1.5 等腰三角形（第1课时 等腰三角形的性质）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

苏科版（2024）八年级数学上册 第一章 三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1.5 等腰三角形 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。 2.理解并掌握等腰三角形的性质。 3.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题。 新课导入 如图,把一张长方形纸片对折,沿虚线剪下并展开,得到的三角形有什么特征? 新课导入 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 这个三角形有两条边相等,有两个角相等. 5 知识点讲解 定义与概念 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰． 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC． 观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们的腰、底边、 底角和顶角. 底边 顶角 ( ) ) 底角 底角 腰 腰 A B C A B C D 等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？ 证明：作边BC的中线AD，则BD＝CD． 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD ≌ △ACD (SSS). ∴ ∠B＝∠C. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 也可以用等腰三角形的对称性证明. 等腰三角形中两个相等的角叫作底角． 定义与概念 于是，我们得到等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). A B C 在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C （等边对等角）. 几何语言： A B C D 如图，根据△ABD≌△ACD，你能得出什么结论？ ∵△ABD≌△ACD， ∴∠BAD＝∠CAD， 即AD是△ABC的角平分线. 由△ABD≌△ACD， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高. 定义与概念 于是，我们得到等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 (简称“三线合一”). 在△ABC中，AB＝AC． (1)∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，且BD＝CD； (2)∵BD＝CD，∴AD平分∠BAC，且AD⊥BC； (3)∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD，且AD⊥BC． 几何语言： A B C D 尝试 如图，已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h. a h 作法： 1．作线段BC＝a． 2．作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D． 3．在MN上截取线段DA，使AD＝h． 4．连接AB、AC． △ABC就是所求作的等腰三角形． a M N A ● B ● ● C h ● D 典型例题 例1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D. (1)求∠ADB的度数； (2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数； (3)若BC＝3 cm ，求BD的长. 解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答. 经典例题 解：（1）∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°. （2）∵ AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠C＝×(180°－∠BAC)＝×(180°－100°)＝40°. （3）∵ AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴ AD是BC边上的中线，∴ BD＝BC＝×3＝1.5(cm) 总结归纳 特别解读 1. 在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 2. “等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE＝∠BAD． 解题秘方：根据等腰三角形“三线合一”的性质和同角的余角相等解决问题. 经典例题 证明：∵ AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. 又∵ BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°. ∴∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD． 例3.（课本例题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD， 求证：∠ADB＝∠BAC. 证明：∵AB＝AC，AD＝BD， ∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠B(等边对等角) ∴∠C＝∠BAD. ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠ADB＝∠C＋∠CAD. ∴∠ADB＝∠BAD＋∠CAD. ∴∠ADB＝∠BAC. A B C D ？ ？ 经典例题 课堂练习 知识点1 等边对等角 1.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 ，道路 与的夹角 ．城市规划部门想新修一条道路 ，要求，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】， ， ， .故选B. 基础题 19 2. ［2025江苏苏州质检］我们定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的 比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作，若 ，则该等腰三角形的顶角为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】如图.在中，， ， .又 , ， ， 故选A． 20 3.［2024湖南岳阳期末］已知锐角 ，如图，按下列 步骤作图：①在边上取一点，以为圆心， 长为半径画 弧，交于点，连接.②以为圆心， 长为半径画弧，交 于点，连接，则 的度数为____. 【解析】由作图步骤①可知， 在 中， ， ， .由作图步骤②可知 ，是 的一个外角， ， .故答案 为 . 21 4.如图，中，， ，点是 内一点， 连接，，若，则 的度数是______． 【解析】中，， ， ， ， ， . 22 5.［2024江苏常州新北区期中］如图，，是的边 上的两点，并且 ，则 的度数是______. 【解析】， ， ，.又， ， ， .故答案为 . 23 知识点2 三线合一 6.［2025福建厦门质检］如图，在中，， ， 若，则 的长是( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】，，， ，故选B． 24 7.［2025江苏苏州期中］如图，在等腰中，，为 延长线上一 点，且，垂足为，连接，若，则 的面积为___. 9 【解析】如图,过作于，过作于， , ， ， .在 与 中，， ， 的面积为 ，故答案为9． 25 8.如图，在中， ，为边 上的点，且 ，为线段的中点，过点作，过点 作 ，且，相交于点 . （1）求证： . 【证明】，为线段的中点， ， ， . （2）求证： . 【解】，，， . 又 ，，， . 26 易错点 忽略对等腰三角形中的顶角和底角进行分类讨论导致错误 9.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少 ，则等腰三角形顶角的度数为____ _____________. 或 或 易错题 【解析】设另一个角的度数是，则这个角的度数是 . ①当度数为的角是顶角，度数为 的角是底角时， ，解得 ，所以顶角的度数是 ； ②当度数为的角是底角，度数为 的角是顶角时， ，解得 ，所以顶角的度数是 ； ③当度数为与 的角都是底角时， ，解得 ，所以 顶角的度数是 . 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数是 或 或 ． 27 10.在中，，点是 的中点，点在 上. （1）如图①，连接， ，求证： ； 证明：，点是 的中点，垂直平分.又 点在 上， . 提升题 28 （2）如图②，若的延长线交于点，且， ， 求证： . ， ， 是等腰直角三角形， . ，点是的中点， ， . 10.在中，，点是 的中点，点在 上. ， . ， . 在和中， ， . 29 11. 如图，为 的角平分线，且，为延长 线上一点， ，连接， . （1）与 相等吗？请说明理由； 解： . 理由：为的角平分线， . 在和中， ， . 拓展题 30 11. 如图，为 的角平分线，且，为延长 线上一点， ，连接， . 拓展题 （2）若 ，求 的度数； 解：， ， 易得 ， . 由（1）知， . 又， . （3）若 ， ，则 ， 之间满足一定的数量关系， 直接写出这个数量关系. 解： . 31 课堂小结 等腰三角形的有关概念： 性质1：等腰三角形的两底角相等. （等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. （等腰三角形的三线合一） 性质2： 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是:底边上的中线(或顶角平分线,底边上的高)所在的直线. 性质3： 腰 A B C 腰 底边 顶角 底角 底角 A B C 1 2 D 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第46页练习 第1，2题 1．在△ABC中，AB＝AC． (1)如果有一个角等于120°，那么∠A＝____°，∠B＝____°，∠C＝____°； (2)如果有一个角等于50°，那么另两个角分别等于多少度？ 120 30 30 解：如果有一个角等于50°，有以下两种情况： ①当∠A＝50°时，∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－50°)＝65°． ②当∠B＝50°时，∠C＝∠B＝50°， ∠A＝180°－(∠B＋∠C) ＝180°－(50°＋50°)＝80°． 课本练习 2．如图，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD. 求证：AC⊥BD． C B A D 证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴点A、C在BD的垂直平分线上. ∴ AC垂直平分BD， ∴ AC⊥BD. 感谢观看 $$