到直线的距离公式求取的点到另一条平行直线上的距离，即可求解. 探究：求证：两条平行直线与间的距离为 ． 预设：证明： 在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即． 因为点在直线上，所以，即，因此 ． 公式： 两条平行直线与的距离公式： 总结该公式得特点及注意事项： （1）应用公式前，必须把直线方程要化成一般式； （2）两直线方程中要求x，y的系数要对应相同，若不同要先化为相同，再应用公式求距离. 牛刀小试 练1：两平行直线和之间的距离为（     ） A． B．2 C． D．3 解析：平行直线和之间的距离. 故选：A 练2：两条直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 解析：由两平行线之间的距离公式可得. 故选：C 练3：平行线与之间的距离为（    ） A． B． C． D．5 解析：由已知所求距离为. 故选：A． 练4：（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（     ） A． B． C． D． 解析：对于A，，符合题意，故A正确；对于B，，不符合题意，故B错误． 对于C，，不符合题意，故C错误；对于D，，符合题意，故D正确． 故选：AD 例7已知两条平行直线，，求与间的距离． 预设：先求与轴的交点A的坐标．容易知道，点的坐标为． 点到直线的距离， 所以与间的距离为． 跟踪练习：求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 预设：l1等价变形为 l1： 又l2： 由两平行直线间的距离公式可得： 所以，平行直线l1与l2的距离为：. 师生：根据以上例题归纳总结：“公式法”求求两平行直线的距离 第一步：准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的A、B对应相等. 第二步：将A、B、C1、C2四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 题型一：求两平行直线的距离 例题：求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 预设：l1等价变形为 l1： 又l2： 由两平行直线间的距离公式可得： 所以，平行直线l1与l2的距离为：. 方法总结：“公式法”求求两平行直线的距离 第一步：准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的A、B对应相等. 第二步：将A、B、C1、C2四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 题型二：求含参的两平行直线的距离 例题、已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（    ） A．2 B．4 C． D．不确定 预设：由两直线平行可得，所以 与， 故两直线间的距离为 ，故选：A 方法总结：先利用平行关系求出参数值，然后再利用“公式法”求两平行直线间的距离. 题型三：利用两平行直线间的距离求参数值（范围） 例题、（1）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 预设：将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C （2）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 预设：直线化为，则两直线之间的距离，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：B. 方法总结：利用两平行直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式），解方程（不等式）即可得解. 题型四：两平行直线间的距离的最值问题 例题、（1）已知，且满足，则 的最小值为 A． B． C． D． 预设：为直线上的动点，为直线上的动点， 可理解为两动点间距离的最小值， 显然最小值即两平行线间的距离：. 故选C 方法总结：两平行直线上两动点间的距离存在最小值：最小值为两平行直线间的距离 （2）已知两条直线，，且，则两平行线距离最大为_________. 预设：，由，解得，故过定点． ，由，解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 方法总结：两过定点的直线平行，则两平行直线间距离存在最大值：即为两定点之间的距离. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）两条平行直线之间的距离为（    ） A． B． C． D．1 解析：由两平行线间的距离公式可得：．故选：C 2．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）两平行直线，的距离等于（    ） A． B． C． D． 解析：即为，则.故选：B. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D．24 解析：两直线变形为与，故选：B 4．（23-24高二上·广东·期末）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 解析：设所求直线的方程为，由题意可得，解得或， 故所求直线的方程为或.故选：BC 5．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 解析：依题意可得，解得，则直线方程为， 而方程，即，所以两条平行线间的距离为.故选：B. 6．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知直线与直线间的距离为，则（    ） A．或 B． C．或11 D．6或 解析：直线可化为，所以，解得或．故选：A. 7．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 解析：直线和直线互相平行，故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离，且两条直线间的距离：. 故答案为： 1．两条平行直线之间的距离 （1）两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 到另一条直线的 ． （2）两条平行直线：与：之间的距离： ． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $