专题06 一元二次函数、方程和不等式15类核心题型对点练大突破【期中大突破】-2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题06 一元二次函数、方程和不等式15类核心题型对点练大突破 目录 核心题型对点练一：比较数、式的大小 1 核心题型对点练二：利用不等式求取值范围 4 核心题型对点练三：基本不等式常见错解 6 核心题型对点练四：基本不等式求最值 9 核心题型对点练五：二次与二次（一次）商式的最值 11 核心题型对点练六：条件等式求最值 14 核心题型对点练七：“1”的妙用 17 核心题型对点练八：利用基本不等式解决简单的恒成立问题 20 核心题型对点练九：基本不等式在实际问题中的应用 24 核心题型对点练十：解一元二次不等式（不含参）、分式不等式 29 核心题型对点练十一：解一元二次不等式（含参） 33 核心题型对点练十二：由一元二次不等式的解确定参数 36 核心题型对点练十三：一元二次不等式在上恒成立 39 核心题型对点练十四：一元二次不等式在某区间上恒成立 41 核心题型对点练十五：一元二次不等式在某区间上能成立 43 核心题型对点练一：比较数、式的大小 1．设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断与0的关系可得到不等关系，即可求得结果. 【详解】对于A，，无法判断，该选项错误； 对于B，，不成立，该选项错误； 对于C，，成立，该选项正确； 对于D，，不成立，该选项错误. 故选：C. 2．（多选）下列不等式正确的是（　　） A．（） B．（） C． D．若，则 【答案】AD 【分析】作差法比较大小. 【详解】A选项，， 故（），A正确； B选项，， 因为，的正负不确定， 所以与的大小不确定，B错误； C选项，，当且仅当时，等号成立， 故，C错误； D选项，， 因为，所以， ∴，故D正确. 故选：AD 3．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 4．（1）已知，求的取值范围； （2），其中，均为正实数，比较，的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可； （2）利用作差法判断即可； 【详解】（1）， ， ． 又， ； （2）因为， 作差得 ， 因为，所以， 所以，即； 5．（1）若正数 满足，求的最小值； （2） ,试比较 a，b的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得解； （2）利用作差法即可得解. 【详解】（1）因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为， 所以， 则. 核心题型对点练二：利用不等式求取值范围 1．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 3．已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用不等式的性质进行求解即可. 【详解】根据不等式的性质由，， 故答案为： 4．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 ． 【分析】应用不等式的基本性质计算即可. 【详解】因为，所以，又，所以． 故答案为：. 5．已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两不等式相加可求x的取值范围； （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质可求的取值范围. 【详解】（1）， 两个不等式相加可得 解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 核心题型对点练三：基本不等式常见错解 1．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 2．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【分析】由基本不等式对选项逐一判断， 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 3．（多选）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是2 B．若a，且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 【答案】BD 【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，由基本不等式知当，则，故B正确， 对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误， 对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确， 故选：BD 4．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．的最小值为 C．若，则 D．存在，使得成立 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质及基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值不为，故B错误； 对于C，例如满足，但，故C错误； 对于D，存在，使得成立，故D正确. 故选：AD. 5．（多选）下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】由已知结合基本不等式及应用条件分别检验个选项即可判断，对C选项使用不等式性质判断. 【详解】令，则， 在，上单调递增，故，A错误； 当时，，当且仅当时取等号，B正确； 当，时，C显然不成立； 若，，则，， 则，当且仅当时取等号，D正确． 故选：BD． 核心题型对点练四：基本不等式求最值 1．若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 故选：D 2．已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 3．（多选）已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题可得，利用“1”的巧用，结合基本不等式一一判断各选项，即可判断出正确答案； 【详解】由，，得：； 对于A，, 当且仅当，结合，即，时等号成立，A错误； 对于B，， 当且仅当，结合，即，时取等号，B正确； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当，结合，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：BD 4．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】把“”写成，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3 5．已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 核心题型对点练五：二次与二次（一次）商式的最值 1．若，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 2．函数 的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 4．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； （2）配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 5．（1）求的最小值. （2）已知，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）9；（2） 【分析】（1）利用换元法，结合基本不等式可求最小值； （2）根据条件得到，利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）令，则，； ，当且仅当，即时，取到最小值9. （2）因为，且，所以； 所以 ，当且仅当，即时取到等号. 当不等式恒成立时，，所以取值范围为. 核心题型对点练六：条件等式求最值 1．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 2．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 3．（多选）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 4．若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由可得，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则， 则， 当且仅当，即、时等号成立. 故答案为：. 5．已知，，，求的最大值． 【答案】3 【分析】法一：由已知可得，利用换元法令，则得，解出，即可求得的最大值； 法二：由已知可得，则，再利用基本不等式即可求得的最大值． 【详解】法一：因为，，， 则，， 令，，，即， 解得，，， 当且仅当，即，时取等号， 的最大值为3． 法二：因为，，，则， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最大值为3． 核心题型对点练七：“1”的妙用 1．设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 2．若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】解法一，利用代换法和均值不等式即可求解； 解法二，由权方和不等式：已知均为正实数，则，当且仅当时等号成立．来求解即可； 解法三，利用等式消元化为函数来求值域即可. 【详解】解法一：因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 解法二：由权方和不等式可得：， 当且仅当时，取得最小值2. 解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则， 即． 故当时，取得最小值为2. 故选：B. 3．设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 4．已知，求函数的最小值． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即． 5．已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用、消元法及基本不等式、二元柯西不等式分别求出最小值. 【详解】解法1：利用均值不等式 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法2：消元法 由，得，由，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法3：用柯西不等式法 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 核心题型对点练八：利用基本不等式解决简单的恒成立问题 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 3．若两个正实数x，y，满足， (1)求的最小值，并说明此时x，y的值； (2)若不等式恒成立，则实数m的取值范围. 【答案】(1)时最小值为2； (2). 【分析】（1）根据已知条件，应用基本不等式得，解一元二次不等式求最小值，注意取值条件； （2）应用“1”的代换求的最小值，问题化为求参数范围. 【详解】（1）若两个正实数x，y，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以时最小值为2. （2）由， 当且仅当，即时取等号， 要使已知不等式恒成立，即，则， 所以. 4．已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k (1)求k的最大值 (2)求的最小值 (3)若恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式可求最值； （2）由，得，则，进而利用基本不等式即可求最值； （3）将恒成立问题转化为最值问题，求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，所以由基本不等式可得： ，得； 当且仅当时，等号成立， 即，则，故的最大值为1． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． （3）因为恒成立，所以， 即，解得， 所以，实数的取值范围为. 5．已知关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）分析可知，且关于的方程的两根为、，结合韦达定理可得出、的值； （2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，根据题意可得出关于的不等式，即可解出的取值范围. 【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为或，则， 所以关于的方程的两根为、， 由韦达定理可得，可得，由，可得， 综上所述：，. （2）因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即取得最小值， 因为恒成立，所以恒成立，即，解得. 所以，的取值范围为. 核心题型对点练九：基本不等式在实际问题中的应用 1．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 2．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 3．汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2)隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元 【分析】（1）根据题意可知当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，得出，从 而得出，再根据题给的总费用公式得出关于的函数表达式； （2）根据关于的函数表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）依题意，当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，即，可得， 故， 所以， 即的表达式为； （2） ， 当且仅当，即当时取得最小值， 所以隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元． 4．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，且最大值为115万元 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 核心题型对点练十：解一元二次不等式（不含参）、分式不等式 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）移项后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解； （2）因式分解后可求不等式的解； （3）先因式分解，再对分类讨论分别得到不等式的解即可． 【详解】（1）由得， 即，解得． 故原不等式的解集为． （2）因为， 解得或，所以原不等式的解集为或． （3）不等式可化为， 解方程的根， 得，， 当时，解不等式得或， 当时，解不等式得或， ∴当时，解集为， 当时，解集为． 2．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【详解】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 3．求下列不等式的解集： (1); (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）不等式移项，化二次项系数为正，因式分解后，结合一元二次方程的根可得解集； （2）根据分式不等式的解法转化为整式不等式求解； （3）化为整式不等式平方后求解即可； 【详解】（1）原不等式可化为，即， 所以， 故原不等式的解集为 （2）由可得， 即，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得， 即，解得且， 所以不等式的解集为. 4．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 5．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 核心题型对点练十一：解一元二次不等式（含参） 1．解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 2．解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 3．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求函数的零点； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1)和4 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得和为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，再结合函数零点的定义即可求解； （2）由题意可得，进而根据含参一元二次不等式的解法分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为， 所以和为方程的根，且， 则，解得， 则函数的零点为和4. （2）由，则， 即， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，不等式为，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 4．已知函数 (1)若， ，求实数的取值范围; (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件，将题意转换为，，即可得到答案. （2）分类讨论求解不等式即可. 【详解】（1）， ，即，， 等价于，， 因为，，所以. （2）， 当时，，解得. 当时，， 当时，，不等式解为：. 当时，，不等式解为：或. 当时，，不等式解为：， 当时，，不等式解为：或. 综上：当时，不等式解为：； 当时，不等式解为：； 当时，不等式解为：； 当时，不等式解为：； 当时，不等式解为：. 5．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 核心题型对点练十二：由一元二次不等式的解确定参数 1．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 2．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】对于A，根据不等式的解集得到判断A；对于B，结合题意得到和3是关于x的方程的两根，再结合韦达定理得到，将目标不等式化为，求出解集判断B，对于C，结合得到判断C，对于D，将合理变形后求出解集判断D即可. 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误； 对于B，由已知得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理得，解得， 对于不等式，即化为，解得，故B正确； 对于C，可得，故C错误； 对于D，对于不等式，可化为， 而，则化为，解得，故D正确． 故选：BD 3．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集可得，且，，据此可逐项判断求解. 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为， 即，即， 解得（舍去）或， 所以，故D正确； 故选：ABD. 4．若关于的不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程关系求参数值，即可得. 【详解】由题设，方程两根为1和4，则，得， 所以. 故答案为： 5．若关于x的不等式的解集是，则 ． 【答案】0 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】由题意得，是方程的两个根，且， 所以，解得，所以. 故答案为：0 核心题型对点练十三：一元二次不等式在上恒成立 1．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题的否定命题为真命题可将问题转化为二次函数恒成立为题，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 2．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，，据此可得答案. 【详解】由题可得，，当时，不等式显然成立. 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则.综上可得. 故选：B 3．已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 4．命题“”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】①当时，恒成立，满足条件， ②当时，，解得， 综上，． 故答案为： 5．若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，数形结合得到参数不等式，求解即得. 【详解】由题意可得，解得：， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 核心题型对点练十四：一元二次不等式在某区间上恒成立 1．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 2．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，将不等式转化为，令，求出的最大值，令可得结果. 【详解】不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 设函数，，都是减函数， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 3．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】一元二次不等式的恒成立问题可采用参变分离来求解，本题解得在上的最大值即可. 【详解】因对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因在上单调递减，在上单调递增，且，， 则在上的最大值为， 则， 故实数a的取值范围为. 故答案为： 4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解. 【详解】当时，有恒成立，满足题意； 当时，令，对称轴为， 时，在单调递减，单调递增， 则有，解得， 时，在单调递增，单调递减， 则有，解得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 5．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式转化为恒成立，通过对勾函数求得的取值范围. 【详解】由题意：不等式对恒成立， 又因为，所以恒成立， 设，，则是对勾函数， 且在时取得最大值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 核心题型对点练十五：一元二次不等式在某区间上能成立 1．函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 2．若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求解即可. 【详解】设函数， 因为，使成立， 所以在区间上的最大值， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，结合二次函数的对称性可知， 当时，函数取最大值，最大值，解得； 故选：A. 3．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，转化为不等式的存在问题进行求解，构造均值不等式求得最值，从而得到结果. 【详解】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故. 故选：B. 4．已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为： 5．已知命题：，使得，若是真命题，则符合题意的一个实数为 . 【答案】1（大于的任意一个数都行） 【分析】是真命题，则当时，，利用二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】由得：； ，使得，； 的图象为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 当时，， 的取值范围为. ∴符合题意的一个实数为1（大于的任意一个数都行）. 故答案为：1（大于的任意一个数都行）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次函数、方程和不等式15类核心题型对点练大突破 目录 核心题型对点练一：比较数、式的大小 1 核心题型对点练二：利用不等式求取值范围 2 核心题型对点练三：基本不等式常见错解 3 核心题型对点练四：基本不等式求最值 4 核心题型对点练五：二次与二次（一次）商式的最值 5 核心题型对点练六：条件等式求最值 6 核心题型对点练七：“1”的妙用 6 核心题型对点练八：利用基本不等式解决简单的恒成立问题 7 核心题型对点练九：基本不等式在实际问题中的应用 9 核心题型对点练十：解一元二次不等式（不含参）、分式不等式 11 核心题型对点练十一：解一元二次不等式（含参） 13 核心题型对点练十二：由一元二次不等式的解确定参数 14 核心题型对点练十三：一元二次不等式在上恒成立 15 核心题型对点练十四：一元二次不等式在某区间上恒成立 15 核心题型对点练十五：一元二次不等式在某区间上能成立 16 核心题型对点练一：比较数、式的大小 1．设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列不等式正确的是（　　） A．（） B．（） C． D．若，则 3．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 4．（1）已知，求的取值范围； （2），其中，均为正实数，比较，的大小． 5．（1）若正数 满足，求的最小值； （2） ,试比较 a，b的大小. 核心题型对点练二：利用不等式求取值范围 1．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的取值范围是 ． 4．已知，则的取值范围是 ． 5．已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 核心题型对点练三：基本不等式常见错解 1．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 2．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 3．（多选）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是2 B．若a，且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 4．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．的最小值为 C．若，则 D．存在，使得成立 5．（多选）下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 核心题型对点练四：基本不等式求最值 1．若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 2．已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（多选）已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的最小值为 ． 5．已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 核心题型对点练五：二次与二次（一次）商式的最值 1．若，则函数的值域为 ． 2．函数 的最大值为 . 3．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 4．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 5．（1）求的最小值. （2）已知，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 核心题型对点练六：条件等式求最值 1．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 3．（多选）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 4．若，，且，则的最小值是 . 5．已知，，，求的最大值． 核心题型对点练七：“1”的妙用 1．设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 4．已知，求函数的最小值． 5．已知正数x，y满足，求的最小值． 核心题型对点练八：利用基本不等式解决简单的恒成立问题 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 3．若两个正实数x，y，满足， (1)求的最小值，并说明此时x，y的值； (2)若不等式恒成立，则实数m的取值范围. 4．已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k (1)求k的最大值 (2)求的最小值 (3)若恒成立，求实数m的取值范围 5．已知关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 核心题型对点练九：基本不等式在实际问题中的应用 1．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 2．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 3．汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 4．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 核心题型对点练十：解一元二次不等式（不含参）、分式不等式 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3) 2．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 3．求下列不等式的解集： (1); (2)； (3)； 4．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 5．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 核心题型对点练十一：解一元二次不等式（含参） 1．解下列关于x的不等式 2．解关于的不等式（为常数且）. 3．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求函数的零点； (2)若，解关于x的不等式． 4．已知函数 (1)若， ，求实数的取值范围; (2)解关于的不等式. 5．解关于的不等式：． 核心题型对点练十二：由一元二次不等式的解确定参数 1．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 2．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 3．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 4．若关于的不等式的解集为，则的值为 ． 5．若关于x的不等式的解集是，则 ． 核心题型对点练十三：一元二次不等式在上恒成立 1．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 4．命题“”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 5．若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 核心题型对点练十四：一元二次不等式在某区间上恒成立 1．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 3．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 . 4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 5．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 核心题型对点练十五：一元二次不等式在某区间上能成立 1．函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 5．已知命题：，使得，若是真命题，则符合题意的一个实数为 . 学科网（北京）股份有限公司 $