专题07 函数的概念及其表示11类核心题型讲解大突破【期中大突破】-2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题07 函数的概念及其表示11类核心题型讲解大突破 目录 核心题型一：函数关系判断 1 核心题型二：已知函数值求自变量或参数 2 核心题型三：具体函数的定义域 3 核心题型四：抽象函数的定义域 4 核心题型五：值域之分式型 6 核心题型六：值域之根式型 6 核心题型七：判别式法求最值 7 核心题型八：二次函数求最值或值域 8 核心题型九：待定系数法求解析式 9 核心题型十：换元法求解析式 10 核心题型十一：方程组法求解析式 11 核心题型一：函数关系判断 方法总结 牢牢抓住：对于每一个变化的，都有唯一的与之对应 常考题型 单选题 例题1-1（24-25高一上·全国·课后作业）给定集合，，则下列不能表示从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 例题1-2（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 对点训练1-1（24-25高一上·山东·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 对点训练1-2（24-25高一上·福建莆田·期中）给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 对点训练1-3（多选）（25-26高三上·山西长治·开学考试）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 核心题型二：已知函数值求自变量或参数 例题2-1（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 例题21-2（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 对点训练2-1（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 对点训练2-2（23-24高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 对点训练2-3（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 核心题型三：具体函数的定义域 方法总结 (1)分式型函数：分母不等于零. (2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是. 常考题型 单选题，填空题 例题3-1（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题3-2（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 对点训练3-1（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 对点训练3-2（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 对点训练3-3（24-25高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A．或 B．或   C．或 D． 或 核心题型四：抽象函数的定义域 方法总结 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 常考题型 单选题，填空题 例题4-1（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例题4-2（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 对点训练4-1（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 对点训练4-2（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 对点训练4-3（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 核心题型五：值域之分式型 方法总结 分离常数法 常考题型 单选题，填空题 例题5-1（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例题5-2（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 . 对点训练5-1（2025高三·全国·专题练习）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 对点训练5-2（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则函数的值域是 . 对点训练5-3（24-25高一上·浙江台州·阶段练习）函数的值域为 核心题型六：值域之根式型 方法总结 换元法 注意：换元必换范围 常考题型 单选题，填空题 例题6-1（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域为 . 例题6-2（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域． 对点训练6-1（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 对点训练6-2（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 对点训练6-3（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的值域. 核心题型七：判别式法求最值 例题7-1（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 例题7-2（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 对点训练7-1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，求实数m，n的值． 对点训练7-2（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. 对点训练7-3（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 核心题型八：二次函数求最值或值域 类型总结 ①动轴，定范围 ②定轴，动范围 常考题型 解答题 例题8-1（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）已知函数，求当时，的最小值． 例题8-2（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)（）． 对点训练8-1（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 对点训练8-2（2025高一·全国·专题练习）已知函数，求在区间上的最大值． 对点训练8-3（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最值． 核心题型九：待定系数法求解析式 方法总结 待定系数法 ：针对已知函数类型；如一次函数；二次函数 ①根据题意设出函数的解析式； ②根据条件求函数解析式 常考题型 单选题，填空题 例题9-1（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 例题9-2（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 对点训练9-1（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 对点训练9-2（2025高三·全国·专题练习）已知是一次函数．且．求函数的解析式． 对点训练9-3（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 核心题型十：换元法求解析式 方法总结 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 常考题型 单选题，填空题 例题10-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 例题10-2（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 对点训练10-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 对点训练10-2（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 对点训练10-3（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 核心题型十一：方程组法求解析式 方法总结 方程组法：针对与或形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察赋值，消元后求解析式。 常考题型 单选题，填空题 例题11-1（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 例题11-2（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 对点训练11-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 对点训练11-2（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 对点训练11-3（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，求的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的概念及其表示11类核心题型讲解大突破 目录 核心题型一：函数关系判断 1 核心题型二：已知函数值求自变量或参数 4 核心题型三：具体函数的定义域 6 核心题型四：抽象函数的定义域 9 核心题型五：值域之分式型 11 核心题型六：值域之根式型 14 核心题型七：判别式法求最值 16 核心题型八：二次函数求最值或值域 18 核心题型九：待定系数法求解析式 21 核心题型十：换元法求解析式 25 核心题型十一：方程组法求解析式 27 核心题型一：函数关系判断 方法总结 牢牢抓住：对于每一个变化的，都有唯一的与之对应 常考题型 单选题 例题1-1（24-25高一上·全国·课后作业）给定集合，，则下列不能表示从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故A能表示从集合到集合的函数； 对于B，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故B能表示从集合到集合的函数； 对于C，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故C能表示从集合到集合的函数； 对于D，当时，无意义， 所以D不能表示从集合到集合的函数. 故选：D. 例题1-2（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得出结论. 【详解】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义. 故选：C. 对点训练1-1（24-25高一上·山东·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图意，写出定义域和值域，再与条件对照得解. 【详解】对于A，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于B，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于C，一个自变量对应两个函数值，不是函数，与条件矛盾，错误； 对于D，定义域为，值域为，与条件吻合，正确； 故选：D. 对点训练1-2（24-25高一上·福建莆田·期中）给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】对于ABC选项，可举出反例；D选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】对于A: 对，当时，，无实数解， 即不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故A不正确； 对于B: 对，不妨设，则，解得， 不满足唯一的实数与对应，不符合函数定义，故B不正确； 对于C: 对，当时，由得， 即在中不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故C不正确； 对于D:由得，对，都有唯一确定的与之对应， 符合函数定义，可知D正确. 故选：D. 对点训练1-3（多选）（25-26高三上·山西长治·开学考试）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 核心题型二：已知函数值求自变量或参数 例题2-1（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 例题21-2（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【答案】(1)不在； (2)； (3)． 【分析】（1）计算后可得； （2）代入计算； （3）方程即得． 【详解】（1），所以点不在的图象上； （2）； （3），解得． 对点训练2-1（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 对点训练2-2（23-24高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令 . 故答案为：. 对点训练2-3（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）代入解方程即可； （2）求出二次函数最小值，再利用不等式性质求出值域即可. 【详解】（1）函数， 由，得， 即，所以. （2）函数的定义域为R， ，当且仅当时取等号， 因此， 所以的值域为. 核心题型三：具体函数的定义域 方法总结 (1)分式型函数：分母不等于零. (2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是. 常考题型 单选题，填空题 例题3-1（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式有意义列出不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则， 解得且， 故函数的定义域为， 故选：C 例题3-2（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 对点训练3-1（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】根据题意，得到，解得且.故定义域是. 故选：D. 对点训练3-2（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解. 【详解】函数中，，， 则 ， 而，因此， 所以函数的值域为. 故选：A 对点训练3-3（24-25高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A．或 B．或   C．或 D． 或 【答案】B 【分析】根据偶次根式函数有意义列不等式求解定义域. 【详解】由题意，可得，即， 即， 解得或. 故选：B． 核心题型四：抽象函数的定义域 方法总结 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 常考题型 单选题，填空题 例题4-1（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 例题4-2（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数满足得函数满足，解该不等式即可求解. 【详解】由题可知，对于函数满足，所以， 所以对于函数有，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 对点训练4-1（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义域可得，即可根据分式以及根式的性质求解. 【详解】由于的定义域为，故， 因此的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：C 对点训练4-2（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可． 【详解】由题：的定义域为，即， 所以的定义域为， 又中， 综上：的定义域为， 故选：D． 对点训练4-3（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 核心题型五：值域之分式型 方法总结 分离常数法 常考题型 单选题，填空题 例题5-1（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 例题5-2（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数法求函数的值域. 【详解】定义域为， 因为，所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 对点训练5-1（2025高三·全国·专题练习）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】D 【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域． 【详解】解：， ∴y， ∴该函数的值域为． 故选：D． 对点训练5-2（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 因为，所以，则有， 当且仅当，即时取等号， 所以， 因为，所以，则函数的值域为， 故答案为：. 对点训练5-3（24-25高一上·浙江台州·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【分析】将分式函数分离常数，再利用不等式法即可求得函数值域. 【详解】， ， ， ， ， 函数的值域为． 故答案为：. 核心题型六：值域之根式型 方法总结 换元法 注意：换元必换范围 常考题型 单选题，填空题 例题6-1（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域为 . 【答案】 【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域. 【详解】令，则， 容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为， ，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值， 所以函数值域为. 故答案为： 例题6-2（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】设，将原函数转化为简单的二次函数求值域问题，即可得到答案； 【详解】解：设，有，则，代入原函数式化解得 ． 因此，故原函数的值域为． 对点训练6-1（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 【答案】 【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域. 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 对点训练6-2（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【答案】. 【分析】令，则，，根据二次函数的性质可求得最值. 【详解】解：令，则，. 所以当时，即时，取得最大值. 故. 对点训练6-3（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由解析式可得的定义域； （2）利用换元法及（1）可得的值域. 【详解】（1）由得：，所以函数的定义域为； （2）令，则，，当时，，所给函数的值域为，. 核心题型七：判别式法求最值 例题7-1（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】因为函数的定义域为：,则由判别式求函数的值域. 【详解】因为函数的定义域为：， 所以， 得， 当时，上式方程有解，得， 解得，且， 当时，， 故函数的值域为：. 例题7-2（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】由判别式法求函数的值域. 【详解】由得， ，解得， 故函数的值域为：. 对点训练7-1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，求实数m，n的值． 【答案】，或， 【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可. 【详解】由可得，，即， 此方程一定有解，则，即， 因为函数的值域是， 所以不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以，解得或. 对点训练7-2（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 对点训练7-3（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 核心题型八：二次函数求最值或值域 类型总结 ①动轴，定范围 ②定轴，动范围 常考题型 解答题 例题8-1（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）已知函数，求当时，的最小值． 【答案】时，的最小值为3；时，的最小值为；时，的最小值为. 【分析】根据二次函数的性质分别讨论抛物线的对称轴在的左侧、中间、右侧时的最小值. 【详解】因为函数，对称轴为. 当时，即时，因为抛物线在上单调递增， 此时当时，取最小值为3； 当时，即时，因为抛物线在上单调递减， 此时当时，取最小值为； 当时，即时， 因为抛物线在上单调递减，在上单调递增， 此时当时，取最小值为. 综上：时，的最小值为3；时，的最小值为；时，的最小值为. 例题8-2（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用配方法求解即可； （2）二次函数的值域问题（以及在某个区间内的值域问题），通常可以选用配方法，结合函数图象，求得对应函数的值域． 【详解】（1）因为，所以． （2），由于，画出对应函数图象， 如图，可知．    对点训练8-1（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性作出判断. 【详解】函数， 当时，；当时，； 又当时，，如图， 可知当时，值域为， 故选：C. 对点训练8-2（2025高一·全国·专题练习）已知函数，求在区间上的最大值． 【答案】 【分析】由分类讨论法解决二次函数定轴动区间最大值问题即可. 【详解】． 当，即时，； 当，即时，； 当时，． 综上所述，． 对点训练8-3（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最值． 【答案】， 【分析】画出函数图象，易知区间虽然在移动，但是它的“长度”并没有发生改变，根据对称轴与区间的相对位置，对参数进行分类讨论求解即可． 【详解】易知函数图象的对称轴为直线． （1）当时，，． （2）当即时，． 当时，； 当时，． （3）当即时，，． 综上，，. 核心题型九：待定系数法求解析式 方法总结 待定系数法 ：针对已知函数类型；如一次函数；二次函数 ①根据题意设出函数的解析式； ②根据条件求函数解析式 常考题型 单选题，填空题 例题9-1（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 例题9-2（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 对点训练9-1（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 对点训练9-2（2025高三·全国·专题练习）已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 对点训练9-3（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 核心题型十：换元法求解析式 方法总结 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 常考题型 单选题，填空题 例题10-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式． 【详解】令，则，， 由， ∴， ∴． 故选：B． 例题10-2（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 对点训练10-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，得且，代入已知函数化简，再将改为，即得函数的解析式. 【详解】令，则，因为，则， 故， 所以． 故选：B． 对点训练10-2（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 【答案】 【分析】令，则，换元法求函数解析式. 【详解】令，则，所以，故． 故答案为：. 对点训练10-3（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】先利用换元法求得函数的解析式，进而求得的解析式，注意定义域. 【详解】令，则，， 因为，则， 所以， 所以，并令，解得， 所以． 核心题型十一：方程组法求解析式 方法总结 方程组法：针对与或形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察赋值，消元后求解析式。 常考题型 单选题，填空题 例题11-1（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 【答案】B 【分析】应用换元法求解析式，再结合基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】对于，以代替，得， 则， 得，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25． 故选：B. 例题11-2（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】令，构造关于的方程组求解即可． 【详解】由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 对点训练11-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 【答案】 【分析】用代换，得，联立条件，求出答案. 【详解】由题意知，用代换，得， ，消去，可得． 对点训练11-2（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】， 【分析】用代换，构造新方程，与原方程联立，即可解得的解析式； 【详解】由题意可知， 令，所以，其中， 代入可得，， 即，， 联立方程组，可得， 所以， 对点训练11-3（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】根据条件得到，结合条件组成方程组，求出答案，注意定义域. 【详解】在中用替换，得, 则， 得， 故（且）． 学科网（北京）股份有限公司 $