1.5等腰三角形第1课时 教案 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

该教案聚焦等腰三角形性质定理（等边对等角、三线合一）与判定定理（等角对等边），结合尺规作图。通过生活图片情境导入，衔接全等三角形旧知，为四边形、圆等后续学习搭建支架。 以“操作-探究-证明”为主线，剪纸实验培养数学眼光，性质定理证明发展数学思维，几何语言表述与作图强化数学语言。分层例题练习助教师教学，提升学生推理及应用能力。

配套初中数学苏科版（新课标） 第一章 三角形 1.5 等腰三角形 第1课时   一、教材分析 本节课是苏科版初中数学八年级上册第一章第五节第1课时．本节课的学习是建立在学生已掌握等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质的基础之上的，这为学习等腰三角形的性质和判定奠定了基础.本节课通过观察、操作、猜想、证明和交流活动探究等腰三角形的性质与判定方法，会利用基本作图作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形，培养学生利用几何语言严谨说理及解决问题的能力，发展空间观念.等腰三角形的性质和判定不仅是三角形全等知识的深化和应用，更是后续学习四边形、圆等几何知识的重要基石；同时它们为证明线段相等、角相等、线段的中点关系以及两直线垂直提供了直接且有力的理论依据（例如，利用“等边对等角”证角相等，利用“三线合一”证垂直或中点）.   二、学习目标 1.经历等腰三角形性质定理和判定定理的探究过程，掌握等腰三角形性质定理与判定定理，体验研究几何图形的基本过程. 2. 能应用等腰三角形性质定理与判定定理进行计算和证明，已知底边及底边上的高，会用尺规作等腰三角形. 3.在“操作-探究-归纳-证明”的过程中，进一步发展有条理地思考和表达能力，发展合情推理和演绎推理的能力，感受分类、转化等数学思想方法，不断积累数学经验.   三、教学重难点 重点：理解并掌握掌握等腰三角形性质定理与判定定理， 难点：能应用等腰三角形性质定理与判定定理进行计算和证明，已知底边及底边上的高，会用尺规作等腰三角形.   四、教学过程 · 情境导入 问题：仔细观察这些图片，都有什么图形呢？ 预设答案：等腰三角形 师生活动：教师引导，学生思考、独立思考、回答． 设计意图：通过观察生活中的等腰三角形，让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活，在生活中随处可见的等腰三角形，也蕴含着非常重要的数学知识，让学生感受几何图形的美的同时，激发学习数学的兴趣． · 探究新知 活动一：等腰三角形的定义 问题：如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征? 预设答案：这个三角形有两条边相等，有两个角相等． 【概念生成】 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰. 两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 师生活动：教师引导，学生思考、独立思考、回答． 设计意图：通过剪纸实验，直观感知等腰三角形的生成，唤醒已有认知；引导学生观察发现“两腰相等”的核心特征，明确等腰三角形的要素；渗透轴对称思想，为后续性质探究埋下伏笔，实现操作→观察→定义的认知进阶. 活动二：探究等腰三角形的性质定理 问题：等腰三角形的两个底角相等吗？为什么？ 解：相等，理由如下： 已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC. 求证：∠B =∠C. 证明：如图，作边BC的中线AD，则 BD=CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD△ACD. （SSS） ∠B =∠C. 总结：辅助线还可以作顶角的角平分线或者底边上的高；也可以用等腰三角形的对称性证明. 【概念生成】 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)． 几何语言： 如图，在△ABC中，AB=AC， ∠B =∠C. 注意： (1)前提条件：必须在同一个三角形中. (2)作用:一是与三角形内角和定理结合起来求角的度数.二是由线段相等证明角相等 . 师生活动：教师引导、示范板书，生思考、说理、规范书写，师生共同总结． 设计意图：通过推动学生从实验猜想转向逻辑证明，实现认知进阶，构造三角形中线AD（或作顶角的角平分线或者底边上的高），强化全等三角形判定的应用，巩固知识迁移能力；对比轴对称法（折痕即对称轴），深化轴对称性质与几何特征的关联；规范“等边对等角”的几何语言表述，强调条件约束，为后续“三线合一”的严谨证明构建思维基础. 问题：如图，在证明等腰三角形的两个底角相等时，得到△ABD≌△ACD.由△ABD≌△ACD还可以得到什么结论？ 预设答案：（1）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，所以AD是△ABC的角平分线. （2） ∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC. ∵∠ADB+∠ADC= ， ∴∠ADB=∠ADC= 90°，∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高. 总结：AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线、底边上的高. 【概念生成】 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)． 几何语言：在△ABC中，AB=AC， （1）AD⊥BC ， AD平分∠BAC，BD=CD. （2）BD=CD， AD⊥BC，AD平分∠BAC. （3）AD平分∠BAC， AD⊥BC，BD=CD. 尝试：已知线段a、h，用直尺和圆规作等腰三角形△ABC，使底边BC=a ，高AD=h . 预设答案：作法：1. 作线段AB = a； 2. 作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D； 3. 在 MN 上截取线段DC，使DC = h； 4. 连接 AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 师生活动：教师引导，生思考、小组交流、回答． 设计意图：基于全等证明，引导学生发现等腰三角形中线的多重身份，实现从“等边对等角”到“三线合一”的认知深化；通过几何语言三重变式训练，精准辨析性质成立的条件与结论（高/中线/角平分线三者间的互推关系），突破“三线合一”整合理解障碍；尺规作图任务强化等腰三角形“三线合一”性质应用，将抽象定理转化为图形建构能力，渗透运动变化思想（对称轴唯一性），为后续几何证明提供核心工具. 活动三：探究等腰三角形的判定定理 问题：我们知道，等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗? 预设答案：已知：如图，在△ABC中，∠B =∠C， 求证：AB=AC. 证明：如图，△ABC的角平分线AD， ∠BAD =∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD△ACD. （AAS） AB =AC. 总结：辅助线还可以作底边上的中线或者底边上的高. 【概念生成】 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C， AB=AC. △ABC是等腰三角形. 注意：在判定一个三角形是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”等 名词. 师生活动：教师引导，生思考、小组交流、回答． 设计意图：引导学生通过主动探究、逻辑推理和合作交流，亲身经历等腰三角形判定定理的发现、证明、归纳的过程.它不仅旨在让学生掌握“等角对等边”这一定理本身，更重要的是培养学生的逆向思维能力、逻辑推理能力、运用全等三角形解决问题的能力、数学语言表达能力、合作交流能力. · 应用新知 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD=BD. 求证：∠ADB=∠BAC. 证明： AB＝AC，AD=BD， ∠B=∠C，∠B=∠BAD（等边对等角）. ∠C=∠BAD. ∠ADB是△ADC的外角， ∠ADB=∠C+∠CAD. ∠ADB=∠BAD +∠CAD. ∠ADB=∠BAC. 例2如图所示，点 D，E 在 △ABC 的边 BC 上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE. 分析：可以先过点A作BC的垂线，再利用等腰三角形的三线合一解决. 证明：如图，过 A 点作 AF⊥BC，垂足为 F. ∵ AB＝AC，∴ BF＝CF.(三线合一) ∵ AD＝AE，AF⊥BC， ∴ DF＝EF.(三线合一) ∴ BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE. 总结：在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”就可以得到另外“两线”. 例3 如图，∠EAC是△ABC 的外角，AD平分∠EAC ，AD∥BC. 求证：AB =AC. 证明：∵AD∥BC ， ∴∠EAD =∠B，∠DAC=∠C． ∵ AD平分∠EAC， ∴∠EAD =∠DAC， ∴∠B =∠C． ∴AB =AC（等角对等边）. 变式：如图，如果AB=AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？请证明你的结论. 解：结论：AD平分∠EAC. 证明：∵AD∥BC ， ∴∠EAD =∠B，∠DAC=∠C． ∵AB =AC， 　 ∴∠B =∠C． ∴∠EAD= ∠DAC，即AD平分∠EAC. 师生活动：教师板演示范，学生思考、尝试． 设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计符号语言说理能力，让学生理解等腰三角形的性质及判定． · 课堂练习 1. 在△ABC中 ，AB＝AC. （1）如果有一个角等于120°，那么∠A＝ _____ °， ∠B＝ _____ °， ∠C＝ _____ °. （2）如果有一个角等于50°，那么另两个角分别等于多少度？ 2. 如图， AB=AD，CB=CD.求证：AC⊥BD. 3．如图，AC=BC，∠B= 72°，AD平分∠BAC，请写出图中的等腰三角形. 4. 如图(1)，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠[图(2)]重叠部分的△ABC是等腰三角形吗？证明你的结论. 5.如图，在△ABC中 ，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数． 6. 如图，在△ABC中 ，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD，AE，求∠D， ∠E，∠DAE的度数. 7. 如图，AD平分∠BAC ，AD⊥BD，垂足为点D，DEAC. 求证：△BDE是等腰三角形. 8 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，点E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2. 求证：AD⊥BC. 9 如图，已知，，，，，求的度数. 答案： 1.分析：(1)当等腰三角形的一个内角为直角或钝角时，该角一定是顶角. (2)已知条件没有明确说50°是顶角还是底角，需要进行分类讨论. 答案：(1)120 30 30 解：（2）在△ABC中 ，AB＝AC， ∠B＝∠C（等边对等角）． 当∠A＝50°时，∠B＝∠C=（180°- ∠A ）=65°. 当∠B＝50°时，∠A＝180°- ∠B -∠C= 80°. 故另两个角分别为65°、65°或50°、80°. 2. 证明：∵ AB=AD，CB=CD ， ∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB. ∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，即∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC ≌ △ADC.(SAS) ∴∠BAC=∠DAC. ∴AC⊥BD. 3.图中等腰三角形有△ABC、△ABD、△ACD. 4.△ABC是等腰三角形.证明如下： 如图，由折叠性质得∠1=∠2. 因为长方形对边平行，∠1=∠3. ∠2=∠3. ∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形. 5. AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD（等边对等角）． 设∠A＝x，则∠ABD＝x． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x， ∴∠ABC＝∠C＝2x， ∴∠DBC＝x． ∴在△ABC中，x+2x+2x＝180°，解得x＝36°， ∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 6.解： DB=BA ， ∠D＝∠DAB. ∠ABC= ∠D+∠DAB=50°， ∠D=25°. 同理可求得∠E=40°. ∠DAE= 180°-∠D- ∠E= 180°-25°-40°=115°. 7. 证明：∵ AD平分∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD. ∵ DEAC，∴∠EDA=∠CAD.∴∠BAD=∠EDA. ∵ AD⊥BD，即∠ADB= 90°， ∴ ∠B+∠BAD= 90°，∠BDE+∠EDA= 90°. ∴ ∠B=∠BDE. ∴ EB=ED， ∴ △BDE是等腰三角形. 8.证明：∵EB=EC，∴∠EBD=∠ECD. 又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠ACD，即AB=AC. ∵在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE（SAS). ∴∠3=∠4. ∴AD⊥BC. 9.解: ，， ，，, ，，， 是的外角，是的外角，是的外角， =80°. ． 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用． · 归纳总结 设计意图：通过小结，让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $