2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 (教师独具内容) 课程标准：1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离． 教学重点：点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式的应用． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：通过研究点到直线及两条平行直线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　点到直线的距离 (1)定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段的长度． (2)点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． [说明]　直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． 知识点二　两条平行直线间的距离 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝． [说明]　两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． 1．(点到直线的距离公式)点A(－1，2)到直线l：x－y＋3＝0的距离为________． 答案：1 2．(点到特殊直线的距离)点P(1，2)到直线x＋2024＝0的距离等于________． 答案：2025 3．(由点到直线的距离求参数)若点(4，3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________． 答案：±5 4．(两条平行直线间的距离)两条平行直线2x＋6y＝16与x＋3y－18＝0间的距离等于________． 答案： 题型一　点到直线的距离　 例1　(1)点(－1，2)到直线y－1＝0的距离为________，到直线＋＝1的距离为________． [解析]　因为直线y－1＝0平行于x轴，所以d＝|2－1|＝1.直线＋＝1的一般式方程为2x＋y－10＝0，根据点到直线的距离公式得d＝＝2. [答案]　1　2 (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与点A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． [解]　解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以＝， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 解法二(数形结合)：设所求直线为l，因为l过点A且与P1，P2的距离相等，所以l有两种情况(如图所示)： ①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. ②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. 综上，所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 【感悟提升】　点到直线的距离的求解方法 (1)把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)点到几种特殊直线的距离 ①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； ②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； ③点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|； ④点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 【跟踪训练】　 1．(1)若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是(　　) A. B．2 C. D．2 答案：B 解析：|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式，得d＝＝2.故选B. (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程． 解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.解得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 题型二　两条平行直线间的距离　 例2　求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线的方程． [解]　解法一：由已知，可设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)， 则它到直线2x－y－1＝0的距离为 d＝＝＝2， ∴|C＋1|＝2，C＝±2－1. ∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 解法二：设所求直线上任意一点P(x，y)， 则点P到直线2x－y－1＝0的距离为 d＝＝＝2， ∴2x－y－1＝±2. ∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 【感悟提升】　求两条平行直线间距离的三种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝，必须注意两条直线方程中x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 【跟踪训练】　 2．已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离； (2)求直线l3的方程． 解：(1)易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2之间的距离为d＝＝2. (2)由l3与l2平行，可设直线l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8<C<18)． 由题意，知l3与l1之间的距离为， 所以＝，解得C＝5或C＝31(舍去)， 所以直线l3的方程为2x＋3y＋5＝0. 题型三　距离公式的综合应用　 例3　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值． [解]　(1)解法一：联立方程 解得则交点P(2，1)． 当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0， ∴＝3，解得k＝. ∴l的方程为y－1＝(x－2)， 即4x－3y－5＝0； 当直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意． 故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 解法二：设直线l的方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或. ∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. (2)过点P任意作直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， ∴dmax＝|PA|＝. 【感悟提升】　两种距离公式在解析几何中的应用 (1)点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式是解析几何的基本公式之一，在解析几何中具有重要的作用． (2)在使用距离公式时首先要把直线方程化为一般式． 【跟踪训练】　 3．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)因为l2可化为2x－y－＝0，所以l1与l2的距离为d＝＝. 因为a>0，所以a＝3. (2)设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上， 且＝×，即C＝或C＝. 所以满足条件②的点P满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 有＝×， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|. 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不符合条件． 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得(舍去)， 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得 所以P即为同时满足条件①②③的点． 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3 B. C．1 D. 答案：B 解析：解法一：点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝.故选B. 解法二：因为直线l：3y＝2平行于x轴，所以d＝＝.故选B. 2．与点M(2，1)之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线方程是(　　) A．x＝4 B．3x－4y－12＝0 C．x＝4或3x－4y－12＝0 D．y＝4或3x－4y－12＝0 答案：C 解析：直线x＝4与点M(2，1)的距离为2，且在x轴上的截距为4，故x＝4符合要求；对于直线3x－4y－12＝0，有d＝＝2且y＝0时x＝4，故也符合要求；直线y＝4与点M(2，1)的距离为3且与x轴无交点，不符合要求．∴x＝4，3x－4y－12＝0都是与点M(2，1)的距离为2且在x轴上的截距为4的直线．故选C. 3．若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是(　　) A．32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0 B．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 C．7x＋4y＝0 D．x－4y＋4＝0 答案：A 解析：设点P(x，y)，由题意，得＝，则32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0. 4．两条平行直线3x－2y－1＝0与3x－2y＋1＝0间的距离为________． 答案： 解析：由两条平行线间的距离公式得d＝＝. 5．直线l过点(4，0)，若点(1，2)到直线l的距离为3，则直线l的方程为________________． 答案：x＝4或5x－12y－20＝0 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时点(1，2)到直线l的距离为3，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，所以＝3，解得k＝，所以直线l的方程为x－y－＝0，即5x－12y－20＝0.综上所述，直线l的方程为x＝4或5x－12y－20＝0. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 距离公式的综合应用 两条平行直线间的距离 点到直线的距离 点到直线的距离 点到直线的距离 考点 求点到直线的距离 对两条平行直线间距离的理解 与点到直线的距离有关的最值问题 由两条平行直线间的距离求参数 由点到直线的距离求直线方程 点到直线的距离在实际中的应用 由点到直线的距离求参数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 考向 距离公式的综合应用 距离公式的综合应用 距离公式的综合应用 距离公式的综合应用 距离公式的综合应用 距离公式的综合应用 距离公式的综合应用 考点 利用两条平行直线间的距离求倾斜角 与两条平行直线间的距离有关的面积问题 与点到直线的距离有关的面积问题 与点到直线的距离有关的面积问题 与点到直线的距离有关的范围问题 利用点到直线的距离求直线方程 与两条平行直线间的距离有关的最值问题 一、选择题 1．原点到直线y＝－x＋的距离为(　　) A．1 B. C．2 D．3 答案：B 解析：直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原点到直线y＝－x＋的距离为＝. 2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意的点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C．3 D．6 答案：C 解析：∵＝≠，∴两直线平行，方程可化为3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0.|PQ|的最小值为两条平行直线间的距离d＝＝3. 3．已知定点P(1，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(3－λ)y－6＋2λ＝0，则点P到直线l的距离的最大值为(　　) A. B. C. D．2 答案：C 解析：直线l：(1＋3λ)x＋(3－λ)y－6＋2λ＝0，整理得λ(3x－y＋2)＋(x＋3y－6)＝0，由解得故直线l过定点A(0，2)，故点P(1，0)到直线l的距离的最大值为|PA|＝.故选C. 4．已知直线l1：2x＋y＋n＝0，l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝(　　) A．－3或3 B．－2或4 C．－1或5 D．－2或2 答案：A 解析：由l1∥l2可得2×m＝1×4，且2×(－4)≠n×4，解得m＝2，n≠－2，则直线l2的方程为2x＋y－2＝0，由＝，即|n＋2|＝3，解得n＝1或n＝－5，故m＋n＝2＋1＝3或m＋n＝2－5＝－3，即m＋n＝±3.故选A. 5．(多选)直线l经过点P(－2，1)且点A(－2，－1)到直线l的距离等于1，则直线l的方程可以是(　　) A.x－y＋1＋2＝0 B．－x－y＋1－2＝0 C．－x＋y＋1－2＝0 D．x－y＋1＋2＝0 答案：AB 解析：由题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，整理得kx－y＋2k＋1＝0，因为点A(－2，－1)到直线l的距离为1，所以＝1，得k＝±.所以直线l的方程为x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0.故选AB. 6. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的；五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设该人像图中三庭中每一庭的高度均为2 cm，五眼中每一眼的宽度均为1 cm，图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼所成线段的中点位置，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(　　) A．1.8 cm B．2.5 cm C．3.2 cm D．3.9 cm 答案：B 解析：如图所示，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A，B，直线AB：＝，整理得2x－2y＋7＝0.原点O到直线AB的距离为＝≈2.5. 二、填空题 7．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________． 答案：－3或 解析：d＝＝，由题意知＝4，即＝1，∴k＝－3或k＝. 8．若直线m被两条平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线m的倾斜角是________． 答案：75°或15° 解析：如图，两平行线间的距离为|AH|＝＝，直线m被平行线截得的线段长为|AB|＝|AC|＝2，由图可知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°. 9. 如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4，则l2的方程为____________． 答案：x＋y－3＝0 解析：设l2的方程为x＋y－b＝0(b>1)，则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，所以|AD|＝，|BC|＝b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.所以l2的方程是x＋y－3＝0. 三、解答题 10．已知A(1，1)，B(2，－2)，C(0，－1)． (1)求△ABC的面积； (2)若CD⊥AB，AD∥BC，求点D的坐标． 解：(1)由题意，得直线AB的斜率 kAB＝＝－3， 所以直线AB的方程为y－1＝－3(x－1)， 即3x＋y－4＝0，点C到直线AB的距离为 d＝＝， |AB|＝＝， 所以S△ABC＝|AB|·d＝. (2)因为CD⊥AB，所以直线CD的斜率kCD＝，所以直线CD的方程为y＝x－1， 直线BC的斜率kBC＝＝－. 因为AD∥BC，所以kAD＝kBC＝－， 所以直线AD的方程为y－1＝－(x－1)， 即y＝－x＋， 联立方程解得 所以点D的坐标为(3，0)． 11．(多选)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为(　　) A．(－1，0) B. C．(1，6) D. 答案：AB 解析：设点C到直线AB的距离为d，由题意知，|AB|＝＝5.∵S△ABC＝|AB|d＝×5×d＝10，∴d＝4.直线AB的方程为＝，即3x＋4y－17＝0.∵点C在直线3x－y＋3＝0上，设点C(x0，3x0＋3)，∴d＝＝4，解得x0＝－1或x0＝.故点C的坐标为(－1，0)或.故选AB. 12．已知实数a>0，b<0，则的取值范围是________． 答案：[－2，－1) 解析：根据题意，设直线l：ax＋by＝0，点A(1，－)，那么点A(1，－)到直线l的距离为d＝，因为a>0，b<0，所以d＝，且直线l的斜率k＝－>0，当直线l的斜率不存在，即b＝0时，d＝＝1，所以d>1，当OA⊥l时，dmax＝|OA|＝＝2，所以1<d≤2，即1<≤2，因为＝－，所以－2≤<－1. 13．已知正方形ABCD的中心为点E(0，2)，点A在第三象限，AB边所在直线的方程是x－2y－1＝0. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求对角线AC所在直线的方程． 解：(1)正方形ABCD中，AB⊥AD， 设AD边所在直线的方程为2x＋y＋C＝0， 因为正方形ABCD的中心为点E(0，2)， 所以点E到直线AB和AD的距离相等， 所以＝， 解得C＝3或C＝－7， 经验证C＝－7时，点A不在第三象限， 所以AD边所在直线的方程为2x＋y＋3＝0. (2)联立解得 即A(－1，－1)， 又E(0，2)，kAE＝＝3，所以对角线AC所在直线的方程为y＝3x＋2. 14．光线从点A(1，1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(1，7)． (1)求BC所在直线的方程； (2)过点A(1，1)且斜率为－m(m＞0)的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线BC的垂线，垂足分别为R，S，求线段RS长度的最小值． 解：(1)点A关于x轴的对称点为E(1，－1)，点D关于y轴的对称点为F(－1，7)，又直线BC经过E，F两点，故直线BC的方程为＝，即4x＋y－3＝0. (2)直线l的方程为y－1＝－m(x－1)， 则P，Q(0，1＋m)， 从而可得直线PR和QS的方程分别为x－4y－1－＝0和x－4y＋4＋4m＝0， 又PR∥QS， ∴|RS|＝≥＝， 当且仅当m＝时取等号， ∴线段RS长度的最小值为. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$