第2章 一元二次方程单元卷- 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练
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内容正文：
第2章 一元二次方程（单元卷）
（年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分）
试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用北师大版地区考题进行精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！
第 Ⅰ 卷（选择题，共30分）
1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，，
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义．
根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项．
解：方程，其中二次项是，所以二次项系数；
一次项是，所以一次项系数；
常数项．
故答案为：D．
2．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解．
解：∵当方程可化为．
∴方程必有一根为．
故选：C．
3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可．
解：，
，
，
，
∴，，
解得，
∴．
故选：D．
4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，根据一元二次方程的定义可得，根据方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解．
解：的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
且．
故选：C．
5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．且 B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案．
解：设一元二次方程的两个根为，，
由题意得，，，
由根与系数的关系可得，，，
解得：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是．
故选：B．
6．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可．
解：令，则方程即为方程，
∵方程的解是，
∴方程的解是，，
∴或，
解得，，，
∴方程的解是，，．
故选：B．
7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（ ）
A． B．5 C．17 D．51
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， 那么， 求出n再求奇数即可．
解：设较小的奇数为， 那么较大的奇数为，
，
解得：或，
当时 奇数为15， 17；
当时奇数为， ．
故选：C．
8．（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程−因式分解法．
根据新定义得出求解即可．
解：∵，，
∴，
即，
∴，
解得．
故选B．
9．（24-25八年级下·浙江温州·期末）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，根据解答过程结合配方法解一元二次方程判断即可．
解：
，
故乙解答错误，
故选：B．
10．（24-25八年级下·吉林长春·期末）某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可．
解：设售价为x元，根据题意列方程得．
故答案为：B
第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义得，解之即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
12．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可．
解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
13．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是 ．
【答案】24
【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-因式分解法，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用解一元二次方程-因式分解法，求出，然后利用三角形的三边关系进行判断，再利用菱形的性质及勾股定理即可解答．
解：，
，
或，
，
当菱形边长是3时，
，
不能组成三角形；
该菱形的边长是5，
如图，连接，交于点O，
∵菱形中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：24
14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）方程的实数根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解绝对值方程． 分和两种情况，利用因式分解法求解即可．
解：当时，方程为，即，
则，
∴或，
解得，（舍）；
当时，，即，
，
则或，
解得，（舍）；
综上，方程的实数根为，
故答案为：．
15．（2025·河南郑州·三模）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键．
解：设常数项“”为，则，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴常数项“”可能是．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ．
有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？
【答案】2
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意列出关于x的方程和熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
设这个输入的数为x，根据题意可得，整理成一般式后利用因式分解法求解可得．
解：设这个输入的数为x，
根据题意可得，
即，
，
解得：．
故答案为：2．
17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
∴垂钓通道的宽度为，
故答案为：．
18．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为 ；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值．
解：设，由题意可得：
，解得：，
即的分数形式为；
设，
根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为，
于是方程可表示为：，解得：或（舍去），
即此数的值为．
故答案为：；．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（本小题满分8分）（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）按规定方法解方程：
（1）；（公式法） （2）； （因式分解法）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）根据公式法求解方程即可；
（2）利用因式分解法求解方程即可．
解：（1）解：
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
∴或
∴．
20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算步骤是解此题的关键．
（1）根据解根式方程的步骤计算即可得解；
（2）根据解根式方程的步骤计算即可得解．
解：（1）解：去分母得：，
解得，
把代入，
是原方程的根．
（2）解：去分母得：，
解得：，
把代入，
为增根，原方程无解．
21.（本小题满分10分）（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】（1） 且 ；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键．
（1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解；
（2）根据题意先求出，进而得到，再代入代数式中进行计算求解．
解：（1）解：由题意得，
∴， ，
．
，
且．
（2）解：由题意得：，且为的整数，
．
将，代入
得：，
将代入中
．
22.（本小题满分10分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
【答案】（1）证明见分析；（2）或．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键．
（1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可．
解：（1）证明：∵ ，
不论为何值时，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得，
∵即： ，
∴，
解得，
∴m的值为或．
23.（本小题满分10分）（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）益民商店经销某种商品，进价为每件80元，商店销售该商品每件售价高于80元且不超过120元．若售价定为每件120元时，每天可销售200件，市场调查反映：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）商店在销售该商品时，除成本外每天还需支付其余各种费用1000元，益民商店在某一天销售该商品时共获利8000元，求这一天该商品的售价为多少元？
【答案】（1）
（2）这一天该商品的售价为110元
【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出与的关系式是解题关键．
（1）首先可知降价元，那么销量增加件，进而求出每天可表示出销售商品数量；
（2）根据每件商品的盈利销售的件数各种费用商店的日盈利，列方程求解即可．
解：（1）解：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件．
（2）解：由题意可知，设该商品的售价为元，
解得
答：这一天该商品的售价为110元．
24.（本小题满分12分）（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1．
（1）为直线上一点，过点作轴的平行线交的图象于点，当时，求点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；（2）存在；或或或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握一次函数的图象和性质和相关图形的性质定理是解题的关键．
（1）先求出点的坐标，接着设点的横坐标为，用含的代数式表示出，再根据建立方程求解即可；
（2）分、、分别为顶点时，利用等腰三角形的性质以及勾股定理分别求解即可．
解：（1）解：当时，，
∴D点坐标为．
∵直线经过和，
则，
解得，
∴一次函数的函数解析式为；
当时，，
∴点坐标为，
∴．
设点的横坐标为，则，，
∴．
∵．
∴．
解得或．
∴点坐标为或；
（2）解：存在；
对直线，当时，，
∴点B的坐标为，
当时，，
∴D点坐标为．
设，则，，
当时，
解得：
∴
当时，
解得：或
∴或
当时，
解得：或（舍去）
∴
综上所述，或或或
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第2章 一元二次方程（单元卷）
（年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分）
试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用北师大版地区考题特点进行精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！
第 Ⅰ 卷（选择题，共30分）
1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，，
2．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．且 B．
C． D．
6．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（ ）
A． B．5 C．17 D．51
8．（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0
9．（24-25八年级下·浙江温州·期末）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（24-25八年级下·吉林长春·期末）某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为 ．
13．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是 ．
14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）方程的实数根为 ．
15．（2025·河南郑州·三模）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ．
16．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ．
有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？
17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ．
18．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为 ；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（本小题满分8分）（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）按规定方法解方程：
（1）；（公式法） （2）； （因式分解法）
20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程：
（1） （2）
21.（本小题满分10分）（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值．
22.（本小题满分10分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
23.（本小题满分10分）（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）益民商店经销某种商品，进价为每件80元，商店销售该商品每件售价高于80元且不超过120元．若售价定为每件120元时，每天可销售200件，市场调查反映：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）商店在销售该商品时，除成本外每天还需支付其余各种费用1000元，益民商店在某一天销售该商品时共获利8000元，求这一天该商品的售价为多少元？
24.（本小题满分12分）（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1．
（1）为直线上一点，过点作轴的平行线交的图象于点，当时，求点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
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