5.3实际问题与一元一次方程（销售盈亏）教学设计 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

该初中数学导学案围绕“实际问题与一元一次方程（销售盈亏）”展开，通过学校超市笔记本利润、笔袋打折等生活场景导入，引出进价、售价等术语并推导核心关系式，衔接前序方程解法，为后续复杂销售问题铺垫，以列表法为支架梳理数量关系。 特色在于情境贴近学生生活唤醒认知，分层练习兼顾不同水平，列表法帮助梳理数量关系培养抽象能力，跨题型迁移（打折+盈亏）发展推理意识，课后实践任务引导调查商品培养应用意识，提升学生用数学解决实际问题的能力。

教学设计 教学课题 5.3实际问题与一元一次方程（销售盈亏） 教学背景分析 “销售盈亏问题” 是人教版七年级上册 “一元一次方程应用” 的核心题型之一，兼具 “生活实用性” 与 “思维训练性”，是对前序 “方程解法”“基础应用题” 的能力深化与题型拓展 —— 既衔接了 “一元一次方程的求解步骤”，又强化 “从销售场景中抽象数学关系、建立方程模型” 的核心能力，同时为后续 “二元一次方程组”“不等式应用” 解决更复杂销售问题（如 “多商品混合销售”“最优定价策略”）铺垫 “销售数量关系分析” 的思维基础。教材以 “典型销售场景”（如 “商品打折销售”“单件 / 多件商品盈亏计算”）为载体，通过 “例题解析”（如 “某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏”），引导学生理解 “销售盈亏问题的核心是‘利润计算’”，掌握 “根据‘利润 = 售价 - 进价’‘利润率 = 利润 / 进价’设未知数、列等量关系” 的方法。在教材体系中，本课不仅是方程应用的训练载体，更是 “数学建模思想” 与 “生活应用能力” 培养的关键环节，帮助学生学会用数学方法解决生活中的 “经济计算” 问题，提升逻辑思维与应用能力。 教学目标 1. 能独立分析销售盈亏情境，建立一元一次方程模型：①能通过 “列表法” 梳理题目中的已知条件（如 “进价、售价、利润率、销售量”）；②能根据 “利润或利润率关系” 确定等量关系（如 “售价 - 进价 = 进价 × 利润率”“总利润 = 单件利润 × 销售量”）；③能正确设未知数（如设 “进价为 x 元”“标价为 x 元”），列出一元一次方程并规范求解（步骤完整，无计算错误），且能验证结果的合理性（如 “售价需大于 0，利润率需符合实际情况”）。 1. 能解决常见的销售盈亏类型（如 “单件商品盈亏计算”“多件商品总盈亏计算”“打折销售盈亏计算”），解题正确率达到 80% 以上，能清晰写出解题步骤（设、列、解、验、答），并能根据结果判断 “盈利、亏损或不盈不亏”（如 “总售价 > 总进价→盈利，总售价 < 总进价→亏损”）。 重难点 理解并掌握销售盈亏问题的核心数量关系：重点通过 “生活案例 + 关系式推导”，让学生熟练掌握 “利润 = 售价 - 进价”“利润率 =（利润 / 进价）×100%”“售价 = 标价 ×（折扣 / 10）” 三个核心关系式，避免 “术语混淆” 与 “关系式颠倒”。 如何引导学生正确处理 “利润率的计算”，避免 “利润率分母混淆”：学生易出现 “将利润率的分母误写为‘售价’”。需通过 “术语定义强化 + 对比辨析” 突破：反复强调 “利润率是‘利润占进价的百分比’，分母是进价”；设计 “对比题”（如 “进价 50 元，售价 60 元，利润 10 元，分别用‘进价’和‘售价’算利润率，对比结果差异”），让学生直观感受 “分母错误导致的结果偏差”，再结合 “生活常识”（如商家计算利润率时，以成本为基础），加深对 “利润率分母为进价” 的理解，避免错误。 教学活动设计 教学过程 时长 老师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入：唤醒销售认知 8 分钟 1. 呈现生活场景：“学校超市售卖笔记本，进货时每本花 5 元（进价），卖给同学每本 8 元（售价），卖一本能赚多少钱？”“某笔袋标价 20 元，打 5 折卖给同学，实际卖多少钱？”；2. 术语解读：结合场景引出 “进价（成本价）、售价、利润、折扣”，推导 “利润 = 售价 - 进价”“售价 = 标价 ×（折扣 / 10）”（如 5 折→20×0.5=10 元），用 “实物标价卡 + 价格标签” 演示；3. 引入课题：“今天用整数数据学‘销售盈亏’，掌握‘列方程判断盈利或亏损’的方法”，明确目标。 1. 计算 “笔记本利润 = 8-5=3 元”“笔袋折后价 = 10 元”，分享计算过程；2. 记录术语定义与关系式，用 “标价卡” 模拟 “标价 30 元打 6 折→售价 18 元”，验证关系式；3. 明确学习目标，带着 “如何用方程算盈亏” 的疑问投入学习。 生活场景贴近学生实际，整数数据避免分数计算；实物演示具象化术语与关系，打破抽象认知，为后续方程建模铺垫基础。 二、探究学习：方程建模与盈亏判断 22 分钟 1. 基础例题（单件商品盈利）： - 例题：“某商店卖一件 T 恤，售价 90 元，盈利 50%，求 T 恤的进价（设为 x 元）”； - 引导列表梳理： 销售要素 已知量 进价 - x 元 利润 = 售价 - 进价 = 90-x 售价 90 元 - 利润率 = 利润 / 进价 ×100% 利润率 50% - 利润 = 进价 × 利润率 = 0.5x - 提问：“利润有两种表示方法，如何列方程？”，引导得出 “90 - x = 0.5x”； - 规范求解：带领学生解方程（90=1.5x→x=60），验证 “进价 60 元，利润 30 元，利润率 50%”，判断 “盈利”；2. 变式例题（单件商品亏损）： - 例题：“卖一双鞋子，售价 80 元，亏损 20%，求进价（设为 y 元）”； - 引导分析：“亏损 20%→利润 = -0.2y（负数）”，列方程 “80 - y = -0.2y”，求解 y=100，验证 “进价 100 元，亏损 20 元”，判断 “亏损”；3. 进阶例题（多件商品总盈亏）： - 例题：“卖 2 件相同卫衣，每件售价 120 元，1 件盈利 20%，1 件亏损 20%，求总盈亏”； - 分步引导： - 第一步：求盈利卫衣进价（设 x）：方程 “120 - x = 0.2x→x=100”，利润 20 元； - 第二步：求亏损卫衣进价（设 y）：方程 “120 - y = -0.2y→y=150”，亏损 30 元； - 第三步：总盈亏 = 20-30=-10 元→亏损 10 元； - 强调 “总盈亏 = 总利润 = 各件利润之和”。 1. 跟随列表，理解 “利润两种表示”，列出方程并求解，验证进价合理性；2. 自主完成亏损例题的列表与方程，小组内验证 “y=100 元，亏损 20 元”；3. 分步计算多件卫衣的进价与利润，讨论 “为什么售价相同，总盈亏却亏损”，总结 “亏损件的亏损额大于盈利件的盈利额”。 从 “单件盈利” 到 “单件亏损” 再到 “多件总盈亏”，逐步升级难度；列表法梳理量关系，避免混乱；整数解（x=60、y=100）确保计算无分数，突破 “利润率列方程” 难点。 三、实践应用：巩固解题与能力迁移 12 分钟 1. 分层练习（无分数）： - 基础层：“卖一本书，售价 45 元，盈利 25%，求进价”（方程 45-x=0.25x→x=36）； - 提升层：“卖 2 个书包，每个售价 160 元，1 个盈利 60%，1 个亏损 20%，求总盈亏”（盈利书包进价 100 元，利润 60 元；亏损书包进价 200 元，亏损 40 元；总盈利 20 元）； - 巡视指导：对 “亏损方程列错” 的学生，用 “利润 = 售价 - 进价” 重新推导；2. 跨题型迁移： - 问题：“某手机标价 3000 元，打 8 折销售，仍盈利 20%，求手机进价”； - 引导分析：“先算售价 = 3000×0.8=2400 元，再设进价 x，列方程 2400-x=0.2x→x=2000”；3. 成果展示：邀请 2 名学生上台板演，讲解 “列表→列方程→判断盈亏”，师生点评。 1. 完成分层练习，基础层确保 “方程列对、解对”，提升层专注 “总盈亏计算”；2. 自主完成手机问题，分享 “先算折后价，再列方程” 的思路；3. 上台板演的学生清晰讲解步骤，台下学生补充疑问（如 “为什么先算售价”）。 分层练习兼顾不同水平学生，整数数据避免分数干扰；跨题型迁移（打折 + 盈亏）拓展思维，培养 “先算中间量（售价）” 的解题逻辑；成果展示提升表达与互评能力。 四、总结拓展：深化思维与习惯培养 3 分钟 1. 课堂总结： - 梳理流程：“审题（找术语）→列表（理关系）→列方程（利润相等）→求解→验根→判断盈亏”； - 强调关键点：“盈利→利润正，亏损→利润负；总盈亏 = 总售价 - 总进价”；2. 课后任务： - 实践题：“调查家里 1 件商品的标价、折扣，算折后价，若已知盈利 10%，求进价”（如 “标价 200 元打 9 折，盈利 10%→进价 163.63？调整为 “标价 220 元打 9 折，盈利 10%→进价 180 元”，整数结果）； - 思考题：“为什么有时售价相同，却会总亏损？”。 1. 记录流程与关键点，标注 “盈利 / 亏损的利润符号”；2. 记录课后任务，明确 “选整数标价与折扣，确保进价为整数”；3. 思考 “亏损件进价高，亏损额大”，分享想法。 流程梳理帮助学生形成结构化解题思维；课后实践让数学回归生活，整数数据设计避免分数；思考题深化 “盈亏本质” 认知，培养探究意识。 学科网（北京）股份有限公司 $