13.2第3课时　三角形的外角课件2025-2026学年沪科版(2024)八年级数学上册

13.2　命题与证明 第3课时　三角形的外角 第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 三角形的外角的概念 1 问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 要点归纳 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEF 和△BEC 的 外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题3 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 三角形的外角的性质 2 问题4 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D 证明：过 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B. 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：∵∠2 = ∠1 +∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2 =∠1 + ∠B， ∠3 =∠2 + ∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. A B C D ∠B +∠C =∠CAD ∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C 三角形内角和定理的推论 练一练：说出下列图形中∠1 和∠2 的度数： A B C D ( ( ( 80° 60° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° (2) ∠1 = 40°， ∠2 = 140° ∠1 = 18°， ∠2 = 130° 例1 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 60°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°， ∴∠BFC = 88°. F A C D E B 典例精析 例2 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． 解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二). ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 三角形的外角和 3 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， ∠CBF +∠2 = 180°②， ∠ACD +∠3 = 180°③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ①+ ②+ ③得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过 A 作 AM∥BC， 则易得 ∠3＝∠4， B C 1 2 3 4 A ∠2＝∠BAM， 所以 ∠1＋∠2＋∠3＝ ∠1＋∠4＋∠BAM ＝360° M ∠2＋∠ 3＝∠4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于 360°. 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360° 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 1. 如图，直线l1∥l2，一副三角尺放置在l1，l2之间，两三角尺的斜边在同一条直线上，含30°角的三角尺的一条直角边在l1上，则∠α的度数为（　D　）A. 8° B. 10° C. 12° D. 15° （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 某零件的形状如图所示.如果按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（　B　） （第2题） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是 　钝角　三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 4. 如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠ACD＝80°，则∠EAD＝ 　65°　. （第4题） 钝角　 65°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝72°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数. （第5题） 解：∵ BD是AC边上的高，∴ ∠BDC＝90°.∵ ∠BEC＝115°， ∴ ∠DCE＝∠BEC－∠CDE＝25°.∵ CE平分∠ACB，∴ ∠BCD＝2∠DCE＝2×25°＝50°.∵ ∠A＝72°，∴ ∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－72°－50°＝58°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC上的高，且CD，BE交于点P. 若∠A＝50°，则∠BPC的度数为（　B　） A. 150° B. 130° C. 120° D. 100° （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知一张三角形纸片ABC（如图），其中AB＝AC. 将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的点E处，折痕为BD，再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF，则原三角形纸片ABC中，∠ABC的度数为（　B　） （第7题） A. 60° B. 72° C. 36° D. 90° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图，将线段AB平移得到线段CD，点P在线段AC的延长线上，点Q在射线OB上，∠PCD，∠QBA的平分线所在直线相交于点E，若∠OAB＝α，∠OBA＝β，则∠CEB＝ 　 或90°－ 　（用含α，β的式子表示）. （第8题） 或90°－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图，在△ABC中，∠1是它的外角，E为边AC上一点，延长BC到点D，连接DE，则∠1 　＞　∠2（填“＞”“＜”或“＝”）. （第9题） ＞　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E为BD上一点，EF⊥AC于点F，∠A＝38°，∠C＝80°，则∠DEF的度数为 　21°　. （第10题） 21°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. ★（2024·阜阳颍州期末）如图，BA1是∠ABC的平分线，CA1是△ABC的外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，….若∠A＝α，则∠A1＝ 　 α　，∠A2022＝ 　 　. （第11题） α　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，射线DF的反向延长线交BE于点E. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1） 若∠A＝56°，∠C＝22°，∠EBD＝23°，求∠E的度数. （第12题答案） 解：（1） 如图，延长CD交AB于点G. ∵ ∠BGD是△ACG的外角，∴ ∠BGD＝∠A＋∠C＝56°＋22°＝78°.∵ ∠BDC是△BDG的外角，∴ ∠BDC＝∠ABD＋∠BGD. ∵ BE平分∠ABD，∠EBD＝23°，∴ ∠ABD＝2∠EBD＝46°.∴ ∠BDC＝46°＋78°＝124°.∵ DF平分∠BDC，∴ ∠BDF＝ ∠BDC＝62°.∵ ∠BDF是△BDE的外角，∴ ∠BDF＝∠EBD＋∠E. ∴ ∠E＝∠BDF－∠EBD＝62°－23°＝39°. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 若∠A＝α，∠C＝β，∠E＝γ，请直接写出α，β，γ三者之间的数量关系. （2） γ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $